第21章 一元二次方程 章节整合练习（13个知识点+40题练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

第21章 一元二次方程 章节整合练习（13个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 知识点2．一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 知识点3．一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 知识点4．解一元二次方程-直接开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 知识点5．解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 知识点6．解一元二次方程-公式法 （1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 知识点7．解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 知识点8．换元法解一元二次方程 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 知识点9．根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 知识点10．根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 知识点11．由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 知识点12．一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 知识点13．配方法的应用 1、用配方法解一元二次方程． 配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2 配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值． 关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方． 3、配方法的综合应用． 章节题型整合练习 一．一元二次方程的定义 1．（2024春•惠城区校级期末）下列方程中，属于一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 2．（2024•成都模拟）已知，是一元二次方程的两根，且满足，则的值为 　　． 3．（2023秋•龙岗区校级月考）已知关于的方程． （1）当为何值时，该方程是一元二次方程？ （2）当为何值时，该方程是一元一次方程？ 二．一元二次方程的一般形式 4．（2024•汉川市模拟）已知一元二次方程，将其化成二次项系数为正数的一般形式后，它的常数项是 　　． 5．（2024•绿园区校级开学）将一元二次方程化为一般形式为　　 A． B． C． D． 6．（2023秋•惠来县期中）根据多项式乘法可知从而我们可得十字相乘法进行因式分解的公式，比如：，据此回答下列问题： （1）将二次三项式分解因式； （2）解一元二次方程； （3）某数学兴趣小组发现二次项系数不是1的一元二次方程也可以借助此方法解．如：，方程分解为，从而可以快速求出方程的解．请你利用此方法尝试解方程． 三．一元二次方程的解 7．（2024春•鞍山期末）自由落体的公式是为重力加速度，，若物体下降高度为，则下落时间是 　　． 8．（2023秋•新化县期末）若一元二次方程的一个根为，则的值为　　 A．2 B． C．4 D． 9．（2024•市北区一模）（1）化简：； （2）已知关于的方程的一个根是，求它的另一个根． 四．解一元二次方程-直接开平方法 10．（2023秋•蓬江区期末）方程的解是　　 A． B． C． D．没有实数根 11．（2024春•凤凰县期末）方程的解是　　． 12．（2024•柳州一模）解方程：． 五．解一元二次方程-配方法 13．（2024•兰陵县三模）若一元二次方程经过配方，变形为的形式，则的值为 　　． 14．（2023秋•峨山县期末）用配方法解方程，配方后所得的方程是　　 A． B． C． D． 15．（2024•景德镇二模）王明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程的过程如下： 解：移项，得．第一步 二次项系数化为1，得．第二步 配方，得．第三步 因此．第四步 由此得或．第五步 解得，．第六步 （1）王明的解题过程从第 　　步开始出现了错误； （2）请利用配方法正确地解方程． 六．解一元二次方程-公式法 16．（2024•阜阳模拟）定义新运算，如，则方程的解是　　 A．， B．， C．， D．， 17．（2024春•宁波期中）若，则的值为　　． 18．（2024•二道区校级开学）解方程： （1）； （2）． 七．解一元二次方程-因式分解法 19．（2024•鄞州区模拟）方程的解是　　 A．， B．， C．， D．， 20．（2024•亚东县一模）一元二次方程的根是　　． 21．（2024•河源一模）解方程：． 八．换元法解一元二次方程 22．（2024•旺苍县一模）已知，则　　． 23．（2023秋•梁园区校级期中）已知为实数，且满足，则的值是　　 A．6 B．30 C．36 D．12 24．（2023秋•市中区期中）阅读下面的材料，回答问题：方程一个一元四次方程，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为①，解①得，． 当时，，，； 当时，，． 原方程的解为，，，． （1）在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到 　　的目的（填“降次”或“消元” ，体现了数学的转化思想； （2）仿照上面的方法，解方程． 九．根的判别式 25．（2024•伊通县一模）请填写一个常数，使得关于的方程　　有两个不相等的实数根． 26．（2024•珠晖区一模）一元二次方程的根的情况是　　 A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 27．（2024•凉州区校级一模）若关于的方程没有实数根，求的取值范围． 一十．根与系数的关系 28．（2024•东港区校级一模）已知关于的一元二次方程，若该方程的两个实数根分别为，，且，则的值为 　　． 29．（2024•沈丘县一模）已知，是一元二次方程的两个根，则的值是　　 A．1 B． C． D． 30．（2023秋•武威期末）已知关于的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数的取值范围； （2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值． 一十一．由实际问题抽象出一元二次方程 31．（2023秋•番禺区期末）某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为，可列方程为　　 A． B． C． D． 32．（2024•重庆模拟）某县开展老旧小区改造，2020年投入此项工程的专项资金为1000万元，2021、2022年投入资金一共为3440万元．设该县这两年投入老旧小区改造工程专项资金的年平均增长率为，根据题意，可列方程为 　　． 33．（2023秋•江门校级月考）此题只需解设、列出方程： 某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，商场决定采取适当的降价措施，增加盈利，并尽快减少库存．经市场调查发现： （1）如果每件童装降价1元，平均每天就可多售出2件，要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？ （2）如果每件童装降价3元，平均每天就可多售出9件，要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？ 34．（2022秋•瑞金市校级月考）（1）如图，利用一面墙（墙的长度不限），用长的篱笆，怎样围成一个面积为的矩形场地？能围成一个面积为的矩形场地吗？ （2）如图，要设计一个长为，宽为的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为，若使所有彩条所占面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？（只列方程不计算） 一十二．一元二次方程的应用 35．（2024•楚雄市三模）某中学教师党小组开展民主生活会，为了更好地改进工作，要求小组每位组员给同组的其他教师各提一条建议，该党小组一共收到72条建议，则这组的党员人数为　　 A．7 B．8 C．9 D．10 36．（2024•鹿城区校级开学）某商品经过连续两次涨价，销售单价由原来的100元涨到144元，则平均每次涨价的百分率为 　　． 37．（2023秋•焦作期末）如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动，动点从点出发，沿方向运动，如果点，同时出发，，的运动速度均为． （1）那么运动几秒时，它们相距？ （2）的面积能等于60平方厘米吗？为什么？ 一十三．配方法的应用 38．（2024春•东平县期末）不论，取何实数，代数式总是　　 A．非负数 B．正数 C．负数 D．非正数 39．（2024•巴中模拟）若、均为实数，则代数式的最小值是 　　． 40．（2024•平山县一模）（1）发现比较与的大小，填“”“ ”或“”： ①当时， 　　； ②当时， 　　； ③当时， 　　； （2）论证无论取什么值，判断与有怎样的大小关系？试说明理由； （3）拓展：试通过计算比较与的大小． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第21章 一元二次方程 章节整合练习（13个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 知识点2．一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 知识点3．一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 知识点4．解一元二次方程-直接开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 知识点5．解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 知识点6．解一元二次方程-公式法 （1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 知识点7．解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 知识点8．换元法解一元二次方程 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 知识点9．根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 知识点10．根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 知识点11．由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 知识点12．一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 知识点13．配方法的应用 1、用配方法解一元二次方程． 配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2 配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值． 关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方． 3、配方法的综合应用． 