精品解析：内蒙古自治区呼和浩特市剑桥中学2023-2024学年高二下学期第二次月考（4月）数学试题

剑桥中学2023-2024学年第二学期 高二年级第二次月考数学试卷 命题人：路阳 分值：150分 时间：120分钟 第一部分（选择题 共60分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列满足，，则（ ） A. B. n C. D. 2. 数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 数列满足，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知等比数列的各项都是正数，为其前项和，若，，则 A. 40 B. 56 C. 72 D. 120 5. 若等差数列与等差数列的前n项和分别为和，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四面体中，是的中点，设，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方体中，二面角的平面角等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线C：，焦点为F，点到在抛物线上，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 的展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 展开式共6项 B. 常数项为64 C. 所有项的系数之和为729 D. 所有项的二项式系数之和为64 10. 甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ） A. 如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有12种 B. 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种 C. 甲乙不相邻的排法种数为72种 D. 甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种 11. 某气象台统计，该地区下雨的概率为，刮四级以上风的概率为，既刮四级以上的风又下雨的概率为，设为下雨，为刮四级以上的风，则（ ） A. B. C. D. 12. 下列判断正确的是（ ） A. 若随机变量服从分布，且，则 B. 若随机变量，则 C. 若随机变量，则 D. 若随机变量，，则 第二部分（非选择题 共90分） 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13. 已知数列的前项的和，则___________. 14. 为了备战2024年斯诺克（Snooker）世锦赛，亚洲斯诺克第一人丁俊晖与第一次获得职业资格就从资格赛一路杀到半决赛的中国斯诺克新秀斯佳辉两人进行了热身赛，2人约定每局胜者得1分，负者得0分，热身进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设丁俊晖在每局中获胜的概率为，斯佳辉在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，比赛停止时已打局数为，则______． 15. 已知等差数列满足，，则前7项之和为______． 16. 已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为__________. 四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 某品牌电脑专卖店的年销售量与该年广告费用有关，如表收集了4组观测数据： （万元） 1 4 5 6 （百台） 30 40 60 50 以广告费用为解释变量，销售量为预报变量对这两个变量进行统计分析． （1）已知这两个变量呈线性相关关系，试建立与之间的回归方程； （2）假如2017年该专卖店广告费用支出计划为10万元，根据你得到的模型，预测这一年的销售量． 参考公式：，． 18. 已知各项均不为0的数列满足，． （1）求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）设为数列的前项和． 19. 已知数列满足，且. （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的前项和. 20. 已知等比数列的前项和为,公比,且为的等差中项,. （1）求数列的通项公式 （2）记,求数列的前项和. 21. 2020年寒假是特殊的寒假，因为抗击疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线上教育不满意． （1）完成列联表，并回答能否有的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”； 满意 不满意 总计 男生 30 女生 15 合计 120 （2）从被调查的对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作线上学习的经验介绍，其中抽取男生的个数为，求出的分布列及期望值． 参考公式：附： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 0.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 22. 已知椭圆的离心率是，点在上． （1）求的方程； （2）过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 剑桥中学2023-2024学年第二学期 高二年级第二次月考数学试卷 命题人：路阳 分值：150分 时间：120分钟 第一部分（选择题 共60分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列满足，，则（ ） A. B. n C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据递推关系式，利用累乘法求出数列的通项公式，即可求解. 【详解】由题意，数列满足，所以， 所以． 故选：D． 【点睛】本题主要考查由递推公式求等差数列的通项公式，考查累乘法在求通项公式中的应用，属于基础题. 2. 数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，根据累加法，即可求出结果. 【详解】因为，所以， 因此，，，…，， 以上各式相加得：， 又，所以. 故选：A. 【点睛】本题主要考查累加法求数列的通项，属于基础题型. 3. 数列满足，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据递推公式，构造等比数列得出数列的通项公式. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 所以. 故选：A. 4. 已知等比数列的各项都是正数，为其前项和，若，，则 A. 40 B. 56 C. 72 D. 120 【答案】D 【解析】 【分析】 根据等比数列的片段求和性质求解即可. 【详解】因为,,,成等比数列,所以, ,, 故选：D. 【点睛】本题主要考查了等比数列片段求和的性质,属于基础题. 5. 若等差数列与等差数列的前n项和分别为和，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质和求和公式，得到，即可求解. 【详解】由等差数列的性质和求和公式，可得． 故选：C. 6. 如图，在四面体中，是的中点，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形法则先求得向量、，进而求得． 【详解】解：， ， ． 故选：B． 7. 如图，在正方体中，二面角的平面角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合正方体的结构特征，作出二面角的平面角，即，直接求解即可． 【详解】因为平面，平面， 所以， 又因为，平面平面， 所以即为二面角的平面角， 因为，所以二面角的大小是45°． 故选：B． 8. 已知抛物线C：，焦点为F，点到在抛物线上，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线的定义求解. 【详解】因为点在抛物线上，，解得， 利用抛物线的定义知 故选：D 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 的展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 展开式共6项 B. 常数项为64 C. 所有项的系数之和为729 D. 所有项的二项式系数之和为64 【答案】CD 【解析】 【分析】利用二项展开式的特点判断A；求出指定项判断B；利用赋值法求出展开式系数和判断C；利用二项式系数的性质判断D作答. 【详解】展开式的总项数是7，A不正确； 展开式的常数项为，B不正确； 取得展开式的所有项的系数之和为，C正确； 由二项式系数的性质得展开式的所有项的二项式系数之和为，D正确. 故选：CD 10. 甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ） A. 如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有12种 B. 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种 C. 甲乙不相邻的排法种数为72种 D. 甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种 【答案】BCD 【解析】 【分析】A. 利用捆绑法求解判断； B.分甲在最左端，甲不在最左端两类求解判断；C.利用插空法求解判断；D.选3个位置，将甲乙丙按从左到右的顺序放上，再将丁，戊排列求解判断. 【详解】A. 因为甲，乙必须相邻捆绑在一起看作一个元素，且乙在甲的右边，与其他全排列有：种，故错误； B.当甲在最左端时，有种，当甲不在最左端时，则乙在最左端从丙，丁，戊中选一个排在最右端，有种，所以不同的排法共有42种，故正确； C.先排丙，丁，戊，产生4个空，再选2个空将甲，乙插上，排法有种，故正确； D.选3个位置，将甲乙丙按从左到右的顺序放上，再将丁，戊排列，所以排法有，故正确； 故选：BCD 11. 某气象台统计，该地区下雨的概率为，刮四级以上风的概率为，既刮四级以上的风又下雨的概率为，设为下雨，为刮四级以上的风，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据条件概率公式，求解即可. 【详解】解：由题意知，，， ∴，． 故选：BC 12. 下列判断正确的是（ ） A. 若随机变量服从分布，且，则 B. 若随机变量，则 C. 若随机变量，则 D. 若随机变量，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，根据0-1分布的概率公式求解即可；对B，根据二项分布的数学期望公式求解即可；对C，根据超几何分布的数学期望公式求解即可；对D，根据正态分布的对称性求解即可. 【详解】对A，若X服从0-1分布，则，故A错误； 对B，若随机变量，则，故B正确； 对C，若随机变量，则，故C正确； 对D，若随机变量，， 则，故D正确； 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共90分） 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13. 已知数列的前项的和，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用当时，，验证首项，即可求通项. 【详解】当时， 当时，不符合上式， 故 故答案为： 14. 为了备战2024年斯诺克（Snooker）世锦赛，亚洲斯诺克第一人丁俊晖与第一次获得职业资格就从资格赛一路杀到半决赛的中国斯诺克新秀斯佳辉两人进行了热身赛，2人约定每局胜者得1分，负者得0分，热身进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设丁俊晖在每局中获胜的概率为，斯佳辉在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，比赛停止时已打局数为，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】依题意得到的可能取值，再求出对应的概率，从而求解期望即可． 【详解】依题意知，的所有可能值为2，4，6， 设每两局比赛为一轮，可以得到该轮结束时比赛停止的概率为， 如果该轮结束时比赛还将继续，那么丁俊晖､赵心童在该轮中必是各得一分， 此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响， 从而有， 故， 故答案为：． 