专题03 风筝模型-2025年初中数学几何模型全合集（不分教材通用版）

模型 3：“风筝”型 图示 特点 B,C分别为∠DAE边AD,AE上一点,点 F为∠DAE 内部一点，且在∠DAE 内部形成凸四边形ABFC 结论 ∠DBF+∠ECF =∠A+∠F(腋下两角之和等于上下两角之和) 1. 找模型 三角形顶角折叠或与角内部的角产生形似“风筝”的凸四边形 2. 用模型 一般需要将四边形分成两个三角形，结合三角形内外角关系解决角度问题 结论:∠DBF+∠ECF=∠A+∠F 证明：如图，连接AF， ∵ ∠DBF 是△ABF的外角, ∴∠DBF=∠BAF+∠BFA. ∵ ∠FCE是△ACF的外角, ∴∠FCE=∠CAF+∠CFA, ∴∠DBF+∠FCE=∠BAF+∠BFA+∠CAF+∠CFA=∠BAC+∠BFC,即∠DBF+∠ECF=∠BAC+∠BFC. 思考延伸：也可以用四边形内角和为360°，∠ABD和∠ACE 两个平角转换角度来证明 图示 特点 四边形ABCD 中,连接AC,BD 交于点 O 结论 1. S₁:S₂=S₄:S₃.或S₁·S₃=S₂·S₄ 2. AO:CO=(S₁+S₂):(S₃+S₄) 1. 找模型 遇到任意四边形，连接对角线，涉及相关面积问题时考虑用“风筝”型 2. 用模型 常用三角形面积公式 ₂底高”，结合“同底”或“等高”的特点将面积问题转化为线段问题 结论2: 证明：如图，过点D，B作AC边上的高，分别为 由面积公式可得， 思考延伸：结论1 和2 也可以利用三角形的面积公式及比例关系的等比性质来 进行证明，同学们可以试试哦 例1 如图,在△ABC中,点D,E分别是AC,BC上一点,将∠C沿DE 折叠,点 C 的对应点为 C',若 ,则∠C 的度数为 ( ) A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 思路点拨：∠C折叠形成“风筝”型的基础模型1，可直接应用模型结论，表示出∠ADC'+∠BEC'与∠C的关系，再根据折叠的性质，进行计算. B 【解析】如解图，连接CC'，由折叠可知∠DC'E = ∠DCE,∵ ∠C' EB = ∠EC' C +∠ECC',∠ADC'=∠DC'C+∠DCC'.∠ADC'+∠BEC'=80°,∴2∠C=80°,∴∠C=40° 例2 (●创新题型-填空双空题)如图，在四边形ABCD 中，对角线AC,BD 相交于点 E,△ADE,△ABE,△CDE的面积分别为存在四边形，且对角线相交2,3,4,△BCE的面积为 ,AE:CE的值为 . 思路点拨：对角线相交，将四边形分成四个小三角形，应用“风筝”型基础模型2结论1，即可求出△BCE的面积，利用其“同底不等高”或“同高不等底”的特点将面积比转化为线段比求解即可 1:2 【解析】∵在四边形ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点E, ∴S△BCE=6,由“同高不等底”可知,AE:CE= 针对训练 1. 如图,在△ABC中,AB=BC,延长AB,AC 至点D,E,点F 是∠DAE 内部一点,连接BF,CF.若∠ABC=40°,∠F=50°,则∠DBF+∠ECF 的度数为 ( ) A. 90° B. 100° C. 110° D. 120° 1. D 【解析】∵AB=BC,∠ABC=40°,∴∠BAC=∠BCA=70°,由“风筝”型基础模型1结论可得,∠DBF+∠ECF=∠BAC+∠BFC=70°+ 2. 如图,在四边形 ABCD 中,点 E,F 分别是AD,BC上的点,将四边形ABCD沿直线 EF折叠,若∠A=130°,∠B=110°,则∠1+∠2的度数为 . 2. 120° 【解析】如解图,延长 EA,FB 交于点M,延长 EA',FB'交于点 M',由“风筝”型基础模型1得∠1+∠2=∠M+∠M',由折叠的性质可知∠M=∠M',∴ ∠1+∠2=2∠M,∵∠EAB = 130°,∴ ∠MAB = 180°-130°=50°,∴ ∠M=∠ABF--∠MAB =110°-50°=60°,∴∠1+∠2=2∠M=2×60°=120°. 3. 如图,▱ABCD 的对角线交于点 O,点E,F分别在 BC,CD上,连接EF交OC 于点G,连接(OE,OF,S 6,则△OCF的面积为 . 3. 4 【解析】∵ ▱ABCD 的对角线交于点O,∴OB=OD,S△ODC=S△OBC,∵S△OEF=S△ODF,OF 为公共边,∴点 D 到 OF 的距离与点 E到OF 的距离相等,∴OF∥BC,∴点 F 是 CD的中点， ∴设 则 即 6+x = 2x+2x,解得 x =2,∴S△OCF=2x=4 4. 模型迁移 在平面直角坐标系中，点A(0，a)，B(b，0)分别在y轴正半轴和x轴负半轴，且 (1)求证:OA=OB; (2)如图,连接AB,将△AOB绕点 O 顺时针旋转150°,得到△NOM,连接AM,AN,AN交OM于点 P,求 的值. 4. (1)证明: ∴a(a+b)=0, ∵a≠b且a≠0, ∴a+b=0.∴a=-b, ∴la|=|b|, ∴OA=OB; (2)解:由旋转角度为150°可知,∠AON=150°, ∵∠NOM=∠AOB=90°, ∴∠AOM=60°, ∵ OA =OB,由旋转可得OM = OB,S△NOM = ∴OA=OM, ∴△AOM是等边三角形, 由三角形面积公式同底等高可得 5. (模型迁移) 如图，在平面直角坐标系xOy 中,△ABC的顶点A(0,2),B(,0)分在y轴和x轴上，AC为△ABO的一个外角的平分线,点 D,E 分别在 AC 和 BC 上,将△CDE沿直线 DE 折叠使得点 C 的对应点C'落在△ABC 的内部,若∠ABC= 90°,则∠ADC'+∠BEC'与∠A的关系为 ( ) 5. B 【解析】找模型：是否存在凸四边形：四边形CDC'E. 抽离模型:如解图. 在 Rt△ABO中,∵A(0,2),B(2,0),∴OA=2,OB= ∵ AC 为 △ABO 的一个外角的平分线, ，由折叠的性质得， 用模型：根据“风筝”模型可得： =∠C+∠C'=60°,∴∠ADC'+∠BEC'=∠A. 课后练习 1、请阅读下列材料，并完成相应任务． 在数学探究课上，老师出了这样一个题：如图1，锐角∠BAC内部有一点D，在其两边AB和AC上各取任意一点E，F，连接DE，DF． 求证：∠BED+∠DFC＝∠BAC+∠EDF． 小丽的证法 小红的证法 证明：如图2，连接AD并延长至，点M，∠BED＝∠BAD+∠EDA，∠DFC＝∠DAC+∠ADF（依据）， 又∵∠BAD+∠DAC＝∠BAC，∠EDA+∠ADF＝∠EDF，∴∠BED+∠DFC＝∠BAC+∠EDF． 证明：∵∠BED＝80°，∠DFC＝60°，∠BAC＝51°，∠EDF＝89°（量角器测量所得）， ∴∠BED+∠DFC＝140°，（计算所得）． ∴∠BBED+∠DFC＝∠BAC+∠EDF（等量代换）． 任务： （1）小丽证明过程中的“依据”是指数学定理：　 　； （2）下列说法正确的是 　 　． A小丽的证法用严谨的推理证明了该定理 B．小丽的证法还需要改变∠BAC的大小，再进行证明，该定理的证明才完整 C．小红的证法用特殊到一般的方法证明了该定理 D．小红的证法只要将点D在∠BAC的内部任意移动100次，重新测量进行验证，就能证明该定理 （3）如图3，若点D在锐角∠BAC外部，ED与AC相交于点G，其余条件不变，原题中结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请探索∠BED，∠DFC，∠BAC，∠EDF之间的关系． 【分析】（1）由题意，分析题目，可以得出是利用三角形外角的性质答题的．（2）依据题意，按照定理证明的一般步骤分析，可以得解．（3）根据三角形外角的性质的∠AGE＝∠DFC+∠EDF，∠BED＝∠BAC+∠AGE，进而整理即可得解． 【解答】解：（1）依据题意可得，小丽证明的依据是三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． （2）由题意，按照定理证明的一般步骤分析，A正确；小丽是用的一般方法证明的，不需要再改变∠BAC的大小再证，故B错误；小红使用的是实验的方法，不是从特殊到一般的证明方法，不管试验几次，证明方法都不严谨，故C、D错误．故选：A． （3）不成立． 证明：如图所示， ∵∠AGE是△GDF的一个外角，∴∠AGE＝∠DFC+∠EDF． ∵∠BED为△AEG的一个外角，∴∠BED＝∠BAC+∠AGE．∴∠BED＝∠BAC+∠DFC+∠EDF． 2、三角形内角和定理告诉我们：三角形三个内角的和等于180°如何证明这个定理呢？我们知道，平角是180°，要证明这个定理就是把三角形的三个内角转移到一个平角中去，请根据如下条件，证明定理． 【定理证明】已知：△ABC如图①，求证：∠A+∠B+∠C＝180°． 【定理推论】如图②，在△ABC中，有∠A+∠B+∠ACB＝180°，点D是BC延长线上一点，由平角的定义可得∠ACD+∠ACB＝180°，所以∠ACD＝　 　，从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【初步运用】如图③，点D、E分别是△ABC的边AB、AC延长线上一点． （1）若∠A＝80°，∠DBC＝150°，则∠ACB＝　 　． （2）若∠A＝80°，则∠DBC+∠ECB＝　 　． 【拓展延伸】如图④，点D、E分别是四边形ABPC的边AB、AC延长线上一点． （1）若∠A＝80°，∠P＝150°，则∠DBP+∠ECP＝　 　． （2）分别作∠DBP和∠ECP的平分线BM、CN，如图⑤，若BM∥CN，则∠A和∠P的关系为 　 　． （3）分别作∠DBP和∠ECP的平分线，交于点O，如图⑥，求出∠A，∠O和∠P的数量关系，并说明理由． 【分析】【定理证明】过点A作MN∥AB，根据平行线的性质和平角的定义解决． 【定理推论】根据三角形内角和定理和平角的定义即可解答． 【初步运用】（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可解答； （2）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠DBC+∠ECB＝∠A+∠ABC+∠A+∠ACB，根据三角形的内角和定理得∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，以此即可求解． 【拓展延伸】（1）连接AP，根据三角形内角和定理的推论即可解答． （2）过点P作PQ∥BM，由（1）可知，∠DBP+∠ECP＝∠A+∠BPC，则（∠DBP+∠ECP）（∠A+∠BPC），根据平行线和角平分线的性质可得（∠DBP+∠ECP）＝∠BPC，则∠BPC（∠A+∠BPC），以此即可求解． （3）由（1）可知，∠DBP+∠ECP＝∠A+∠BPC，则（∠DBP+∠ECP）（∠A+∠BPC），根据角平分线的性质和四边形的内角和为360°即可求解． 【解答】【定理证明】 证明：如图，过点A作MN∥AB， ∵MN∥AB，∴∠MAB＝∠B，∠NAC＝∠C， ∵∠MAB+∠BAC+∠NAC＝180°，∴∠B+∠BAC+C＝180°． 【定理推论】 ∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∠ACD+∠ACB＝180°，∴∠ACD＝∠A+∠B． 故答案为：∠A+∠B． 【初步运用】（1）∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠A＝80°，∠DBC＝150°， ∴∠ACB＝∠DBC﹣∠A＝150°﹣80°＝70°；故答案为：70°； （2）∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠ECB＝∠A+∠ABC， ∴∠DBC+∠ECB＝∠A+∠ABC+∠A+∠ACB， ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝80°， ∴∠DBC+∠ECB＝∠A+∠ABC+∠A+∠ACB＝180°+80°＝260°． 故答案为：260°． 【拓展延伸】（1）如图，连接AP， ∵∠DBP＝∠BAP+∠APB，∠ECP＝∠CAP+∠APC， ∴∠DBP+∠ECP＝∠BAP+∠APB+∠CAP+∠APC， ∵∠BAP+∠CAP＝∠A＝80°，∠APB+∠APC＝∠P＝150°， ∴∠DBP+∠ECP＝∠A+∠P＝80°+150°＝230°．故答案为：230°． （2）如图，过点P作PQ∥BM，则PQ∥CM， 由（1）知，∠DBP+∠ECP＝∠A+∠BPC， ∴（∠DBP+∠ECP）（∠A+∠BPC）， ∵PQ∥BM∥CM，∴∠MBP＝∠BPQ，∠NCP＝∠CPQ， ∴∠BPQ+∠CPQ＝∠BPC＝∠MBP+∠NCP， ∵BM、CN分别是∠DBP和∠ECP， ∴（∠DBP+∠ECP）＝∠MBP+∠NCP＝∠BPC， ∴∠BPC（∠A+∠BPC），∴∠BPC＝∠A． 故答案为：∠A＝∠P． （3）∠A+2∠O＝∠P，理由如下：由（1）知，∠DBP+∠ECP＝∠A+∠BPC， ∴（∠DBP+∠ECP）（∠A+∠BPC）， ∵OB、OC分别为∠DBP和∠ECP的角平分线， ∴∠OBP+∠OCP（∠DBP+∠ECP）， ∴∠OBP+∠OCP（∠A+∠BPC）， ∵∠OBP+∠OCP+（∠360°﹣∠BPC）+∠O＝360°， ∴（∠A+∠BPC）﹣∠BPC+∠O＝0，∴∠A+2∠O＝∠BPC，即∠A+2∠O＝∠P． 3、（2023春·江苏·七年级期中）如图，在中， ，将沿翻折后，点A落在BC边上的点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据折叠的性质，得到，，结合，得到，再根据，利用三角形内角和定理计算即可． 【详解】．根据折叠的性质，得到，， 因为，所以， 因为，所以．故选C． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握折叠性质是解题的关键． 4、（2023春·甘肃天水·七年级校联考期末）如图①，、是四边形的两个不相邻的外角．      (1)猜想并说明与、的数量关系；(2)如图②，在四边形中，与的平分线交于点．若，，求的度数；(3)如图③，、分别是四边形外角、的角平分线．请直接写出、与的数量关系 ． 【答案】(1)；(2)；(3)． 【分析】（1）根据多边形内角和与外角即可说明与、的数量关系； （2）结合(1)的结论，根据与的平分线，，，即可求的度数； （3）结合(1)的结论，根据、分别是四边形外角、的角平分线.进而可以写出、与的数量关系． 【详解】（1）猜想：，理由如下： ∵，，∴， （2）∵，，， ∴， ∵、分别平分与，∴，， ∴， ∴， （3）、与的数量关系为：，理由如下： ∵、分别是四边形外角、的角平分线， ∴，， 由(1)可知:，， ∴，∴，故答案为：． 【点睛】此题考查了多边形内角与外角、三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握多边形外角． 5、（2023·四川绵阳·八年级校考期中）如图，中，，将沿折叠，使得点B落在边上的点F处，若且，则的度数为（    ）    A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】B 【分析】平角的定义，求出的度数，翻折，得到，等边对等角，得到，三角形内角和定理，得到，再根据列式求解即可． 【详解】解：∵中，，∴， ∵将沿折叠，使得点B落在边上的点F处，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴；故选B． 【点睛】本题考查与折叠有关的三角形的内角和问题，等边对等角．解题关键是理清角度之间的等量关系． 6．（2017春•西城区校级期中）（1）如图1，设，则　　； （2）把三角形纸片顶角沿折叠，点落到点处，记为，为． ①如图2，，与的数量关系是 　　； ②如图3，请你写出，与的数量关系，并说明理由． （3）如图4，把一个三角形纸片的三个顶角分别向内折叠之后，3个顶点不重合，那么图中　　． 【解答】解：（1）； 故答案为：； （2）①如图2，猜想：，理由是： 由折叠得：，， ， ， ； 故答案为：； ②如图3，，理由是： ，， ， ， ， ； （3）如图4，由题意知， 又，，， ， ． 故答案为：． 7．（2017春•铜山区期中）（1）如图1，把沿折叠，使点落在点处，请直接写出与的关系：　　． （2）如图2，把分别沿、折叠，使点落在点处，使点落在点处，若，则　　 （3）如图3，在锐角中，于点，于点，、交于点，把沿折叠使点和点重合，则与的关系是　　． ． ． ． ． （4）如图4，平分，平分，把沿折叠，使点与点重合，若，求的度数． 【解答】解：（1）； 理由如下：由折叠的性质得：，， ①， 又， ②， 由①②得：； 故答案为：； （2）由（1）可得，，， ， ， 故答案为：； （3）理由：，， ，， ，由（1）知． ． ． 故选； （4）由（1）得：， 得， ， 平分，平分， ， ． 8．（2017春•江都区月考）（1）如图①，把纸片沿折叠，当点落在四边形内部点的位置时，、、之间有怎样的数量关系？并说明理由． （2）如图②，把纸片沿折叠，当点落在四边形外部点的位置时，、、之间有怎样的数量关系？并说明理由． （3）如图③，把四边形沿折叠，当点、分别落在四边形内部点、的位置时，你能求出、、与之间的数量关系吗？并说明理由． 【解答】解：（1）如图，根据翻折的性质，，， ， ， 整理得，； （2）根据翻折的性质，，， ， ， 整理得，； （3）根据翻折的性质，，， ， ， 整理得，． 9、如图1和图2，在三角形纸片ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，沿DE折叠，点A落在点A'的位置． （1）如图1，当点A′落在CD边上时，∠DAE与∠1之间的数量关系为 　③　（只填序号），并说明理由； ①∠DAE＝∠1 ②∠DAE＝2∠1 ③∠1＝2∠DAE （2）如图2，当点A落在△ABC内部时，直接写出∠DAE与∠1，∠2之间的数量关系． 【答案】（1）③，理由详见解答过程． （2）∠1+∠2＝2∠DAE． 【解答】解：（1）由题意得：∠DAE＝∠DA′E． ∵∠1＝∠EAD+∠EA′D＝2∠DAE． 故答案为：③． （2）∠1+∠2＝2∠DAE，理由如下： 如图2，连接AA′． 由题意知：∠EAD＝∠EA′D． ∵∠1＝∠A′AE+∠AA′E，∠2＝∠A′AD+∠AA′D， ∴∠1+∠2＝∠EAA′+∠A′AD+∠EA′A+∠AA′D＝∠EAD+∠EA′D＝2∠EAD． 10、将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在A′处的位置． （1）如果A′落在四边形BCDE的内部（如图1），∠A′与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由． （2）如果A′落在四边形BCDE的BE边上，这时图1中的∠1变为0°角，则∠A′与∠2之间的关系是　2∠A＝∠2　． （3）如果A′落在四边形BCDE的外部（如图2），这时∠A′与∠1、∠2之间又存在怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）图1中，2∠A＝∠1+∠2， 理由是：∵延DE折叠A和A′重合， ∴∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE， ∵∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A，∠1+∠2＝180°+180°﹣2（∠AED+∠ADE）， ∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A； （2）2∠A＝∠2，如图 ∠2＝∠A+∠EA′D＝2∠A， 故答案为：2∠A＝∠2； （3）如图2，2∠A＝∠2﹣∠1， 理由是：∵延DE折叠A和A′重合， ∴∠A＝∠A′， ∵∠DME＝∠A′+∠1，∠2＝∠A+∠DME， ∴∠2＝∠A+∠A′+∠1， 即2∠A＝∠2﹣∠1． 11、如图，在△ABC中，∠C＝40°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（　　） A．40° B．80° C．90° D．140° 【答案】B 【解答】解：由折叠的性质得：∠D＝∠C＝40°， 根据外角性质得：∠1＝∠3+∠C，∠3＝∠2+∠D， 则∠1＝∠2+∠C+∠D＝∠2+2∠C＝∠2+80°， 则∠1﹣∠2＝80°． 故选：B． 12、如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当A落在四边形BCDE内时，则∠A与∠1+∠2之间有始终不变的关系是（　　） A．∠A＝∠1+∠2 B．2∠A＝∠1+∠2 C．3∠A＝∠1+∠2 D．3∠A＝2（∠1+∠2） 【答案】B 【解答】解：∵△ABC纸片沿DE折叠， ∴∠1+2∠AED＝180°，∠2+2∠ADE＝180°， ∴∠AED＝（180°﹣∠1），∠ADE＝（180°﹣∠2）， ∴∠AED+∠ADE＝（180°﹣∠1）+（180°﹣∠2）＝180°﹣（∠1+∠2） ∴△ADE中，∠A＝180°﹣（∠AED+∠ADE）＝180°﹣[180°﹣（∠1+∠2）]＝（∠1+∠2）， 即2∠A＝∠1+∠2． 故选：B． 13、如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正确的是（　　） A．γ＝2α+β B．γ＝α+2β C．γ＝α+β D．γ＝180°﹣α﹣β 【答案】A 【解答】解：由折叠得：∠A＝∠A'， ∵∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'， ∵∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ， ∴∠BDA'＝γ＝α+α+β＝2α+β， 故选：A． 14、纸片△ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内（如图），若∠1＝20°，则∠2的度数为　60°　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵△ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣65°﹣75°＝40°， ∵∠1＝20°， ∴∠CED＝＝80°， 在△CDE中，∠CDE＝180°﹣∠C﹣∠CED＝180°﹣40°﹣80°＝60°， ∴∠2＝180°﹣2∠CDE＝180°﹣2×60°＝60°， 故答案为60°． 15、如图所示，把一个三角形纸片ABC的三个顶角向内折叠之后（3个顶点不重合），图中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝　360　°． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由题意知， ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝720°﹣（∠B'FG+∠B'GF）﹣（∠C'HI+∠C'IH）﹣（∠A'DE+∠A'ED）＝720°﹣（180°﹣∠B'）﹣（180°﹣C'）＝（180°﹣A'）＝180°+（∠B'+∠C'+∠A'） 又∵∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，∠A＝∠A'， ∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°． 故答案为：360． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 模型 3：“风筝”型 图示 特点 B,C分别为∠DAE边AD,AE上一点,点 F为∠DAE 内部一点，且在∠DAE 内部形成凸四边形ABFC 结论 ∠DBF+∠ECF =∠A+∠F(腋下两角之和等于上下两角之和) 1. 找模型 三角形顶角折叠或与角内部的角产生形似“风筝”的凸四边形 2. 用模型 一般需要将四边形分成两个三角形，结合三角形内外角关系解决角度问题 结论:∠DBF+∠ECF=∠A+∠F 证明：如图，连接AF， ∵ ∠DBF 是△ABF的外角, ∴∠DBF=∠BAF+∠BFA. ∵ ∠FCE是△ACF的外角, ∴∠FCE=∠CAF+∠CFA, ∴∠DBF+∠FCE=∠BAF+∠BFA+∠CAF+∠CFA=∠BAC+∠BFC,即∠DBF+∠ECF=∠BAC+∠BFC. 思考延伸：也可以用四边形内角和为360°，∠ABD和∠ACE 两个平角转换角度来证明 图示 特点 四边形ABCD 中,连接AC,BD 交于点 O 结论 1. S₁:S₂=S₄:S₃.或S₁·S₃=S₂·S₄ 2. AO:CO=(S₁+S₂):(S₃+S₄) 1. 找模型 遇到任意四边形，连接对角线，涉及相关面积问题时考虑用“风筝”型 2. 用模型 常用三角形面积公式 ₂底高”，结合“同底”或“等高”的特点将面积问题转化为线段问题 结论2: 证明：如图，过点D，B作AC边上的高，分别为 由面积公式可得， 思考延伸：结论1 和2 也可以利用三角形的面积公式及比例关系的等比性质来 进行证明，同学们可以试试哦 例1 如图,在△ABC中,点D,E分别是AC,BC上一点,将∠C沿DE 折叠,点 C 的对应点为 C',若 ,则∠C 的度数为 ( ) A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 思路点拨：∠C折叠形成“风筝”型的基础模型1，可直接应用模型结论，表示出∠ADC'+∠BEC'与∠C的关系，再根据折叠的性质，进行计算. 例2 (●创新题型-填空双空题)如图，在四边形ABCD 中，对角线AC,BD 相交于点 E,△ADE,△ABE,△CDE的面积分别为存在四边形，且对角线相交2,3,4,△BCE的面积为 ,AE:CE的值为 . 思路点拨：对角线相交，将四边形分成四个小三角形，应用“风筝”型基础模型2结论1，即可求出△BCE的面积，利用其“同底不等高”或“同高不等底”的特点将面积比转化为线段比求解即可 课后练习 1. 如图,在△ABC中,AB=BC,延长AB,AC 至点D,E,点F 是∠DAE 内部一点,连接BF,CF.若∠ABC=40°,∠F=50°,则∠DBF+∠ECF 的度数为 ( ) A. 90° B. 100° C. 110° D. 120° 2. 如图,在四边形 ABCD 中,点 E,F 分别是AD,BC上的点,将四边形ABCD沿直线 EF折叠,若∠A=130°,∠B=110°,则∠1+∠2的度数为 . 3. 如图,▱ABCD 的对角线交于点 O,点E,F分别在 BC,CD上,连接EF交OC 于点G,连接(OE,OF,S 6,则△OCF的面积为 . 4. 模型迁移 在平面直角坐标系中，点A(0，a)，B(b，0)分别在y轴正半轴和x轴负半轴，且 (1)求证:OA=OB; (2)如图,连接AB,将△AOB绕点 O 顺时针旋转150°,得到△NOM,连接AM,AN,AN交OM于点 P,求 的值. 5. 课后练习 1、请阅读下列材料，并完成相应任务． 在数学探究课上，老师出了这样一个题：如图1，锐角∠BAC内部有一点D，在其两边AB和AC上各取任意一点E，F，连接DE，DF． 求证：∠BED+∠DFC＝∠BAC+∠EDF． 小丽的证法 小红的证法 证明：如图2，连接AD并延长至，点M，∠BED＝∠BAD+∠EDA，∠DFC＝∠DAC+∠ADF（依据）， 又∵∠BAD+∠DAC＝∠BAC，∠EDA+∠ADF＝∠EDF，∴∠BED+∠DFC＝∠BAC+∠EDF． 证明：∵∠BED＝80°，∠DFC＝60°，∠BAC＝51°，∠EDF＝89°（量角器测量所得）， ∴∠BED+∠DFC＝140°，（计算所得）． ∴∠BBED+∠DFC＝∠BAC+∠EDF（等量代换）． 任务： （1）小丽证明过程中的“依据”是指数学定理：　 　； （2）下列说法正确的是 　 　． A小丽的证法用严谨的推理证明了该定理 B．小丽的证法还需要改变∠BAC的大小，再进行证明，该定理的证明才完整 C．小红的证法用特殊到一般的方法证明了该定理 D．小红的证法只要将点D在∠BAC的内部任意移动100次，重新测量进行验证，就能证明该定理 （3）如图3，若点D在锐角∠BAC外部，ED与AC相交于点G，其余条件不变，原题中结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请探索∠BED，∠DFC，∠BAC，∠EDF之间的关系． 2、三角形内角和定理告诉我们：三角形三个内角的和等于180°如何证明这个定理呢？我们知道，平角是180°，要证明这个定理就是把三角形的三个内角转移到一个平角中去，请根据如下条件，证明定理． 【定理证明】已知：△ABC如图①，求证：∠A+∠B+∠C＝180°． 【定理推论】如图②，在△ABC中，有∠A+∠B+∠ACB＝180°，点D是BC延长线上一点，由平角的定义可得∠ACD+∠ACB＝180°，所以∠ACD＝　 　，从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【初步运用】如图③，点D、E分别是△ABC的边AB、AC延长线上一点． （1）若∠A＝80°，∠DBC＝150°，则∠ACB＝　 　． （2）若∠A＝80°，则∠DBC+∠ECB＝　 　． 【拓展延伸】如图④，点D、E分别是四边形ABPC的边AB、AC延长线上一点． （1）若∠A＝80°，∠P＝150°，则∠DBP+∠ECP＝　 　． （2）分别作∠DBP和∠ECP的平分线BM、CN，如图⑤，若BM∥CN，则∠A和∠P的关系为 　 　． （3）分别作∠DBP和∠ECP的平分线，交于点O，如图⑥，求出∠A，∠O和∠P的数量关系，并说明理由． 3、（2023春·江苏·七年级期中）如图，在中， ，将沿翻折后，点A落在BC边上的点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4、（2023春·甘肃天水·七年级校联考期末）如图①，、是四边形的两个不相邻的外角．   5、（2023·四川绵阳·八年级校考期中）如图，中，，将沿折叠，使得点B落在边上的点F处，若且，则的度数为（    ）    A．30° B．40° C．50° D．60° 6．（2017春•西城区校级期中）（1）如图1，设，则　　； （2）把三角形纸片顶角沿折叠，点落到点处，记为，为． ①如图2，，与的数量关系是 　　； ②如图3，请你写出，与的数量关系，并说明理由． （3）如图4，把一个三角形纸片的三个顶角分别向内折叠之后，3个顶点不重合，那么图中　　． 7．（2017春•铜山区期中）（1）如图1，把沿折叠，使点落在点处，请直接写出与的关系：　　． （2）如图2，把分别沿、折叠，使点落在点处，使点落在点处，若，则　　 （3）如图3，在锐角中，于点，于点，、交于点，把沿折叠使点和点重合，则与的关系是　　． ． ． ． ． （4）如图4，平分，平分，把沿折叠，使点与点重合，若，求的度数． 8．（2017春•江都区月考）（1）如图①，把纸片沿折叠，当点落在四边形内部点的位置时，、、之间有怎样的数量关系？并说明理由． （2）如图②，把纸片沿折叠，当点落在四边形外部点的位置时，、、之间有怎样的数量关系？并说明理由． （3）如图③，把四边形沿折叠，当点、分别落在四边形内部点、的位置时，你能求出、、与之间的数量关系吗？并说明理由． 9、如图1和图2，在三角形纸片ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，沿DE折叠，点A落在点A'的位置． （1）如图1，当点A′落在CD边上时，∠DAE与∠1之间的数量关系为 　③　（只填序号），并说明理由； ①∠DAE＝∠1 ②∠DAE＝2∠1 ③∠1＝2∠DAE （2）如图2，当点A落在△ABC内部时，直接写出∠DAE与∠1，∠2之间的数量关系． 10、将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在A′处的位置． （1）如果A′落在四边形BCDE的内部（如图1），∠A′与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由． （2）如果A′落在四边形BCDE的BE边上，这时图1中的∠1变为0°角，则∠A′与∠2之间的关系是　2∠A＝∠2　． （3）如果A′落在四边形BCDE的外部（如图2），这时∠A′与∠1、∠2之间又存在怎样的数量关系？并说明理由． 11、如图，在△ABC中，∠C＝40°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（　　） A．40° B．80° C．90° D．140° 12、如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当A落在四边形BCDE内时，则∠A与∠1+∠2之间有始终不变的关系是（　　） A．∠A＝∠1+∠2 B．2∠A＝∠1+∠2 C．3∠A＝∠1+∠2 D．3∠A＝2（∠1+∠2） 13、如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正确的是（　　） A．γ＝2α+β B．γ＝α+2β C．γ＝α+β D．γ＝180°﹣α﹣β 14、纸片△ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内（如图），若∠1＝20°，则∠2的度数为　60°　． 15、如图所示，把一个三角形纸片ABC的三个顶角向内折叠之后（3个顶点不重合），图中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝　360　°． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$