第1课 从自然数到有理数-2024-2025学年七年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第1课 从自然数到有理数 ( 目标导航 ) 学习目标 1.理解正数、负数的意义，了解从自然数到有理数的扩展过程. 2.会用正数、负数表示具有相反意义的量. 3.理解有理数的概念,理解有理数的分类. ( 知识精讲 ) 知识点01 正数与负数 1.正数:大于0的数叫做正数。 2.负数:在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。 3.0既不是正数也不是负数。 注意:有时在正数前面也加上“+”(正)号(正号可省略)，例如，+3, +2，+0.5. 一个数前面的“+”“一”号叫做它的符号，这种符号叫做性质符号. 知识点02 用正数、负数表示具有相反意义的量 相反意义的量:把0以外的数分为正数和负数，它们表示相反意义的量。在同一个问题中，如果我们把其 中一种意义的量规定为正，如零上温度规定为正，那跟它意义相反的量就为负，如零下温度为负. 注意: (1)具有相反意义的量，只要求意义相反，不要求数量- -定相等，如:盈利100元 知识点03 有理数的分类 1.有理数的概念 正整数、零和负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数. 2.有理数的分类 ( 自然数 ) ( 能力拓展 )考点01 正数与负数 【典例1】下列各数中，属于负数的是（　　） A．8 B．5.6 C． D． 【即学即练1】下列是正数的是（　　） A．+5 B．﹣3 C．﹣5 D．0 考点02 用正数、负数表示具有相反意义的量 【典例2】若气温升高2℃记作“+2℃“，则气温下降4℃可记作（　　） A．﹣2℃ B．﹣4℃ C．4℃ D．﹣6℃ 【即学即练2】在下列选项中，具有相反意义的量是（　　） A．收入20元与支出30元 B．上升了6米和后退了7米 C．向东走3千米与向南走4千米 D．足球比赛胜5场与平2场 考点03 有理数的分类 【典例3】在数﹣2，，﹣5%，﹣63，2023，﹣0.1，﹣200%，0，﹣0.01001中，负整数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【即学即练3】把下列各数填入相应的括号内： ﹣4，+5，﹣2.6，0，3.14，，3%． 负数集合{ 　　…}， 正分数集合{ 　　…}， 整数集合{ 　　…}． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上1℃记作+1℃，则零下2℃记作（　　） A．2℃ B．1℃ C．﹣1℃ D．﹣2℃ 2．如果水位升高3m时水位变化记作+3m，那么水位不升不降时水位变化记作（　　） A．+3m B．﹣3m C．0m D．±3m 3．下列数中，属于负数的是（　　） A．2024 B．﹣2024 C． D．1 4．下列各数中，负整数是（　　） A．3 B．0 C．﹣2 D．﹣2.5 5．在下列数1，6.7，﹣14，0，﹣中，属于整数的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．下列不是具有相反意义的量是（　　） A．前进5米和后退5米 B．收入30元和支出10元 C．向东走10米和向北走10米 D．超过5克和不足2克 7．0是（　　） A．正有理数 B．负有理数 C．有理数 D．分数 8．已知下列各数：﹣8，2.57，6，，﹣0.25，，0，其中负有理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如果温度上升3℃，记作+3℃，那么温度下降2℃记作 　　℃． 10．如果某超市盈利9%记作“+9%”，那么“亏损8%”应记作 　　． 11．把下列各数填在相应的表示集合的大括号里． ﹣3，2.5，1，﹣0.58，0，，，﹣1.01001000⋯； 整数集合{⋯} 分数集合{⋯} 正有理数集合{⋯} 负有理数集合{⋯} 12．把下列各数的序号填在相应的数集内： ①1 ②﹣ ③+3.2 ④0 ⑤ ⑥﹣6.5 ⑦+108 ⑧﹣4 ⑨﹣6 （1）正整数集合{ …} （2）正分数集合{ …} （3）负分数集合{ …} （4）负数集合 { …}． 题组B 能力提升练 13．小戴同学的微信钱包账单如图所示，+5.20表示收入5.20元，下列说法正确的是（　　） A．﹣1.00表示收入1.00元 B．﹣1.00表示支出1.00元 C．﹣1.00表示支出﹣1.00元 D．收支总和为6.20元 14．下列结论中正确的是（　　） A．0既是正数，又是负数 B．0是最小的正数 C．0是最大的负数 D．0既不是正数，也不是负数 15．