15. 已知等差数列满足，，则前7项之和为______． 【答案】104 【解析】 【分析】根据条件，求出等差数列通项公式，写出，利用等差数列求和公式求前5项与后2项的和，相加即可. 【详解】因为为等差数列，设公差为d，，所以. 所以，所以前7项之和为. 故答案为：104. 16. 已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】整理直线知过定点，求出，由数形结合即可得解. 【详解】直线，过定点， 则， 直线和以为端点的线段相交， 由图可知，或， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 某品牌电脑专卖店的年销售量与该年广告费用有关，如表收集了4组观测数据： （万元） 1 4 5 6 （百台） 30 40 60 50 以广告费用为解释变量，销售量为预报变量对这两个变量进行统计分析． （1）已知这两个变量呈线性相关关系，试建立与之间的回归方程； （2）假如2017年该专卖店广告费用支出计划为10万元，根据你得到的模型，预测这一年的销售量． 参考公式：，． 【答案】（1）； （2）75百台． 【解析】 【分析】（1）根据回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程. （2）根据回归直线方程进行预测. 【小问1详解】 根据题意，计算， ， 又，； ， ， 所求回归直线方程为； 【小问2详解】 由已知得，时，（百台）， 可预测该年的销售量为75百台． 18. 已知各项均不为0的数列满足，． （1）求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）设为数列的前项和． 【答案】（1）证明: 因为数列的各项均不为0，则， 将两边同时除以，得，又， 因此数列是以1为首项，1为公差的等差数列，则， 所以数列的通项公式是． （2） 【解析】 【分析】（1）先根据递推公式证明等差数列，再根据等差数列定义得出通项公式； （2）应用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 证明略；通项公式是． 【小问2详解】 由（1）得， 于是 ． 19. 已知数列满足，且. （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）证明：由，得，又，即， 所以数列是首项为2，公比为3的等比数列. （2）. 【解析】 【分析】（1）变形给定的递推公式，再利用等比数列定义推理即得. （2）由（1）的结论求出，再利用分组求和法求解即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，即， 所以 . 20. 已知等比数列的前项和为,公比,且为的等差中项,. （1）求数列的通项公式 （2）记,求数列的前项和. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）由a2+1是a1，a3的等差中项，可得=，又，解得，即可得出通项;（2），利用错位相减法即可得出． 【详解】（1）由题意，得.又， ∴，∴， ∵，∴或， ∵，∴. ∴. （2）由（Ⅰ），知.∴. ∴. ∴. ∴ . ∴. 【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等. 21. 2020年寒假是特殊的寒假，因为抗击疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线上教育不满意． （1）完成列联表，并回答能否有的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”； 满意 不满意 总计 男生 30 女生 15 合计 120 （2）从被调查的对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作线上学习的经验介绍，其中抽取男生的个数为，求出的分布列及期望值． 参考公式：附： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 0.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表为： 满意 不满意 总计 男生 30 25 55 女生 50 15 65 合计 80 40 120 有的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关” （2）的分布列为： 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）根据分层抽样方法求出男生、女生人数，填写列联表，计算，对照附表得出结论； （2）由题意知的可能取值，计算所求的概率值，写出分布列，计算数学期望值． 【小问1详解】 因为男生人数为：， 所以女生人数为， 完成列联表， 满意 不满意 总计 男生 30 25 55 女生 50 15 65 合计 80 40 120 零假设：假设对“线上教育是否满意与性别无关”， 根据列联表中的数据，得到， 所以有的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”． 【小问2详解】 由（1）可知男生抽3人，女生抽5人，． ，， ，． 可得分布列为 0 1 2 3 可得． 22. 已知椭圆的离心率是，点在上． （1）求的方程； （2）过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点． 【答案】（1） （2）证明如下： 由题意可知：直线的斜率存在，设， 联立方程，消去y得：， 则，解得， 可得， 因为，则直线， 令，解得，即, 同理可得， 则 ， 所以线段的中点是定点. 【解析】 【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果； （2）设直线的方程，进而可求点的坐标，结合韦达定理验证为定值即可. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤 （1）由特例得出一个值，此值一般就是定值； （2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值； （3）得出结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $