精品解析：江苏省常州市金坛第一中学2024届高三第三次模拟数学试题

金坛一中2024春高三年级第三次模拟考试 数学试卷 试卷满分：150分 考试时长：120分钟 命题人：陈彩平 审核人：景庆 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式化简集合A，求出函数的定义域化简集合B，再利用并集的定义求解即得. 【详解】解不等式，得，即， 函数有意义，得，解得，则， 所以. 故选：C 2. 若复数满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘、除法运算可得，则，结合复数的几何意义即可求解. 【详解】由，得， 所以，故. 故选：C 3. 已知双曲线，则“”是“双曲线的离心率为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】分类讨论双曲线焦点所在位置，结合离心率可得的取值范围为，再根据包含关系分析充分、必要条件. 【详解】若双曲线的离心率为，则有： 当双曲线的焦点在x轴上，则，解得， 可得，解得； 当双曲线的焦点在y轴上，则，解得， 可得，解得； 综上所述：的取值范围为. 显然是的真子集， 所以“”是“双曲线的离心率为” 充分不必要条件. 故选：A. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得，再利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以. 故选：A 5. 已知数列为等差数列，为等比数列，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列和等差数列的性质结合基本不等式求解即可. 【详解】由为等差数列，为等比数列，， 可得. 由，当且仅当时取等， 可得，故A正确，C错误. 当时，； 当且仅当时取等， 当时，， 当且仅当时取等，故B，D都错误. 故选：A. 6. 已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆柱及球的特征计算即可. 【详解】由题意可知该球为圆柱的外接球，所以球心为圆柱的中心，设球半径为， 则，故该球的表面积为. 故选：C 7. 已知点是直线上的动点，由点向圆引切线，切点分别为且，若满足以上条件的点有且只有一个，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，结合圆的切线性质可推得点在以点为圆心，为半径的圆上，再由题意可知该圆与直线相切，利用点到直线的距离公式，即可求得答案. 【详解】连接，则. 又，所以四边形为正方形，， 于是点在以点为圆心，为半径的圆上. 又由满足条件的点有且只有一个，则圆与直线相切， 所以点到直线的距离，解得. 故选：D. 8. 在中，，为内一点，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在中，设，，即可表示出，，在中利用正弦定理得到，再由两角差的正弦公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，即可得解. 【详解】在中，设，令， 则，， 在中，可得，， 由正弦定理， 得， 所以， 可得，即． 故选：B． 【点睛】关键点点睛：本题解答关键是找到角之间的关系，从而通过设元、转化到中利用正弦定理得到关系式. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 随机变量X，Y分别服从正态分布和二项分布，即，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，根据正态分布对称性得到A正确；BC选项，根据正态分布和二项分布求期望和方差公式求出答案；D选项，利用二项分布求概率公式进行求解. 【详解】A选项，根据正态分布的定义得，故A正确； B选项，，，故，故B正确； C选项，，，故，故C正确； D选项，，故D错误. 故选：ABC． 10. 在中，已知，则以下四个结论正确的是（ ） A. 最大值 B. 最小值1 C. 的取值范围是 D. 为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据可判断是以为直角的直角三角三角形，进而根据三角函数的性质以及恒等变换和诱导公式即可逐一求解. 【详解】由得， 因为，所以，故， 对于A;，当,所以，最大值为，故A正确， 对于B;， 因为,故，故取不到1，故B错误， 对于C;，由选项A可知，故C正确， 对于D;,故D正确， 故选：ACD 11. 如图，有一个正四面体ABCD，其棱长为1．下列关于说法中正确的是（ ） A. 过棱AC的截面中，截面面积的最小值为 B. 若为棱BD(不含端点)上的动点，则存在点P使得 C. 若M，N分别为直线AC，BD上的动点，则M，N两点的距离最小值为 D. 与该正四面体各个顶点的距离都相等的截面有10个 【答案】AC 【解析】 【分析】选项A三角形的底边一定，高最小时面积最小确定；选项B用余弦定理可得；选项C，易得M，N分别为线段AC，BD的中点时，M，N的距离最小，即可判断；选项D分类讨论可得. 【详解】对于，设截面与棱BD的交点为， 如图， 过棱AC的截面为，则为棱BD的中点时，的面积取得最小值， 在等腰中，，可求得，故正确； 对于B，因为，所以， 所以，设，则， 在中，， 所以，故B错误； 对于C，取线段AC，BD的中点分别为M，N，因为， 所以在等腰中，MN为底边上的中线， 则，同理可证， 故MN为线段AC，BD的公垂线， 所以M，N分别为线段AC，BD的中点时，M，N的距离最小， 此时，所以， 即M，N两点的距离最小值为，故C正确； 对于D，与正四面体各个顶点的距离都相等的截面分为以下两类： （1）平行于正四面体的一个面，且到顶点和到底面距离相等，这样的截面有4个； （2）平行于正四面体的两条对棱，且到两条对棱距离相等，这样的截面有3个， 故与正四面体各个顶点的距离都相等的截面共有7个，故D错误． 