专题02 整式及其加减（中等类型）-2024-2025学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版2024新教材）

专题02整式及其加减思维导图 【类型覆盖】 类型一、同类项的指数求值 【解惑】若与是同类项，则m，n的值分别为（   ） A．2，1 B．3，4 C．4，3 D．3，2 【融会贯通】 1．已知单项式与和为单项式，则等于（    ） A． B． C．16 D．9 2．若单项式和的和仍是单项式，则 ． 3．如果单项式与是同类项，那么 ． 类型二、升、降幂排列 【解惑】关于多项式，下列说法错误的是（    ） A．次数是7 B．常数项是 C．四次项的系数是5 D．按y的降幂排列为 【融会贯通】 1．把多项式则按的升幂排列后，第三项是（    ） A．5 B． C． D． 2．将多项式按字母的降幂排列为 ． 3．把多项式按的升幂排列为 ． 类型三、不含某项、与某项无关 【解惑】多项式与的和中不含有项，则（   ） A． B．3 C．1 D． 【融会贯通】 1．若多项式与的差与x的取值无关，则的值为（   ） A． B． C．3 D．2 2．若整式的值与字母x的取值无关，则的值为 ． 3．若关于x，y的多项式中不含三次项，则 ． 类型四、绝对值的数轴化简 【解惑】数a，b，c在数轴上所对应的点的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．有理数a、b、c在数轴上对应的位置，如图所示，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 2．如图，数轴上点分别表示数，则化简的结果为 ． 3．已知有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是 ．    类型五、合并同类项化简 【解惑】计算：． 【融会贯通】 1．计算： 2．化简： (1) (2)． 3．合并下列各式中的同类项： (1)； (2)． 类型六、去括号化简 【解惑】化简： (1)； (2)． 【融会贯通】 1．化简下列各式： (1)； (2)． 2．化简 (1) (2) (3) (4) 3．先去括号，再合并同类项： (1)； (2)． 类型七、整式化简求值 【解惑】先化简，再求值：，其中，． 【融会贯通】 1．先化简，再求值∶ 其中，． 2．已知代数式， (1)求； (2)当，时，求的值． 3．已知代数式，且，求：的值． 类型八、整式的加减应用 【解惑】如图（1）（2），某餐桌桌面可由圆形折叠成正方形（图中阴影表示可折叠部分），已 知折叠前圆形桌面的直径为 b m，折叠成正方形后其边长为 a m．如果一块正方形桌布的边长为 b m．（π取 3） (1)餐桌桌面由圆形折叠成正方形时，面积减少了多少？ (2)若按图（3）所示把桌布铺在折叠前的圆形桌面上，则桌布垂下部分的面积是多少? (3)若按图（4）所示把桌布铺在折叠后的正方形桌面上，则桌布垂下部分的面积是 ． 【融会贯通】 1．如图所示，用三种大小不同的5个正方形和一个长方形（阴影部分）拼成长方形，其中厘米，最小的正方形的边长为x厘米． (1) ______厘米， ______厘米（用含x的整式分别表示）： (2)求长方形的周长（用含x的整式表示），当厘米时，求其值． 2．某市居民使用自来水按如下标准缴费（水费按月缴纳）： 用户月用水量 单价 不超过的部分 a元/ 超过但不超过的部分 元/ 超过的部分 2a元/ (1)当时，某户一个月用了的水，求该户这个月应缴纳的水费． (2)当时，甲、乙两户一个月共用水，已知甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水，试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费（用含x的式子表示）． 3．今年春晚首次在演播大厅应用与的技术融合让人耳目一新，小圣同学深受智能技术触动，发明了一个智能盒．当输入数或式时，盒子会先乘2再加4后输出． (1)第一次小圣输入为，则智能盒输出为______；若智能盒第二次输出为，则小圣输入的是_____（）． (2)在（1）的条件下，若把第一次输入的式子作为长方形甲的宽，输出的式子作为长，其面积记作，把第二次输入的式子作为长方形乙的宽，输出的式子作为长，其面积记作． ①请用含n的代数式分别表示和（结果化成多项式的形式）； ②当时，求的值． 【一览众山小】 1．如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为a的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为3，则另一边长为（    ） A． B． C． D．以上都不对 2．三角形的周长为a，它的一边长是周长的，另一边长是周长与4的差的一半，则第三边的长为（　　） A． B． C． D． 3．如图，将边长为m的正方形纸片沿虚线剪成两块正方形和两块长方形，若拿掉边长为n的小正方形后，再把剩下的三块图形拼成一块长方形，则这块长方形周长为（   ） A． B． C． D． 4．如图，两个大小正方形的边长分别是和（x大于0且小于6）．用含x的式子表示图中阴影部分的面积 ． 5．如图，长方形的长为，宽为． (1)用含的代数式表示图中阴影部分的面积； (2)当时，求．（取） 6．化简： (1)； (2)． 7．先化简，再求值：，其中a，b满足 8．（1）有理数、、在数轴上的位置如图所示：化简： （2）已知：关于的多项式中，不含与的项．求代数式的值． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02整式及其加减思维导图 【类型覆盖】 类型一、同类项的指数求值 【解惑】若与是同类项，则m，n的值分别为（   ） A．2，1 B．3，4 C．4，3 D．3，2 【答案】C 【分析】本题考查了同类项的定义，根据同类项的定义：字母和字母指数相同的单项式是同类项，即可解答． 【详解】解：∵与是同类项， ∴， 故选：C． 【融会贯通】 1．已知单项式与和为单项式，则等于（    ） A． B． C．16 D．9 【答案】A 【分析】本题考查整式的加减，同类项，乘方． 根据单项式与和为单项式，得到与是同类项，进而根据同类项的定义进行求解． 【详解】解：∵单项式与和为单项式， ∴单项式与是同类项， ∴，， ∴， ∴． 故选：A 2．若单项式和的和仍是单项式，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查整式加减运算法则、同类项的定义及代数式求值，根据题意得到单项式和是同类项，由同类项定义得到，代入代数式求解即可得到答案，熟记同类项定义是解决问题的关键． 【详解】解：若单项式和的和仍是单项式， 单项式和是同类项， ，解得， ， 故答案为：． 3．如果单项式与是同类项，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类项的定义以及乘方运算，含有相同的字母并且相同的字母的指数也相同，据此列式进行计算，即可作答． 【详解】解：∵单项式与是同类项 ∴， ∴ ∴ 故答案为： 类型二、升、降幂排列 【解惑】关于多项式，下列说法错误的是（    ） A．次数是7 B．常数项是 C．四次项的系数是5 D．按y的降幂排列为 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的相关概念，熟知多项式的相关概念是解题关键． 分别根据多项式的次数，常数项，单项式的系数，多项式按字母的降幂排列等知识逐项判断即可求解． 【详解】解：多项式的次数是7，故A选项正确，不合题意； 多项式的常数项是，故B选项正确，不合题意； 多项式的四次项的系数是，故C选项错误，符合题意； 多项式按y的降幂排列为，故D选项正确，不合题意． 故选：C． 【融会贯通】 1．把多项式则按的升幂排列后，第三项是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的升幂排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．根据x的次数从小到大排列后即可求解． 【详解】解：∵， ∴升幂排列后，第三项是． 故选B． 2．将多项式按字母的降幂排列为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的项的概念和降幂排列的概念．根据多项式项的概念和降幂排列的概念解答即可． 【详解】解：将多项式按字母的降幂排列为， 故答案为：． 3．把多项式按的升幂排列为 ． 【答案】 【分析】本题考查了对多项式的应用，注意：排列时带着项前面的符号．按x的指数从小到大的顺序排列即可． 【详解】解：把多项式按x的升幂排列为， 故答案为：． 类型三、不含某项、与某项无关 【解惑】多项式与的和中不含有项，则（   ） A． B．3 C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，将多项式进行合并后，令含有项的系数为0，进行求解即可． 【详解】解：， ∵两个多项式和中不含有项， ∴， ∴； 故选：D． 【融会贯通】 1．若多项式与的差与x的取值无关，则的值为（   ） A． B． C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，合并同类项后，根据多项式与的差与的取值无关，得到含的项的系数为0，进行求解即可． 【详解】解： ， ∵差与的取值无关， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 2．若整式的值与字母x的取值无关，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，去括号，合并同类项后，令含项的系数为0，列式计算即可． 【详解】解： ； ∵整式的值与字母x的取值无关， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 3．若关于x，y的多项式中不含三次项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减--无关型问题，解答本题的关键是理解题目中不含三次项的意思．先合并同类项，根据已知得出，，求出、的值，再代入求出即可． 【详解】， ∵关于，的多项式中不含三次项， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 类型四、绝对值的数轴化简 【解惑】数a，b，c在数轴上所对应的点的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据点在数轴的位置判断式子的正负，绝对值，整式的加减运算．根据数轴判断出，推出，，再去绝对值符号、合并同类项可得． 【详解】解：由数轴可知， ，， ， 故选D． 【融会贯通】 1．有理数a、b、c在数轴上对应的位置，如图所示，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断和的正负，再去绝对值符号，燃弧去括号合并同类项即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 故选C． 【点睛】本题考查了利用数轴判断式子的正负，化简绝对值，整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 2．如图，数轴上点分别表示数，则化简的结果为 ． 【答案】 【分析】根据数轴上有理数的位置，绝对值的化简，合并同类项，计算判断即可． 本题考查了数轴上表示有理数，绝对值的化简，合并同类项，熟练掌握数绝对值的化简是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．已知有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是 ．    【答案】0 【分析】本题主要考查了数轴的应用、化简绝对值、整式的加减运算等知识点，根据数轴判定是解题的关键． 先根据数轴确定的正负，然后取绝对值、最后合并同类项即可． 【详解】解：由数轴可得：， ∴， ∴． 故答案为：0． 类型五、合并同类项化简 【解惑】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式加减运算；根据合并同类项法则进行计算． 【详解】解： ． 【融会贯通】 1．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了整式加减运算，根据合并同类项法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 2．化简： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了合并同类项，解题的关键是： （1）原式根据合并同类项法则计算； （2）原式根据合并同类项法则计算． 【详解】（1）解： ； （2） ． 3．合并下列各式中的同类项： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）合并同类型的过程中，字母和字母的指数不变，系数相加减即可； （2）先移项，将同类项移动到一起，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2） 解：原式 ； 【点睛】本题考查合并同类项，能够在算式中准确找到同类项并合并是解决本题的关键． 类型六、去括号化简 【解惑】化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的知识点是整式的加减运算、合并同类项、去括号，解题关键是熟练掌握整式的运算法则． （1）合并同类项即可得解； （2）先去括号，再合并同类项． 【详解】（1）解；原式 ． （2）解：原式 ． 【融会贯通】 1．化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题主要考查整式的加减，先去括号，然后合并同类项即可． （2）本题主要考查整式的加减，先去括号，然后合并同类项即可． 【详解】（1）原式 （2）原式 2．化简 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式的加减运算，包括去括号和合并同类项，准确去括号确定符号是解决本题的关键． 【详解】（1） （2） （3） （4） 3．先去括号，再合并同类项： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据去括号法则去掉式子中的括号，再合并同类项，可得答案. （2）根据括号前是正号去括号不变号，括号前是负号去掉括号要变号，可去掉括号，根据合并同类项，可得答案； 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 【点睛】本题考查了去括号与合并同类项，括号前是正号去掉括号不变号，括号前是负号去掉括号要变号． 类型七、整式化简求值 【解惑】先化简，再求值：，其中，． 【答案】，8 【分析】此题考查了整式的加减化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式去括号合并得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式， 当，时，原式． 【融会贯通】 1．先化简，再求值∶ 其中，． 【答案】； 【分析】本题考查了整式的加减与化简求值，先去括号，然后合并同类项，最后将字母的值代入，即可求解． 【详解】解： 当，时， 原式 2．已知代数式， (1)求； (2)当，时，求的值． 【答案】(1)； (2)17． 【分析】本题考查整式的化简求值，正确运用运算法则是解题的关键． （1）先把式子代入再化简即可； （2）代入计算即可． 【详解】（1）解：， （2）解：当，时， ． 3．已知代数式，且，求：的值． 【答案】 【分析】本题考查了整式加减中的化简求值，掌握合并同类项和去括号法则是解答本题的关键．先化简，再把A，B带入化简结果，去括号合并同类项，然后求出x，y的值，再代入即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵， ∴或3，， ∵， ∴当时，；当时，， 当，时，原式； 当，时，原式； 综上所述，的值为． 类型八、整式的加减应用 【解惑】如图（1）（2），某餐桌桌面可由圆形折叠成正方形（图中阴影表示可折叠部分），已 知折叠前圆形桌面的直径为 b m，折叠成正方形后其边长为 a m．如果一块正方形桌布的边长为 b m．（π取 3） (1)餐桌桌面由圆形折叠成正方形时，面积减少了多少？ (2)若按图（3）所示把桌布铺在折叠前的圆形桌面上，则桌布垂下部分的面积是多少? (3)若按图（4）所示把桌布铺在折叠后的正方形桌面上，则桌布垂下部分的面积是 ． 【答案】(1)餐桌桌面由圆形折叠成正方形时，面积减少了； (2)桌布垂下部分的面积是； (3)． 【分析】（1）根据圆形的面积减去正方形的面积可得； （2）根据正方形桌布的面积减去圆桌的面积即可得； （3）根据正方形桌布的面积减去正方形方桌面积即可得． 【详解】（1）解：由题意得： ， ， ， ， 面积减少了； （2）由题意可得： ， ， ， ； 桌布垂下部分的面积是； （3）由题意可得：桌布垂下部分的面积是： ， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查列代数式及整式加减的应用，理解题意，列出相应代数式是解题关键． 【融会贯通】 1．如图所示，用三种大小不同的5个正方形和一个长方形（阴影部分）拼成长方形，其中厘米，最小的正方形的边长为x厘米． (1) ______厘米， ______厘米（用含x的整式分别表示）： (2)求长方形的周长（用含x的整式表示），当厘米时，求其值． 【答案】(1)； (2)厘米；厘米 【分析】本题主要考查了列代数式和代数式求值，理解各个图形的边长之间的数量关系是解答本题的关键． （1）根据图形可得结合线段的和差、正方形的性质即可解答； （2）分别表示出和，然后再表示出周长，最后将代入计算． 【详解】（1）解：由图可知：厘米， 厘米； （2）解：长方形的宽为：厘米， 长为：厘米， 则长方形的周长为：厘米， 当时，（厘米）． 2．某市居民使用自来水按如下标准缴费（水费按月缴纳）： 用户月用水量 单价 不超过的部分 a元/ 超过但不超过的部分 元/ 超过的部分 2a元/ (1)当时，某户一个月用了的水，求该户这个月应缴纳的水费． (2)当时，甲、乙两户一个月共用水，已知甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水，试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费（用含x的式子表示）． 【答案】(1)该用户这个月应缴纳80元水费； (2)甲、乙两用户共缴纳的水费：当时，缴水费（）；当时，缴水费（）元；当时，缴水费（）元． 【分析】本题考查的是有理数的混合运算的实际应用，列代数式，整式的加减运算的应用，理解题意列出正确的代数式是解本题的关键； （1）把分成三部分，再分别计算费用，再求和即可； （2）设甲户这个月用水，再分情况讨论：①；②；③；再计算总费用即可． 【详解】（1）解： 答：该用户这个月应缴纳80元水费． （2）∵甲户缴纳的水费超过了24元 ∴ ①当时， 甲： 乙： 共计： ②当时， 甲： 乙： 共计： ③当时 甲： 乙： 共计： 答：甲、乙两用户共缴纳的水费：当时，缴水费；当时，缴水费元；当时，缴水费元． 3．今年春晚首次在演播大厅应用与的技术融合让人耳目一新，小圣同学深受智能技术触动，发明了一个智能盒．当输入数或式时，盒子会先乘2再加4后输出． (1)第一次小圣输入为，则智能盒输出为______；若智能盒第二次输出为，则小圣输入的是_____（）． (2)在（1）的条件下，若把第一次输入的式子作为长方形甲的宽，输出的式子作为长，其面积记作，把第二次输入的式子作为长方形乙的宽，输出的式子作为长，其面积记作． ①请用含n的代数式分别表示和（结果化成多项式的形式）； ②当时，求的值． 【答案】(1)，； (2)①，；②． 【分析】本题主要考查了列代数式、求代数式的值、整式的加减的应用，理解题意，正确列出代数式是解此题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）①根据题意列出代数式即可；②先计算出，再代入即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：第一次小圣输入为，则智能盒输出为，若智能盒第二次输出为，则小圣输入的是； （2）解：①由题意得：；； ②， 当时，原式． 【一览众山小】 1．如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为a的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为3，则另一边长为（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查整式的加法运算．大正方形的边长为，小正方形的边长为，得到两个直角梯形的上底为，下底为，根据拼成的长方形的另一边为直角梯形的上底加下底的和，进行计算求解即可． 【详解】解：∵大正方形的边长为，小正方形的边长为，， ∴剩余的两个直角梯形的上底为，下底为， ∴矩形的另一边为梯形上、下底的和，即：； 故选：B． 2．三角形的周长为a，它的一边长是周长的，另一边长是周长与4的差的一半，则第三边的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式加减的应用，列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式． 本题的关键是要用表示出三角形两边的长． 先表示出一条边长为，另一条边的长为，然后用周长分别减去这两边的长即可得到第三边的长． 【详解】解：第三边的长． 故选：C． 3．如图，将边长为m的正方形纸片沿虚线剪成两块正方形和两块长方形，若拿掉边长为n的小正方形后，再把剩下的三块图形拼成一块长方形，则这块长方形周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，根据题意可得拼成的长方形的长为，宽为，据此根据长方形周长计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，拼成的长方形的长为，宽为， ∴新长方形的周长为， 故选：B． 4．如图，两个大小正方形的边长分别是和（x大于0且小于6）．用含x的式子表示图中阴影部分的面积 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了列代数式，整式的加减运算，掌握组合图形的面积一般都是将它转化到已知的规则图形中进行计算是解决问题的关键．利用两个正方形的面积减去3个空白三角形的面积即可． 【详解】解：阴影部分（三角形）的面积为： ． 故答案为：． 5．如图，长方形的长为，宽为． (1)用含的代数式表示图中阴影部分的面积； (2)当时，求．（取） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查代数式的运用，理解题目数量关系，掌握运用代数式表示数或数量关系的方法是解题的关键． （1）根据图形面积可得，阴影部分的面积等于长方形的面积减去圆的面积，由此即可求解； （2）把字母的值代入式子计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：当时，． 6．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式加减运算，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变． （1）根据合并同类项法则进行计算即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 7．先化简，再求值：，其中a，b满足 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，非负数的性质，正确根据整式的加减计算法则化简是解题的关键．先去括号，然后合并同类项化简，再根据非负数的性质求出a、b的值，最后代值计算即可． 【详解】解：                  8．（1）有理数、、在数轴上的位置如图所示：化简： （2）已知：关于的多项式中，不含与的项．求代数式的值． 【答案】（1）；（2），45 【分析】此题主要考查了有理数大小的比较及整式加减中的化简求值问题，解决本题的关键是学生对数轴和绝对值的理解，学生要对这些概念性的东西牢固掌握． （1）由数轴可知，，据此可得，，，，再根据绝对值性质去绝对值符号化简可得； （2）多项式合并后，根据结果中不含项和项，求出与的值，代入原式计算即可得到结果． 【详解】解：（1），， ，，，， ． （2）原式， 由题意得，， 解得，， 原式 ． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$