第01章 勾股定理 章节整合练习（6个知识点+40题练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第01章 勾股定理 章节整合练习（6个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 知识点2．勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 知识点3．勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 知识点4．勾股数 勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数． 说明： ①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． ②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… 知识点5．勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 知识点6．平面展开-最短路径问题 （1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题． （2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型． 章节题型整合练习 一．勾股定理 1．（2023秋•慈溪市期末）如图，在中，，的角平分线与的垂直平分线交于点，连结．若，． （1）当，时，求的度数； （2）当时，，，求的长． 2．（2023秋•莲都区期末）如图，点为线段上一点，以为边向上作，且．以为底边向上作等腰三角形，且连结． （1）求的度数； （2）当时，求的值． 3．（2024•滨江区校级三模）如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知，且，则的长为　　 A．6 B．7 C．8 D． 4．（2021秋•滨江区校级期中）如图，在中，，，，点在边上，，，垂足为，与交于点，则的长是 　　． 5．（2023秋•婺城区期末）图1是由5个全等的直角三角形与一个小正方形组成，延长交、分别于点、，延长交于点（如图． （1）若的面积为5，小正方形的面积为9，则　　； （2）如图2，若，则　　（用含的代数式表示）． 6．（2023秋•义乌市期末）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为，，，若已知，，，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形的面积为　　 A．7 B．10 C．13 D．15 7．（2023秋•路桥区期末）如图，已知四边形的边长分别为3，4，2，2，当为等腰三角形时，对角线的长为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 二．勾股定理的证明 8．（2023秋•武义县期末）我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图，后人称其为“赵爽弦图”．由图1变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则的值为 　　． 9．（2020秋•江北区校级期末）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． （1）如图①弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为．较短的直角边为，斜边长为，可以验证勾股定理； （2）如图②，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，则　　． 10．（2023•枣阳市二模）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为　　 A．9 B．6 C．4 D．3 11．（2022秋•长兴县期中）如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是169，小正方形的面积是49，那么每个直角三角形的周长为 　　． 12．（2021•武汉模拟）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“最美弦图”（如图，图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是　　． 13．（2022秋•金东区校级月考）（1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，所以，即．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则．图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． （2）试用勾股定理解决以下问题： 如果直角三角形的两直角边长为3和4，则斜边上的高为　　． （3）试构造一个图形，使它的面积能够解释，画在上面的网格中，并标出字母，所表示的线段． 14．（2023秋•乐清市校级期中）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．如图1，以直角三角形的三边为边向外作正方形，西方著名数学家毕达哥拉斯就曾用此图形验证了勾股定理，现把较小的两个正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内，两个较小正方形纸片的重叠部分记为四边形．若，则图中阴影部分的面积为　　 A． B．3 C． D．6 三．勾股定理的逆定理 15．（2024春•白碱滩区期末）如图，在中，，，，是的边上的高，为垂足，且，． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）求的长． 16．（2024春•大观区校级期末）如图，已知，，，．则　　度． 17．（2024春•濮阳期末）如图，正方形是由9个边长为1的小正方形组成的，点，均在格点（每个小正方形的顶点都是格点）上，连接，，则的度数是 　　． 18．（2024春•民勤县期末）如图，在中，、分别是高和角平分线． （1）若，，求的度数； （2）若，，，求证：是直角． 19．（2024春•阳新县期末）如图，，，，四点都在正方形网格的格点上，则　　． 20．（2024春•漳平市期末）如图在四边形中，，，，且，求的度数． 21．（2024春•慈利县期末）在中，，，，的对边分别为，，，下列条件不能判断为直角三角形的是　　 A． B． C． D．，， 四．勾股数（共7小题） 22．（2023春•虞城县期末）若6，，8是一组勾股数，则的值为 　　． 23．（2023秋•信宜市期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，请你写出一组“勾股数”　　． 24．（2024春•新市区校级月考）下列各组数，是勾股数的是　　 A．4，5，6 B．0.5，1.2，1.3 C．1，2，3 D．5，12，13 25．（2024春•大观区校级期末）有下列各组数：①6，8，10；②，，；③，，1；④12，16，20；⑤0.5，1.2，1.3．其中勾股数有　　 A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 26．（2023秋•双流区校级月考）满足的三个正整数，称为勾股数．若正整数，满足，这样的三个整数，，（如，4，5或5，12，我们称它们为一组“完美勾股数”，当时，共有 　　组这样的“完美勾股数”． 27．（2024春•阳谷县期中）【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数． 【应用举例】 观察3，4，5；5，12，13；7，24，25； 可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过， 当勾为3时，股，弦； 当勾为5时，股，弦； 当勾为7时，股，弦． 请仿照上面三组样例，用发现的规律填空： （1）如果勾用，且为奇数）表示时，请用含有的式子表示股和弦，则股　　，弦　　． 【问题解决】 （2）古希腊的哲学家柏拉图也提出了构造勾股数组的公式．具体表述如下：如果，，为大于1的整数），则、、为勾股数．请你证明柏拉图公式的正确性； （3）毕达哥拉斯在他找到的勾股数的表达式中发现弦与股的差为1，若用为任意正整数）表示勾股数中最大的一个数，请你找出另外两个数的表达式分别是多少？ 28．（2022秋•房县期末）古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果表示大于1的整数，，，，那么，，为勾股数．你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？ 五．勾股定理的应用 29．（2024春•田阳区期末）如图，从电线杆离地面6米处向地面拉一条10米长的钢缆，地面钢缆固定点到电线杆底部的距离是　　米． A．6 B．7 C．8 D．9 30．（2024春•阜平县期末）如图，小区有一块三角形空地，为响应中山市创建全国文明典范城市的号召，小区计划将这块空地种上三种不同的花卉，中间用小路、隔开，．经测量，米，米，米，米． （1）求的长； （2）求小路的长． 31．（2023秋•青龙县期末）如图，将一根长12厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为　　厘米． 32．（2024春•平城区期末）如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，离地面的高度为2.5米，一名学生站在处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离为1.2米，头顶离感应器的距离为1.5米，则这名学生身高为 　　米． 33．（2024春•娄底期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节，娄底市某中学八年级学生学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的学生的身高为1.6米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果该学生想风筝沿方向下降12米到点，则他应该往回收线多少米？ 34．（2024•宣城模拟）如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，离地面的高度为2.5米，一名学生站在处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离为1.2米，头顶离感应器的距离为1.5米，则这名学生身高为　　米． A．0.9 B．1.3 C．1.5 D．1.6 六．平面展开-最短路径问题 35．（2023秋•新安县期末）如图，一个三棱柱盒子底面三边长分别为，，，盒子高为，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒子的表面爬行一周到盒顶的点，蚂蚁要爬行的最短路程是 　　． 36．（2023秋•高新区校级期末）如图，在一个长2米，宽1米的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和草地宽平行且棱长大于，木块从正面看是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程是 　　米． 37．（2023秋•城关区校级期中）如图，有一个圆柱高为，底面半径为，圆柱下底面的点有一只蚂蚁，它想吃到上底边与点相对处的食物，需要爬行的最短路程是多少取？ 38．（2024•历下区校级开学）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点在棱上，且，点是的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点爬行到点，它需要爬行的最短路程为　　 A．10 B． C． D．9 39．（2023•管城区校级开学）如图，长方体的长，宽，高，点在上．且． （1）求线段的长； （2）一只蚂蚁如果耍沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是多少？ 40．（2024春•任泽区期末）如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口的点处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管内表面距离右侧管口的点处觅食，已知钢管横截面的周长为，长为，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是　　 A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01章 勾股定理 章节整合练习（6个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 知识点2．勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 知识点3．勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 知识点4．勾股数 勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数． 说明： ①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． ②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… 知识点5．勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 知识点6．平面展开-最短路径问题 （1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题． （2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型． 章节题型整合练习 一．勾股定理 1．（2023秋•慈溪市期末）如图，在中，，的角平分线与的垂直平分线交于点，连结．若，． （1）当，时，求的度数； （2）当时，，，求的长． 【分析】（1）根据角平分线定义及线段的垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，再根据三角形内角和定理列式计算即可； （2）同（1）的方法，求出，根据勾股定理求解即可． 【解答】解：（1）是的平分线， ， 在是线段的垂直平分线上， ， ， ， ， ， ，， ； （2）是的平分线， ， 在是线段的垂直平分线上， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ． 【点评】此题考查了勾股定理、线段垂直平分线的性质等知识，熟记线段垂直平分线的性质、勾股定理是解题的关键． 2．（2023秋•莲都区期末）如图，点为线段上一点，以为边向上作，且．以为底边向上作等腰三角形，且连结． （1）求的度数； （2）当时，求的值． 【分析】（1）根据，得出，根据，，得出即可； （2）过点作，证明，得出，根据，，得出，根据勾股定理得出，求出，根据勾股定理求出． 【解答】解：（1）， ， ，， ， ； （2）过点作，如图所示：则， ， ， ， ， 由（1）可知，， ， ， ，， ， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，（负值舍去）， ， ， ． 【点评】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理，含30度角直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质和判断，作出辅助线，数形结合． 3．（2024•滨江区校级三模）如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知，且，则的长为　　 A．6 B．7 C．8 D． 【分析】根据勾股定理得到，根据扇形面积公式、完全平方公式计算即可． 【解答】解：由勾股定理得，， ， ， ， ． ， 故选：． 【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么． 4．（2021秋•滨江区校级期中）如图，在中，，，，点在边上，，，垂足为，与交于点，则的长是 　　． 【分析】连接，利用等腰三角形的性质可知是的垂直平分线，利用勾股定理求出的长，再利用等积法求出的长，再利用勾股定理求即可． 【解答】解：连接， ，， 是的垂直平分线， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，运用等积法求出的长是解题的关键． 5．（2023秋•婺城区期末）图1是由5个全等的直角三角形与一个小正方形组成，延长交、分别于点、，延长交于点（如图． （1）若的面积为5，小正方形的面积为9，则　　； （2）如图2，若，则　　（用含的代数式表示）． 【分析】（1）根据勾股定理求出和的等式，即可得到； （2）求出，，之间的关系式，从而求得面积比． 【解答】解：（1）设，， 若的面积为5，小正方形的面积为9， ，， ， ， ， 故答案为：； （2），， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理，解题的关键是求出和的关系式． 6．（2023秋•义乌市期末）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为，，，若已知，，，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形的面积为　　 A．7 B．10 C．13 D．15 【分析】根据勾股定理得到，根据正方形的面积公式结合图形得出阴影部分面积等于两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形的面积． 【解答】解：设直角三角形的斜边长为，较长直角边为，较短直角边为， 由勾股定理得，， ， ， 故选：． 【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．关键是弄清阴影部分与两小正方形重叠部分面积相等． 7．（2023秋•路桥区期末）如图，已知四边形的边长分别为3，4，2，2，当为等腰三角形时，对角线的长为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】首先根据等腰三角形的定义可得或，然后根据三角形三边关系，分情况讨论，即可获得答案． 【解答】解：为等腰三角形， 可有或， 当时，的三边长分别为2，2，3，符合题意； 当时，的三边长分别为2，2，4， ， 不能构成三角形，不符合题意． 综上所述，对角线的长为3． 故选：． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的定义、三角形三边关系等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 二．勾股定理的证明 8．（2023秋•武义县期末）我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图，后人称其为“赵爽弦图”．由图1变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则的值为 　24　． 【分析】根据面积加减关系求解减即可得到答案； 【解答】解：， ， ， 故答案为：24． 【点评】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 9．（2020秋•江北区校级期末）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． （1）如图①弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为．较短的直角边为，斜边长为，可以验证勾股定理； （2）如图②，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，则　　． 【分析】（1）由图可知，小正方形的面积可直用边长乘边长，为，也可用大正方形的面积减去四个全等的直角三角形的面积，为，以此即可证明； （2）设正方形的面积为，八个全等的直角三角形的面积均为，可得，，，则，根据整体思想即可求出． 【解答】（1）证明：， 另一方面， 即， 则； （2）解：设正方形的面积为，八个全等的直角三角形的面积均为， ， ，，， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查勾股定理的证明，利用数形结合的思想来答题是解题关键． 10．（2023•枣阳市二模）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为　　 A．9 B．6 C．4 D．3 【分析】分析题意，首先根据已知条件易得，中间小正方形的边长为：；接下来根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长． 【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：， 每一个直角三角形的面积为：， 从图形中可得，大正方形的面积是4个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式． 11．（2022秋•长兴县期中）如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是169，小正方形的面积是49，那么每个直角三角形的周长为 　30　． 【分析】根据题意，结合图形求出与的值，原式利用完全平方公式化简后代入计算即可求出值． 【解答】解：根据题意得：，，即， 则，， ， ， 每个直角三角形的周长为， 故答案为：30． 【点评】此题考查了勾股定理的证明，利用了数形结合的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 12．（2021•武汉模拟）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“最美弦图”（如图，图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是　　． 【分析】根据图形的特征得出四边形的面积设为，将其余八个全等的三角形面积一个设为，从而用，表示出，，，得出答案即可． 【解答】解：将四边形的面积设为，将其余八个全等的三角形面积一个设为， 正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，， 得出，，， ，故， ， 所以． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了勾股定理的证明，图形面积关系，根据已知得出用，表示出，，，再利用求出是解决问题的关键． 13．（2022秋•金东区校级月考）（1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，所以，即．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则．图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． （2）试用勾股定理解决以下问题： 如果直角三角形的两直角边长为3和4，则斜边上的高为　　． （3）试构造一个图形，使它的面积能够解释，画在上面的网格中，并标出字母，所表示的线段． 【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）由两直角边，利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法即可求出斜边上的高； （3）已知图形面积的表达式，即可根据表达式得出图形的边长的表达式，即可画出图形． 【解答】解：（1）梯形的面积为， 也利用表示为， ， 即； （2）直角三角形的两直角边分别为3，4， 斜边为5， 设斜边上的高为，直角三角形的面积为， ， 故答案为； （3）图形面积为：， 边长为， 由此可画出的图形为： 【点评】此题考查了勾股定理的证明，勾股定理，多项式的乘法的运用以及由多项式画图形的创新题型，此类证明要转化成同一个物体的两种表示方法，从而转化成方程达到证明的结果． 14．（2023秋•乐清市校级期中）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．如图1，以直角三角形的三边为边向外作正方形，西方著名数学家毕达哥拉斯就曾用此图形验证了勾股定理，现把较小的两个正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内，两个较小正方形纸片的重叠部分记为四边形．若，则图中阴影部分的面积为　　 A． B．3 C． D．6 【分析】设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，斜边长为，由图形可得出阴影部分矩形的长和宽，进而得出阴影部分矩形的面积，再结合勾股定理即可推出结果． 