19.4 二次函数的应用（ 第1课时 x轴交点、近似根、二次函数与不等式（组）、利润 4大题型提分练）数学北京版九年级上册

19.4二次函数的应用 同步练习 题型一 抛物线与x轴的交点 1．已知抛物线y＝ax2+bx+c上的某些点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … ﹣7.21 ﹣7.20 ﹣7.19 ﹣7.18 ﹣7.17 … y … ﹣0.04 ﹣0.03 0.01 0.02 0.03 … 则该函数与x轴的其中一个交点的横坐标的范围是（　　） A．﹣7.21＜x＜﹣7.20 B．﹣7.20＜x＜﹣7.19 C．﹣7.19＜x＜﹣7.18 D．﹣7.18＜x＜﹣7.17 【分析】依据题意，可得抛物线随x的增大而增大，又当x＝﹣7.20时，y＝﹣0.03＜0，而当x＝﹣7.19时，y＝0.01＞0，进而在﹣7.20＜x＜﹣7.19时，必有有一个x的值使得y＝0，故可得判断得解． 【详解】解：由题意，抛物线随x的增大而增大， 又∵当x＝﹣7.20时，y＝﹣0.03＜0，而当x＝﹣7.19时，y＝0.01＞0， ∴在﹣7.20＜x＜﹣7.19时，必有有一个x的值使得y＝0． ∴该函数与x轴的其中一个交点的横坐标的范围是﹣7.20＜x＜﹣7.19． 故选：B． 【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 2．抛物线y＝﹣x2+2与x轴的交点有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】由Δ＝b2﹣4ac＝0+8＝8＞0，即可求解． 【详解】解：Δ＝b2﹣4ac＝0+8＝8＞0， 故抛物线和x轴的交点个数为2个， 故选：C． 【点评】本题考查的是抛物线和x轴的交点，正确利用根的判别式判定抛物线和x轴交点的个数是解题的关键． 3．若二次函数y＝x2﹣2x﹣k与x轴没有交点，则二次函数y＝x2+（k+1）x+k的图象的顶点在（　　） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【分析】先判断k＜﹣1，再求解二次函数y＝x2+（k+1）x+k的对称轴，判断二次函数与x轴的交点情况，从而可得答案． 【详解】解：∵二次函数y＝x2﹣2x﹣k与x轴没有交点， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣k）＜0， 解得：k＜﹣1， ∴k+1＜0， ∵二次函数y＝x2+（k+1）x+k的对称轴为直线， 而Δ＝（k+1）2﹣4k＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2， 当k＜﹣1时，Δ＞0， 函数y＝x2+（k+1）x+k与x轴有两个交点，且函数图象的开口向上， ∴结合函数图象可得二次函数y＝x2+（k+1）x+k的图象的顶点在第四象限． 故选：A． 【点评】本题考查的是二次函数与x轴的交点问题，二次函数的图象与性质，掌握“利用数形结合的方法解题”是关键． 4．若函数y＝mx2﹣4x+1的图象与x轴有一个公共点，则m的范围是 　m≤4　． 【分析】首先分类讨论m＝0和m≠0，然后在m≠0时利用判别式求解． 【详解】解：当m＝0时，y＝﹣4x+1，此时是一次函数，与x轴有一个公共点； 当m≠0时，y＝mx2﹣4x+1是二次函数， ∵函数与x轴有一个公共点， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4m≥0， ∴m≤4， ∴函数y＝mx2﹣4x+1的图象与x轴有一个公共点，则m的范围是m≤4． 故答案为：m≤4． 【点评】此题整体考查了函数图象与x轴的交点问题，同时也利用了分类讨论的思想，解题的关键是利用判别式解决问题． 5．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一元二次方程x2+bx+c＝0的解是 　x1＝﹣8，x2＝2　． 【分析】先根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣8，0），然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程x2+bx+c＝0的解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0）， ∴抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣8，0）， 即x＝﹣8或2时，y＝0， ∴一元二次方程x2+bx+c＝0的解为x1＝﹣8，x2＝2． 故答案为：x1＝﹣8，x2＝2． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 6．如图，已知抛物线y＝x2﹣4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，求△ABO的面积． 【分析】先令y＝0，解方程求出点A坐标，再令x2﹣4x＝x求出点B坐标，再用三角形面积公式求面积即可． 【详解】解：令y＝0，则x2﹣4x＝0， 解得x1＝0，x2＝4， ∴A（4，0）．