下列各数﹣1，2，﹣3，0，π中，负数的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．下列小数能转化成分数的个数是（　　） 0.212222，0.31，0.，0.1010010001…（两个1之间依次多一个0） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 17．某种零件，标明要求是φ25±0.2mm（φ表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直径是24.9mm，该零件　　（填“合格”或“不合格”）． 18．我们把分子为1的分数叫做单位分数，如，，…，任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如＝+，＝+，＝+，…，请你根据对上述式子的观察，把表示为两个单位分数之和应为　　． 19．把下列各数填在相应的大括号内： 4，0.5，﹣1，10%，﹣5，﹣3.14，0，，+2018 整数集合{ 　　…}； 正分数集合{ 　　…}； 负有理数{ 　　…}； 非负整数集合{ 　…}． 题组C 培优拔尖练 20．下列说法正确的是（　　） A．有理数是指整数、分数、零、正有理数、负有理数这五类 B．一个有理数不是正数就是负数 C．一个有理数不是整数就是分数 D．以上说法都正确 21．一辆公交车上原有13人，经过3个站点时乘客上、下车情况如下（上车人数记为正，下车人数记为负，单位：人）；﹣3，+4；﹣5，+7；+5，﹣11．此时公交车上有 　　人． 22．某检修小组乘检修车沿检修公路检修线路，约定前进为正，后退为负，某天自A地出发到收工时所走的路程为（单位千米）：+10，﹣3，+4，+2，﹣8，+13，﹣2，+12，+8，+5．若检修车每千米耗油0.2升，则从A地出发到收工时共耗油　　升． 23．如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：A→B（+1，+4），从B到A记为：B→A（﹣1，﹣4），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中： （1）A→C（ 　　，　　）；B→C （ 　　，　　）； （2）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的最少路程； （3）若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），请在图中标出P的位置． 24．阅读材料：把几个数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2}，{1，4，7}，……，我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素，注意集合中的元素不能重复． 如果一个所有元素均为有理数的集合满足：当有理数x是集合的一个元素时，10﹣x也必是这个集合的元素，这样的集合我们又称为黄金集合．例如{0，10}就是一个黄金集合． 回答问题： （1）集合{1} 　　黄金集合，集合{﹣1，10} 　　黄金集合；（两空均填“是”或“不是”） （2）请你再写出一个含有两个元素的黄金集合，一个含有四个元素的黄金集合（不能与上述集合重复）； （3）写出所有黄金集合中，元素个数最少的集合． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1课 从自然数到有理数 ( 目标导航 ) 学习目标 1.理解正数、负数的意义，了解从自然数到有理数的扩展过程. 2.会用正数、负数表示具有相反意义的量. 3.理解有理数的概念,理解有理数的分类. ( 知识精讲 ) 知识点01 正数与负数 1.正数:大于0的数叫做正数。 2.负数:在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。 3.0既不是正数也不是负数。 注意:有时在正数前面也加上“+”(正)号(正号可省略)，例如，+3, +2，+0.5. 一个数前面的“+”“一”号叫做它的符号，这种符号叫做性质符号. 知识点02 用正数、负数表示具有相反意义的量 相反意义的量:把0以外的数分为正数和负数，它们表示相反意义的量。在同一个问题中，如果我们把其 中一种意义的量规定为正，如零上温度规定为正，那跟它意义相反的量就为负，如零下温度为负. 注意: (1)具有相反意义的量，只要求意义相反，不要求数量- -定相等，如:盈利100元 知识点03 有理数的分类 1.有理数的概念 正整数、零和负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数. 2.