【解答】解：设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，斜边长为， 由题意可知，阴影部分矩形的宽为， ， ， ， 阴影部分矩形的长为， 阴影部分矩形的面积为， ， ， ， ， ， ， ， ， 即阴影部分矩形的面积为， 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，正确得出阴影部分面积的表示方法，再结合勾股定理矩形求解是解题的关键． 三．勾股定理的逆定理 15．（2024春•白碱滩区期末）如图，在中，，，，是的边上的高，为垂足，且，． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）求的长． 【分析】（1）先根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理求出是直角三角形； （2）由三角形的面积即可求出的长． 【解答】解：（1）是直角三角形，理由如下： ，，， ， ， 是直角三角形， （2）是直角三角形，，， 的面积， ． 【点评】本题考查了三角形面积、勾股定理的逆定理、勾股定理；熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证出是直角三角形是解决问题的关键． 16．（2024春•大观区校级期末）如图，已知，，，．则　45　度． 【分析】根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理得到，结合图形计算，得到答案． 【解答】解：，， ， 在中，， ，， ， ， ， 故答案为：45． 【点评】本题考查的是勾股定理和勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形． 17．（2024春•濮阳期末）如图，正方形是由9个边长为1的小正方形组成的，点，均在格点（每个小正方形的顶点都是格点）上，连接，，则的度数是 　　． 【分析】先连接，然后根据勾股定理可以求得、、的长，再根据勾股定理的逆定理即可判断的形状，再根据和的关系，即可得到的度数． 【解答】解：连接，如图所示， 设每个小正方形的边长为1， 则，，， ， 是直角三角形，， 又， ， 故答案为：． 【点评】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是求出的形状． 18．（2024春•民勤县期末）如图，在中，、分别是高和角平分线． （1）若，，求的度数； （2）若，，，求证：是直角． 【分析】（1）求出，，可得结论； （2）利用勾股定理的逆定理证明即可． 【解答】（1）解：平分， ， ， ， ． （2）证明：， ， ，， ， ，， ， ． 【点评】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题． 19．（2024春•阳新县期末）如图，，，，四点都在正方形网格的格点上，则　45　． 【分析】根据轴对称图形的性质得到，可得，根据勾股定理和勾股定理的逆定理得到是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质即可求解． 【解答】解：如图，找到点关于的对应点，连结，， 则， 则， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，即． 故答案为：45． 【点评】此题主要考查了轴对称、勾股定理和勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质，得出是解题关键． 20．（2024春•漳平市期末）如图在四边形中，，，，且，求的度数． 【分析】由于，，利用勾股定理可求，并可求，而，，易得，可证是直角三角形，于是有，从而易求． 【解答】解：如图所示，连接， ，， ，， 又，， ，， ， 是直角三角形， ， ． 故的度数为． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理．解题的关键是连接，并证明是直角三角形． 21．（2024春•慈利县期末）在中，，，，的对边分别为，，，下列条件不能判断为直角三角形的是　　 A． B． C． D．，， 【分析】根据角度关系及内角列式求解即可判断，根据勾股定理逆定理即可判断，即可得到答案． 【解答】解：当时， ， ，解得：，故能判断直角三角形，不符合题意， 当时， ， ，解得：，，，故不能判断直角三角形，符合题意， 当， ，故能判断直角三角形，不符合题意， 当，，时， ， ，故能判断直角三角形，不符合题意， 故选：． 【点评】本题考查三角形内角和定理及勾股定理逆定理，掌握勾股定理逆定理是解题的关键． 四．勾股数（共7小题） 22．（2023春•虞城县期末）若6，，8是一组勾股数，则的值为 　10　． 【分析】分两种情况讨论：当最大时，当8最大时，即可求解． 【解答】解：当最大时，， 当8最大时，，不是正整数， 所以的值为10． 故答案为：10． 【点评】本题主要考查了勾股数，熟练掌握可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数是解题的关键． 23．（2023秋•信宜市期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，请你写出一组“勾股数”　3，4，5（答案不唯一）　． 【分析】根据勾股数的定义即可求解． 【解答】解：一组“勾股数”3，4，5（答案不唯一）． 故答案为：3，4，5（答案不唯一）． 【点评】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义：满足 的三个正整数，称为勾股数． 24．（2024春•新市区校级月考）下列各组数，是勾股数的是　　 A．4，5，6 B．0.5，1.2，1.3 C．1，2，3 D．5，12，13 【分析】根据勾股定理的逆定理分别进行分析，从而得到答案． 【解答】解：、，这组数不是勾股数，不符合题意； 、，但不是整数，这组数不是勾股数，不符合题意； 、，这组数不是勾股数，不符合题意； 、，这组数是勾股数，符合题意． 故选：． 【点评】此题主要考查了勾股数的定义，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则是直角三角形． 25．（2024春•大观区校级期末）有下列各组数：①6，8，10；②，，；③，，1；④12，16，20；⑤0.5，1.2，1.3．其中勾股数有　　 A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【分析】根据勾股数的概念即：能够构成直角三角形三边的正整数，满足． 【解答】解：，故①是勾股数； ，故②不是勾股数； 、不是正整数，故③不是勾股数； ，故④是勾股数； 0.5，1.2，1.3不是正整数，故⑤不是勾股数； 所以勾股数有①、④，共2组． 故选：． 【点评】本题考查了勾股数，掌握勾股数是正整数且满足是解题的关键． 26．（2023秋•双流区校级月考）满足的三个正整数，称为勾股数．若正整数，满足，这样的三个整数，，（如，4，5或5，12，我们称它们为一组“完美勾股数”，当时，共有 　7　组这样的“完美勾股数”． 【分析】由于，，大于等于9小于229的非偶数完全平方数有9，25，49，81，121，169，225一共8个，可得共有7组这样的“完美勾股数”． 【解答】解：，， ， 大于3小于231的非偶数完全平方数有9，25，49，81，121，169，225，一共7个， 共有7组这样的“完美勾股数”． 故答案为：7． 【点评】考查了勾股数，关键是熟悉“完美勾股数”的定义，得到“完美勾股数”最小的数是非偶数完全平方数． 27．（2024春•阳谷县期中）【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数． 【应用举例】 观察3，4，5；5，12，13；7，24，25； 可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过， 当勾为3时，股，弦； 当勾为5时，股，弦； 当勾为7时，股，弦． 请仿照上面三组样例，用发现的规律填空： （1）如果勾用，且为奇数）表示时，请用含有的式子表示股和弦，则股　　，弦　　． 【问题解决】 （2）古希腊的哲学家柏拉图也提出了构造勾股数组的公式．具体表述如下：如果，，为大于1的整数），则、、为勾股数．请你证明柏拉图公式的正确性； （3）毕达哥拉斯在他找到的勾股数的表达式中发现弦与股的差为1，若用为任意正整数）表示勾股数中最大的一个数，请你找出另外两个数的表达式分别是多少？ 【分析】（1）如果勾用，且为奇数）表示时，则股，弦； （2）根据勾股数的定义直接进行解答即可得出答案； （3）根据弦与股的差为1和勾股数的定义即可得出答案． 【解答】解：（1）如果勾用，且为奇数）表示时，则股，弦； 故答案为：，； （2），，表示大于1的整数） ， 、、为勾股数； （3）弦与股的差为1，为任意正整数）表示勾股数中最大的一个数， 另外两个数的表达式分别是；． 【点评】此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形． 28．（2022秋•房县期末）古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果表示大于1的整数，，，，那么，，为勾股数．你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？ 【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【解答】解：正确．理由： 表示大于1的整数， ，，都是正整数，且是最大边， ， ， 即、、为勾股数． 当时，可得一组勾股数3，4，5． 【点评】此题考查勾股数，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形． 五．勾股定理的应用 29．（2024春•田阳区期末）如图，从电线杆离地面6米处向地面拉一条10米长的钢缆，地面钢缆固定点到电线杆底部的距离是　　米． A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】从题意可知，电线杆，钢缆和固定点到电线杆底部的线段，构成了直角三角形，钢缆是斜边，根据勾股定理可求出解． 【解答】解：钢缆是电线杆，钢缆，线段构成的直角三角形的斜边， 又钢缆长度为10米，从电线杆到钢缆的上端为6米， （米， 故选：． 【点评】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是正确解三角形． 30．（2024春•阜平县期末）如图，小区有一块三角形空地，为响应中山市创建全国文明典范城市的号召，小区计划将这块空地种上三种不同的花卉，中间用小路、隔开，．经测量，米，米，米，米． （1）求的长； （2）求小路的长． 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理判定为直角三角形，再利用勾股定理解答即可； （2）利用三角形的面积公式列出关于的方程解答即可． 【解答】解：（1）米，米，米， ，， ， ， ． （米． （2）， ， ， （米． 【点评】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 31．（2023秋•青龙县期末）如图，将一根长12厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为　2　厘米． 【分析】首先应根据勾股定理求得圆柱形水杯的最大线段的长度，即，故筷子露在杯子外面的长度至少为多少可求出． 【解答】解：如图所示，筷子，圆柱的高，圆柱的直径正好构成直角三角形， 勾股定理求得圆柱形水杯的最大线段的长度，即， 筷子露在杯子外面的长度至少为， 故答案为2． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的取值范围是解决问题的关键． 32．（2024春•平城区期末）如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，离地面的高度为2.5米，一名学生站在处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离为1.2米，头顶离感应器的距离为1.5米，则这名学生身高为 　1.6　米． 【分析】过点作于，则，米，由勾股定理得出（米，则（米，即可得出答案． 【解答】解：过点作于，如图所示： 则，米米， 在中，米米， 由勾股定理得：（米， （米， 米， 故答案为：1.6． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 33．（2024春•娄底期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节，娄底市某中学八年级学生学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的学生的身高为1.6米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果该学生想风筝沿方向下降12米到点，则他应该往回收线多少米？ 【分析】（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：（1）在中， 由勾股定理得，， 所以，（负值舍去）， 所以，（米， 答：风筝的高度为21.6米； （2）由题意得，， ， （米， （米， 他应该往回收线8米． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． 34．（2024•宣城模拟）如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，离地面的高度为2.5米，一名学生站在处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离为1.2米，头顶离感应器的距离为1.5米，则这名学生身高为　　米． A．0.9 B．1.3 C．1.5 D．1.6 【分析】过点作于，则，米，由勾股定理得出（米，则（米，即可得出答案． 【解答】解：过点作于，如图所示： 则，米米， 在中，米米， 由勾股定理得：（米， （米， 米， 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 六．平面展开-最短路径问题 35．（2023秋•新安县期末）如图，一个三棱柱盒子底面三边长分别为，，，盒子高为，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒子的表面爬行一周到盒顶的点，蚂蚁要爬行的最短路程是 　15　． 【分析】将三棱柱侧面展开得出矩形，求出矩形对角线的长度即可． 【解答】解：如图，右侧为三棱柱的侧面展开图，，，， ， 故答案为：15． 【点评】本题考查了三棱柱的侧面展开图，两点之间线段最短，勾股定理，画出三棱柱的侧面展开图，运用勾股定理是解题关键． 36．（2023秋•高新区校级期末）如图，在一个长2米，宽1米的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和草地宽平行且棱长大于，木块从正面看是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程是 　2.6　米． 【分析】将木块展开如图所示，根据勾股定理求出的长即可． 【解答】解：将木块展开如图所示， 则（米，米， 蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程（米， 故答案为：2.6． 【点评】本题考查了平面展开最短路径问题，将立体图形展开在平面中求解是解题的关键． 37．（2023秋•城关区校级期中）如图，有一个圆柱高为，底面半径为，圆柱下底面的点有一只蚂蚁，它想吃到上底边与点相对处的食物，需要爬行的最短路程是多少取？ 【分析】要想求得最短路程，首先利用长等于底面圆的一半，即可求出的长．根据两点之间，线段最短求出蚂蚁爬行的最短路程． 【解答】解：利用展开图， 根据题意可得：，， ， 答：需要爬行的最短路程是． 【点评】此题主要考查了最短路径问题，求两个不在同一平面内的两个点之间的最短距离时，一定要展开到一个平面内是解题关键． 38．（2024•历下区校级开学）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点在棱上，且，点是的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点爬行到点，它需要爬行的最短路程为　　 A．10 B． C． D．9 【分析】利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出的长即可． 【解答】解：如图1， ，，， ，， ； 如图2， ，，， ，， ， ， 它需要爬行的最短路程为10． 故选：． 【点评】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得出是解题关键． 39．（2023•管城区校级开学）如图，长方体的长，宽，高，点在上．且． （1）求线段的长； （2）一只蚂蚁如果耍沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是多少？ 【分析】（1）根据长方体的性质求出，利用勾股定理即可求解； （2）将立体图形展开成平面图形，然后根据两点之间线段距离最短，利用根据勾股定理进行求解，根据立体展开成平面图形情况分类讨论进行比较． 【解答】解（1），， ， 线段的长为． （2）只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图， 长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ， 要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图， ， 只要把长方体的上表面剪开与左面所在的平面形成一个长方形，如第3个图， ， ， 蚂蚁爬行的最短距离是． 【点评】本题考查了勾股定理的拓展应用，“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键． 40．（2024春•任泽区期末）如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口的点处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管内表面距离右侧管口的点处觅食，已知钢管横截面的周长为，长为，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是　　 A． B． C． D． 【分析】将空心钢管看成圆柱体，然后侧面展开，利用两点之间线段最短解答． 【解答】解：①如图1，为圆柱体侧面展开图， 过点作于点，作出点关于底面直径所在直线的对称点，连接， 根据题意可知：，， 在中，根据勾股定理得：， ②如图2，为圆柱体侧面展开图， 过点作于点，作出点关于底面直径所在直线的对称点，连接， 根据题意可知：，， 在中，根据勾股定理得：， ， 小蜘蛛需要爬行的最短距离是的长为， 故选：． 【点评】本题考查了平面展开最短路径问题，解题的关键是将图形展开，转化为直角三角形利用勾股定理解答． 学科网（北京）股份有限公司 $$