精品解析：重庆市渝西中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题

重庆市黔江中学校高2025届高二下4月月考 数学学科试卷 考试时间：120分钟 总分：150分 命题人：徐小玲 审题人：张进 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的展开式中的系数是（ ） A. 40 B. 80 C. 10 D. 60 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定二项式，利用二项式定理直接计算作答. 【详解】的展开式中是， 所以的展开式中的系数是40. 故选：A 2. 用这五个数组成无重复数字的五位数，则不同的偶数共有（ ） A. 120个 B. 72个 C. 60个 D. 48个 【答案】D 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理可得答案. 【详解】由题可知，不同的偶数共有个. 故选：D. 3. 若函数在点处的切线与平行，则（ ） A. 2 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据切点与斜率以及导数求得，进而求得. 【详解】直线的斜率为， ， 解得，所以. 故选：D 4. 数列的前n项和为，且，，则数列的前n项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用的关系求出，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】数列的前n项和， 当时，，而满足上式， 因此，， 所以. 故选：D 5. 已知在处的极大值为5，则（    ） A. B. 6 C. 或6 D. 或2 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用极大值及极大值点求出并验证即得. 【详解】函数，求导得， 依题意，，即，解得或， 当时，， 当或时，，当时，，因此在处取得极小值，不符题意； 当时，， 当时，，当或时，，因此在处取得极大值，符合题意， 所以，所以. 故选：B 6. 拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数在上连续，且在上可导，则必有，使得.已知函数，那么实数的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到，构造，，求导得到其单调性，进而求出最大值，得到答案. 【详解】由题意得，，不妨设， 则存在，使得， 又，故， 其中， 故， 由于， 令，， 则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值，， 故实数的最大值为. 故选：C 7. 在一个抽奖游戏中共有5扇关闭的门，其中2扇门后面有奖品，其余门后没有奖品，主持人知道奖品在哪些门后.参赛者先选择一扇门，但不立即打开.主持人打开剩下的门当中一扇无奖品的门，然后让参赛者决定是否换另一扇仍然关闭的门.参赛者选择不换门和换门获奖的概率分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据概率、全概率公式进行分析、计算，从而确定正确答案. 【详解】不换门：则与一开始随机选择一扇门的中奖概率一样，为； 假设换门： 若一开始选择的门有奖，则换门后的中奖概率为； 若一开始选择的门无奖，则换门后的中奖概率为． 所以换门的中奖概率为． 故选：C 8. 若不等式对恒成立，则整数的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】参变分离后，通过二次求导，结合隐零点得到最小值，即可求解. 【详解】因为，所以， 所以问题转化为对任意恒成立. 令，则, 令，则对恒成立， 所以在上单调递增. 因为， 故，使得. 因此当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增. 故， 所以整数的最大值为2 . 故选：B. 【点睛】方法点睛： 不等式恒成立问题常见方法： ①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； ②数形结合( 图象在 上方即可)； ③分类讨论参数. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于的展开式，下列结论正确的是（ ） A. 二项式系数和为64 B. 所有项的系数之和为2 C. 第三项的二项式系数最大 D. 系数最大值为240 【答案】AD 【解析】 【分析】利用二项式系数和公式可判定A，利用赋值法可判定B，利用二项式定理的性质可判定C，利用二项式展开式通项可判定D. 【详解】由二项式系数和公式知的二项式系数和为，故A正确； 令，则的展开式所有项的系数之和为，故B错误； 易知的展开式共7项，所以二项式系数最大项为第四项，故C错误； 设的展开式通项为， ， 计，显然取偶数时各项系数为正数， ， 可知系数最大值为240，故D正确. 故选：AD 10. 有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（ ）． A. 若5位同学排队要求甲、乙必须相邻且丙、丁不能相邻，则不同的排法有12种； B. 若5位同学排队最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种； C. 