19.4 二次函数的应用（ 第2课时 与面积相关的应用、建立坐标利用抛物线解决实际问题 题型提分练）数学北京版九年级上册

19.2二次函数的应用 第2课时 同步练习 题型 二次函数在计算面积中的应用、建立二次函数解决实际问题 1．如图1是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为y，正常水位时水面宽AB为36m，当水位上升5m时水面宽CD为（　　） A．10m B．12m C．24m D．48m 2．如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为5m的墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开．已知整个隔离区塑料膜总长为12m，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为12m2；小亮认为：隔离区的面积可能为9m2．则：（　　） A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确 C．两人均正确 D．两人均错误 3．如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的长方形菜园ABCD，设与墙平行的篱笆AB的长为x m，菜园的面积为y m2，试写出y与x之间的关系式 　 　． 4．如图，某小区规划在一块边长为x米的正方形场地上，铺设两条宽为1米的小路，其余部分铺设草坪，则草坪的面积y（米2）与正方形场地边长x（米）之间的关系式为 　 　． 5．发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y＝ax2+bx（a≠0）．若此炮弹在第7秒与第15秒时的高度相等，则第 　 　秒时，炮弹位置达到最高． 6．【发现问题】 由（a﹣b）2≥0得，a2+b2≥2ab；如果两个正数a，b，即a＞0，b＞0，则有下面的不等式：，当且仅当a＝b时取到等号． 【提出问题】 若a＞0，b＞0，利用配方能否求出a+b的最小值呢？ 【分析问题】 例如：已知x＞0，求式子的最小值． 解：令a＝x，，则由，得，当且仅当时，即x＝2时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】 请根据上面材料回答下列问题： （1）2+3 　 　；6+6 　 　．（用“＝”“＞”“＜”填空） （2）当x＞0，式子的最小值为 　 　； 【能力提升】 （3）当x＜0，则当x＝　 　时，式子取到最大值； （4）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （5）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别是8和14，求四边形ABCD面积的最小值． 7．拱桥造型优美，是中国最常用的一种桥梁形式．现在某地，有一座拱桥，跨度AB为60m，拱顶C离地面高18m，拱桥的形状是一条抛物线； （1）以AB的中点为坐标原点，如图建立坐标系，请求出该拱桥所在抛物线的表达式； （2）当水面宽度小于或等于30m时，需要采取紧急措施．现在水面距离拱顶为4m，是否需要采取紧急措施； （3）某人在拱顶C处踢一足球，足球最高点位置距人水平距离为8m，竖直距离为6m，已知足球的运动轨迹为一条抛物线，请问足球会落在桥上吗？ 8．数学活动：如何提高篮球运动罚球命中率——以小华同学为例 活动背景：某学校体育节进行班级篮球比赛，在训练过程中发现小华同学罚球命中率较低，为帮助小华同学提高罚球命中率，该班数学小组拍摄了如图1片并测量了相应的数据（图片标注的是近似值）． （1）模型建立：如图2所示，直线AE是地平线，A为小华罚球时脚的位置，篮球在运动过程中B、D、F为篮球的三个不同位置，B点为球出手时候的位置．已知AB＝1.75m，CD＝3.202m，EF＝3.042m，AC＝2.2m，AE＝3.8m，篮球运动轨迹是抛物线的一部分，数学小组以A、B、C、D、E、F中的某一点为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，计算出篮球的运动轨迹对应的抛物线解析式为，根据解析式，请你判断该数学小组是以点 　 　（填A、B、C、D、E、F中的一个）作为坐标原点． （2）问题解决：已知篮球框与罚球线水平距离为4米，距离地面为3米，请问在（1）的情况下，小华的这次罚球能否罚进？并说明理由． （3）模型应用：如图3所示为抛物线的一部分函数图象，抛物线外一点P（4，3），试通过计算说明在不改变抛物线形状的情况下，把原抛物线向上平移多少个单位，能使平移后的抛物线经过点P． 9．【发现问题】：小明和小强做弹球游戏，如图1，小明向斜坡抛一个乒乓球，乒乓球弹起的运行路线是一条抛物线，乒乓球落地后又弹起，第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的抛物线形状相同，小强在地面立一块高度为0.4m的木板，当乒乓球在第二次下落时能落在木板上，则小强获胜． 【提出问题】：小强将木板放在距斜坡底端多远，才能确保获胜？ 【分析问题】：小强以斜坡底端O为坐标原点，地面水平线为x轴，取单位长度为1m，建立如图2所示的平面直角坐标系，乒乓球的大小忽略不计，经测量发现，抛球点A的坐标为（﹣1，3.36），第一次弹起的运行路线最高点坐标为（﹣0.5，3.61），第二次弹起的最大高度为1.21m．小强通过这些数据，经过计算，确定了木板立的位置，从而确保自己获胜． 【解决问题】： （1）求乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线的解析式； （2）求乒乓球第一次落地点B距斜坡底端O的距离； （3）小强将木板立在距斜坡底端O多远的范围内，才能确保自己获胜？ 10．综合与应用 为促进中学生全面发展，培养良好体质，某班同学在“大课间”开展“集体跳绳”运动．跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象．以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，若摇绳的两人之间间距为6米，摇绳时两人手离地面均为米；已知小丽身高1.575米，在距离摇绳者A的水平距离1.5米处，绳子刚好经过她的头顶． 【阅读理解】 （1）求图中抛物线的解析式；（不需要求自变量取值范围） 【问题解决】 （2）体育龙老师身高1.82米，请问他适合参加本次运动吗？说明理由； （3）若多人进入跳绳区齐跳，且大家身高均为1.7米，要求相邻两人之间间距至少为0.6米，试计算最多可供几人齐跳． 1．根据以下素材，探索完成任务． 你知道羽毛球的比赛规则吗？ 问题背景 素材1 如图1，在羽毛球单打比赛中，场地的边界线分为左右边界和前后边界．球员站在自己一方的后场发球，将球发到对角的对方的后场，或使用其他技巧将球发到对方的前场． 素材2 球员在发球时，必须将球击过网并发到对方场地的对角后场边界之内．如果球落在边界之外，则发球方失分．在接发球时，球员必须站在自己一方的接发球区域内接球． 素材3 如图2，若发球队员的击球点距离地面1米，网高1.55米，对方的前边界与击球点水平距离为3.96米，对方的后边界与击球点水平距离为8.68米，羽毛球的运行轨迹可以抽象为抛物线的一部分图象． 问题解决 条件 在水平地面上建x轴，过击球点A向水平地面作垂线，建y轴．在平面直角坐标系中，发球人的击球点A的坐标为（0，1）．（以下三次发球均为有效发球，不考虑左右边界） 任务1 第一次发球时，羽毛球的运行轨迹近似满足y＝ax2+bx+c（a≠0），此时球网与发球人的击球点的水平距离为2米，且抛物线恰好关于球网对称，如果按轨迹运行，羽毛球能够过网并落在对方前场． 请问此时的羽毛球是否出界？请说明理由． 任务2 第二次发球时，羽毛球的运行轨迹近似满足yx2+bx+c，如果按轨迹运行，落地点与击球点的水平距离为4米，此时球网与发球人的击球点的水平距离为2米． 请问此时的羽毛球过网了吗？请说明理由． 任务3 第三次发球时，羽毛球的运行轨迹近似满足yx2+bx+c，如果按轨迹运行，落地点与击球点的水平距离为8米，球网与发球人的击球点的水平距离为2米，此时对方球员站立的地点与球网的水平距离为3米，该球员向上伸直手臂挥拍的最大高度为2.2米．（参考数据：682＝4624） 请问该球员至少要后退多少米才能接到球？请说明理由． 2．某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度AB为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米．小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行了探究． 