即OA＝4， 当x2﹣4x＝x时， 解得x3＝0，x4＝5， ∴y＝x＝5 即B点坐标为（5，5）， ∴S△OABOA•yB4×5＝10， ∴△ABO的面积为10． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点以及抛物线与直线的交点，关键是解方程求出交点坐标． 题型二 图象法求一元二次方程的近似根 7．根据下列表格，判断出方程8x2+9x﹣1＝0的一个近似解（结果精确到0.01）是（　　） x ﹣1.5 ﹣1.4 ﹣1.3 ﹣1.2 ﹣1.1 8x2+9x﹣1 3.5 2.08 0.82 ﹣0.28 ﹣1.22 A．﹣1.43 B．﹣1.33 C．﹣1.23 D．﹣1.13 【分析】使8x2+9x﹣1的值最接近0的数即是方程8x2+9x﹣1＝0的近似解，据此作答即可． 【详解】解：由表格数据可知，当x＝﹣1.2时，8x2+9x﹣1的值为﹣0.28，最接近0， 故x＝﹣1.23是方程8x2+9x﹣1＝0的近似解， 故选：C． 【点评】本题考查了估算一元二次方程的解得知识，理解使8x2+9x﹣1的值最接近0的数即是方程8x2+9x﹣1＝0的近似解是解答本题的关键． 8．小明在学习了利用图象法来求一元二次方程的近似根的知识后进行了尝试：在直角坐标系中作出二次函数y＝x2+2x﹣10的图象，由图象可知，方程x2+2x﹣10＝0有两个根，一个在﹣5和﹣4之间，另一个在2和3之间．利用计算器进行探索：由下表知，方程的一个近似根是（　　） x ﹣4.1 ﹣4.2 ﹣4.3 ﹣4.4 y ﹣1.39 ﹣0.76 ﹣0.11 0.56 A．﹣4.12 B．﹣4.23 C．﹣4.32 D．﹣4.43 【分析】当y等于0时，x的值即为方程x2+2x﹣10＝0的一个根，分析题干中的表格，方程的解应为y最接近0时x的值． 【详解】解：当x由﹣4.1向﹣4.3变换过程中y值一直在增大，并越来越接近0，当x＝﹣4.4时，y值大于0，则方程的一个根在﹣4.3和﹣4.4之间，x＝﹣4.3时的y值比x＝﹣4.4时更接近0，所以方程的一个近似根为：﹣4.3． 故选：C． 【点评】当y等于0时等到的x值即为方程x2+2x﹣10＝0的解．分析题干中的表格，取y值最接近0时x的值作为方程的近似解． 9．下表是若干组二次函数y＝x2﹣5x+c的自变量x与函数值y的对应值： x … 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 … y … 0.36 0.13 ﹣0.08 ﹣0.27 ﹣0.44 … 那么方程x2﹣5x+c＝0的一个近似根（精确到0.1）是（　　） A．3.4 B．3.5 C．3.6 D．3.7 【分析】观察表格可得﹣0.08更接近于0，得到方程的一个近似根（精确到0.1）是1.5，再由y＝x2﹣5x+c的对称轴为x得到方程x2﹣5x+c＝0的另一个近似根（精确到0.1）是3.5． 【详解】解：∵二次函数y＝x2﹣5x+c， ∴对称轴为直线x， 观察表格得：方程x2﹣5x+c＝0的一个近似根（精确到0.1）是1.5， ∴另一个近似根m满足， ∴m＝3.5， 故选：B． 【点评】此题考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键． 10．下表是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数值y的对应关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解x的值大约是　6.2　（精确到0.1） x 6.1 6.2 6.3 6.4 y＝ax2+bx+c ﹣0.3 ﹣0.1 0.2 0.4 【分析】根据表格数据找出y的值接近0的x的值即可． 【详解】解：由表可知，当x＝6.2时，y的值最接近0， 所以，方程ax2+bx+c＝0一个解的近似值为6.2， 故答案为：6.2． 【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，结合表格中的数据找出方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解的近似值是解题的关键． 11．下表是一组二次函数y＝x2+3x﹣5的自变量x与函数值y的对应值： x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y ﹣1 ﹣0.49 0.04 0.59 1.16 那么方程x2+3x﹣5＝0的一个近似根是 　1.2　； 【分析】观察表格可得0.04更接近于0，得到所求方程的近似根即可． 【详解】解：观察表格得：方程x2+3x﹣5＝0的一个近似根为1.2． 故答案为：1.2． 【点评】本题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键． 12．利用函数图象求一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的近似解（精确到0.1）． 【分析】方程x2﹣2x﹣2＝0的根是函数yx2﹣2x﹣2与x轴交点的横坐标．先作出二次函数yx2﹣2x﹣2的图象，观察图象可知方程有两个根，一个在0和﹣1之间，另一个在4和5之间．再根据精确度求出方程的解即可． 【详解】解：（1）方程x2﹣2x﹣2＝0的根是函数yx2﹣2x﹣2与x轴交点的横坐标． 作出二次函数yx2﹣2x﹣2的图象，如图所示， 由图象可知，方程有两个根，一个在0和﹣1之间，另一个在4和5之间． 先求0和﹣1之间的根， 当x＝﹣0.8时，y＝﹣0.08；当x＝﹣0.9时，y＝0.21， 因此，x＝﹣0.8是方程的一个近似根， 同理，x＝4.8是方程的另一个近似根． 所以方程x2﹣2x﹣2＝0的两个近似根是﹣0.8或4.8． 【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，解答此题的关键是准确画出函数的图象，体现了数形结合的思想方法． 题型三 二次函数与不等式（组） 13．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数值y＞0时，x的取值范围是（　　） A．x＜﹣1 B．x＞3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣1或x＞3 【分析】根据图象，写出函数图象在x轴上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：由图可知，x＜﹣1或x＞3时，y＞0． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数与不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解更简便． 14．若y＝x2﹣4，则当y＞0时，x的取值范围是（　　） A．x＞±2 B．x＜﹣2或x＞2 C．x＜2或x＞﹣2 D．﹣2＜x＜2 【分析】令y＝0求出二次函数图象与x轴的交点坐标，然后根据二次函数的性质写出x的取值范围即可． 【详解】解：令y＝0，则x2﹣4＝0， 解得x1＝﹣2，x2＝2， 所以，二次函数图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（2，0）， ∵y＞0， ∴x的取值范围是x＜﹣2或x＞2． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数与不等式的关系，此类题目熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 15．如图，抛物线y＝ax2+c（a＞0）与直线y＝kx+b（k＞0）交于A（﹣1，m），B（3，n）两点，则不等式ax2﹣kx+c＜b的解集是 　﹣1＜x＜3　． 【分析】根据二次函数和一次函数的图象和性质即可求解． 【详解】解：抛物线y＝ax2+c（a＞0）与直线y＝kx+b（k＞0）交于A（﹣1，m），B（3，n）两点， ∴不等式ax2+c＜kx+b的解集是﹣1＜x＜3， ∴不等式ax2﹣kx+c＜b的解集是﹣1＜x＜3， 故答案为：﹣1＜x＜3． 【点评】本题考查了二次函数和不等式、二次函数与一次函数的交点，解决本题的关键是利用图象解决问题． 16．已知函数，y2＝mx+n（m＞0）的图象在同一平面直角坐标系中． （1）若函数y1的图象过点（﹣2，6），函数y2的图象过点（t，6），求t的值． （2）求这两个函数图象的交点的横坐标． （3）已知当p＜x＜q时，y1＜y2，求q﹣p的取值范围． 【分析】（1）将（﹣2，6）代入，将（t，6）代入y2＝mx+n，可求得t的值． （2）令mx2+n＝mx+n，求出x的值即可． （3）结合二次函数和一次函数的图象与性质可知，当0＜x＜1时，y1＜y2，进而可得0≤p＜q≤1，则0＜q﹣p≤1． 【详解】解：（1）将（﹣2，6）代入，将（t，6）代入y2＝mx+n， 得， 可得t＝4． （2）令mx2+n＝mx+n， 得x2﹣x＝x（x﹣1）＝0， 解得x1＝0，x2＝1， ∴这两个函数图象的交点的横坐标为0，1． （3）∵这两个函数图象的交点的横坐标为0，1，m＞0， ∴当0＜x＜1时，y1＜y2， ∵当p＜x＜q时，y1＜y2， ∴0≤p＜q≤1， ∴0＜q﹣p≤1． 【点评】本题考查二次函数与不等式（组），熟练掌握二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质是解答本题的关键． 题型四 二次函数的应用 17．将进货单价为50元的某种商品按零售价每个60元出售时，每周能卖出100个，若这种商品零售价每涨价1元，周销售量就减少2个，但物价部门规定，最高售价不能高于成本价的30%，则每周获得的最大利润为（　　） A．80元 B．1000元 C．1350元 D．1800元 【分析】将进价单价为50元的其种商品按零售价每个80元出售时．每天能卖出20个．若这种商品的零售价在范围内每降1元，其日销售量就增加1个．为了获得最大利润．应降价设应涨价x元，利润为y元，则每天售出的个数为（100﹣2x），每个的利润为60﹣50+x，由此列出关于x、y的二次函数，根据题意求出x的取值范围，再根据二次函数的性质即可求出答案． 【详解】解：设应涨价x元，利润为y元，则每周售出的个数为（100﹣2x），每个的利润为60﹣50+x， 故y＝（60﹣50+x）（100﹣2x），即y＝﹣2x2+80x+1000， 由题意知60+x≤50×（1+30%）， 即x≤5， ∴抛物线y＝﹣2x2+80x+1000的对称轴为x20，﹣2＜0， ∴当x≤20时，y随x的增大而增大， x＝5元时，y有最大值，最大值为y＝﹣2×52+80×5+1000＝1350（元）． 故选：C． 【点评】本题考查的是二次函数的应用，根据题意列出关于x、y的函数解析式是解答此题的关键． 18．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系y＝﹣2x+80． （1）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ （2）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 【分析】（1）根据题意结合销量×每本的利润＝150，进而求出答案； （2）根据题意结合销量×每本的利润＝w，进而利用二次函数增减性求出答案． 【详解】解：（1）设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价为x元（20≤x≤28）， 根据题意得：（﹣2x+80）（x﹣20）＝150， 整理得：x2﹣60x+875＝0， 解得：x＝25或x＝35（舍去）． 答：当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是25元． （2）由题意可得：w＝（x﹣20）（﹣2x+80）＝﹣2x2+120x﹣1600＝﹣2（x﹣30）2+200， ∵售价不低于20元且不高于28元， 又∵x＜30时，y随x的增大而增大， ∴当x＝28时，w最大＝﹣2（28﹣30）2+200＝192（元）， 答：该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元． 【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量×每本的利润＝w得出函数关系式是解题关键． 19．网络销售已经成为一种热门的销售方式，为了减少农产品的库存，某市市长亲自在网络平台上进行直播销售板栗，为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元/kg，每日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足关系式：y＝﹣100x+5000．经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元/kg．设板栗公司销售该板栗的日获利为w（元）． （1）请求出日获利w与销售单价x之间的函数关系式； （2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？ 【分析】（1）由日获利＝（销售单价﹣成本）×日销售量，可求解； （2）由二次函数的性质求出的最大利润，即可求解． 【详解】解：（1）w＝（x﹣6）（﹣100x+5000）﹣2000＝﹣100x2+5600x﹣32000， 答：日获利w与销售单价x之间的函数关系式为w＝﹣100x2+5600x﹣32000； （2）w＝﹣100x2+5600x﹣32000＝﹣100（x﹣28）2+46400， ∵a＝﹣100＜0，对称轴为x＝28， ∴当x＝28时，w有最大值为46400元， ∴当销售单价定为28时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为46400元． 【点评】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，求出函数关系式是本题的关键． 1．已知二次函数y＝x2﹣bx+a﹣3的图象与x轴有交点，对称轴位于y轴左侧，则当关于a，b的代数式（a﹣6）2+b2有最小值时，该二次函数的顶点坐标为（　　） A．（1，0） B．（1，2） C．（﹣1，0） D．（﹣1，2） 【分析】Δ＝b2﹣4（a﹣3）≥0，则（a﹣6）2+b2≤（a﹣6）2+4（a﹣3）；而（a﹣6）2+4（a﹣3）＝（a﹣4）2+8≥8，即可求解． 【详解】解：∵二次函数y＝x2﹣bx+a﹣3的图象与x轴有交点， ∴Δ＝b2﹣4（a﹣3）≥0， ∵对称轴位于y轴左侧， ∴b＜0； （a﹣6）2+b2≥（a﹣6）2+4（a﹣3），当b2＝4（a﹣3）时，等号成立； （a﹣6）2+4（a﹣3）＝（a﹣4）2+8≥8， 代数式取得最小值时，a＝4，此时b2＝4（4﹣1）＝4，解得：b＝±2（舍去正值）， 故a＝4，b＝﹣2， 故抛物线的表达式为：y＝x2+2x+1＝（x+1）2， 故抛物线的顶点为（﹣1，0）， 故选：C． 【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 2．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的y与x的部分对应值如表： x 1.23 1.24 1.25 1.26 y ﹣0.06 ﹣0.08 ﹣0.03 0.09 判断方程ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围是（　　） A．1＜x＜1.23 B．1.23＜x＜1.24 C．1.24＜x＜1.25 D．1.25＜x＜1.26 【分析】仔细看表，可发现y的值﹣0.03和0.09最接近0，再看对应的x的值即可得． 【详解】解：由表可以看出，当x取1.25与1.26之间的某个数时，y＝0，即这个数是ax2+bx+c＝0的一个根． ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围为1.25＜x＜1.26． 故选：D． 【点评】本题考查了同学们的估算能力，对题目的正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程关系正确理解的基础上的． 3．如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，该函数图象的对称轴是直线x＝1，图象与y轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①2a+b＝0；②方程ax2+bx+c＝0一定有一个根在﹣2和﹣1之间；③方程ax2+bx+c0一定有两个不相等的实数根；④b﹣a＜2．其中，正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质判断即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴1， ∴b＝﹣2a， ∴2a+b＝0，故①正确； ∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点在2，3之间， ∴与x轴的另一个交点在﹣1，0之间， ∴方程ax2+bx+c＝0一定有一个根在﹣1和0之间，故②错误； ∵抛物线y＝ax2+bx+c与直线y有两个交点， ∴方程ax2+bx+c0一定有两个不相等的实数根，故③正确； ∵抛物线与x轴的另一个交点在﹣1，0之间， ∴a﹣b+c＜0， ∵图象与y轴交点的纵坐标是2， ∴c＝2， ∴a﹣b+2＜0， ∴b﹣a＞2．故④错误． 故选：B． 【点评】本题考查的是图象法求一元二次方程的近似值，抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 4．已知抛物线y＝ax2+3x+c（a，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，﹣1），（0，3），有下列结论： ①ac＜0； ②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小； ③3是方程ax2+2x+c＝0的一个根； ④当﹣1＜x＜3时，ax2+2x+c＞0 其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】先由抛物线y＝ax2+3x+c（a，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，﹣1），（0，3），列方程组求出a，c，从而解得其解析式，进而求得其对称轴，再根据二次函数与方程和二次函数与不等式的关系可解． 【详解】解：把点（﹣1，﹣1），（0，3）代入y＝ax2+3x+c得： ∴ ∴y＝﹣x2+3x+3 ∴①ac＜0正确； 该抛物线的对称轴为：， ∴②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小是错误的； 方程ax2+2x+c＝0可化为：方程ax2+3x+c＝x， 把x＝3代入y＝﹣x2+3x+3得y＝3， ∴﹣x2+2x+3＝0， 故③正确； ∴（3，3）在该抛物线上， 又∵抛物线y＝ax2+3x+c（a，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，﹣1）， ∴抛物线y＝ax2+3x+c与y＝x的交点为（﹣1，﹣1）和（3，3）， 当﹣1＜x＜3时，ax2+3x+c＞x，即ax2+2x+c＞0 ④当﹣1＜x＜3时，ax2+2x+c＞0，故④正确． 综上，①③④正确． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数解析式、二次函数的对称轴、二次函数与方程、二次函数与不等式的关系，综合性较强，难度较大． 5．如图，抛物线y1的顶点在y轴上，y2由y1平移得到，它们与x轴的交点为A、B、C，且2BC＝3AB＝4OD＝6，若过原点的直线被抛物线y1、y2所截得的线段长相等，则这条直线的解析式为　yx　． 【分析】解法一：先求出两个函数的顶点坐标，根据函数平移的特点，原点平移后的点求出来，那这个点必在直线上，可得结论； 解法二：由2BC＝3AB＝4OD＝6，可求出：A、B、D、C点的坐标，把A、B、D三点坐标代入函数表达式，即可求出y1的方程，同样可以求出y2的表达式；设过原点的直线方程为：y＝kx，（k＞0），联立抛物线y1的方程，得：3x2+2kx﹣3＝0，则：x1+x2，x1x2＝﹣1，则：G、F两点横坐标差＝x2﹣x1，同理可以求出K、H两点横坐标差，由AG＝KH，即可求解． 【详解】解：解法一：∵2BC＝3AB＝4OD＝6， ∴BC＝3，AB＝2，OD， 则：A（﹣1，0）、B（1，0）、D（0，）、C（4，0）， 把A（﹣1，0）、B（1，0）、D（0，）三点坐标代入：y＝ax2+bx+c， 解得：y1x2，顶点D（0，）， 同理可得：y2x2x﹣6（x）2，顶点E（，）， 由平移可知：y1向右平移了个单位，再向上平移了个单位，得到y2， 所以过原点的直线被抛物线y1、y2所截得的线段长相等，则这条直线一定经过点（，）， 设过原点的直线方程为：y＝kx，（k＞0）， 则k， ∴k， 故：直线的解析式为yx． 解法二：∵2BC＝3AB＝4OD＝6， ∴BC＝3，AB＝2，OD， 则：A（﹣1，0）、B（1，0）、D（0，）、C（4，0）， 把A（﹣1，0）、B（1，0）、D（0，）三点坐标代入：y＝ax2+bx+c， 解得：y1x2①， 同理可得：y2x2x﹣6…②； 设：过原点的直线方程为：y＝kx，（k＞0）…③， 联立①、③得：3x2+2kx﹣3＝0， 则：x1+x2，x1x2＝﹣1， 则：G、F两点横坐标差＝x2﹣x1， 同理：K、H两点横坐标差， ∵AG＝KH， ∴， 解得：k， 故：直线的解析式为yx． 【点评】本题考查的是二次函数与x轴的交点，涉及到函数几何变换、一次函数的运用、根与系数关系的运用，是一道综合性较强的题目，有难度． 6．已知y＝x2+mx﹣6，当1≤m≤3时，y＜0恒成立，那么实数x的取值范围是　﹣3＜x　． 【分析】根据1≤m≤3，得出两个不等式：当m＝3时，x2+3x﹣6＜0；当m＝1时，x2+x﹣6＜0；分别解不等式x2+3x﹣6＜0，x2+x﹣6＜0，可求实数x的取值范围． 【详解】解：∵1≤m≤3，y＜0， ∴当m＝3时，x2+3x﹣6＜0， 由y＝x2+3x﹣6＜0， 得x； 当m＝1时，x2+x﹣6＜0， 由y＝x2+x﹣6＜0，得﹣3＜x＜2． ∴实数x的取值范围为：﹣3＜x． 故答案为：﹣3＜x． 【点评】本题考查了用二次函数的方法求自变量x的取值范围．关键是分类列不等式，分别解不等式． 7．已知y关于x的二次函数为y＝x2﹣2mx+4，其中m为常数且m＜2． （1）当二次函数图象与x轴有且只有一个交点时，求m的值和此时函数图象的对称轴． （2）当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为1，求m的值． 【分析】（1）根据方程x2﹣2mx+4＝0有2个相同的实数根求出m的值，进而根据二次函数的性质求出对称轴； （2）先求出抛物线的对称轴，然后分3种情况根据二次函数的增减性求解即可． 【详解】解：（1）∵二次函数图象与x轴有且只有一个交点， ∴方程x2﹣2mx+4＝0有2个相同的实数根， ∴（﹣2m）2﹣4×1×4＝0， ∴m＝±2． ∵m＜2， ∴m＝﹣2， ∴y＝x2+4x+4＝（x+2）2， ∴对称轴是直线x＝﹣2； （2）∵a＝1＞0， ∴抛物线开口向上． ∵y＝x2﹣2mx+4＝（x﹣m）2﹣m2+4， ∴对称轴是直线x＝m， 当m≥2时，则当x＝2时，， 解得，不符合题意，舍去； 当m≤﹣1时，则当x＝﹣1时，， 解得m＝﹣2，符合题意； 当﹣1＜m＜2时，则当x＝m时，， ∴（不符合题意，舍去），． 综上可知，m的值为﹣2，． 【点评】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 8．用图象法解一元二次不等式：x2﹣2x﹣3＞0 （1）观察图象，直接写出一元二次不等式：x2﹣2x﹣3＞0的解集是　x＜﹣1或x＞3　； （2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：x2﹣4＞0． 【分析】（1）先画出函数y＝x2﹣2x﹣3的图象，然后求得抛物线与x轴交点的坐标，最后根据函数图形回答即可； （2）先判断出抛物线的开口方向，然后求得抛物线与x轴交点坐标，最后根据函数图象进行判断即可 【详解】解：（1）设y＝x2﹣2x﹣3，则y是x的二次函数． ∵a＝1＞0， ∴抛物线开口向上． 又∵当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴由此得抛物线y＝x2﹣2x﹣3的大致图象如图所示． 观察函数图象可知：当x＜﹣1或x＞3时，y＞0． ∴x2﹣2x﹣3＞0的解集是：x＜﹣1或x＞3． 故答案为：x＜﹣1或x＞3． （2）设y＝x2﹣4，则y是x的二次函数． ∵a＝1＞0， ∴抛物线开口向上． 又∵当y＝0时，x2﹣4＝0，解得x1＝﹣2，x2＝2， ∴由此得抛物线y＝x2﹣4的大致图象如图所示． 观察函数图象可知：当x＜﹣2或x＞2时，y＞0． ∴x2﹣4＞0的解集是：x＜﹣2或x＞2． 【点评】本题主要考查的是二次函数与不等式组，利用函数图象确定出不等式组的解集是解题的关键． 9．某商场老板对一种新上市商品的销售情况进行记录，已知这种商品进价为每件40元，经过记录分析发现，当销售单价在40元至90元之间（含40元和90元）时，每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似地看作一次函数，其图象如图所示． （1）求y与x的函数关系式． （2）设商场老板每月获得的利润为P（元），求P与x之间的函数关系式； （3）如果想要每月获得2400元的利润，那么销售单价应定为多少元？ 【分析】（1）利用图象上的点的坐标，由待定系数法求一次函数解析式即可得出答案； （2）由每一件的利润×销售量＝销售利润得出P与x的函数关系式为：P＝（x﹣40）（﹣4x+360）； （3）利用当P＝2400时，列出方程求出x的值即可． 【详解】解：（1）设y与x的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0）， 由题意得， 解得． 故y＝﹣4x+360（40≤x≤90）； （2）由题意得，P与x的函数关系式为： P＝（x﹣40）（﹣4x+360）＝﹣4x2+520x﹣14400， （3）当P＝2400时， ﹣4x2+520x﹣14400＝2400， 解得：x1＝60，x2＝70， 故销售单价应定为60元或70元． 【点评】此题主要考查了一次函数与二次函数的实际应用，根据已知图象上点的坐标得出直线解析式是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 19.4二次函数的应用 同步练习 题型一 抛物线与x轴的交点（共6小题） 1．已知抛物线y＝ax2+bx+c上的某些点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … ﹣7.21 ﹣7.20 ﹣7.19 ﹣7.18 ﹣7.17 … y … ﹣0.04 ﹣0.03 0.01 0.02 0.03 … 则该函数与x轴的其中一个交点的横坐标的范围是（　　） A．﹣7.21＜x＜﹣7.20 B．﹣7.20＜x＜﹣7.19 C．﹣7.19＜x＜﹣7.18 D．﹣7.18＜x＜﹣7.17 2．抛物线y＝﹣x2+2与x轴的交点有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．若二次函数y＝x2﹣2x﹣k与x轴没有交点，则二次函数y＝x2+（k+1）x+k的图象的顶点在（　　） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 4．若函数y＝mx2﹣4x+1的图象与x轴有一个公共点，则m的范围是 　 　． 5．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一元二次方程x2+bx+c＝0的解是 　 　． 6．如图，已知抛物线y＝x2﹣4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，求△ABO的面积． 题型二 图象法求一元二次方程的近似根（共6小题） 7．根据下列表格，判断出方程8x2+9x﹣1＝0的一个近似解（结果精确到0.01）是（　　） x ﹣1.5 ﹣1.4 ﹣1.3 ﹣1.2 ﹣1.1 8x2+9x﹣1 3.5 2.08 0.82 ﹣0.28 ﹣1.22 A．﹣1.43 B．﹣1.33 C．﹣1.23 D．﹣1.13 8．小明在学习了利用图象法来求一元二次方程的近似根的知识后进行了尝试：在直角坐标系中作出二次函数y＝x2+2x﹣10的图象，由图象可知，方程x2+2x﹣10＝0有两个根，一个在﹣5和﹣4之间，另一个在2和3之间．利用计算器进行探索：由下表知，方程的一个近似根是（　　） x ﹣4.1 ﹣4.2 ﹣4.3 ﹣4.4 y ﹣1.39 ﹣0.76 ﹣0.11 0.56 A．﹣4.12 B．﹣4.23 C．﹣4.32 D．﹣4.43 9．下表是若干组二次函数y＝x2﹣5x+c的自变量x与函数值y的对应值： x … 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 … y … 0.36 0.13 ﹣0.08 ﹣0.27 ﹣0.44 … 那么方程x2﹣5x+c＝0的一个近似根（精确到0.1）是（　　） A．3.4 B．3.5 C．3.6 D．3.7 10．下表是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数值y的对应关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解x的值大约是　 　（精确到0.1） x 6.1 6.2 6.3 6.4 y＝ax2+bx+c ﹣0.3 ﹣0.1 0.2 0.4 11．下表是一组二次函数y＝x2+3x﹣5的自变量x与函数值y的对应值： x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y ﹣1 ﹣0.49 0.04 0.59 1.16 那么方程x2+3x﹣5＝0的一个近似根是 　 　； 12．利用函数图象求一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的近似解（精确到0.1）． 题型三 二次函数与不等式（组）（共4小题） 13．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数值y＞0时，x的取值范围是（　　） A．x＜﹣1 B．x＞3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣1或x＞3 14．若y＝x2﹣4，则当y＞0时，x的取值范围是（　　） A．x＞±2 B．x＜﹣2或x＞2 C．x＜2或x＞﹣2 D．﹣2＜x＜2 15．如图，抛物线y＝ax2+c（a＞0）与直线y＝kx+b（k＞0）交于A（﹣1，m），B（3，n）两点，则不等式ax2﹣kx+c＜b的解集是 　 　． 16．已知函数，y2＝mx+n（m＞0）的图象在同一平面直角坐标系中． （1）若函数y1的图象过点（﹣2，6），函数y2的图象过点（t，6），求t的值． （2）求这两个函数图象的交点的横坐标． （3）已知当p＜x＜q时，y1＜y2，求q﹣p的取值范围． 题型四 二次函数的应用 17．将进货单价为50元的某种商品按零售价每个60元出售时，每周能卖出100个，若这种商品零售价每涨价1元，周销售量就减少2个，但物价部门规定，最高售价不能高于成本价的30%，则每周获得的最大利润为（　　） A．80元 B．1000元 C．1350元 D．1800元 18．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系y＝﹣2x+80． （1）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ （2）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 19．网络销售已经成为一种热门的销售方式，为了减少农产品的库存，某市市长亲自在网络平台上进行直播销售板栗，为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元/kg，每日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足关系式：y＝﹣100x+5000．经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元/kg．设板栗公司销售该板栗的日获利为w（元）． （1）请求出日获利w与销售单价x之间的函数关系式； （2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？ 1．已知二次函数y＝x2﹣bx+a﹣3的图象与x轴有交点，对称轴位于y轴左侧，则当关于a，b的代数式（a﹣6）2+b2有最小值时，该二次函数的顶点坐标为（　　） A．（1，0） B．（1，2） C．（﹣1，0） D．（﹣1，2） 2．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的y与x的部分对应值如表： x 1.23 1.24 1.25 1.26 y ﹣0.06 ﹣0.08 ﹣0.03 0.09 判断方程ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围是（　　） A．1＜x＜1.23 B．1.23＜x＜1.24 C．1.24＜x＜1.25 D．1.25＜x＜1.26 3．如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，该函数图象的对称轴是直线x＝1，图象与y轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①2a+b＝0；②方程ax2+bx+c＝0一定有一个根在﹣2和﹣1之间；③方程ax2+bx+c0一定有两个不相等的实数根；④b﹣a＜2．其中，正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．已知抛物线y＝ax2+3x+c（a，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，﹣1），（0，3），有下列结论： ①ac＜0； ②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小； ③3是方程ax2+2x+c＝0的一个根； ④当﹣1＜x＜3时，ax2+2x+c＞0 其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，抛物线y1的顶点在y轴上，y2由y1平移得到，它们与x轴的交点为A、B、C，且2BC＝3AB＝4OD＝6，若过原点的直线被抛物线y1、y2所截得的线段长相等，则这条直线的解析式为　 　． 6．已知y＝x2+mx﹣6，当1≤m≤3时，y＜0恒成立，那么实数x的取值范围是　 　． 7．已知y关于x的二次函数为y＝x2﹣2mx+4，其中m为常数且m＜2． （1）当二次函数图象与x轴有且只有一个交点时，求m的值和此时函数图象的对称轴． （2）当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为1，求m的值． 8．用图象法解一元二次不等式：x2﹣2x﹣3＞0 （1）观察图象，直接写出一元二次不等式：x2﹣2x﹣3＞0的解集是　 　； （2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：x2﹣4＞0． 9．某商场老板对一种新上市商品的销售情况进行记录，已知这种商品进价为每件40元，经过记录分析发现，当销售单价在40元至90元之间（含40元和90元）时，每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似地看作一次函数，其图象如图所示． （1）求y与x的函数关系式． （2）设商场老板每月获得的利润为P（元），求P与x之间的函数关系式； （3）如果想要每月获得2400元的利润，那么销售单价应定为多少元？ 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