若甲、乙、丙3位同学按从左到右的顺序排队，则不同的排法有20种； D. 若5位同学被分配到3个社区参加志愿活动，每个社区至少1位同学，则不同的分配方案有150种； 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用捆绑法与插空法可判定A，利用分类计数原理计算可判定B、D，利用定序法可判定C. 【详解】对于A，甲乙相邻可看作一人，与戊一起排列形成3个空，插入丙、丁两人即可， 方法数为，故A错误； 对于B，若甲排最左端，则有种排法， 若乙排最左端，则最右端有人可选，中间三人有种排法，计种排法， 合计同的排法共有42种，故B正确； 对于C，五个位置，先排丁、戊两人，有， 余下三个位置甲、乙、丙三人按从左到右就1种排法，故C正确； 对于D，五人分三组，有3、1、1或2、2、1两个分派方法， 若分为3、1、1三组，则有种方法， 若分为2、2、1三组，则有种方法，合计150种方法，故D正确. 故选：BCD 11. 已知，则下列关系式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】构造函数，利用导数研究其单调性一一判定选项即可. 【详解】令，所以， 显然时，，即此时单调递减， 当时，，即此时单调递增， 则，且时，可作出函数大致图象如下： 因为，则，此时，由于不确定的关系， 由的单调性与图象可知的大小不确定，则A、B都有可能正确； 显然，所以， ，则C错误，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分（13题第一问2分，第二问3分），共15分． 12. 若随机变量，且，则的值是________． 【答案】## 【解析】 【分析】首先由二项分布的数学期望求出，再根据二项分布概率公式即可计算概率． 【详解】因为随机变量，且， 所以，解得， 所以， 故答案为：． 13. 已知某品牌电子元件的使用寿命（单位：天）服从正态分布. （1）一个该品牌电子元件的使用寿命超过天的概率为_______________________； （2）由三个该品牌的电子元件组成的一条电路（如图所示）在天后仍能正常工作（要求能正常工作，， 中至少有一个能正常工作，且每个电子元件能否正常工作相互独立）的概率为__________________． （参考公式：若，则） 【答案】 ①. ##. ②. ##. 【解析】 【分析】由题设可知，利用正态分布的对称性求电子元件的使用寿命超过天的概率，应用独立事件的乘法公式、互斥事件的加法公式求电路在天后仍能正常工作的概率. 【详解】由题设知：， ∴. 由题意，要使电路能正常工作的概率. 故答案为：，. 14. 已知函数，若对任意两个不相等的正实数，都有，则实数的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【分析】设，令，将问题转化为在上单调递增，即在上恒成立，采用分离变量的方式可得，结合二次函数性质可确定，由此可得结果. 【详解】不妨设， 由得：， 令，则在上单调递增， 在上恒成立，， 当，即时，取得最大值，，解得：， 实数的取值范围为. 故答案为：. 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前n项和为，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）设求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的概念计算公差，再求通项即可； （2）利用等差数列、等比数列的求和公式，分组求和计算即可. 【小问1详解】 由题意可知，所以， 设的公差为d，则， 所以； 【小问2详解】 由题意知，， 易知， 故 . 16. 有一名高二学生盼望2025年进入某名牌大学学习，假设该名牌大学有以下条件之一均可录取：①2025年2月通过考试进入国家数学奥赛集训队（集训队从2024年10月市数学竞赛一等奖中选拔）；②2025年3月自主招生考试通过并且达到2025年6月高考重点分数线；③2025年6月高考达到该校录取分数线（该校录取分数线高于重点线）；该学生具备参加市数学竞赛、自主招生和高考的资格且估计自己通过各种考试的概率如下表： 市数学竞赛一等奖 自主招生通过 高考达重点线 高考达该校分数线 0.5 0.6 0.9 0.7 若该学生数学竞赛获市一等奖，则该学生估计进入国家集训队的概率是.若进入国家集训队，则提前录取，若未被录取，则再按②、③顺序依次录取：前面已经被录取后，不得参加后面的考试或录取.（注：自主招生考试通过且高考达重点线才能录取） （1）求该学生参加自主招生考试的概率； （2）求该学生被该校录取的概率. 【答案】（1）0.9 （2）0.838 【解析】 【分析】（1）分别计算该同学未获得市级一等奖的概率与获得市级一等奖且未进入国家集训队的概率，求和即可； （2）分别计算该同学参加市数学竞赛获一等奖并参加国家集训队的概率，自主招生通过并且高考达到重点分数线录取的概率及自主招生未通过但高考达到该校录取分数线录取的概率求和即可. 【小问1详解】 设该学生参加市数学竞赛获一等奖、参加国家集训队的事件分别为， 学生参加自主招生考试包括两种情况： ①未获得市级一等奖，概率． ②获得市级一等奖且未进入国家集训队，概率 则该学生参加自主招生考试的概率 【小问2详解】 设该学生自主招生通过并且高考达到重点分数线录取，自主招生未通过但高考达到该校录取分数线录取的事件分别为． ， ， ， 所以该学生被该校录取的概率为． 17. 