下面是小红的探究过程，请补充完整： （1）经过测量，得出了d和h的几组对应值，如表． d/米 0 0.6 1 1.8 2.4 3 3.6 4 h/米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.80 2.38 1.60 0.88 在d和h这两个变量中，　 　是自变量，　 　是这个变量的函数； （2）在下面的平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象； （3）结合表格数据和函数图象，解决问题： ①桥墩露出水面的高度AE为 　 　米； ②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且CE＝DF，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为 　 　米．（精确到0.1米） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 19.2二次函数的应用 第2课时 同步练习 题型 二次函数在计算面积中的应用、建立二次函数解决实际问题 1．如图1是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为y，正常水位时水面宽AB为36m，当水位上升5m时水面宽CD为（　　） A．10m B．12m C．24m D．48m 【分析】根据正常水位时水面宽AB，求出当x＝18时y＝﹣9，再根据水位上升5米时y＝﹣4，代入解析式求出x即可． 【解答】解：∵AB＝36米， ∴当x＝18时，y182＝﹣9， 当水位上升5米时，y＝﹣4， 把y＝﹣4代入抛物线表达式得：﹣4x2， 解得x＝±12， 此时水面宽CD＝24（m）， 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的应用，关键是通过建立适当坐标系求出抛物线解析式． 2．如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为5m的墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开．已知整个隔离区塑料膜总长为12m，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为12m2；小亮认为：隔离区的面积可能为9m2．则：（　　） A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确 C．两人均正确 D．两人均错误 【分析】设平行于墙的长度为x m（0＜x≤5），隔离区的面积为S m2，根据矩形的面积公式列出S关于x的二次函数关系式，求得其对称轴，根据二次函数的性质及走不了了的取值范围可得S的最大值；令S＝9，求得方程的解并根据自变量的取值范围作出取舍，则可判断小亮的说法． 【解答】解：设平行于墙的长度为x m（0＜x≤5），隔离区的面积为S m2，由题意得： Sx x2+4x， ∴对称轴为x6， ∵0＜x≤5，抛物线开口向下，在对称轴左侧，S随x的增大而增大， ∴当x＝5时，S有最大值： Smax52+4×5 20 ． ∵912， ∴小明错误； 令S＝9得：9x2+4x， 解得：x1＝9（舍），x2＝3， ∴ x＝3时，S＝9． ∴隔离区的面积可能为9m2． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 二．填空题（共3小题） 3．如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的长方形菜园ABCD，设与墙平行的篱笆AB的长为x m，菜园的面积为y m2，试写出y与x之间的关系式 　yx2+30x　． 【分析】根据矩形的面积公式，可得函数解析式． 【解答】解：（1）因为与墙平行的篱笆AB的长为x m， 所以与墙垂直的篱笆AD的长为m， 则长方形的面积y＝x•x2+30x， 故答案为：yx2+30x． 【点评】本题考查了二次函数的应用，矩形的面积公式得出函数解析式是解题关键． 4．如图，某小区规划在一块边长为x米的正方形场地上，铺设两条宽为1米的小路，其余部分铺设草坪，则草坪的面积y（米2）与正方形场地边长x（米）之间的关系式为 　y＝x2﹣2x+1　． 【分析】直接利用平移的性质得出草地所占面积． 【解答】解：由题意可得：y＝（x﹣1）2＝x2﹣2x+1， 故答案为：y＝x2﹣2x+1． 【点评】本题考查二次函数的应用，正确利用平移表示面积是解题关键． 5．发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y＝ax2+bx（a≠0）．若此炮弹在第7秒与第15秒时的高度相等，则第 　11　秒时，炮弹位置达到最高． 【分析】求出抛物线的对称轴，即可得炮弹位置达到最高时x的值． 【解答】解：∵此炮弹在第7秒与第15秒时的高度相等， ∴抛物线的对称轴是直线x11， ∴炮弹位置达到最高时，时间是第11秒． 故答案为：11． 【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是求出抛物线的对称轴． 6．【发现问题】 由（a﹣b）2≥0得，a2+b2≥2ab；如果两个正数a，b，即a＞0，b＞0，则有下面的不等式：，当且仅当a＝b时取到等号． 【提出问题】 若a＞0，b＞0，利用配方能否求出a+b的最小值呢？ 【分析问题】 例如：已知x＞0，求式子的最小值． 解：令a＝x，，则由，得，当且仅当时，即x＝2时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】 请根据上面材料回答下列问题： （1）2+3 　＞　；6+6 　＝　．（用“＝”“＞”“＜”填空） （2）当x＞0，式子的最小值为 　2　； 【能力提升】 （3）当x＜0，则当x＝　﹣3　时，式子取到最大值； （4）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （5）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别是8和14，求四边形ABCD面积的最小值． 【分析】根据材料提供的信息解答即可． 【解答】解：（1）∵当a＞0，b＞0时， 有a2+b2≥2ab，即， 令，，则 ． 当且仅当，a＝b时，取“＝”， 显然，， ∴． 同理可得，， 当且仅当，6＝6时，能取“＝”， ∴． 故答案为：＞，＝． （2）当x＞0，令a＝x，， 则由，得 ． 当且仅当，时，即x＝1时，式子有最小值，最小值为2． ∴的最小值为：2． 故答案为：2． （3）∵x＜0， ∴﹣x＞0， 则根据，得到 ， 当且仅当，时，x＝±3， 又∵x＜0， ∴x＝﹣3． 故答案为：﹣3． （4）设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为y（0＜y≤20）米， 则xy＝32， ∴， ∴所用篱笆的长为米， （米）， ∵当且仅当时，的值最小， ∴x＝4或x＝﹣4（舍）． ∴这个长方形的长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是16米． （5）设点B到AC的距离为h1（h1＞0），点D到OC的距离为h2（h2＞0）， 又∵△AOB、△COD的面积分别是8和14， ∴，， ∴， ∴SABCD＝S△ABC+S△ADC ． 当且仅当时，取等号， ∴四边形ABCD面积的最小值为． 【点评】本题主要考查阅读材料，材料阅读题是中学阶段所学习的重要内容，体会材料中的数学思想与方法，学会用新方法去解决数学中的问题，对学生的要求较高，是一道拔高型的综合题目． 7．拱桥造型优美，是中国最常用的一种桥梁形式．现在某地，有一座拱桥，跨度AB为60m，拱顶C离地面高18m，拱桥的形状是一条抛物线； （1）以AB的中点为坐标原点，如图建立坐标系，请求出该拱桥所在抛物线的表达式； （2）当水面宽度小于或等于30m时，需要采取紧急措施．现在水面距离拱顶为4m，是否需要采取紧急措施； （3）某人在拱顶C处踢一足球，足球最高点位置距人水平距离为8m，竖直距离为6m，已知足球的运动轨迹为一条抛物线，请问足球会落在桥上吗？ 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）将y＝14代入求得，得到此时水面宽度为 m，与30m比较即可求解； （3）设足球轨迹抛物线表达式为：y＝m（x﹣8）2+24，再将C（0，18）代入，求得足球轨迹抛物线表达式，据此求解即可． 【解答】解：（1）由题意可知：A（﹣30，0），B（30，0），C（0，18），C点为顶点； 设拱桥所在抛物线的表达式为：y＝ax2+18， 代入A（﹣30，0），得：0＝302a+18， 解得：， ∴拱桥所在抛物线的表达式为：； （2）将y＝14代入得：， 解得：， 所以此时水面宽度为 m， 又∵， 所以需要采取紧急措施； （3）若人朝x轴正方向踢足球，则由题意可知，足球最高点的坐标为（8，24）， 该点也是足球轨迹抛物线的顶点，因此可设足球轨迹抛物线表达式为：y＝m（x﹣8）2+24， 代入C（0，18）得：18＝（0﹣8）2m+24， 解得：， ∴， 令x＝30，得， 所以球会落在桥上． 【点评】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． 8．数学活动：如何提高篮球运动罚球命中率——以小华同学为例 活动背景：某学校体育节进行班级篮球比赛，在训练过程中发现小华同学罚球命中率较低，为帮助小华同学提高罚球命中率，该班数学小组拍摄了如图1片并测量了相应的数据（图片标注的是近似值）． （1）模型建立：如图2所示，直线AE是地平线，A为小华罚球时脚的位置，篮球在运动过程中B、D、F为篮球的三个不同位置，B点为球出手时候的位置．已知AB＝1.75m，CD＝3.202m，EF＝3.042m，AC＝2.2m，AE＝3.8m，篮球运动轨迹是抛物线的一部分，数学小组以A、B、C、D、E、F中的某一点为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，计算出篮球的运动轨迹对应的抛物线解析式为，根据解析式，请你判断该数学小组是以点 　B　（填A、B、C、D、E、F中的一个）作为坐标原点． （2）问题解决：已知篮球框与罚球线水平距离为4米，距离地面为3米，请问在（1）的情况下，小华的这次罚球能否罚进？并说明理由． （3）模型应用：如图3所示为抛物线的一部分函数图象，抛物线外一点P（4，3），试通过计算说明在不改变抛物线形状的情况下，把原抛物线向上平移多少个单位，能使平移后的抛物线经过点P． 【分析】（1）由抛物线解析式中常数项为0可得抛物线经过坐标原点，假设以点B为坐标原点，计算出点D和点F的坐标，判断点D和点F是否在抛物线上即可，若不在，再假设点D或F为坐标原点； （2）先表示出篮球框所在位置的坐标，再判断该坐标是否在抛物线上即可； （3）原抛物线向上平移m个单位后的解析式为；，将P（4，3）代入求出m的值即可． 【解答】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线经过坐标原点， ∴B、D、F可能为坐标原点， ∵AB＝1.75m，CD＝3.202m，EF＝3.042m，AC＝2.2m，AE＝3.8m， ∴当以点B为坐标原点时，点D的坐标为（2.2，3.202﹣1.75），即（2.2，1.452），点F的坐标为（3.8，3.042﹣1.75），即（3.8，1.292）， ∵当x＝2.2时，，当x＝3.8时，， ∴点D和点F在抛物线上， ∴该数学小组是以点B为坐标原点， 故答案为：B； （2）不能罚进，理由如下： 在（1）的情况下，篮球框所在位置的坐标为（4，3﹣1.75），即（4，1.25）， ∵当x＝4时，， ∴点（4，1.25）不在抛物线上， ∴小华的这次罚球不能罚进； （3）设原抛物线向上平移m个单位，能使平移后的抛物线经过点P， 则平移后的抛物线解析式为， 将P（4，3）代入，得：， 解得m＝0.2，即原抛物线向上平移0.2个单位，能使平移后的抛物线经过点P． 【点评】本题考查了二次函数的实际应用，根据实际问题抽象出数学模型是解题的关键． 9．【发现问题】：小明和小强做弹球游戏，如图1，小明向斜坡抛一个乒乓球，乒乓球弹起的运行路线是一条抛物线，乒乓球落地后又弹起，第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的抛物线形状相同，小强在地面立一块高度为0.4m的木板，当乒乓球在第二次下落时能落在木板上，则小强获胜． 【提出问题】：小强将木板放在距斜坡底端多远，才能确保获胜？ 【分析问题】：小强以斜坡底端O为坐标原点，地面水平线为x轴，取单位长度为1m，建立如图2所示的平面直角坐标系，乒乓球的大小忽略不计，经测量发现，抛球点A的坐标为（﹣1，3.36），第一次弹起的运行路线最高点坐标为（﹣0.5，3.61），第二次弹起的最大高度为1.21m．小强通过这些数据，经过计算，确定了木板立的位置，从而确保自己获胜． 【解决问题】： （1）求乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线的解析式； （2）求乒乓球第一次落地点B距斜坡底端O的距离； （3）小强将木板立在距斜坡底端O多远的范围内，才能确保自己获胜？ 【分析】（1）根据已知条件设出抛物线的顶点式解析式，再把A点坐标代入解析式求出a即可； （2）令（1）中解析式的y＝0，解方程求出x即可； （3）用待定系数法求出乒乓球第二次弹起运行路线的抛物线解析式，再令y＝0和y＝0.4，解方程求出OC的取值范围． 【解答】解：（1）根据题意知，乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线顶点为 （﹣0.5，3.61），过点A（﹣1，3.36）， 设乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线解析式为， 代入A（﹣1，3.36）得：3.36＝a（﹣1+0.5）2+3.61， 解得 a＝﹣1， ∴乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线解析式为； （2）令 y1＝0，则﹣（x+0.5）2+3.61＝0， 解得 x1＝1.4x2＝﹣2.4 （舍）， ∴OB＝1.4m， ∴乒乓球第一次落地点B距斜坡底端O的距离为1.4m； （3）∵乒乓球第二次弹起运行路线的抛物线与第一次形状相同，且最大高度为1.21m， ∴设乒乓球第二次弹起运行路线的抛物线为， 把B（1.4，0）代入解析式得：0＝﹣（1.4﹣h）2+1.21， 解得 h1＝2.5h2＝0.3 （舍）， ∴乒乓球第二次弹起运行路线的抛物线为； 当y2＝0时，则﹣（x﹣2.5）2+1.21＝0， 解得x1＝3.6，x2＝1.4（舍）； 当y2＝0.4时，则﹣（x﹣2.5）2+1.21＝0.4， 解得x1＝3.4，x2＝1.6（舍）． ∴当3.4≤x≤3.6m时，小强确保获胜． 【点评】本题考查二次函数的应用，关键是求出乒乓球第一次、第二次弹起运行路线的抛物线解析式． 10．综合与应用 为促进中学生全面发展，培养良好体质，某班同学在“大课间”开展“集体跳绳”运动．跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象．以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，若摇绳的两人之间间距为6米，摇绳时两人手离地面均为米；已知小丽身高1.575米，在距离摇绳者A的水平距离1.5米处，绳子刚好经过她的头顶． 【阅读理解】 （1）求图中抛物线的解析式；（不需要求自变量取值范围） 【问题解决】 （2）体育龙老师身高1.82米，请问他适合参加本次运动吗？说明理由； （3）若多人进入跳绳区齐跳，且大家身高均为1.7米，要求相邻两人之间间距至少为0.6米，试计算最多可供几人齐跳． 【分析】（1）易得c，抛物线的对称轴为直线x＝3，那么3；抛物线经过点（1.5，1.575），代入抛物线解析式可得a和b的值，即可求得抛物线的解析式； （2）根据抛物线解析式可得二次函数的最大值，与1.82米比较可得老师能否参加活动； （3）取二次函数的y的值为1.7，求得对应的x的值，进而求得两个x之间的间距，除以两个人之间最小的间距0.6，算出合适的人数即可． 【解答】解：（1）∵摇绳的两人之间间距为6米，摇绳时两人手离地面均为米， ∴抛物线的对称轴为直线x＝3． 由题意得：抛物线经过点（0，），（1.5，1.575）． ∴． 解得：． ∴图中抛物线的解析式为：y＝﹣0.1x2+0.6x+0.9； （2）∵﹣0.1＜0， ∴二次函数有最大值1.8． ∵1.8m＜1.82m， ∴他不适合参加本次运动； （3）当y＝1.7时． ﹣0.1x2+0.6x+0.9＝1.7． 0.1x2﹣0.6x+0.8＝0． x2﹣6x+8＝0． （x﹣2）（x﹣4）＝0． ∴x1＝2，x2＝4． ∴4﹣2＝2（米）． ∵相邻两人之间间距至少为0.6米， ∴间距个数为：2÷0.6＝3． ∴最多可供4人齐跳． 答：最多可供4人齐跳． 【点评】本题考查二次函数的应用．用到的知识点为：抛物线与y轴交点的纵坐标为抛物线解析式中c的值；抛物线上两个点的纵坐标相等，横坐标分别为x1，x2，那么抛物线的对称轴为直线x． 1．根据以下素材，探索完成任务． 你知道羽毛球的比赛规则吗？ 问题背景 素材1 如图1，在羽毛球单打比赛中，场地的边界线分为左右边界和前后边界．球员站在自己一方的后场发球，将球发到对角的对方的后场，或使用其他技巧将球发到对方的前场． 素材2 球员在发球时，必须将球击过网并发到对方场地的对角后场边界之内．如果球落在边界之外，则发球方失分．在接发球时，球员必须站在自己一方的接发球区域内接球． 素材3 如图2，若发球队员的击球点距离地面1米，网高1.55米，对方的前边界与击球点水平距离为3.96米，对方的后边界与击球点水平距离为8.68米，羽毛球的运行轨迹可以抽象为抛物线的一部分图象． 问题解决 条件 在水平地面上建x轴，过击球点A向水平地面作垂线，建y轴．在平面直角坐标系中，发球人的击球点A的坐标为（0，1）．（以下三次发球均为有效发球，不考虑左右边界） 任务1 第一次发球时，羽毛球的运行轨迹近似满足y＝ax2+bx+c（a≠0），此时球网与发球人的击球点的水平距离为2米，且抛物线恰好关于球网对称，如果按轨迹运行，羽毛球能够过网并落在对方前场． 请问此时的羽毛球是否出界？请说明理由． 任务2 第二次发球时，羽毛球的运行轨迹近似满足yx2+bx+c，如果按轨迹运行，落地点与击球点的水平距离为4米，此时球网与发球人的击球点的水平距离为2米． 请问此时的羽毛球过网了吗？请说明理由． 任务3 第三次发球时，羽毛球的运行轨迹近似满足yx2+bx+c，如果按轨迹运行，落地点与击球点的水平距离为8米，球网与发球人的击球点的水平距离为2米，此时对方球员站立的地点与球网的水平距离为3米，该球员向上伸直手臂挥拍的最大高度为2.2米．（参考数据：682＝4624） 请问该球员至少要后退多少米才能接到球？请说明理由． 【分析】（1）根据抛物线经过点（0，1），抛物线的对称轴是直线x＝2，可得抛物线经过点（4，1）．根据第一次发球需要超过3.96米而少于8.68米，可知球未出界； （2）根据抛物线经过点（0，1）和（4，0）可得抛物线解析式，算出当x＝2时，y的值也就求得了此时球的高度，与球网高度比较可得是否过网； （3）根据抛物线经过点（8，0），（0，1）可得抛物线解析式，进而把y＝2.2代入可得x的值，减去球网与发球人的击球点的水平距离为2米和对方球员站立的地点与球网的水平距离3米，可得需要后退的距离． 【解答】解：任务1、∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（0，1），抛物线的对称轴是直线x＝2， ∴抛物线经过点（4，1）． ∵对方的前边界与击球点水平距离为3.96米，对方的后边界与击球点水平距离为8.68米，3.96＜4＜8.68， ∴羽毛球未出界； 任务2、由题意得：yx2+bx+c经过点（0，1），（4，0）． ∴． 解得：． ∴抛物线解析式为：yx2x+1． 当x＝2时，y＝﹣1+1.5+1＝1.5． ∵1.5＜1.55， ∴羽毛球未过网； 任务3、由题意得：yx2+bx+c经过点（8，0），（0，1）． ∴． 解得：． ∴yx2x+1． 当y＝2.2时． x2x+1＝2.2． x2x+1.2＝0． x2x0． （x）（x）＝0． 解得：x1＝6.4，x2＝0.96（不合题意，舍去）． ∴该球员至少要后退的米数＝6.4﹣2﹣3＝1.4（米）． 答：该球员至少要后退1.4米． 【点评】本题考查二次函数的应用．理解羽毛球的知识和抛物线的知识在其中的作用是解决本题的关键． 2．某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度AB为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米．小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行了探究． 下面是小红的探究过程，请补充完整： （1）经过测量，得出了d和h的几组对应值，如表． d/米 0 0.6 1 1.8 2.4 3 3.6 4 h/米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.80 2.38 1.60 0.88 在d和h这两个变量中，　d　是自变量，　h　是这个变量的函数； （2）在下面的平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象； （3）结合表格数据和函数图象，解决问题： ①桥墩露出水面的高度AE为 　0.88　米； ②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且CE＝DF，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为 　0.7　米．（精确到0.1米） 【分析】（1）根据常量和变量的定义可得答案； （2）根据点的坐标描点、连线即可； （3）①根据图象与y轴的交点坐标可得答案； ②求出y与x的关系式，再把y＝2代入即可． 【解答】解：（1）d是自变量，h是这个变量的函数， 故答案为：d，h； （2）如图， （3）①当x＝0时，y＝0.88， ∴桥墩露出水面的高度AE为0.88米， 故答案为：0.88； ②设y＝ax2+bx+c，把（0，0.88）、（1，2.38）、（3，2.38）代入得， ， 解得， ∴y＝﹣0.5x2+2x+0.88，对称轴为直线x＝2， 令y＝2，则2＝﹣0.5x2+2x+0.88， 解得x≈3.3（舍去）或0.7． 故答案为：0.7． 【点评】本题考查二次函数的实际应用，根据对应点的坐标得到二次函数关系式是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$