章节题型整合练习 一．一元二次方程的定义 1．（2024春•惠城区校级期末）下列方程中，属于一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 【分析】首先判断是否是整式方程，如果是整式方程，化简后只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，这样的方程就是一元二次方程． 【解答】解：、含有2个未知数，故错误； 、当时不是一元二次方程，故错误； 、为分式方程，故错误； 、只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，是一元二次方程，正确； 故选：． 【点评】用到的知识点为：一元二次方程只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，为整式方程；并且二次项系数不为0． 2．（2024•成都模拟）已知，是一元二次方程的两根，且满足，则的值为 　　． 【分析】根据一元二次方程解的意义及其根与系数的关系列得关于的方程，解方程即可． 【解答】解：，是一元二次方程的两根， ，，， ， ， ， 整理得：， 即 解得：， 故答案为：． 【点评】本题考查一元二次方程解的意义及其根与系数的关系，结合已知条件列得关于的方程是解题的关键． 3．（2023秋•龙岗区校级月考）已知关于的方程． （1）当为何值时，该方程是一元二次方程？ （2）当为何值时，该方程是一元一次方程？ 【分析】（1）根据一元二次方程的定义求解即可； （2）根据一元一次方程的定义求解即可． 【解答】解：（1）根据题意，， 解得：， 当时，该方程是一元二次方程； （2）根据题意，且， 解得：， 故当时，该方程是一元一次方程． 【点评】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的定义，根据定义二次项系数、一次项系数不等于0是解题的关键． 二．一元二次方程的一般形式 4．（2024•汉川市模拟）已知一元二次方程，将其化成二次项系数为正数的一般形式后，它的常数项是 　　． 【分析】先把化方程为一般式，从而得到常数项． 【解答】解：， 去括号，得， 合并，得， 所以常数项是． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般式：一般地，任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项；叫做常数项．一次项系数和常数项可取任意实数． 5．（2024•绿园区校级开学）将一元二次方程化为一般形式为　　 A． B． C． D． 【分析】首先移项，把等号右边化为0即可． 【解答】解：， ， ， ， 故选：． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项；叫做常数项． 6．（2023秋•惠来县期中）根据多项式乘法可知从而我们可得十字相乘法进行因式分解的公式，比如：，据此回答下列问题： （1）将二次三项式分解因式； （2）解一元二次方程； （3）某数学兴趣小组发现二次项系数不是1的一元二次方程也可以借助此方法解．如：，方程分解为，从而可以快速求出方程的解．请你利用此方法尝试解方程． 【分析】（1）利用十字相乘法进行分解； （2）把方程左边分解因式，则原方程可转化为或，然后解两个一次方程即可； （3）把方程左边分解因式，则原方程可转化为或，然后解两个一次方程即可． 【解答】解： ； （2）． 利用十字相乘法，得 ． 或． ，． （3）． 利用十字相乘法，得 ． 或． ，． 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 三．一元二次方程的解 7．（2024春•鞍山期末）自由落体的公式是为重力加速度，，若物体下降高度为，则下落时间是 　4　． 【分析】把物体下落的高度、代入，利用算术平方根计算即可． 【解答】解：将、代入，得：， 整理可得：， 则或（舍， 即下落的时间是， 故答案为：4． 【点评】此题考查一元二次方程的解，算术平方根，关键是根据实际问题分析． 8．（2023秋•新化县期末）若一元二次方程的一个根为，则的值为　　 A．2 B． C．4 D． 【分析】转化成解的一元一次方程求解． 【解答】解：把代入方程可得， 解得， 故选：． 【点评】本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义． 9．（2024•市北区一模）（1）化简：； （2）已知关于的方程的一个根是，求它的另一个根． 【分析】（1）先通分化为同分母的分式，再相加，最后约分； （2）先求出，再代入解一元二次方程即可． 【解答】解：原式 ； （2）的一个根是， ， 解得：， ， 解得或； 它的另一个根是． 【点评】本题考查分式的加减和解一元二次方程，解题的关键是掌握分式的基本性质和解一元二次方程的一般方法． 四．解一元二次方程-直接开平方法 10．（2023秋•蓬江区期末）方程的解是　　 A． B． C． D．没有实数根 【分析】根据直接开方法即可求出答案． 【解答】解：， ， 故选：． 【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 11．（2024春•凤凰县期末）方程的解是　，　． 【分析】先把二次项系数化为1，再运用直接开平方法求解． 【解答】解：， 系数化为1，得， 解得，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：；，同号且；；，同号且．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”． 12．（2024•柳州一模）解方程：． 【分析】先变形得到，然后利用直接开平方法求解． 【解答】解：， 所以，． 【点评】本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 五．解一元二次方程-配方法 13．（2024•兰陵县三模）若一元二次方程经过配方，变形为的形式，则的值为 　48　． 【分析】利用完全平方公式进行计算可得：，从而可得，进而可得，，然后求出的值，从而代入式子中进行计算即可解答． 【解答】解：， ， ， ， ，， 解得：， ， 故答案为：48． 【点评】本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法是解题的关键． 14．（2023秋•峨山县期末）用配方法解方程，配方后所得的方程是　　 A． B． C． D． 【分析】先移项，再两边都加上一次项系数一半的平方，继而写成完全平方式即可． 【解答】解：， ， 则，即， 故选：． 【点评】本题主要考查解一元二次方程—配方法，解题的关键是掌握配方法解一元二次方程的步骤． 15．（2024•景德镇二模）王明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程的过程如下： 解：移项，得．第一步 二次项系数化为1，得．第二步 配方，得．第三步 因此．第四步 由此得或．第五步 解得，．第六步 （1）王明的解题过程从第 　二　步开始出现了错误； （2）请利用配方法正确地解方程． 【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． （1）由配方法解一元二次方程即可判断错误的步骤； （2）由配方法解一元二次方程即可得到答案． 【解答】解：（1）解题过程从第二步开始出现了错误，错误原因是系数化为1时，等式右边的未除以2， 故答案为：二； （2）． 移项，得：， 二次项系数化为1，得：， 配方，得：， 因此， 由此得：或， 解得：． 【点评】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 六．解一元二次方程-公式法 16．（2024•阜阳模拟）定义新运算，如，则方程的解是　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】根据题意，将原方程化为，再将方程化为一般式，最后用因式分解法求解即可． 【解答】解：根据题意可得：，， ， ， 整理得：， 解得：，， 故选：． 【点评】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤． 17．（2024春•宁波期中）若，则的值为　　． 【分析】根据换元法以及一元二次方程的解法即可求出答案． 【解答】解：， ， 令， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练应用一元二次方程的解法，本题属于中等题型． 18．（2024•二道区校级开学）解方程： （1）； （2）． 【分析】（1）利用直接开平方法对所给方程进行求解即可． （2）利用公式法对所给方程进行求解即可． 【解答】解：（1）， ， 所以，． （2）， 则△， 所以， 所以． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程公式法及解一元二次方程直接开平方法，熟知公式法及直接开平方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 七．解一元二次方程-因式分解法 19．（2024•鄞州区模拟）方程的解是　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】先移项得到，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可． 【解答】解：， ， 或， 所以，． 故选：． 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 20．（2024•亚东县一模）一元二次方程的根是　，　． 【分析】本题应先对方程进行移项，然后提取公因式，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题． 【解答】解：， ， 或， ，． 故答案为，． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法． 21．（2024•河源一模）解方程：． 【分析】首先把一元二次方程转化成两个一元一次方程的乘积，即，然后解一元一次方程即可． 【解答】解：， ， 或． 【点评】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，解答本题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的步骤，此题难度不大． 八．换元法解一元二次方程 22．（2024•旺苍县一模）已知，则　3或　． 【分析】设，则原方程转化为，利用因式分解法解方程即可． 【解答】解：设，则原方程转化为， 整理，得． 解得，． 所以或． 故答案为：3或． 【点评】本题主要考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 23．（2023秋•梁园区校级期中）已知为实数，且满足，则的值是　　 A．6 B．30 C．36 D．12 【分析】将看成一个整体，不妨设为，则原式可变形为，因式分解法解方程，由为非负值，即可确定答案． 【解答】解：令， 由， 得，， 或， 又， ， 即． ， 故选． 【点评】此题考查换元法解一元二次方程，将所求式子看作一个整体是解题的关键． 24．（2023秋•市中区期中）阅读下面的材料，回答问题：方程一个一元四次方程，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为①，解①得，． 当时，，，； 当时，，． 原方程的解为，，，． （1）在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到 　降次　的目的（填“降次”或“消元” ，体现了数学的转化思想； （2）仿照上面的方法，解方程． 【分析】（1）化4次为2次，体现降次法目的； （2）根据题中的方法求解． 【解答】解：（1）在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到降次的目的， 故答案为：降次； （2）设，则原方程可化为①， 解①得，． 当时，，方程无实数解； 当时，，解得：，． 