故选：AC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 集合，，若，则实数m的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】结合B是否为空集进行分类讨论可求的范围． 【详解】由，且， 当时，，则，即， 当时，若，则，解得， 综上，实数的取值范围为． 故答案为：． 13. 已知甲，乙两位同学报名参加学校运动会，要从100米，200米，跳高，跳远四个项目中各选两项，则甲，乙两位同学所选项目恰有1项相同的概率为___________. 【答案】 【解析】 【分析】分别求出两位同学从4个不同的项目中各选2项、两位同学所选的项目恰有1项相同的选法，结合古典概型的概率公式计算即可求解. 【详解】甲乙两位同学从4个不同的项目中各选2项，共有种选法， 甲乙两位同学所选的项目恰有1项相同，共有种选法， 所以甲乙两位同学所选的项目恰有1项相同的概率为. 故答案为：. 14. 已知函数f(x)＝，当x∈(－∞，m]时，f(x)∈，则实数m的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】先分类讨论，求解在不同区间的最值，利用最值取得的条件对参数进行讨论． 【详解】当时，， 令，则或；，则， 函数在上单调递减，在单调递增， 函数在处取得极大值为， 在出的极小值为. 当时，， 综上所述，的取值范围为 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2020年至2024年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图．其中2020年至2024年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5． （1）根据散点图判断，和哪一个适宜作为企业利润Y（单位：亿元）关于年份代码X的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）根据（1）中的判断结果，建立Y关于X的回归方程； （3）根据（2）的结果，估计2025年的企业利润． 参考公式及数据：，． 【答案】（1）适宜 （2） （3）99.25亿元． 【解析】 【分析】（1）利用散点图的变化趋势，即可得出答案； （2）利用最小二乘法求出即可得解； （3）令即可得解. 【小问1详解】 由散点图的变化趋势，知适宜作为企业利润Y（单位：亿元）关于年份代码X的回归方程类型． 【小问2详解】 由题意得：，， ， 所以． 【小问3详解】 令，估计2025年的企业利润为99.25亿元． 16. 在平行六面体中，底面为正方形，，，侧面底面. （1）求证：平面平面； （2）求直线和平面所成角的正弦值. 【答案】（1）因为底面为正方形， 所以，又侧面底面， 侧面底面，且平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理可证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，连接， 则为正三角形，取中点，则， 由平面及平面，得， 又，所以底面， 过点作交于， 如图以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，. 设平面的法向量， 所以 令，则，可得平面的法向量. 所以， 故直线和平面所成角的正弦值为. 17. 已知函数. （1）若的图象在点处的切线与直线垂直，求的值; （2）讨论的单调性与极值. 【答案】（1） （2） 当时，在上为减函数，无极值; 当时，在上单调递减，在上单调递增. 的极小值为，无极大值. 【解析】 【分析】（1）求导，根据直线垂直可得，即可求解， （2）求导，对进行讨论，判断导函数的正负，即可得函数的单调性和极值. 【小问1详解】 由题得，的定义域为. . 的图象在点处的切线与直线l:垂直， ， 解得. 【小问2详解】 由（1）知. ①当时，恒成立. 在上为减函数，此时无极值; ②当时，由，得，由，得， 在上单调递减，在上单调递增， 故的极小值为，无极大值. 综上可得，当时，在上为减函数，无极值; 当时，在上单调递减，在上单调递增. 的极小值为，无极大值. 18. 已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知． （1）求椭圆的方程和离心率； （2）点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程． 【答案】（1）椭圆的方程为，离心率为. （2）. 【解析】 【分析】（1）由解得，从而求出，代入椭圆方程即可求方程，再代入离心率公式即求离心率. （2）先设直线的方程，与椭圆方程联立，消去，再由韦达定理可得，从而得到点和点坐标.由得，即可得到关于的方程，解出，代入直线的方程即可得到答案. 【小问1详解】 如图， 由题意得，解得，所以， 所以椭圆的方程为，离心率为. 【小问2详解】 由题意得，直线斜率存在，由椭圆的方程为可得， 设直线的方程为， 联立方程组，消去整理得：， 由韦达定理得，所以， 所以，. 所以,,， 所以， 所以，即， 解得，所以直线的方程为. 19. 在数值计算中，帕德近似是一种常用的逼近方法．给定两个正整数，若函数的阶导数存在，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，其中为函数的阶导数．对于给定的正整数，函数的阶帕德近似是唯一的，函数的帕德近似记为．例如，． （1）证明：当时，； （2）当时，比较与的大小； （3）数列满足，记，求证：． 【答案】（1） 令，则， 故时，为增函数， ，故当时，， 令，则， 故时，为增函数， ，故当时，， 综上可知，当时，． （2） （3） 令，则， 引理：若，则， 事实上，令，则，故， 又时，，且， 所以，即， 由引理可知，这样一直下去，有， 令， 由当时，， 则 ， 故， 由及知， 所以由（2）可知，当时，， 故， ，累加可知，，且时也满足， 故， 故， 综上可知，． 【解析】 【分析】（1）分别构造，，根据导数判断函数单调性进而证明； （2）令，根据导数结合（1）得出在单调递减，得出，即可比较大小； （3）令，根据引理，不等式放缩及（1）的结论得出，再根据（2）的结论，累加法及不等式放缩，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 令， 则，设， 则， 故在上为减函数， 所以当时，，故在上为减函数， 时，， 所以， 故当时，． 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值(最值)，从而得出不等关系； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3、适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4、构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金坛一中2024春高三年级第三次模拟考试 数学试卷 试卷满分：150分 考试时长：120分钟 命题人：陈彩平 审核人：景庆 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（     ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 3. 已知双曲线，则“”是“双曲线的离心率为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列为等差数列，为等比数列，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点是直线上的动点，由点向圆引切线，切点分别为且，若满足以上条件的点有且只有一个，则（ ） A. B. C. 2 D. 8. 在中，，为内一点，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 随机变量X，Y分别服从正态分布和二项分布，即，，则（ ） A. B. C. D. 10. 在中，已知，则以下四个结论正确的是（ ） A. 最大值 B. 最小值1 C. 的取值范围是 D. 为定值 11. 如图，有一个正四面体ABCD，其棱长为1．下列关于说法中正确的是（ ） A. 过棱AC的截面中，截面面积的最小值为 B. 若为棱BD(不含端点)上的动点，则存在点P使得 C. 若M，N分别为直线AC，BD上的动点，则M，N两点的距离最小值为 D. 与该正四面体各个顶点的距离都相等的截面有10个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 集合，，若，则实数m的取值范围为__________． 13. 已知甲，乙两位同学报名参加学校运动会，要从100米，200米，跳高，跳远四个项目中各选两项，则甲，乙两位同学所选项目恰有1项相同的概率为___________. 14. 已知函数f(x)＝，当x∈(－∞，m]时，f(x)∈，则实数m的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2020年至2024年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图．其中2020年至2024年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5． （1）根据散点图判断，和哪一个适宜作为企业利润Y（单位：亿元）关于年份代码X的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）根据（1）中的判断结果，建立Y关于X的回归方程； （3）根据（2）的结果，估计2025年的企业利润． 参考公式及数据：，． 16. 在平行六面体中，底面为正方形，，，侧面底面. （1）求证：平面平面； （2）求直线和平面所成角的正弦值. 17. 已知函数. （1）若的图象在点处的切线与直线垂直，求的值; （2）讨论的单调性与极值. 18. 已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知． （1）求椭圆的方程和离心率； （2）点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程． 19. 在数值计算中，帕德近似是一种常用的逼近方法．给定两个正整数，若函数的阶导数存在，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，其中为函数的阶导数．对于给定的正整数，函数的阶帕德近似是唯一的，函数的帕德近似记为．例如，． （1）证明：当时，； （2）当时，比较与的大小； （3）数列满足，记，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $