第22章 一元二次方程（13类题型清单）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（华东师大版）

第22章 一元二次方程（题型清单） ( 02 知识速记01 思维导图 ) 知识点1 一元二次方程的有关概念 （1）一元二次方程的概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 （2）一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0）。其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。 【注意】 ①只含有一个未知数； ②所含未知数的最高次数是2； ③整式方程。 （3）一元二次方程的解的概念：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。 【注意】 方法技巧：一元二次方程解的应用方法，将解代入方程，化简式子求解（或是整体思想） 知识点2一元二次方程的解法 (1)直接开平方法 直接开平方法解一元二次方程：将方程化成则x＝. (2)因分解法 ①一元二次方程通过因式分解，分解为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，实现降次的方法。 即将一元二次方程化简为；从而得出：，因式分解法的关键是分解成两个一次因式相乘的形式。 ②分解的主要方法： 提取公因式法：通过提取公因式达到因式分解的目的，进而求解一元二方程。 乘法公式：因式分解的目的在将方程化成两个因式乘积等于0的形式，利用如下乘法公式，有时可以很好解决。平方差公式：；完全平方公式： (3)配方法 ①配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法． ②用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0 (a≠0）的一般步骤是： 第一步，化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； 第二步，移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； 第三步，配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方； 第四步，化原方程为(x+m）2=n的形式； 第五步，如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解． 【注意】 实际在解方程的过程中，一般也只是针对且为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使用公式法来更加简单。 (4)公式法 ①公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的． 一元二次方程的求根公式是:(=b2－4ac≥0) ②推导过程：一元二次方程，用配方法将其变形为： ③公式法解方程的步骤： 第一步，化方程为一元二次方程的一般形式； 第二步，确定a、b、c的值； 第三步，求出b2－4ac的值； 第四步，若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4ac＜0，则方程无解． (5) 解一元二次方程的方法选择： ①虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。 ②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握。 ③四种求方程方法的一定要合理选用，依次按直接开平方、因式分解，配方法和公式法的顺序考虑选用。 知识点3 一元二次方程根的判别式 () （1）①当时，方程有两个不相等的实根； ②当时，方程有两个相等的实根； ③当时，方程没有实根。 （2）判别式作用：①定根的个数；②求待定系数的值。 【注意】 ①在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式； ②在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数a≠0 ③证明恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方式+正数”的形式。 知识点4一元二次方程的根与系数的关系韦达定理 如果是一元二次方程的两个根,由解方程中的公式法得, ．那么可推得这是一元二次方程根与系数的关系． 知识点5一元二次方程的应用题 （1）一元二次方程解应用题的一般步骤 ①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式； ②以利于表示等量关系式为原则，设未知数x； ③依据等量关系式和未知数x建立方程； ④解方程并解答。 注：一元二次方程通常有2解，但是，应检验方程的2个根是否都符合实际情况。 （2）一元二次方程应用题的几种常见类型： ①增长率问题 a(1+x)2=b，其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量. ②降低率问题 a(1-x)2=b，其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意1与x位置不可调换. 总结：有关增长率和降低率的有关数量关系 增长率的问题在实际生活中普遍存在，有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为x，增长(或降低)前的量是a，增长(或降低)n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+” ，降低取“－”). ③传播问题 数量关系：第一轮传播后的量=传播前的量×（1+传播速度） 第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×（1+传播速度）=传播前的量×（1+传播速度）2 ④循环问题 重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。 ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分∴m= 不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m。 ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠∴m= ( 03 题型归纳 ) 题型一　一元二次方程的定义 例题：（2024九年级上·全国·专题练习）下列方程：①；②；③；④．是一元二次方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是，特别要注意的条件．根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：①，是一元二次方程； ②，是分式方程，不是一元二次方程； ③，含有两个未知数，不是一元二次方程； ④，是一元二次方程． 所以是一元二次方程的有2个． 故选：B 巩固训练 1．（23-24九年级上·江苏南京·开学考试）下列是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的识别．