原方程的解为：，． 【点评】本题考查了换元法解一元二次方程，理解换元思想是解题的关键． 九．根的判别式 25．（2024•伊通县一模）请填写一个常数，使得关于的方程　1（答案不唯一）　有两个不相等的实数根． 【分析】根据方程的系数结合根的判别式△，即可得出关于的不等式，求解即可得出答案． 【解答】解：，，设常数为， △， ． 故答案为：1（答案不唯一）． 【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 26．（2024•珠晖区一模）一元二次方程的根的情况是　　 A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【分析】先计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况． 【解答】解：△， 方程有两个不相等的实数根． 故选：． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 27．（2024•凉州区校级一模）若关于的方程没有实数根，求的取值范围． 【分析】根据根的判别式得出关于的不等式，求出不等式的解集即可 【解答】解：当时，方程为，，不符合题意； 当时，根据题意，得△， 解得， 的取值范围为：． 【点评】本题考查了根的判别式和一元一次方程的定义，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键． 一十．根与系数的关系 28．（2024•东港区校级一模）已知关于的一元二次方程，若该方程的两个实数根分别为，，且，则的值为 　3　． 【分析】先利用根与系数的关系得到，，再根据，求出，的值即可得到答案． 【解答】解：由根与系数的关系得到，， ， ，， ， ， 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 29．（2024•沈丘县一模）已知，是一元二次方程的两个根，则的值是　　 A．1 B． C． D． 【分析】利用根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算即可． 【解答】解：根据题意得，， 则． 故选：． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 30．（2023秋•武威期末）已知关于的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数的取值范围； （2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值． 【分析】（1）根据根的判别式得出，求出不等式的解集即可； （2）将转化为，再代入计算即可解答． 【解答】解：（1）关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：， 即的取值范围是； （2），， ， ， ，即， 解得或． ， ． 故的值为2． 【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合、，找出关于的一元二次方程． 一十一．由实际问题抽象出一元二次方程 31．（2023秋•番禺区期末）某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为，可列方程为　　 A． B． C． D． 【分析】易得第一次降价后的价格为：，那么第二次降价后的价格为：，那么相应的等量关系为：原价降低的百分率）第二次降价后的价格，把相关数值代入即可． 【解答】解：某种商品原价是120元，平均每次降价的百分率为， 第一次降价后的价格为：， 第二次降价后的价格为：， 可列方程为：， 故选：． 【点评】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．得到第二次降价后价格的等量关系是解决本题的关键． 32．（2024•重庆模拟）某县开展老旧小区改造，2020年投入此项工程的专项资金为1000万元，2021、2022年投入资金一共为3440万元．设该县这两年投入老旧小区改造工程专项资金的年平均增长率为，根据题意，可列方程为 　　． 【分析】根据2020年投入此项工程的专项资金及该县这两年投入老旧小区改造工程专项资金的年平均增长率，可得出2021、2022年投入此项工程的专项资金，结合2021、2022年投入资金一共为3440万元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：年投入此项工程的专项资金为1000万元，且该县这两年投入老旧小区改造工程专项资金的年平均增长率为， 年投入此项工程的专项资金为万元，2022年投入此项工程的专项资金为万元． 根据题意得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 33．（2023秋•江门校级月考）此题只需解设、列出方程： 某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，商场决定采取适当的降价措施，增加盈利，并尽快减少库存．经市场调查发现： （1）如果每件童装降价1元，平均每天就可多售出2件，要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？ （2）如果每件童装降价3元，平均每天就可多售出9件，要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？ 【分析】（1）设每件童装应降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件，利用总利润每件的销售利润日销售量，即可列出关于的一元二次方程，此题得解； （2）设每件童装应降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件，利用总利润每件的销售利润日销售量，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：（1）设每件童装应降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件， 根据题意得：； （2）设每件童装应降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件， 根据题意得：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 34．（2022秋•瑞金市校级月考）（1）如图，利用一面墙（墙的长度不限），用长的篱笆，怎样围成一个面积为的矩形场地？能围成一个面积为的矩形场地吗？ （2）如图，要设计一个长为，宽为的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为，若使所有彩条所占面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？（只列方程不计算） 【分析】（1）设垂直于墙的一边长为，那么另一边长为，可根据长方形的面积公式即可列方程进行求解． （2）设每个横彩条的宽度为，则每个竖彩条的宽度为，根据所有彩条所占面积是原来矩形图案面积的三分之一，即可得出关于的一元二次方程，解之取其合适的值即可得出结论． 【解答】（1）解：设垂直于墙的一边长为，那么另一边长为， 由题意得， 解得：， ． 围成一面靠墙，其它三边分别为，，的矩形． 答：不能围成面积的矩形场地． 理由：若能围成，则可列方程，此方程无实数解．所以不能围成一个面积为的矩形场地． （2）解：设每个横彩条的宽度为，则每个竖彩条的宽度为， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意， ，． 答：每个横彩条的宽度为，每个竖彩条的宽度为． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，表示出长方形场地的面积是解题关键． 一十二．一元二次方程的应用 35．（2024•楚雄市三模）某中学教师党小组开展民主生活会，为了更好地改进工作，要求小组每位组员给同组的其他教师各提一条建议，该党小组一共收到72条建议，则这组的党员人数为　　 A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】设该小组共有人，则每人需提条建议，根据该党小组一共收到72条建议，即可得出关于的一元二次方程，再解方程即可． 【解答】解：设该小组共有人，则每人需提条建议， 根据题意得：， （不符合题意），． 答：该小组共有9人． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系列出方程是解答本题的关键． 36．（2024•鹿城区校级开学）某商品经过连续两次涨价，销售单价由原来的100元涨到144元，则平均每次涨价的百分率为 　　． 【分析】设平均每次涨价的百分率为，利用增长率问题可得，然后解方程求出，再进行检验确定答案． 【解答】解：设平均每次涨价的百分率为， 根据题意得，， 解得，，（舍去）， 答：平均每次涨价的百分率约为． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，关键掌握增长率问题，增长率增长数量原数量．如：若原数是，每次增长的百分率为，则第一次增长后为；第二次增长后为，即原数增长百分率）后来数． 37．（2023秋•焦作期末）如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动，动点从点出发，沿方向运动，如果点，同时出发，，的运动速度均为． （1）那么运动几秒时，它们相距？ （2）的面积能等于60平方厘米吗？为什么？ 【分析】（1）设运动秒时，，两点相距15厘米，利用勾股定理结合，可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论； （2）设运动秒时，的面积等于60平方厘米，利用三角形的面积公式可得出关于的一元二次方程，由根的判别式△可得出原方程无解，即的面积不能等于60平方厘米． 【解答】解：（1）设运动秒时，，两点相距15厘米， 依题意，得：， 解得：，， 运动9秒或12秒时，，两点相距15厘米； （2）的面积不能等于60平方厘米，理由如下： 设运动秒时，的面积等于60平方厘米， 依题意，得：， 整理，得：， △， 原方程无解，即的面积不能等于60平方厘米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 一十三．配方法的应用 38．（2024春•东平县期末）不论，取何实数，代数式总是　　 A．非负数 B．正数 C．负数 D．非正数 【分析】利用配方法把原式化为平方和的形式，根据偶次方的非负性解答． 【解答】解： ， ，， ，即不论，取何实数，代数式总是正数， 故选：． 【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键． 39．（2024•巴中模拟）若、均为实数，则代数式的最小值是 　1　． 【分析】将与解为平方式形式即可求得最小值． 【解答】解： 当，时，方程有最小值1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了配方法的应用，解开原式即可得出正确答案． 40．（2024•平山县一模）（1）发现比较与的大小，填“”“ ”或“”： ①当时， 　　； ②当时， 　　； ③当时， 　　； （2）论证无论取什么值，判断与有怎样的大小关系？试说明理由； （3）拓展：试通过计算比较与的大小． 【分析】（1）当时，当时，当时，分别代入计算，再进行比较得出结论填空即可； （2）根据，即可得出无论取什么值，判断与有； （3）拓展：先求出，再判断的正负，即可做出判断． 【解答】解：（1）①当时，，，则， ②当时，，，则， ③当时，，，则． 故答案为：；；； （2）无论取什么值，判断与有， 理由如下： ， 无论取什么值，总有； （3）拓展： ， 故． 【点评】此题考查了配方法的应用，不等式的性质，用到的知识点是不等式的性质、完全平方公式、非负数的性质，关键是根据两个式子的差比较出数的大小． 学科网（北京）股份有限公司 $$