已知椭圆，经过点，且离心率. （1）求椭圆C的方程； （2）若直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l交直线于点N，直线m与x轴交于点M，记，的面积分别为，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助离心率公式，构造方程组，解出即可； （2）画出草图，因为直线，所以直线过焦点，与椭圆联立，借助韦达定理，求出，后将用k表示，变形，借助基本不等式可解. 【小问1详解】 由题意，， 所以，故所求椭圆方程为 【小问2详解】 因为直线，所以直线过焦点， 联立，消元得， 设，则， 由可得． ， 由题意，， 当且仅当，即时等号成立，则的最大值为. 18. 在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量．该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]，得到如下频率分布直方图．规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩． （1）将上述质量检测的频率视为概率，现从该工厂此类口罩生产线上生产出的大量口罩中，采用随机抽样方法每次抽取1个口罩，抽取8次，记被抽取的8个口罩中一级口罩个数为ξ．若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的均值及抽取概率最大时的一级口罩个数； （2）现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为η，求η的分布列及方差； （3）在2023年“五一”劳动节前，甲、乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加，两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由个该型号口罩构成．假定甲、乙两人在，两店订单“秒杀”成功的概率分别为，记甲、乙两人抢购成功的口罩总数量为，求当的数学期望取最大值时正整数的值． 【答案】（1）2；2 （2）分布列见解析， （3）． 【解析】 【分析】（1）由题知，抽到一级口罩的频率为，且，根据二项分布的性质即可求解； （2）根据题意的可能取值为0，1，2，计算对应的概率，写出分布列和方差即可； （3）设甲乙抢购成功的订单总数量为，由题知，可能的取值为0，1，2，，计算对应的概率，求出，结合，求出，最后利用导数，求出最大值，求解即可. 【小问1详解】 由题知，抽到一级口罩的频率为，则，故； ，令， 当时，， 当时，． 所以抽取概率最大时的一级口罩个数为2 【小问2详解】 按分层抽样抽取8个口罩，则其中一级、二级口罩个数分别为，， 故的可能取值为0，1，2，且 的分布列为 0 1 2 ． 【小问3详解】 设甲乙抢购成功的订单总数量为，由题知，可能的取值为0，1，2， ， ， ， 所以 因为，所以， 令，设，则， 因为， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 故当，即时，取最大值， 所以，所以取最大值时，正整数. 19. 已知函数，其中a∈R． （1）令，讨论的单调性； （2）若函数在上单调递增，求a的取值范围； （3）若函数存在两个极值点，当时，求的取值范围． 【答案】（1） 当时，函数的递增区间为； 当时，函数的递减区间为，递增区间为. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）求出函数及导数，再利用导数分类讨论求出单调区间即可. （2）由在上恒成立，得在上恒成立，再求函数的最小值即可得答案. （3）先求得，利用换元法表示出，通过构造函数法，利用导数，结合来求得的取值范围. 【小问1详解】 函数，求导得， 当时，恒成立，则函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数的递增区间为； 当时，函数的递减区间为，递增区间为. 【小问2详解】 函数，求导得， 由函数在上单调递增，得在上恒成立， 即在上恒成立，令， 求导得，则在上单调递增，， 所以，即的取值范围是. 【小问3详解】 由（2）知，， 令函数，设图象上一点为， 函数图象在点处的切线方程为， 将代入上式得，解得， 则过点的的切线方程为， 因此要使的图象与直线有两个交点，则， 此时函数有两个极值点，且， 则，即，整理得， 令，，则，即， 解得，因此， 令， 令，函数在上递增， 于是，即，函数在上递增， 而，因此当时，， 所以的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于先根据题意，求函数过点的切线斜率，进而得，再结合极值点的定义得，进而换元，求出，再构造函数，研究函数的单调性得并结合得答案. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市黔江中学校高2025届高二下4月月考 数学学科试卷 考试时间：120分钟 总分：150分 命题人：徐小玲 审题人：张进 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的展开式中的系数是（ ） A. 40 B. 80 C. 10 D. 60 2. 用这五个数组成无重复数字的五位数，则不同的偶数共有（ ） A. 120个 B. 72个 C. 60个 D. 48个 3. 若函数在点处的切线与平行，则（ ） A. 2 B. 0 C. D. 4. 数列的前n项和为，且，，则数列的前n项和为（ ） A. B. C. D. 5. 已知在处的极大值为5，则（    ） A. B. 6 C. 