本题根据一元二次方程的定义解答． 【详解】解：A、当时，是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、是一元二次方程，故本选项符合题意； C、变形为不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、含有分式，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：B 2．（2024九年级上·江苏·专题练习）若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为_______ 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，即经整理后，如果方程含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程为一元二次方程，掌握此概念是关键，千万不要忘记二次项系数不为零．根据一元二次方程的概念，最高项系数为2，二次项系数不为零，由这两点即可确定a的值． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴且，解得：． 故答案为：． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）已知关于x的方程，试问： (1)m为何值时，该方程是关于x的一元一次方程？ (2)m为何值时，该方程是关于x的一元二次方程？ 【答案】(1)或；(2) 【分析】本题考查了一元二次方程和一元一次方程的定义，能根据一元一次方程的定义得出或或是解（1）的关键，能根据一元二次方程的定义得出且是解（2）的关键． （1）根据一元一次方程的定义得出或或，再求出即可； （2）根据一元二次方程的定义得出且，再求出即可． 【详解】（1）解：要使关于的方程是一元一次方程，分3种情况： ①，解得：，该方程是一元一次方程； ②，解得：，该方程是一元一次方程； ③，解得：，该方程是一元一次方程； 所以当或时，该方程是关于的一元一次方程； （2）解：要使关于的方程是一元二次方程，必须且， 解得：，都满足， 所以时，该方程是关于的一元二次方程． 题型二　一元二次方程的一般形式 例题：（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列一元二次方程是一般形式的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的相关概念，理解一元二次方程的一般形式为（）是解题的关键． 【详解】解：由题意得 是一元二次方程的一般形式； 故选：B． 巩固训练 1．（23-24九年级下·山东菏泽·开学考试）将一元二次方程化为一般形式，其中一次项系数是（    ） A．5 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，将所给方程化为的形式，即可得出一次项系数． 【详解】解：移项，得：， 可知一次项系数为， 故选B． 2．（18-19八年级下·浙江金华·期末）把一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题的关键． 直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案． 【详解】解：将一元二次方程化为一般形式之后，变为， 故选：A． 3．（22-23九年级上·山东青岛·阶段练习）方程化为一般形式是_______________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，移项、去括号、合并同类项即可求解，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 【详解】解：移项得，， 去括号得，， 合并同类项得，， ∴方程化为一般形式为， 故答案为：． 题型三　一元二次方程的解 例题：（23-24九年级上·新疆吐鲁番·期末）若一元二次方程有一个根为，则_________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，把代入方程计算即可求解，掌握一元二次方程根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程有一个根为， ∴， ∴， 故答案为：． 巩固训练 1．（2024九年级上·江苏·专题练习）若一元二次方程的一个根为0，则k的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，以及一元二次方程的定义，把代入一元二次方程，求出k值，然后再根据一元二次方程的定义选择合适的k值即可． 【详解】解：把代入一元二次方程， 得， 解得或1； 又， 即； 所以． 故选：C． 2．（23-24八年级下·浙江宁波·开学考试）关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解为____________ 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解．可把方程看作关于的一元二次方程，从而得到，，解之即可得出结论． 【详解】解：可把方程看作关于的一元二次方程， 关于的方程的解是，， 关于的方程的解是，， ，． 故答案为：，． 3．（23-24九年级上·浙江温州·开学考试）已知m是方程的一个根，则_________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的根的定义、代数式求值，根据一元二次方程的根的定义，将m代入，求出，即可求出的值． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴ 故答案为：3． 题型四　一元二次方程的解的估算 例题：（24-25九年级上·全国·课后作业）输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如下表： →→→→ 输出 分析表格中的数据，估计方程的一个正数解的大致范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，根据表格得，当时，，即，从而可以判断时的大致范围，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】根据表格得，当时，， 即， ∴方程的正数解的大致范围为， 故选：． 巩固训练 1．（23-24九年级上·福建宁德·阶段练习）根据关于的一元二次方程，可列表如下：则方程的正数解满足（    ） 0 1 A．解的整数部分是0，十分位是5 B．解的整数部分是0，十分位是8 C．解的整数部分是1，十分位是1 D．解的整数部分是1，十分位是2 【答案】D 【分析】观察表格得：一元二次方程的解位于与之间，方程的正数解满足解的整数部分是1，十分位是2，即可求解． 【详解】解：观察表格得：一元二次方程的解位于与之间， ∴方程的正数解满足解的整数部分是1，十分位是2． 故选：D． 2．（23-24八年级下·重庆·期末）根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（　　） x A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解的估算．熟练掌握一元二次方程的解的估算是解题的关键． 由图象可知，，则方程一个解的取值范围为，然后判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴方程一个解的取值范围为， 故选：C． 3．（22-23九年级上·四川成都·期中）根据下列表格的对应值： X 0 1 2 3 4 4 13 26 由此可判定方程必有一个根满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，根据表格中x与值的特征，确定出的解x的范围即可，弄清表格中的数据是解本题的关键． 【详解】根据表格得： 当时，， 当时，， 则关于x的一元二次方程的一个解x的范围是． 故选：B 题型五　直接开平方法解一元二次方程 例题：（24-25九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，；(2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键． （1）利用直接开方的方法进行求解即可； （2）利用直接开方的方法进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，； （2）， ， 两边直接开平方，得， 解得，． 巩固训练 1．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）的根是（ ） A． B． C．无实数根 D．以上均不正确 【答案】C 【分析】首先把27移到方程右边，再两边同时除以3可得，根据偶次幂具有非负性可得答案． 此题主要考查了直接开方法求一元二次方程的解，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成的形式，利用数的开方直接求解． 【详解】解：， ， ， ∵具有非负性， ∴无实数根． 故选：C． 2．（23-24九年级下·四川广元·开学考试）一元二次方程 的根是________． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，直接利用开平方法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴或， 解得：， 故答案为： 3．（23-24八年级下·山东东营·开学考试）解方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1);(2);(3)或;(4)或 【分析】本题考查利用直接开平方法解方程，熟练掌握直接开平方法解方程是解题的关键． （1）利用直接开平方法解方程即可； （2）利用直接开平方法解方程即可； （3）利用直接开平方法解方程即可； （4）利用直接开平方法解方程即可． 【详解】（1）解：，即， ∴； （2）解：，即， ∴； （3）解：， ∴或， ∴或； （4）解：， ∴，即：或， ∴或． 题型六　因式分解法解一元二次方程 例题：（2023·浙江杭州·一模）方程的解是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，先移项得到，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可． 【详解】解：， ， 或， 所以，． 故选：B． 巩固训练 1．（2024八年级下·浙江·专题练习）方程的解是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，先移项，再利用因式分解法解答即可求解，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，， 故选：． 2．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）一元二次方程的解是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．用因式分解法求解即可． 【详解】解：∵ ∴或 ∴ 故选C． 3．（23-24九年级上·江苏常州·期末）一元二次方程的解为____________． 【答案】， 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，先移项，再提取公因式分解因式，把原方程化为两个一次方程，再解一次方程即可．熟练的利用因式分解的方法解方程是解本题的关键． 【详解】解：∵，即： ∴， ∴或， 解得：，， 故答案为：，． 题型七　配方法解一元二次方程 例题：（24-25九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，；(2)，． 【分析】此题考查了解一元二次方程配方法．各方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解． 【详解】（1）解：原方程可化为． 配方，得，即． 两边直接开平方，得， 所以或， 所以，； （2）解：原方程可化为． 配方，得， 即． 两边直接开平方，得， 所以或， 所以，． 巩固训练 1．（23-24九年级下·江苏南京·开学考试）一元二次方程配方后变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程—配方法，掌握配方法是解题的关键．先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方形式即可． 【详解】解：， ∴， ∴， 即． 故选：B 2．（23-24九年级上·江苏南京·开学考试）用配方法解一元二次方程，配方之后的方程是__________________． 【答案】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，按照配方法的步骤写出配方之后的方程即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）用配方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)，;(2)，;(3)，;(4)， 【分析】本题考查解一元二次方程—配方法， （1）移项后再配方即可求解；（2）移项后再配方即可求解；（3）直接配方即可求解；（4）移项后再配方即可求解； 解题的关键是掌握：解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①将常数项移到方程的另一边，再将二次项系数化为， 当二次项系数不是时，方程两边同时除以二次项系数； ②在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使其中的三项成为完全平方式； ③配方后将原方程化为的形式，再用直接开平方的方法解方程． 【详解】（1）解：， 移项，得：， 配方，得：， 合并，得：， 直接开平方，得：， 解得：，； （2）， 移项，得：， 配方，得：， 合并，得：， 直接开平方，得：， 解得：，； （3）， 配方，得：， 合并，得：， 直接开平方，得：， 解得：，； （4）， 移项，得：， 配方，得：， 合并，得：， 直接开平方，得：， 解得：，． 题型八　配方法的应用 例题：（2024九年级上·全国·专题练习）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 解决问题：（1）若可配方成（为常数），求，的值； 探究问题：（2）已知，求的值； （3）已知（都是整数，是常数），要使的最小值为，试求出的值． 【答案】（），；（）；（）． 【分析】（）把写成的形式，然后与二次项和一次项组成完全平方式，从而分解因式，从而求出，的值即可； （）把写成的形式，然后把分给含有的项，分给含有的项，进行分解因式，根据偶次方的非负性，求出，，从而求出答案即可； （）把已知等式的右边进行平方，组成两个完全平方式，然后根据偶次方的非负性和s的最小值，列出关于的方程，解方程即可； 本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，熟知完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：（1）∵ ， ∴，； （2）， ， ， ∵，， ∴，， 解得：，， ∴； （3）∵， ∴， ， ∵，，的最小值为， ∴，解得：． 巩固训练 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知代数式，用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数． 【答案】见解析 【分析】先利用配方法将配成，再根据完全平方的非负性即可得证．本题主要考查了利用配方法将一个代数式写成一个数的完全平方加一个正数的形式，以及完全平方的非负性．熟练掌握配方法的步骤是解题的关键． 【详解】证明： ． 又∵， ∴，即， ∴不论x取何值，这个代数式的值总是正数． 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）（1）①比较与的大小：（填“”、“”或“=”） 当时，________； 当时，________； 当时，________． ②观察并归纳①中的规律，无论m取什么值，________填“”“”“”或“，并说明理由． （2）利用上题的结论回答：试比较与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）①；；；②，理由见解析；（2），理由见解析 【分析】此题考查了配方法的应用，不等式的性质 ，熟练掌握用作差法比较两个数或两个代数式的大小是解题的关键； （1）①分别将m的值代入计算，再进行比较即可；②将两个式子作差得，根据完全平方的非负性，即可得出答案； （2）两个代数式作差，得到完全平方形式，比较大小，即可得出答案． 【详解】解：①当时，，，则， 当时，，，则， 当时，，，则， 故答案为；；；； ②，理由如下：， 无论m取何值， ∴无论m取何值，总有； 故答案是：； （2），理由如下： ∵ ∴． 3．（23-24八年级下·山东济南·期末）求代数式的最小值时，我们通常运用“”这个结论对代数式进行配方来解决．比如，，，的最小值是，试利用“配方法”解决下列问题：    (1)填空：（______）______； (2)如图1所示的是一组邻边长分别为，的长方形，其面积为；如图2所示的是边长为的正方形，其面积为，，请比较与的大小，并说明理由． (3)如图3，一个地块一边靠墙（墙足够长），另外三边用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边加建宽的门（用其他材料）．设，矩形的面积为．当为何值时，矩形场地的面积最大?最大值为多少平方米? 【答案】(1)，；(2)，理由见解析；(3)当为时，矩形场地的面积最大，最大值为平方米 【分析】本题主要考查配方法的运用，几何图形的面积的计算，乘法公式与几何图形面积的综合运用，理解题意，掌握乘法公式与几何图形的综合知识的运用是解题的关键． （1）根据材料提示，运用配方法即可求解； （2）结合矩形和正方形面积公式，利用整式的乘法分别算出、，再运用的结果的正负来判断大小，即可解题； （3）根据题意得到，利用矩形面积公式表示出，再结合题干求解方法即可解题． 【详解】（1）解：由题知，， 故答案为：，． （2）解：由题知，， ， ， ， ． （3）解：， 由题知，， 矩形的面积；     ， ， ， 当为时，矩形场地的面积最大，最大值为平方米． 题型九　公式法解一元二次方程 例题：（2024九年级上·全国·专题练习）用公式法解下列各方程： (1) (2) (3) 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】本题考查利用公式法解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解本题的关键，属基础题． （1）把代入求根公式计算即可； （2）把代入求根公式计算即可； （3）先把方程化为一般形式得：，再把代入求根公式计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解：整理，得， ． 巩固训练 1．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）方程的根是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了公式法求解一元二次方程，找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解． 【详解】解：， ，，， ， ， ， ， 故选：B． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）是下列哪个一元二次方程的根（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了用公式法解一元二次方程，将求根公式一一代入方程验证即可得出答案． 【详解】解：A．中，，不合题意； B．中，，不合题意； C．，，不合题意； D．3x2+5x﹣1＝0中，，符合题意； 故选：D． 3． （24-25九年级上·全国·单元测试）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)；(2)，；(3)方程无解；(4) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用公式法求解方程是解题的关键． （1）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （2）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （3）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （4）由题意易得，然后根据公式法可进行求解． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵ ∴， ∴， ∴原方程无解． （4）解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 题型十　根据判别式判断一元二次方程根的情况 例题：（22-23八年级下·山东泰安·期中）下列方程中没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：A、，则原方程有两个相等的实数根，不符合题意； B、，则原方程有两个不相等的实数根，不符合题意； C、，则原方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D、，则原方程无实数根，符合题意； 故选：D． 巩固训练 1．（2023·河南平顶山·二模）定义运算：，例如：，则方程的根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式与根的关系是解题的关键．利用新定义得到，然后利用可判断方程根的情况即可． 【详解】解：由新定义得：， 即， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 2．（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）一元二次方程的根的情况为（    ） A．无实数根 B．有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，涉及一元二次方程根的判别式，由题中一元二次方程得到判别式，即可判断答案，熟记一元二次方程根的情况与判别式符号关系是解决问题的关键． 【详解】解：一元二次方程， ， ， 一元二次方程的根的情况为有两个不相等的实数根， 故选：D． 3．（22-23八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)求出方程的根； (3)若方程的两个根都是正整数，求整数的值． 【答案】(1)见详解；(2)，；(3)或． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根的判别式以及根据一元二次次方程根的情况求出参数等知识． （1）先求出，再根据根的判别式得出答案即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可． （3）利用一元二次次方程根的情况求出参数即可． 【详解】（1）证明：，，， ∴ ， ∴ 方程总有两个实数根 （2） ， ∴或， ∴， （3）由（2）知，， ∵m为整数，方程的两个根都是正整数， ∴必为正整数， ∴或2， ∴或． 题型十一　根据一元二次方程根的情况求参数 例题：（23-24九年级下·河南信阳·开学考试）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】此题考查了根的判别式，一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，得，根据方程有两个实数根，得出，求出的取值范围即可得出答案． 【详解】解：关于的一元二次方程， ， 方程有两个实数根， ， 解得， 的取值范围是且， 故选：D． 巩固训练 1．（2024九年级上·江苏·专题练习）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义以及根的情况，熟练掌握一元二次方程根的情况是解题的关键．根据题意得到且即可得到答案． 【详解】解：根据题意得且， 解得且． 故选：D． 2．（23-24九年级上·江苏南京·开学考试）若关于x的方程有实数根，则k的范围是__________；若方程有两个不相等的实数根，则k的范围是___________． 【答案】 且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，，方程有两个不相等是实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程有没有实数根．据此列不等式求解即可．先分两种情况：方程为一元一次方程或一元二次方程，再求解即可，根据方程有两个不相等的实数根可得，再解不等式即可． 【详解】解：∵关于x的方程有实数根， 当时，方程为一元一次方程，方程有实数根， 当时，即， ， 解得：， 综上：关于x的方程有实数根，则k的范围是； 方程有两个不相等的实数根， 且 解得：且， 故答案为：；且． 3．（2023·湖北黄冈·模拟预测）已知关于x的一元二次方程，其中、、分别为△ABC三边的长． (1)如果是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； (3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【答案】(1) △ABC是等腰三角形，理由见解析;(2) △ABC是直角三角形，理由见解析;(3)， 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定，直角三角形的判定，等边三角形的性质，解一元二次方程，解本题的关键是建立方程． （1）将代入方程中，化简即可得出，即可得出结论； （2）利用一元二次方程有两个相等的实数根，用建立方程，即可得出，进而得出结论； （3）先判断出，再代入化简即可得出方程，解方程即可得出结论． 【详解】（1）解：△ABC是等腰三角形， 理由：当时，， 化简得：， 是等腰三角形； （2）解：△ABC是直角三角形， 理由：方程有两个相等的实数根， ， ， 是直角三角形； （3）解：是等边三角形， ， 原方程可化为：， 即：， ， ，， 即：这个一元二次方程的根为，． 题型十二　一元二次方程的根与系数的关系 例题：（23-24九年级上·湖北武汉·期末）若，β是一元二次方程的两个实数根，则的值为（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，本题的关键是明确两根之和为． 先根据一元二次方程根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：∵，β是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故选C． 巩固训练 1．（2023·陕西安康·一模）已知方程的两根分别是和，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了一元二次方程的解． 先根据一元二次方程根的定义得到，则可化为，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：为方程的根， ， ， ， 方程的两根分别是和， ， ． 故选：B． 2．（23-24九年级上·四川泸州·期中）已知，是方程的两根，则代数式________． 【答案】9 【分析】本题主要考查一元二次方程的解及根与系数的关系，熟练掌握方程的解的定义及韦达定理是解题的关键．由根与系数的关系可得：：，，再整体代入变形后的代数式即可求解． 【详解】解：由题意得：，， 则 ． 故答案为： 3．（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求k的取值范围 (2)如果一元二次方程的两个实数根分别为，，，求k的取值范围． 【答案】(1);(2) 【分析】本题考查根的判别式、根与系数的关系和一元二次方程的定义，解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系和一元二次方程的定义． （1）由根的情况，根据根的判别式，可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围； （2）由根与系数的关系可用k表示出两根之和、两根之积，由条件可得到关于k的方程，则可求得k的值． 【详解】（1）一元二次方程有实数根， 解得∶ ． 故k的取值范围是； （2）一元二次方程的两个实数根分别为，， ，， ， ， 解得：， 由（1）可得， ． 题型十三　一元二次方程的应用 例题：（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则n的值是多少？ 【答案】 【分析】设邀请了个好友转发倡议书，第一轮传播了个人，第二轮传播了个人，根据两轮传播后，共有111人参与列出方程求解即可．本题考查了一元二次方程的应用，解答时先由条件表示出第一轮增加的人数和第二轮增加的人数，根据两轮总人数为111人建立方程是关键． 【详解】解：由题意，得 ， 解得：（舍去），． ∴n的值是 巩固训练 1．（23-24九年级上·四川达州·期末）列方程解应用题：如图，在长为，宽为的长方形风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果整幅挂图的面积为，那么金色纸边的宽度应是多少m？ 【答案】金色纸边的宽度应是 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设金色纸边的宽度应是，根据矩形的面积公式列出关于x的一元二次方程求解即可得出答案． 【详解】解：设金色纸边的宽度应是， 根据题意有：， 整理得：， 解得，或（舍去）， ∴金色纸边的宽度应是． 2．（22-23八年级下·山东烟台·期中）近年来，农产品直播带货行业发展态势强劲，手机成了新农具，直播卖货成了新农活，乡村电商成为推动乡村振兴的新动能，我市一家电商运营公司直播销售一种有机蓝莓，每箱蓝莓成本为60元．根据销售经验，当每箱售价为150元时，平均每天可销售60箱；若当每箱售价每降低10元时，平均每天可多销售20箱．“五一”假期来临，该公司决定进行降价促销活动，在每箱降价幅度不超过30元的情况下，当每箱有机蓝莓售价定为多少元时，可让该公司实现平均每天7000元的利润额？ 【答案】当每箱有机蓝莓售价定为130元时，可让该公司实现平均每天7000元的利润额 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，掌握一元二次方程的解法是解决问题的关键．根据题意列出关于售价的一元二次方程即可求解． 【详解】解：根据题意：设每箱有机蓝莓售价定为元， ， 化简整理得：， 解得：，， 每箱降价幅度不超过30元， ， 答：当每箱有机蓝莓售价定为130元时，可让该公司实现平均每天7000元的利润额． 3．（23-24八年级下·山东东营·期末）读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气，所以学校图书馆周六面向社会开放．据统计，某校图书馆第一个月接待256人，第三个月接待576人，假设接待人数的月平均增长率相同． (1)求接待人数的月平均增长率； (2)因学校图书馆较小，每月接待不超过1000人时，能正常接待读者，在月平均增长率不变的条件下，图书馆第四个月能否正常接待读者？请说明理由． 【答案】(1)；(2)能正常接待读者，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设接待人数的月平均增长率是x，根据第一个月及第三个月的接待人次数，即可得出关于x的一元二次方程，即可得出结论； （2）根据第四个月的接待人数等于第三个月的接待人数乘以（增长率），可求出第四个月的接待人数，再与进行比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设接待人数的月平均增长率是，依题意， 得∶， 解得∶，(不合题意，舍去)． 答∶接待人数的月平均增长率是． （2）能正常接待读者，理由如下∶ 能正常接待读者． ( 29 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第22章 一元二次方程（题型清单） ( 02 知识速记01 思维导图 ) 知识点1 一元二次方程的有关概念 （1）一元二次方程的概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 （2）一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0）。其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。 【注意】 ①只含有一个未知数； ②所含未知数的最高次数是2； ③整式方程。 （3）一元二次方程的解的概念：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。 【注意】 方法技巧：一元二次方程解的应用方法，将解代入方程，化简式子求解（或是整体思想） 知识点2一元二次方程的解法 (1)直接开平方法 直接开平方法解一元二次方程：将方程化成则x＝. (2)因分解法 ①一元二次方程通过因式分解，分解为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，实现降次的方法。 即将一元二次方程化简为；从而得出：，因式分解法的关键是分解成两个一次因式相乘的形式。 ②分解的主要方法： 提取公因式法：通过提取公因式达到因式分解的目的，进而求解一元二方程。 乘法公式：因式分解的目的在将方程化成两个因式乘积等于0的形式，利用如下乘法公式，有时可以很好解决。平方差公式：；完全平方公式： (3)配方法 ①配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法． ②用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0 (a≠0）的一般步骤是： 第一步，化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； 第二步，移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； 第三步，配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方； 第四步，化原方程为(x+m）2=n的形式； 第五步，如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解． 【注意】 实际在解方程的过程中，一般也只是针对且为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使用公式法来更加简单。 (4)公式法 ①公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的． 一元二次方程的求根公式是:(=b2－4ac≥0) ②推导过程：一元二次方程，用配方法将其变形为： ③公式法解方程的步骤： 第一步，化方程为一元二次方程的一般形式； 第二步，确定a、b、c的值； 第三步，求出b2－4ac的值； 第四步，若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4ac＜0，则方程无解． (5) 解一元二次方程的方法选择： ①虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。 ②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握。 ③四种求方程方法的一定要合理选用，依次按直接开平方、因式分解，配方法和公式法的顺序考虑选用。 知识点3 一元二次方程根的判别式 () （1）①当时，方程有两个不相等的实根； ②当时，方程有两个相等的实根； ③当时，方程没有实根。 （2）判别式作用：①定根的个数；②求待定系数的值。 【注意】 ①在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式； ②在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数a≠0 ③证明恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方式+正数”的形式。 知识点4一元二次方程的根与系数的关系韦达定理 如果是一元二次方程的两个根,由解方程中的公式法得, ．那么可推得这是一元二次方程根与系数的关系． 知识点5一元二次方程的应用题 （1）一元二次方程解应用题的一般步骤 ①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式； ②以利于表示等量关系式为原则，设未知数x； ③依据等量关系式和未知数x建立方程； ④解方程并解答。 注：一元二次方程通常有2解，但是，应检验方程的2个根是否都符合实际情况。 （2）一元二次方程应用题的几种常见类型： ①增长率问题 a(1+x)2=b，其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量. ②降低率问题 a(1-x)2=b，其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意1与x位置不可调换. 总结：有关增长率和降低率的有关数量关系 增长率的问题在实际生活中普遍存在，有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为x，增长(或降低)前的量是a，增长(或降低)n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+” ，降低取“－”). ③传播问题 数量关系：第一轮传播后的量=传播前的量×（1+传播速度） 第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×（1+传播速度）=传播前的量×（1+传播速度）2 ④循环问题 重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。 ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分∴m= 不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m。 ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠∴m= ( 03 题型归纳 ) 题型一　一元二次方程的定义 例题：（2024九年级上·全国·专题练习）下列方程：①；②；③；④．是一元二次方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 巩固训练 1．（23-24九年级上·江苏南京·开学考试）下列是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024九年级上·江苏·专题练习）若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为_______ 3．（2024九年级上·全国·专题练习）已知关于x的方程，试问： (1)m为何值时，该方程是关于x的一元一次方程？ (2)m为何值时，该方程是关于x的一元二次方程？ 题型二　一元二次方程的一般形式 例题：（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列一元二次方程是一般形式的为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24九年级下·山东菏泽·开学考试）将一元二次方程化为一般形式，其中一次项系数是（    ） A．5 B． C．3 D． 2．（18-19八年级下·浙江金华·期末）把一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·山东青岛·阶段练习）方程化为一般形式是_______________． 题型三　一元二次方程的解 例题：（23-24九年级上·新疆吐鲁番·期末）若一元二次方程有一个根为，则_________． 巩固训练 1．（2024九年级上·江苏·专题练习）若一元二次方程的一个根为0，则k的值为（    ） A． B． C． D．或 2．（23-24八年级下·浙江宁波·开学考试）关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解为____________ 3．（23-24九年级上·浙江温州·开学考试）已知m是方程的一个根，则_________． 题型四　一元二次方程的解的估算 例题：（24-25九年级上·全国·课后作业）输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如下表： →→→→ 输出 分析表格中的数据，估计方程的一个正数解的大致范围是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24九年级上·福建宁德·阶段练习）根据关于的一元二次方程，可列表如下：则方程的正数解满足（    ） 0 1 A．解的整数部分是0，十分位是5 B．解的整数部分是0，十分位是8 C．解的整数部分是1，十分位是1 D．解的整数部分是1，十分位是2 2．（23-24八年级下·重庆·期末）根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（　　） x A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·四川成都·期中）根据下列表格的对应值： X 0 1 2 3 4 4 13 26 由此可判定方程必有一个根满足（    ） A． B． C． D． 题型五　直接开平方法解一元二次方程 例题：（24-25九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 巩固训练 1．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）的根是（ ） A． B． C．无实数根 D．以上均不正确 2．（23-24九年级下·四川广元·开学考试）一元二次方程 的根是________． 3．（23-24八年级下·山东东营·开学考试）解方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 题型六　因式分解法解一元二次方程 例题：（2023·浙江杭州·一模）方程的解是（　　） A．， B．， C．， D．， 巩固训练 1．（2024八年级下·浙江·专题练习）方程的解是（    ） A． B． C．， D．， 2．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）一元二次方程的解是（      ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·江苏常州·期末）一元二次方程的解为____________． 题型七　配方法解一元二次方程 例题：（24-25九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)． 巩固训练 1．（23-24九年级下·江苏南京·开学考试）一元二次方程配方后变形为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏南京·开学考试）用配方法解一元二次方程，配方之后的方程是__________________． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）用配方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 题型八　配方法的应用 例题：（2024九年级上·全国·专题练习）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 解决问题：（1）若可配方成（为常数），求，的值； 探究问题：（2）已知，求的值； （3）已知（都是整数，是常数），要使的最小值为，试求出的值． 巩固训练 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知代数式，用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数． 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）（1）①比较与的大小：（填“”、“”或“=”） 当时，________； 当时，________； 当时，________． ②观察并归纳①中的规律，无论m取什么值，________填“”“”“”或“，并说明理由． （2）利用上题的结论回答：试比较与的大小关系，并说明理由． 3．（23-24八年级下·山东济南·期末）求代数式的最小值时，我们通常运用“”这个结论对代数式进行配方来解决．比如，，，的最小值是，试利用“配方法”解决下列问题：    (1)填空：（______）______； (2)如图1所示的是一组邻边长分别为，的长方形，其面积为；如图2所示的是边长为的正方形，其面积为，，请比较与的大小，并说明理由． (3)如图3，一个地块一边靠墙（墙足够长），另外三边用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边加建宽的门（用其他材料）．设，矩形的面积为．当为何值时，矩形场地的面积最大?最大值为多少平方米? 题型九　公式法解一元二次方程 例题：（2024九年级上·全国·专题练习）用公式法解下列各方程： (1) (2) (3) 巩固训练 1．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）方程的根是（ ） A． B． C． D． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）是下列哪个一元二次方程的根（     ） A． B． C． D． 3． （24-25九年级上·全国·单元测试）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型十　根据判别式判断一元二次方程根的情况 例题：（22-23八年级下·山东泰安·期中）下列方程中没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（2023·河南平顶山·二模）定义运算：，例如：，则方程的根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 2．（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）一元二次方程的根的情况为（    ） A．无实数根 B．有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 3．（22-23八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)求出方程的根； (3)若方程的两个根都是正整数，求整数的值． 题型十一　根据一元二次方程根的情况求参数 例题：（23-24九年级下·河南信阳·开学考试）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 巩固训练 1．（2024九年级上·江苏·专题练习）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 2．（23-24九年级上·江苏南京·开学考试）若关于x的方程有实数根，则k的范围是__________；若方程有两个不相等的实数根，则k的范围是___________． 3．（2023·湖北黄冈·模拟预测）已知关于x的一元二次方程，其中、、分别为△ABC三边的长． (1)如果是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； (3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 题型十二　一元二次方程的根与系数的关系 例题：（23-24九年级上·湖北武汉·期末）若，β是一元二次方程的两个实数根，则的值为（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 巩固训练 1．（2023·陕西安康·一模）已知方程的两根分别是和，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·四川泸州·期中）已知，是方程的两根，则代数式________． 3．（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求k的取值范围 (2)如果一元二次方程的两个实数根分别为，，，求k的取值范围． 题型十三　一元二次方程的应用 例题：（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则n的值是多少？ 巩固训练 1．（23-24九年级上·四川达州·期末）列方程解应用题：如图，在长为，宽为的长方形风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果整幅挂图的面积为，那么金色纸边的宽度应是多少m？ 2．（22-23八年级下·山东烟台·期中）近年来，农产品直播带货行业发展态势强劲，手机成了新农具，直播卖货成了新农活，乡村电商成为推动乡村振兴的新动能，我市一家电商运营公司直播销售一种有机蓝莓，每箱蓝莓成本为60元．根据销售经验，当每箱售价为150元时，平均每天可销售60箱；若当每箱售价每降低10元时，平均每天可多销售20箱．“五一”假期来临，该公司决定进行降价促销活动，在每箱降价幅度不超过30元的情况下，当每箱有机蓝莓售价定为多少元时，可让该公司实现平均每天7000元的利润额？ 3．（23-24八年级下·山东东营·期末）读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气，所以学校图书馆周六面向社会开放．据统计，某校图书馆第一个月接待256人，第三个月接待576人，假设接待人数的月平均增长率相同． (1)求接待人数的月平均增长率； (2)因学校图书馆较小，每月接待不超过1000人时，能正常接待读者，在月平均增长率不变的条件下，图书馆第四个月能否正常接待读者？请说明理由． ( 14 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$