有理数的分类 ( 自然数 ) ( 能力拓展 )考点01 正数与负数 【典例1】下列各数中，属于负数的是（　　） A．8 B．5.6 C． D． 【思路点拨】根据正负数的定义即可解答． 【解析】解：8，5.6，是正数，不符合题意； 是负数，符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正负数的定义，掌握大于0的数是正数，小于0的数为负数，0既不是正数也不是负数是解答本题的关键． 【即学即练1】下列是正数的是（　　） A．+5 B．﹣3 C．﹣5 D．0 【思路点拨】根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数． 【解析】解：A、+5是正数，故符合题意； B、﹣3是负数，不是正数，故不符合题意； C、﹣5是负数，不是正数，故不符合题意； D、0既不是负数也不是正数，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数． 考点02 用正数、负数表示具有相反意义的量 【典例2】若气温升高2℃记作“+2℃“，则气温下降4℃可记作（　　） A．﹣2℃ B．﹣4℃ C．4℃ D．﹣6℃ 【思路点拨】根据正负数的意义，气温上升记为“+”，则气温下降记为“﹣”，据此解答即可得到答案． 【解析】解：若气温升高2℃记作“+2℃“，则气温下降4℃可记作﹣4°C， 故选：B． 【点睛】本题考查了正负数的意义，利用正数和负数表示具有相反意义的量，掌握正数和负数的概念是解题的关键． 【即学即练2】在下列选项中，具有相反意义的量是（　　） A．收入20元与支出30元 B．上升了6米和后退了7米 C．向东走3千米与向南走4千米 D．足球比赛胜5场与平2场 【思路点拨】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【解析】解：A、收入20元与支出30元是相反意义的量，故A正确； 故选：A． 【点睛】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 考点03 有理数的分类 【典例3】在数﹣2，，﹣5%，﹣63，2023，﹣0.1，﹣200%，0，﹣0.01001中，负整数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【思路点拨】根据负整数的定义解决此题． 【解析】解：在数﹣2，，﹣5%，﹣63，2023，﹣0.1，﹣200%，0，﹣0.01001中，负整数有﹣2，﹣63，﹣200%，共3个． 故选：B． 【点睛】此题考查了有理数，解题的关键是掌握有理数分类方法． 【即学即练3】把下列各数填入相应的括号内： ﹣4，+5，﹣2.6，0，3.14，，3%． 负数集合{ 　﹣4，﹣2.6，，　…}， 正分数集合{ 　3.14，3%　…}， 整数集合{ 　﹣4，+5，0　…}． 【思路点拨】根据有理数的分类，逐一判断即可解答． 【解析】解：负数集合{﹣4，﹣2.6，…}， 正分数集合{3.14，3%…}， 整数集合{﹣4，+5，0…}， 故答案为：﹣4，﹣2.6，； 3.14，3%； ﹣4，+5，0． 【点睛】本题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上1℃记作+1℃，则零下2℃记作（　　） A．2℃ B．1℃ C．﹣1℃ D．﹣2℃ 【思路点拨】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【解析】解：若零上1℃记作+1℃，则零下2℃记作﹣2℃． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 2．如果水位升高3m时水位变化记作+3m，那么水位不升不降时水位变化记作（　　） A．+3m B．﹣3m C．0m D．±3m 【思路点拨】正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【解析】解：水位升高3m时水位变化记作+3m，那么水位不升不降时水位变化记作0m， 故选：C． 【点睛】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键． 3．下列数中，属于负数的是（　　） A．2024 B．﹣2024 C． D．1 【思路点拨】根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数． 【解析】解：A．2024＞0，是正数； B．﹣2024＜0，是负数； C．，是正数； D．1＞0，是正数； 故选：B． 【点睛】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数． 4．下列各数中，负整数是（　　） A．3 B．0 C．﹣2 D．﹣2.5 【思路点拨】根据负整数的定义进行判断即可． 【解析】解：3是正整数，0既不是正数也不是负数，﹣2.5是分数； ﹣2是负整数； 故选：C． 【点睛】本题考查有理数，熟练掌握相关定义是解题的关键． 5．在下列数1，6.7，﹣14，0，﹣中，属于整数的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【思路点拨】根据有理数的分类，即可解答． 【解析】解：在下列数1，6.7，﹣14，0，﹣中， 属于整数的有1，﹣14，0，共有3个， 故选：B． 【点睛】本题考查有理数，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． 6．下列不是具有相反意义的量是（　　） A．前进5米和后退5米 B．收入30元和支出10元 C．向东走10米和向北走10米 D．超过5克和不足2克 【思路点拨】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解析】解：A、前进5米和后退5米是具有相反意义的量，故本选项错误； B、收入30元和支出10元是具有相反意义的量，故本选项错误； C、向东走10米和向北走10米不是具有相反意义的量，故本选项正确； D、超过5克和不足2克是具有相反意义的量，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 7．0是（　　） A．正有理数 B．负有理数 C．有理数 D．分数 【思路点拨】根据有理数分类判断即可． 【解析】解：0是整数，是有理数． 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数．熟练掌握有理数的分类是解题的关键． 8．已知下列各数：﹣8，2.57，6，，﹣0.25，，0，其中负有理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】根据有理数的分类及定义即可求得答案． 【解析】解：﹣8，﹣，﹣0.25是负有理数，共3个， 故选：C． 【点睛】本题考查有理数的分类及定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 9．如果温度上升3℃，记作+3℃，那么温度下降2℃记作 　﹣2　℃． 【思路点拨】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【解析】解：“正”和“负”相对， 如果温度上升3℃，记作+3℃， 温度下降2℃记作﹣2℃， 故答案为：﹣2． 【点睛】本题考查了正数与负数的知识，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 10．如果某超市盈利9%记作“+9%”，那么“亏损8%”应记作 　﹣8%　． 【思路点拨】根据正负数的意义即可求得答案． 【解析】解：如果某超市盈利9%记作“+9%”，那么“亏损8%”应记作﹣8%． 故答案为：﹣8%． 【点睛】本题主要考查正负数的实际应用，掌握正负数的意义是解题的关键． 11．把下列各数填在相应的表示集合的大括号里． ﹣3，2.5，1，﹣0.58，0，，，﹣1.01001000⋯； 整数集合{⋯} 分数集合{⋯} 正有理数集合{⋯} 负有理数集合{⋯} 【思路点拨】根据整数、分数、正有理数以及负有理数的定义进行判断． 【解析】解：整数集合{﹣3，1，0⋯}； 分数集合{2.5，﹣0.58，，⋯}； 正有理数集合{2.5，1，，⋯}； 负有理数集合{﹣3，﹣0.58⋯}． 故答案为：﹣3，1，0；2.5，﹣0.58，，；2.5，1，，；﹣3，﹣0.58． 【点睛】本题考查了有理数，利用有理数的分类是解题关键． 12．把下列各数的序号填在相应的数集内： ①1 ②﹣ ③+3.2 ④0 ⑤ ⑥﹣6.5 ⑦+108 ⑧﹣4 ⑨﹣6 （1）正整数集合{ …} （2）正分数集合{ …} （3）负分数集合{ …} （4）负数集合 { …}． 【思路点拨】（1）根据大于0的整数是正整数，可得正整数集合； （2）根据大于0的分数是正分数，可得正分数集合； （3）根据小于0的分数是负分数，可得负分数集合； （4）根据小于0的数是负数，可得负数集和． 【解析】解：（1）正整数集合{①，⑦，…}； （2）正分数集合{③，⑤，…}； （3）负分数集合{②，⑥，…} （4）负数集合{②，⑥，⑧，⑨…}． 【点睛】本题考查了有理数，注意负整数和负分数统称负数． 题组B 能力提升练 13．小戴同学的微信钱包账单如图所示，+5.20表示收入5.20元，下列说法正确的是（　　） A．﹣1.00表示收入1.00元 B．﹣1.00表示支出1.00元 C．﹣1.00表示支出﹣1.00元 D．收支总和为6.20元 【思路点拨】根据+5.20表示收入5.20元，可以得出“收入”用正数表示，从而“支出”就用负数表示，得出答案． 【解析】解：根据+5.20表示收入5.20元，“收入”用正数表示，那么“支出”就用负数表示， 于是﹣1.00表示支出1.00元， 故选：B． 【点睛】考查正数、负数的意义，一个量用正数表示，那么与它具有相反意义的量就用负数表示． 14．下列结论中正确的是（　　） A．0既是正数，又是负数 B．0是最小的正数 C．0是最大的负数 D．0既不是正数，也不是负数 【思路点拨】根据实数分为正数，负数和零，即可得出答案． 【解析】解：根据0既不是正数，也不是负数， 可以判断A、B、C都错误，D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了正数和负数的知识，属于基础题，注意基础概念的熟练掌握． 15．下列各数﹣1，2，﹣3，0，π中，负数的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】根据负数的定义进行解答即可． 【解析】解：﹣1，﹣3是负数，共有2个，故B正确． 故答案为：B． 【点睛】本题考查了负数的定义，掌握负数的定义是关键． 16．下列小数能转化成分数的个数是（　　） 0.212222，0.31，0.，0.1010010001…（两个1之间依次多一个0） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【思路点拨】根据有理数的定义判断即可．有理数的概念：整数和分数统称为有理数． 【解析】解：在实数0.212222，0.31，0.，0.1010010001…（两个1之间依次多一个0）中，能转化成分数的数有0.212222，0.31，0.，共3个． 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数，掌握有理数的分类是解答本题的关键． 17．某种零件，标明要求是φ25±0.2mm（φ表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直径是24.9mm，该零件　合格　（填“合格”或“不合格”）． 【思路点拨】由φ25±0.2 mm，知零件直径最大是25+0.2＝25.2，最小是25﹣0.2＝24.8，合格范围在24.8mm和25.2mm之间． 【解析】解：根据零件标明要求是φ25±0.2mm，得： 合格范围在24.8mm和25.2mm之间， 24.9mm在合格范围之间． 故答案为：合格． 【点睛】本题主要考查了正数和负数在实际生活中的应用．理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．本题中求出零件要求的范围是解题的关键． 18．我们把分子为1的分数叫做单位分数，如，，…，任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如＝+，＝+，＝+，…，请你根据对上述式子的观察，把表示为两个单位分数之和应为　＝+　． 【思路点拨】根据题意得出所求两个单位分数之和即可． 【解析】解：根据题意得：＝+， 故答案为：＝+ 【点睛】此题考查了有理数，弄清题意是解本题的关键． 19．把下列各数填在相应的大括号内： 4，0.5，﹣1，10%，﹣5，﹣3.14，0，，+2018 整数集合{ 　4，﹣5，0，+2018　…}； 正分数集合{ 　0.5，10%，　…}； 负有理数{ 　，﹣5，﹣3.14　…}； 非负整数集合{ 　4，0，+2018　…}． 【思路点拨】根据整数、正分数、负有理数，非负整数的定义即可解决问题． 【解析】解：整数集合{4，﹣5，0，+2018}； 正分数集合{0.5，10%，}； 负有理数{，﹣5，﹣3.14}； 非负整数集合{4，0，+2018}． 故答案为：4，﹣5，0，+2018；0.5，10%，；，﹣5，﹣3.14；4，0，+2018． 【点睛】此题主要考查了有理数的有关定义，熟练掌握正整数、分数、负有理数，整数的定义是解题关键． 题组C 培优拔尖练 20．下列说法正确的是（　　） A．有理数是指整数、分数、零、正有理数、负有理数这五类 B．一个有理数不是正数就是负数 C．一个有理数不是整数就是分数 D．以上说法都正确 【思路点拨】根据有理数的定义，有理数可分为整数和分数，也可分为正有理数，0，负有理数． 【解析】解：根据有理数的定义，有理数可分为整数和分数，或分为正有理数，0，负有理数， 故A错误， B中0是有理数，但不是正数也不是负数，故错误， C有理数可分为整数和分数，故C正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的定义，有理数可分为整数和分数，也可分为正有理数，0，负有理数，难度适中． 21．一辆公交车上原有13人，经过3个站点时乘客上、下车情况如下（上车人数记为正，下车人数记为负，单位：人）；﹣3，+4；﹣5，+7；+5，﹣11．此时公交车上有 　10　人． 【思路点拨】求出13与所有上车下车人数的和，得到此时公交车上的人数． 【解析】解：13﹣3+4﹣5+7+5﹣11 ＝10（人） 即此时公交车上有10人． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了正、负数在生活中的应用．车上人数＝原有人数+上车人数﹣下车人数． 22．某检修小组乘检修车沿检修公路检修线路，约定前进为正，后退为负，某天自A地出发到收工时所走的路程为（单位千米）：+10，﹣3，+4，+2，﹣8，+13，﹣2，+12，+8，+5．若检修车每千米耗油0.2升，则从A地出发到收工时共耗油　13.4　升． 【思路点拨】要求耗油量，需求他共走了多少路程，这与方向无关． 【解析】解：|+10|+|﹣3|+|+4|+|+2|+|﹣8|+|+13|+|﹣2|+|+12|+|+8|+|+5|＝67， 67×0.2＝13.4（升）． 答：从A地出发到收工时共耗油13.4升， 故答案为：13.4． 【点睛】此题考查了有理数的加减混合运算，以及正数与负数，弄清题意是解本题的关键．正负数是表示相反意义的量，如果规定一个量为正，则与它相反的量一定为负． 23．如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：A→B（+1，+4），从B到A记为：B→A（﹣1，﹣4），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中： （1）A→C（ 　3　，　4　）；B→C （ 　2　，　0　）； （2）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的最少路程； （3）若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），请在图中标出P的位置． 【思路点拨】根据规定及实例可知A→C记为（3，4）B→D记为（3，﹣2）C→D记为（1，﹣2）；A→B→C→D记为（1，4），（2，0），（1，﹣2）；P点位置如图所示． 【解析】解：（1）∵规定：向上向右走为正，向下向左走为负∴A→C记为（3，3）B→C记为（1，3）； 故答案为：（3，4），（2，0）； （2）据已知条件可知：A→B表示为：（1，4），B→C记为（2，0）C→D记为（1，﹣2），该甲虫走过的路线长为1+3+2+1+2＝9． （3）若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为（+2，+2），（+1，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），P点位置如图所示． 【点睛】本题主要考查了利用坐标确定点的位置的方法． 24．阅读材料：把几个数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2}，{1，4，7}，……，我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素，注意集合中的元素不能重复． 如果一个所有元素均为有理数的集合满足：当有理数x是集合的一个元素时，10﹣x也必是这个集合的元素，这样的集合我们又称为黄金集合．例如{0，10}就是一个黄金集合． 回答问题： （1）集合{1} 　不是　黄金集合，集合{﹣1，10} 　不是　黄金集合；（两空均填“是”或“不是”） （2）请你再写出一个含有两个元素的黄金集合，一个含有四个元素的黄金集合（不能与上述集合重复）； （3）写出所有黄金集合中，元素个数最少的集合． 【思路点拨】本题应根据黄金集合的定义，准确理解后才能解决问题． 【解析】解：（1）根据黄金集合的定义，10﹣1＝9，而集合{1}中没有9，故集合{1}不是黄金集合，对于集合{﹣1，10}，因为10﹣10＝0，而集合{﹣1，10}中没有0，故集合{﹣1，10}不是黄金集合， （2）因为10﹣1＝9，10﹣9＝1，集合{1，9}是黄金集合，因为10﹣2＝8，10﹣4＝6，10﹣6＝4，10﹣8＝2，故{2，4，6，8}是黄金集合． （3）因为10﹣5＝5，故{5}是元素个数最少的集合． 【点睛】本题要求学生必须认真阅读题目，并能准确理解黄金集合的定义才能做出正确的判断． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$