或6 D. 或2 6. 拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数在上连续，且在上可导，则必有，使得.已知函数，那么实数的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 0 7. 在一个抽奖游戏中共有5扇关闭的门，其中2扇门后面有奖品，其余门后没有奖品，主持人知道奖品在哪些门后.参赛者先选择一扇门，但不立即打开.主持人打开剩下的门当中一扇无奖品的门，然后让参赛者决定是否换另一扇仍然关闭的门.参赛者选择不换门和换门获奖的概率分别为（ ） A. B. C. D. 8. 若不等式对恒成立，则整数的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于的展开式，下列结论正确的是（ ） A. 二项式系数和为64 B. 所有项的系数之和为2 C. 第三项的二项式系数最大 D. 系数最大值为240 10. 有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（ ）． A. 若5位同学排队要求甲、乙必须相邻且丙、丁不能相邻，则不同的排法有12种； B. 若5位同学排队最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种； C. 若甲、乙、丙3位同学按从左到右的顺序排队，则不同的排法有20种； D. 若5位同学被分配到3个社区参加志愿活动，每个社区至少1位同学，则不同的分配方案有150种； 11. 已知，则下列关系式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分（13题第一问2分，第二问3分），共15分． 12. 若随机变量，且，则的值是________． 13. 已知某品牌电子元件的使用寿命（单位：天）服从正态分布. （1）一个该品牌电子元件的使用寿命超过天的概率为_______________________； （2）由三个该品牌的电子元件组成的一条电路（如图所示）在天后仍能正常工作（要求能正常工作，， 中至少有一个能正常工作，且每个电子元件能否正常工作相互独立）的概率为__________________． （参考公式：若，则） 14. 已知函数，若对任意两个不相等的正实数，都有，则实数的取值范围是___________ 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前n项和为，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）设求数列的前n项和． 16. 有一名高二学生盼望2025年进入某名牌大学学习，假设该名牌大学有以下条件之一均可录取：①2025年2月通过考试进入国家数学奥赛集训队（集训队从2024年10月市数学竞赛一等奖中选拔）；②2025年3月自主招生考试通过并且达到2025年6月高考重点分数线；③2025年6月高考达到该校录取分数线（该校录取分数线高于重点线）；该学生具备参加市数学竞赛、自主招生和高考的资格且估计自己通过各种考试的概率如下表： 市数学竞赛一等奖 自主招生通过 高考达重点线 高考达该校分数线 0.5 0.6 0.9 0.7 若该学生数学竞赛获市一等奖，则该学生估计进入国家集训队的概率是.若进入国家集训队，则提前录取，若未被录取，则再按②、③顺序依次录取：前面已经被录取后，不得参加后面的考试或录取.（注：自主招生考试通过且高考达重点线才能录取） （1）求该学生参加自主招生考试的概率； （2）求该学生被该校录取的概率. 17. 已知椭圆，经过点，且离心率. （1）求椭圆C的方程； （2）若直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l交直线于点N，直线m与x轴交于点M，记，的面积分别为，求的最大值． 18. 在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量．该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]，得到如下频率分布直方图．规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩． （1）将上述质量检测的频率视为概率，现从该工厂此类口罩生产线上生产出的大量口罩中，采用随机抽样方法每次抽取1个口罩，抽取8次，记被抽取的8个口罩中一级口罩个数为ξ．若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的均值及抽取概率最大时的一级口罩个数； （2）现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为η，求η的分布列及方差； （3）在2023年“五一”劳动节前，甲、乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加，两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由个该型号口罩构成．假定甲、乙两人在，两店订单“秒杀”成功的概率分别为，记甲、乙两人抢购成功的口罩总数量为，求当的数学期望取最大值时正整数的值． 19. 已知函数，其中a∈R． （1）令，讨论的单调性； （2）若函数在上单调递增，求a的取值范围； （3）若函数存在两个极值点，当时，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $