专题02 整式及其加减（优质类型）-2024-2025学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版2024新教材）

专题02整式及其加减思维导图 【类型覆盖】 类型一、代数式中的算法程序 【解惑】按照如图所示的运算程序计算函数的值，若输入的值是，则输出的值是，若输入的值是6，则输出的值是（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 【融会贯通】 1．如图，在这个数运算程序中，若开始输入的正整数n为奇数，都计算；若n为偶数，都除以2．若时，经过1次上述运算输出的数是64；经过2次上述运算输出的数是32；经过3次上述运算输出的数是16；…；经过2024次上述运算输出的数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为15，则第1次输出的结果为18，第2次输出的结果为9，…，第2025次输出的结果为 ． 3．有以下运算程序，如图所示： 比如，输入数对（2，1），输出W＝2． (1)若输入数对（1，﹣2），则输出W＝ ； (2)分别输入数对（m，﹣n）和（﹣n，m），输出的结果分别是，试比较的大小，并说明理由； (3)设a＝|x+2|，b＝|x﹣3|，若输入数对（a，b）之后，输出W＝26，请直接写出a+2b的值． 类型二、代数式中的整体代入 【解惑】如果代数式的值为1，那么代数式的值等于（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 【融会贯通】 1．实数x满足，则的值为（　　） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 2．已知，求的值为 ． 3．【教材呈现】如图是华师版七年级上册数学教材第117页的部分内容： 17．代数式的值为7，则代数式的值为______． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下： 由题意得，则有， 所以． 所以代数式的值为5． 【解决问题】请运用小明的方法解决下列问题： （1）若代数式的值为0，求代数式的值； （2）已知当时，代数式的值为9，求当时，代数式的值； 【拓展提升】（3）若，请直接写出代数式的值． 类型三、代数式中的阴影面积 【解惑】如图，在长方形ABCD中，，，其内部有边长为a的正方形EFCG与边长为b的正方形HKJP，两个正方形的重合部分也为正方形，且面积为3，图中阴影部分面积分别为，，若，则正方形EFCG与正方形HKJP的面积之和为（    ） A．51 B．50 C．49 D．48 【融会贯通】 1．如图，将两个形状、大小完全相同的大长方形中分别放入4个相同的小长方形．如果大长方形的宽为，则图②与图①的阴影部分周长之差是（    ） A． B． C． D． 2．如图，现有甲、乙两种纸片，其中正方形纸片甲的边长为2，长方形纸片乙的宽为正方形边长的一半，将甲、乙纸片按图1、图2形式分别放入一个长方形中，图1、图2中甲乙纸片均有重叠，记图1，图2中阴影部分面积分别为和，已知，则 ． 3．学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求m的值”，通常的解题方法是：把x，y看作字母，m看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x的系数为0，即原式，所以，则． (1)若多项式的值与x的取值无关，求a的值； (2)5张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左上角的面积为，右下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，请求出a与b的数量关系． 类型四、代数式中的二项式(杨辉三角) 【解惑】我国宋代数学家杨辉发现了展开式系数的规律： 展开式系数和为1 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6、10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第n个数记为，则的值为（    ）    A．19920 B．19921 C．19922 D．19923 2．年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”观察“杨辉三角”与右侧的等式，根据规律，展开的多项式中各项系数之和为 ． 3．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，如图1的“杨辉三角”就是其中的一例．如图2，某同学发现杨辉三角给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数等等． （1）填出展开式中共有________项，第三项是________． （2）直接写出的展开式． （3）利用上面的规律计算：． 类型五、代数式中的行列排序 【解惑】将从1开始的连续自然数按以下规律排列： 第1行            1 第2行          2 3 4 第3行         5 6 7 8 9 第4行    10 1 1 12 13 14 15 16 第5行   17 18 19 20 21 22 23 24 25 …… 若有序数对表示第行，从左到右第个数，如表示，则表示的有序数对是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．将正奇数按下表排成列：若在第行第列，则（    ） 第列 第列 第列 第列 第列 第列 第列 第行 第行 第行 第行 第行 … … … A． B． C． D． 2．从1开始的自然数按如图所示的规律排列，则第10行第9列的数字是 ，第n行第列的数字是 ．    3．下面的数表是由从1开始的连续自然数组成的，观察规律并完成各题的解答． (1)表中第8行的最后一个数是______，它是自然数_____的平方，第8行共有_____个数； (2)用含n的代数式表示：第n行第一个数是________，最后一个数是______，第n行共有_______个数； (3)求第20行各数之和． 类型六、代数式中的数字规律 【解惑】 (1)第5个式子是_______；第个式子是_______． (2)从计算结果中找规律，利用规律计算：_______； (3)计算：（由此拓展写出具体过程）： ①； ②． 【融会贯通】 1．观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： …… 根据上述规律解答下列问题： (1)任意写出一个有相同规律的等式 ； (2)① 直接写出第n个 （，且n是整数） 等式 ； ② 请证明你在①中所写的等式成立． 2．观察下列各式： ……①； ……②； ……③ … (1)根据上述规律写出第5个等式是： ； (2)试写出第（为正整数）个等式： ； (3)计算：． 3．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式； 请猜想　　； (2)试用含有n的式子表示这一规律： 　 　；（n为正整数） (3)请用上述规律计算：①；②． 类型七、代数式中的图形规律 【解惑】某广场铺设的地砖为正方形，如图①所示且带有图案，铺设地砖拼成一圈的图案如图②所示． 【观察思考】如图②，当地砖铺设了1圈时，地砖用了4块，且地砖上的曲线围成的封闭图形有1个；如图③，当地砖铺设了2圈时，地砖用了12块，且地砖上的曲线围成的封闭图形有2个；…    【规律总结】 (1)当地砖铺设了5圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个； (2)当地砖铺设了n（n为正整数）圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个（用含n的代数式表示）； (3)若每块地砖的价钱为18元，当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，则铺设的地砖共需要花费多少元？ 【融会贯通】 1．由镶嵌知识可知，边长相等的正六边形、正方形、正三角形三种地砖可进行无缝密铺，观察图1、图2、图3，完成如下解答． (1)填写下表： 图序 正六边形个数 正方形个数 正三角形个数 图1 1 6 6 图2 2 图3 3 (2)①图n中，正方形地砖数量为_______块、正三角形地砖的数量为_______块； ②求图10中正方形地砖和正三角形地砖的总数量． 2．将菱形如图进行如下划分，第次划分：分别连接菱形对边的中点如图，得线段和，它们交于点，此时图中共有个菱形；第次划分：将图左上角菱形按相同方式再划分如图，则图中共有个菱形．      (1)若把左上角的菱形按上述方式依次划分下去，则第次划分后图中共有 个菱形． (2)能否将菱形划分成有个菱形的图形？如果能，请算出是第几次划分后得到的，如果不能，请说明理由． (3)设原菱形的面积为1，通过不断地划分该菱形，并把数量关系和几何图形进行巧妙地结合，可以得到 ．(直接写出答案即可) 3．分别观察下列三组图形，并填写表格： 如图1所示，在由一些三角形组成的图形中，每条边上都排列了一些点，其中每个图形中所有点的总数记为，叫做第n个“三角形数”（n为整数，且）．类似的也可以用点排出一些“四边形数”，“五边形数”，如图2，图3所示． … 三角形数 3 6 10 15 28 … a 四边形数 4 9 16 25 49 … b 五边形数 5 12 22 35 70 … (1)请你将第6个“三角形数”，第6个“四边形数”，第6个“五边形数”，填写在上面的表格中； (2)若第k个“三角形数”a，第k个“四边形数”为b，请用含a，b的代数式表示第k个“五边形数”，并填入表格中． 类型八、代数式中的收费问题 【解惑】某市有两家出租车公司，收费标准不同，甲公司收费标准为：起步价元，超过千米后，超过的部分按照每千米元收费．乙公司收费标准为：起步价元，超过千米后，超过的部分按照每千米元收费．车辆行驶千米，本题中取整数，不足的路程按计费．根据上述内容，完成以下问题： (1)当，且为整数时，甲公司的收费是________元，乙公司的收费是________元（结果用化简后的含的代数式表示） (2)当行驶路程为千米时，通过计算说明哪家公司的费用更便宜？便宜多少元？ 【融会贯通】 1．为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如表： 居民每月用电项 单价（元/度） 不超过50度的部分 0.5 超过50度但不超过200度的部分 0.6 超过200度的部分 0.8 已知小刚家上半年的用电情况如下表（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负）： 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 根据上述数据，解答下列问题： (1)小刚家用电量最多的是______月份，实际用电量为______度； (2)若小刚家七月份用电量为度，求小刚家七月份应交纳的电费（用含的代数式表示）； (3)若小刚家七月份用电量为232度，求小刚家七月份应交纳电费多少元．（结果精确到个位） 2．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段以达到节水的目的，如表所示是该市自来水收费价格价目表： 价目表 每月用水量 单价 不超出的部分 3元/ 超出但不超出的部分 5元/ 超出的部分 8元/ 注：水费按月结算 (1)填空：若某户居民2月份用水 5，则2月份应收水费 元；若该户居民3月份用水 10，则3月份应收水费 元； (2)若该户居民4月份用水量 (a 在6 至 10m3之间)，则应收水费包含两部分，一部分为用水量为 6，水费18元； 另外一部分用水量为 ，此部分应收水费 元； 则4月份总共应收水费________元．(用a 的整式表示并化简) (3)若该户居民5月份用水 xm3()，求该户居民5月份共交水费多少元？(用 x 的整式表示并化简) 3．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采取价格调控手段以达到节水的目的，下表是该市自来水收费价格的价目表． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/ 超出6立方米但不超出10立方米的部分 4元/ 超出10立方米的部分 8元/ 注：水费按月结算 (1)若某户居民2月份用水4立方米，则应交水费______元． (2)若某户居民3月份用水a立方米（其中），求该用户3月份应交水费．（用含a的整式表示，结果要化成最简形式） (3)若某户居民4，5月份共用水15立方米（5月份用水量多于4月份），设4月份用水x立方米，求该户居民4，5月份共交水费（用含x的整式表示，结果要化成最简形式）． 【一览众山小】 1．已知，，，，若，则（    ）． A．19 B．21 C．99 D．109 2．用同样大小的黑、白色正方形按如图的方式搭建图形，图①中有2个黑色正方形，图②中有3个黑色正方形，图③中有5个黑色正方形，图④中有6个黑色正方形，…，按照这个规律，则图⑨中的黑色正方形个数为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 3．按一定规律排列的单项式：，，，，，…则第个单项式是（   ） A． B． C． D． 4．现有一列数，，，……，，其中，，且（n为正整数），则 ． 5．有理数在数轴上的位置如图所示，化简： ． 6．观察，则有；，则有；，则有；按此规律继续写出两个式子： ； ． 7．观察下列等式： 第1个等式： ； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式： ． (2)用含有n的代数式表示第n个等式： （n为正整数）； (3)求． 8．我市某小区居民使用自来水2023年标准缴费如下（水费按月缴纳）： 用户月用水量 单价 不超过的部分 元 超过但不超过的部分 元 超过的部分 元 (1)当时， ①某户1月份用了的水，求该户1月份应缴纳的水费__________元． ②某户4月份用了的水，求该户4月份应缴纳的水费__________元． ③某户8月份用了的水，求该户8月份应缴纳的水费__________元． (2)设某户月用水量为，当时，该户应缴纳的水费为__________元（用含，的式子表示）． (3)当时，甲、乙两户一个月共用水，已知甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水，试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费（用含的式子表示） 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02整式及其加减思维导图 【类型覆盖】 类型一、代数式中的算法程序 【解惑】按照如图所示的运算程序计算函数的值，若输入的值是，则输出的值是，若输入的值是6，则输出的值是（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】B 【分析】本题考查代数式求值与程序流程图，先代入，求得b的值，再输入计算即可． 【详解】解：若输入的值是，则输出的值是， ∵ ∴， 解得：， 若输入的值是6， ∵， ∴， 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，在这个数运算程序中，若开始输入的正整数n为奇数，都计算；若n为偶数，都除以2．若时，经过1次上述运算输出的数是64；经过2次上述运算输出的数是32；经过3次上述运算输出的数是16；…；经过2024次上述运算输出的数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查数字的变化规律．分别求出部分输出结果，发现第1次输出结果到第4次输出结果只出现一次，从第5次输出结果开始，每3次结果循环一次，则经过2024次上述运算输出的数与第8次输出的结果相同，由此可求解． 【详解】解：当时，经过1次运算输出的数是64， 经过2次运算输出的数是32， 经过3次运算输出的数是16， 经过4次运算输出的数是8， 经过5次运算输出的数是4， 经过6次运算输出的数是2， 经过7次运算输出的数是1， 经过8次运算输出的数是4， 经过9次运算输出的数是2， …… ∴第1次输出结果到第4次输出结果只出现一次， 从第5次输出结果开始，每3次结果循环一次， ∵， ∴经过2024次上述运算输出的数与第8次输出的结果相同， 故选：D． 2．如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为15，则第1次输出的结果为18，第2次输出的结果为9，…，第2025次输出的结果为 ． 【答案】3 【分析】此题考查代数式求值，数字类规律探究，解题的关键是找到规律．首先分别求出第3次、第4次、第5次、第6次、第7次、第8次输出的结果各是多少，总结出规律，然后判断出第2025次输出的结果为多少即可． 【详解】解：依题意，第3次输出的结果为：， 第4次输出的结果为：， 第5次输出的结果为：， 第6次输出的结果为：， 第7次输出的结果为：， 第8次输出的结果为：， ， ∴从4次开始，每次输出的结果都是、、、3、， ∴第2025次输出的结果为3． 故答案为：3． 3．有以下运算程序，如图所示： 比如，输入数对（2，1），输出W＝2． (1)若输入数对（1，﹣2），则输出W＝ ； (2)分别输入数对（m，﹣n）和（﹣n，m），输出的结果分别是，试比较的大小，并说明理由； (3)设a＝|x+2|，b＝|x﹣3|，若输入数对（a，b）之后，输出W＝26，请直接写出a+2b的值． 【答案】(1)1 (2)，理由见解析 (3)68或73 【分析】（1）根据程序框图，代入求值，即可求解； （2）根据程序框图，先求出，再比较大小，即可求解； （3）分三种情况讨论：当x≥3时；当x≤-2时；当-2＜x＜3时，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得： ； 故答案为：1 （2）解：，理由如下： 当a=m，b=-n时， ， 当a=-n，b= m时， ∴； （3）解：当x≥3时，a=x+2，b＝x﹣3， ∵W＝26， ∴， 解得：x=24， ∴a=26，b=21， ∴a+2b=68； 当x≤-2时，a=-x-2，b＝-x+3， ∵W＝26， ∴， 解得：x=-23， ∴a=21，b=26， ∴a+2b=73； 当-2＜x＜3时，a=x+2，b＝-x+3， ∴， 即， 解得：x=25或-22，不符合题意，舍去； 综上所述，a+2b的值为68或73． 【点睛】本题主要考查了求代数式的值及含绝对值的一元一次方程，正确表示W是求解本题的关键． 类型二、代数式中的整体代入 【解惑】如果代数式的值为1，那么代数式的值等于（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式求值，利用整体代入的思想求解是解题的关键．先根据题意得到，再由进行求解即可． 【详解】解：， ， ， 将代入得：原式， 故选：B． 【融会贯通】 1．实数x满足，则的值为（　　） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】D 【分析】本题考查代数式求值，根据，得到，，整体代入法求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ； 故选D． 2．已知，求的值为 ． 【答案】0 【分析】本题根据已知式子的值求代数式的值，将整理变形为与相关的式子，将代入整理后的式子，即可解题． 【详解】解： ， ， 原式， 故答案为：0． 3．【教材呈现】如图是华师版七年级上册数学教材第117页的部分内容： 17．代数式的值为7，则代数式的值为______． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下： 由题意得，则有， 所以． 所以代数式的值为5． 【解决问题】请运用小明的方法解决下列问题： （1）若代数式的值为0，求代数式的值； （2）已知当时，代数式的值为9，求当时，代数式的值； 【拓展提升】（3）若，请直接写出代数式的值． 【答案】（1）16；（2）0；（3）100． 【分析】本题考查了整式的运算，整体代入是解答本题的关键． （1）利用已知变形后的代数式代入所求代数式求值即可； （2）根据题意，计算出当时，，整体代入所求代数式计算出结果即可； （3）将，相减，可得即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴当时，， ∴； （3）∵，， ∴， 整理得． 类型三、代数式中的阴影面积 【解惑】如图，在长方形ABCD中，，，其内部有边长为a的正方形EFCG与边长为b的正方形HKJP，两个正方形的重合部分也为正方形，且面积为3，图中阴影部分面积分别为，，若，则正方形EFCG与正方形HKJP的面积之和为（    ） A．51 B．50 C．49 D．48 【答案】A 【分析】本题主要考查正方形的面积转化和求解，根据题干得，，则，有，，可得，，延长交于Q点，则和，结合，可求得，，利用即可求得答案． 【详解】解：记点M和点N， ∵两个正方形的重合部分也为正方形，且面积为3， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 延长交于Q点，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，将两个形状、大小完全相同的大长方形中分别放入4个相同的小长方形．如果大长方形的宽为，则图②与图①的阴影部分周长之差是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列代数式，以及整式的加减混合运算，设小长方形长为，宽为，由题意可得到，再根据图形分别表示出图②与图①的阴影部分周长，最后作差即可解题． 【详解】解：设小长方形宽为，长为， 由题知，，即， 图①的阴影部分周长为：， 图②阴影部分周长为：， 则图②与图①的阴影部分周长之差是：， ， ， 故选：C． 2．如图，现有甲、乙两种纸片，其中正方形纸片甲的边长为2，长方形纸片乙的宽为正方形边长的一半，将甲、乙纸片按图1、图2形式分别放入一个长方形中，图1、图2中甲乙纸片均有重叠，记图1，图2中阴影部分面积分别为和，已知，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的混合运算，根据图1和图2表示出和，再代入计算，解出a的值即可． 【详解】解：设大长方形的面积为S，则由图1可知， ， 由图2可知， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 3．学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求m的值”，通常的解题方法是：把x，y看作字母，m看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x的系数为0，即原式，所以，则． (1)若多项式的值与x的取值无关，求a的值； (2)5张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左上角的面积为，右下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，请求出a与b的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查合并同类项，代数式求值，熟练掌握合并同类项是解题的关键． （1）根据题意得到即可得到答案； （2）设，根据题意列出代数式，在根据题意得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 多项式的值与x的取值无关， ， ； （2）解：设， 由题意得， ， 的值与无关， ， ． 类型四、代数式中的二项式(杨辉三角) 【解惑】我国宋代数学家杨辉发现了展开式系数的规律： 展开式系数和为1 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由“杨辉三角”得到是（为非负整数）展开式的项系数和为． 【详解】解：由系数和可得： 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当 时，展开式中所有项的系数和为， ， 当时，展开式的项系数和为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了数字规律，解题的关键是熟练掌握观察展开式中所有项的系数和． 【融会贯通】 1．下表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6、10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第n个数记为，则的值为（    ）    A．19920 B．19921 C．19922 D．19923 【答案】B 【分析】这一列数的规律是：从第一个数开始，第二个数比第一个数大2，第三个数比第二个数大3，第四个数比第三个数大4，依此类推，第n个数比第个数大n；所以从特殊入手，，…，由此得出一般规律：，从而可求得结果． 【详解】这一列数的规律是：从第一个数开始，第二个数比第一个数大2，第三个数比第二个数大3，第四个数比第三个数大4，依此类推，第n个数比第个数大n，所以，，…，．所以， ，从而 故选：B． 【点睛】本题是一个规律探索题，对于这类题，遵循由特殊到一般的原则，要求学生善于观察并找出规律，这对学生的归纳能力提出了更高的要求． 2．年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”观察“杨辉三角”与右侧的等式，根据规律，展开的多项式中各项系数之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了乘方及数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其规律，解题的关键是能够发现其中的规律．根据图形中的规律，即可求出的各项系数的和． 【详解】解：展开的多项式中各项系数之和为， 展开的多项式中各项系数之和为， 展开的多项式中各项系数之和为， 展开的多项式中各项系数之和为， ∴展开的多项式中各项系数之和为， 故答案为：． 3．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，如图1的“杨辉三角”就是其中的一例．如图2，某同学发现杨辉三角给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数等等． （1）填出展开式中共有________项，第三项是________． （2）直接写出的展开式． （3）利用上面的规律计算：． 【答案】（1）5，；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据系数规律，即可得出答案； （2）根据规律，可知（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5； （3）根据规律得出原式=-1． 【详解】解：（1）∵ ∴展开式中项数共有5项，第三项是， （2）∵第六行的六个数1，5，10，10，5，1 ∴（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5； （3）原式． 【点睛】本题考查了数字的规律变化，要求学生通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键． 类型五、代数式中的行列排序 【解惑】将从1开始的连续自然数按以下规律排列： 第1行            1 第2行          2 3 4 第3行         5 6 7 8 9 第4行    10 1 1 12 13 14 15 16 第5行   17 18 19 20 21 22 23 24 25 …… 若有序数对表示第行，从左到右第个数，如表示，则表示的有序数对是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据第行的最后一个数是，第行有个数即可得出答案． 【详解】解：第行的最后一个数是，第行有个数， 在第行倒数第个， 第行有：个数， ∴在第行从左到右第个数，， 的有序数对是． 故选：A． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，掌握第行的最后一个数是，第行有个数是解题的关键． 【融会贯通】 1．将正奇数按下表排成列：若在第行第列，则（    ） 第列 第列 第列 第列 第列 第列 第列 第行 第行 第行 第行 第行 … … … A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字规律，分析得出规律“每行有个数，奇数行是从第列开始向右从小到大排列，偶数行是从第列开始向左从小到大排列”是解题的关键． 【详解】解：观察表格，每行有个数，奇数行是从第列开始向右从小到大排列，偶数行是从第列开始向左从小到大排列， ∵， ∴是第个正奇数， 又∵， ∴，， ∴在第行第列，即，， ∴， 故选：A． 2．从1开始的自然数按如图所示的规律排列，则第10行第9列的数字是 ，第n行第列的数字是 ．    【答案】 【分析】本题考查了观察图形，得出数字的规律．观察图形，发现规律：每一行第一列数都是行数的平方． 【详解】每一行第一列数都是行数的平方． 第10行第一个数是100，向右依次减1，第9个是， 第n行第一个数是，第个数是． 故答案为：，． 3．下面的数表是由从1开始的连续自然数组成的，观察规律并完成各题的解答． (1)表中第8行的最后一个数是______，它是自然数_____的平方，第8行共有_____个数； (2)用含n的代数式表示：第n行第一个数是________，最后一个数是______，第n行共有_______个数； (3)求第20行各数之和． 【答案】(1)64，8，15 (2)，， (3)14859 【分析】本题考查了数字的变化规律，发现每行的变化规律是解答此题的关键． （1）根据图中的数据，总结规律求解即可； （2）根据图中的数据，总结规律求解即可； （3）根据前面发现的数字的变化特点，计算出第20行第1个数和最后一个数，然后求和即可． 【详解】（1）第1行的最后一个数是，它是自然数1的平方，第1行共有个数； 第2行的最后一个数是，它是自然数2的平方，第2行共有个数； 第3行的最后一个数是，它是自然数3的平方，第3行共有个数； 第4行的最后一个数是，它是自然数4的平方，第4行共有个数； …； ∴第8行的最后一个数是，它是自然数8的平方，第8行共有个数； 故答案为：64，8，15； （2）第1行的第一个数是，最后一个数是，第1行共有个数； 第2行的第一个数是，最后一个数是，第2行共有个数； 第3行的第一个数是，最后一个数是，第3行共有个数； 第4行的第一个数是，最后一个数是，第4行共有个数； …； ∴第n行的第一个数是，最后一个数是，第n行共有个数； 故答案为：，，； （3）∵第20行第1个数为，最后一个数为，共有个数 ∴第20行所有数字之和 ． 类型六、代数式中的数字规律 【解惑】 (1)第5个式子是_______；第个式子是_______． (2)从计算结果中找规律，利用规律计算：_______； (3)计算：（由此拓展写出具体过程）： ①； ②． 【答案】(1)； (2) (3)①；② 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）观察一系列等式得到一般性规律，写出第5个式子与第个式子即可； （2）原式利用得出的规律化简，计算即可得到结果； （3）①原式变形为，利用得出的规律化简，计算即可得到结果； ②原式变形为，利用得出的规律化简，计算即可得到结果． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ∴第5个式子是：； 第个式子是； 故答案为：；； （2）解： ； （3）解：① ． ② ． 【融会贯通】 1．观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： …… 根据上述规律解答下列问题： (1)任意写出一个有相同规律的等式 ； (2)① 直接写出第n个 （，且n是整数） 等式 ； ② 请证明你在①中所写的等式成立． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)①  ②见解析 【分析】（1）根据题意找规律即可解答； （2）①将原题中的规律用含有字母n的等式表示出来即可 ②运用完全平方公式展开，然后利用提取公因数解题即可． 【详解】（1）解：第4个等式： ； （2）①第n个 （，且n是整数） 等式为：； ② ． 2．观察下列各式： ……①； ……②； ……③ … (1)根据上述规律写出第5个等式是： ； (2)试写出第（为正整数）个等式： ； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字的变化规律类题型，正确理解题意、发现数字的变化规律是解决此题的关键． （1）根据题目中式子的特点，直接写出第5个等式即可； （2）根据题目中式子的特点，写出第n个等式，然后将等式左边做适当的变形可得右边； （3）根据前面得到的n个式子分别相加，变形后即可得答案．． 【详解】（1）根据题意，等式中不变的是底数3，等式右边的系数2，运算符号不变，指数的特点是第1个等式，两边的指数为2，1，1；第2个等式，两边的指数为3，2，2；第3个等式，两边的指数为4，3，3，第n个等式的指数为，故第五个等式为； 故答案为：． （2）根据题意，等式中不变的是底数3，等式右边的系数2，运算符号不变，第n个等式的指数为，故第n个等式为； 故答案为：． （3）根据题意，得 ……①； ……②； ……③ ………………………… …… 左右两边，分别相加，得 ， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式； 请猜想　　； (2)试用含有n的式子表示这一规律： 　 　；（n为正整数） (3)请用上述规律计算：①；②． 【答案】(1)100 (2) (3)①2500；②1023669 【分析】本题主要考查数字的变化规律和图形的变化类及实数的运算，根据图形得出等式左边是连续的奇数和，等式右边是等式左边的首数与末数的平均数的平方是解题的关键． （1）根据图示和数据可知规律是：等式左边是连续的奇数和，等式右边是等式左边的首数与末数的平均数的平方，据此可得； （2）利用（1）中的规律可得； （3）①； ②由，，两式相减可得． 【详解】（1）解：观察，发现规律：，，，， ， ④． 故答案为：100． （2）由（1）知，， 故答案为：； （3）①令， 解得：， ． ②， ， 上式减去下式可得：． 类型七、代数式中的图形规律 【解惑】某广场铺设的地砖为正方形，如图①所示且带有图案，铺设地砖拼成一圈的图案如图②所示． 【观察思考】如图②，当地砖铺设了1圈时，地砖用了4块，且地砖上的曲线围成的封闭图形有1个；如图③，当地砖铺设了2圈时，地砖用了12块，且地砖上的曲线围成的封闭图形有2个；…    【规律总结】 (1)当地砖铺设了5圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个； (2)当地砖铺设了n（n为正整数）圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个（用含n的代数式表示）； (3)若每块地砖的价钱为18元，当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，则铺设的地砖共需要花费多少元？ 【答案】(1)60，5 (2)，n (3)当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，铺设的地砖共需花费23400元 【分析】本题主要考查图形的规律，理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据一直推行进行推理即可得到答案； （2）设当地砖铺设了n圈时，地砖的总数为y，即可求出当地砖铺设了n圈时，地砖的总数；根据铺设了多少圈即可得出围成了多少的封闭图形； （3）根据曲线围成的封闭图形有25个，地砖铺设了25圈，进行就算即可． 【详解】（1）解：当地砖铺设了1圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有1个； 当地砖铺设了2圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有2个； 当地砖铺设了3圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有3个；…， 当地砖铺设了5圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有5个． （2）解：，n； 设当地砖铺设了n圈时，地砖的总数为y， 铺设1圈形成如题图②所示的图案共用4块地砖，即；曲线围成的封闭图形的个数有1个； 铺设2圈形成如题图③所示的图案共用12块地砖，即；曲线围成的封闭图形的个数有2个； 铺设3圈形成如题图④所示的图案共用24块地砖，即；曲线围成的封闭图形的个数有3个； 当地砖铺设了n圈时，地砖的总数． 曲线围成的封闭图形有个； （3）解：曲线围成的封闭图形有25个， 地砖铺设了25圈， 当时，（块）． 每块地砖的价钱为18元， 共需花费的费用为（元）． 答：当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，铺设的地砖共需花费23400元． 【融会贯通】 1．由镶嵌知识可知，边长相等的正六边形、正方形、正三角形三种地砖可进行无缝密铺，观察图1、图2、图3，完成如下解答． (1)填写下表： 图序 正六边形个数 正方形个数 正三角形个数 图1 1 6 6 图2 2 图3 3 (2)①图n中，正方形地砖数量为_______块、正三角形地砖的数量为_______块； ②求图10中正方形地砖和正三角形地砖的总数量． 【答案】(1)见解析 (2)①，；②块 【分析】本题考查了平面镶嵌(密铺)问题和用代数式表示规律，解题的关键是要注意分别找到三角形和正方形的个数的规律． （1）直接根据图像中各方块数量填表即可解题； （2）①根据图1、2、3正方形个数与正三角形个数寻找规律，即可解题； ②根据①中规律直接解题即可． 【详解】（1）解：由图可得： 图序 正六边形个数 正方形个数 正三角形个数 图1 1 6 6 图2 2 11 10 图3 3 16 14 （2）解：①由图可知： 图中，正方形地砖数量为块，正三角形个数为块； 图2中，正方形地砖数量为块，正三角形个数为块； 图3中，正方形地砖数量为块，正三角形个数为块； 在图n中，正方形地砖数量为块，正三角形个数为块， 故答案为，； ②由①可得： 在图10中，正方形地砖数量为块，正三角形个数为块， 在图10中正方形地砖和正三角形地砖的总数量为块． 2．将菱形如图进行如下划分，第次划分：分别连接菱形对边的中点如图，得线段和，它们交于点，此时图中共有个菱形；第次划分：将图左上角菱形按相同方式再划分如图，则图中共有个菱形．      (1)若把左上角的菱形按上述方式依次划分下去，则第次划分后图中共有 个菱形． (2)能否将菱形划分成有个菱形的图形？如果能，请算出是第几次划分后得到的，如果不能，请说明理由． (3)设原菱形的面积为1，通过不断地划分该菱形，并把数量关系和几何图形进行巧妙地结合，可以得到 ．(直接写出答案即可) 【答案】(1)(4n+1) (2)能，第16次划分后能将菱形ABCD划分成有65个菱形的图形 (3) 【分析】本题考查了图形的规律， （1）探究规律，利用规律即可解决问题； （2）构建方程即可解决问题； （3）利用数形结合思想解决问题，根据进行计算即可求解． 【详解】（1）解：∵第一次可得个正方形， 第二次可得个正方形， 第三次可得个正方形， …… ∴第次可得个正方形， 故答案为：； （2）能，理由如下：             令，解得 第次划分后能将菱形划分成有个菱形的图形． （3）         由题意 3．分别观察下列三组图形，并填写表格： 如图1所示，在由一些三角形组成的图形中，每条边上都排列了一些点，其中每个图形中所有点的总数记为，叫做第n个“三角形数”（n为整数，且）．类似的也可以用点排出一些“四边形数”，“五边形数”，如图2，图3所示． … 三角形数 3 6 10 15 28 … a 四边形数 4 9 16 25 49 … b 五边形数 5 12 22 35 70 … (1)请你将第6个“三角形数”，第6个“四边形数”，第6个“五边形数”，填写在上面的表格中； (2)若第k个“三角形数”a，第k个“四边形数”为b，请用含a，b的代数式表示第k个“五边形数”，并填入表格中． 【答案】(1)21；36；51 (2) 【分析】本题考查了图形类规律探索、用代数式表示数、图形的规律： （1）先观察图形的规律，然后填写表格； （2）根据纵向数字之间的关系可得到规律； 正确得到规律是解题的关键． 【详解】（1）解：对于三角形数： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，； 对于四边形数： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，； 对于五边形数： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，； 则表格如下： 第n个多边形数类型 三角形数 3 6 10 15 21 四边形数 4 9 16 25 36 五边形数 5 12 22 35 51 （2）解：根据表格的前几列可得： 当时，， 当时，， 当时，， 以此类推可得： 当时，， 表格如下： 第n个多边形数类型 … 三角形数 3 6 10 15 21 28 … a 四边形数 4 9 16 25 36 49 … b 五边形数 5 12 22 35 51 70 … 类型八、代数式中的收费问题 【解惑】某市有两家出租车公司，收费标准不同，甲公司收费标准为：起步价元，超过千米后，超过的部分按照每千米元收费．乙公司收费标准为：起步价元，超过千米后，超过的部分按照每千米元收费．车辆行驶千米，本题中取整数，不足的路程按计费．根据上述内容，完成以下问题： (1)当，且为整数时，甲公司的收费是________元，乙公司的收费是________元（结果用化简后的含的代数式表示） (2)当行驶路程为千米时，通过计算说明哪家公司的费用更便宜？便宜多少元？ 【答案】(1)， (2)当行驶路程为千米时，甲公司的费用更便宜，便宜元 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减以及代数式的求值，理解题意正确列式是解本题的关键． （1）根据甲、乙两公司的收费标准分段计算，列出代数式即可； （2）当时，分别求出代数式的值即可． 【详解】（1）解：当时，且为整数时， 甲公司的收费是：（元）， 乙公司的收费是：（元）； 故答案为：，； （2）解：当时，甲公司的收费是：（元），乙公司的收费是：元． ，（元）， 当行驶路程为千米时，甲公司的费用更便宜，便宜元． 【融会贯通】 1．为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如表： 居民每月用电项 单价（元/度） 不超过50度的部分 0.5 超过50度但不超过200度的部分 0.6 超过200度的部分 0.8 已知小刚家上半年的用电情况如下表（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负）： 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 根据上述数据，解答下列问题： (1)小刚家用电量最多的是______月份，实际用电量为______度； (2)若小刚家七月份用电量为度，求小刚家七月份应交纳的电费（用含的代数式表示）； (3)若小刚家七月份用电量为232度，求小刚家七月份应交纳电费多少元．（结果精确到个位） 【答案】(1)二， (2)元 (3)141元 【分析】本题考查了有理数大小比较的应用，列代数式求值的应用； （1）把超过标准的数进行大小比较，即可求解； （2）根据阶梯价格列出代数式，即可求解； （3）将代入（2）中的代数式，即可求解； 理解“阶梯价格”是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 ， 二月份用电量最多， （度）， 故答案：二，； （2）解：由题意得 （元）， 答：小刚家七月份应交纳的电费为元； （3）解：由(2)知，小刚家七月份应交纳的电费为元， 当时， （元）. 答：小刚家七月份应交纳电费约141元. 2．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段以达到节水的目的，如表所示是该市自来水收费价格价目表： 价目表 每月用水量 单价 不超出的部分 3元/ 超出但不超出的部分 5元/ 超出的部分 8元/ 注：水费按月结算 (1)填空：若某户居民2月份用水 5，则2月份应收水费 元；若该户居民3月份用水 10，则3月份应收水费 元； (2)若该户居民4月份用水量 (a 在6 至 10m3之间)，则应收水费包含两部分，一部分为用水量为 6，水费18元； 另外一部分用水量为 ，此部分应收水费 元； 则4月份总共应收水费________元．(用a 的整式表示并化简) (3)若该户居民5月份用水 xm3()，求该户居民5月份共交水费多少元？(用 x 的整式表示并化简) 【答案】(1)15，38 (2)，， (3)该户居民 5 月份共交水费元 【分析】（1）按照收费标准，列出算式计算即可； （2）根据收费标准，列出代数式即可； （3）根据收费标准，列出代数式即可． 【详解】（1）解：（元），（元）； 故答案为：15，38； （2）另一部分的用水量为，应收水费为元；4月份总共应收水费元； 故答案为：，，； （3）元； 答：该户居民5月份共交水费元． 【点睛】本题考查整式加减的实际应用．解题的关键是掌握收费标准，正确的列出代数式． 3．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采取价格调控手段以达到节水的目的，下表是该市自来水收费价格的价目表． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/ 超出6立方米但不超出10立方米的部分 4元/ 超出10立方米的部分 8元/ 注：水费按月结算 (1)若某户居民2月份用水4立方米，则应交水费______元． (2)若某户居民3月份用水a立方米（其中），求该用户3月份应交水费．（用含a的整式表示，结果要化成最简形式） (3)若某户居民4，5月份共用水15立方米（5月份用水量多于4月份），设4月份用水x立方米，求该户居民4，5月份共交水费（用含x的整式表示，结果要化成最简形式）． 【答案】(1)8 (2) (3)元或元或36元 【分析】本题考查有理数混合运算，列代数式，整式加减混合运算，根据题意列出算式是解题关键．注意分类讨论，经免漏解． （1）根据题意，用单价乘以用水量计算即可； （2）根据题意，得6立方米的部分的费用超出的立方米的费用，列式计算即可； （3）分4种情况：当时，当时，当时，分别列式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，得（元； 答：该用户2月份应交水费8元； （2）解：∵ ∴（元）， 答：该用户3月份应交水费元； （3）解：∵4月份用水x立方米， ∴5月份用水立方米， ∵5月份用水量多于4月份， ∴， 解得， 当时，则该户居民4，5月份共交水费为：(元)， 当时，(元)， 当时，(元). 答：该户居民4，5月份共交水费为元或元或36元． 【一览众山小】 1．已知，，，，若，则（    ）． A．19 B．21 C．99 D．109 【答案】D 【分析】本题考查了规律型——数字的变化类，观察出整数与分数的分子分母的关系是解题的关键． 观察不难发现，一个整数加上以这个整数为分子，整数的平方减1作为分母的分数，等于这个整数的平方乘以这个分数，然后求出a、b，再相加即可得解． 【详解】解：第一个：， 第二个：， 第三个：， 第四个：， …… 第n个： ∵ 所以， 所以 故答案为：D． 2．用同样大小的黑、白色正方形按如图的方式搭建图形，图①中有2个黑色正方形，图②中有3个黑色正方形，图③中有5个黑色正方形，图④中有6个黑色正方形，…，按照这个规律，则图⑨中的黑色正方形个数为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【分析】本题考查图形变化的规律．依次求出图形中黑色正方形的个数，发现规律“图为正整数）中黑色正方形的个数为个，图中黑色正方形的个数为个”即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 图①中黑色正方形的个数为：； 图②中黑色正方形的个数为：3； 图③中黑色正方形的个数为：； 图④中黑色正方形的个数为：6； 图⑤中黑色正方形的个数为：； 图⑥中黑色正方形的个数为：9； ， 所以图为正整数）中黑色正方形的个数为个，图中黑色正方形的个数为个， 当，即时， （个）， 即图⑨中黑色正方形的个数为14个． 故选：B． 3．按一定规律排列的单项式：，，，，，…则第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的规律探索，正确理解题意、分别找出已知单项式的系数与次数的规律即可解题． 【详解】解：由题可知，单项式系数变化规律为：、、、，即， 单项式次数的变化规律为、、、、，即， 第个单项式是， 故选：D． 4．现有一列数，，，……，，其中，，且（n为正整数），则 ． 【答案】671 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． 由题意可求得，，，则可得该数列从第1个数起每3个数循环出现，从而可求解． 【详解】解：，，且， ，解得：， 同理求得：，， 该数列从第1个数起，以，，5每3个数循环出现， ， ，， ． 故答案为：671． 5．有理数在数轴上的位置如图所示，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上的点表示数，有理数的绝对值的性质，相反数的和为0，观察数轴，得出a，b，c的大小，判断各式符号，再化简绝对值即可． 【详解】解：由数轴可知，，， 所以， 故答案为： 6．观察，则有；，则有；，则有；按此规律继续写出两个式子： ； ． 【答案】 ，则有 ，则有 【分析】本题考查了数字规律探索，乘方的计算，由题中1，3，5，7，可知，接下来两个为9，11的式子，，，进而求解即可． 【详解】解：，则有； ，则有． 故答案为：，则有；，则有． 7．观察下列等式： 第1个等式： ； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式： ． (2)用含有n的代数式表示第n个等式： （n为正整数）； (3)求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，根据题目所给等式，总结出变化规律是解题的关键． （1）根据题目所给的前几个等式，即可写出第五个等式； （2）根据题目所给的等式，总结出变化规律，即可解答； （3）根据题目所给的等式变化规则，分别计算和，两者相减即可得到． 【详解】（1）解：由题意得：第5个等式为：， 故答案为：； （2）解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …， ∴第n个等式： 故答案为：； （3）解：∵ 又∵ ∴ 8．我市某小区居民使用自来水2023年标准缴费如下（水费按月缴纳）： 用户月用水量 单价 不超过的部分 元 超过但不超过的部分 元 超过的部分 元 (1)当时， ①某户1月份用了的水，求该户1月份应缴纳的水费__________元． ②某户4月份用了的水，求该户4月份应缴纳的水费__________元． ③某户8月份用了的水，求该户8月份应缴纳的水费__________元． (2)设某户月用水量为，当时，该户应缴纳的水费为__________元（用含，的式子表示）． (3)当时，甲、乙两户一个月共用水，已知甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水，试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费（用含的式子表示） 【答案】(1)①6；②27；③60 (2) (3)当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为元；当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为元；当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为元 【分析】（1）根据所给的收费标准进行分段计算，可以分别计算出该用户1月份，4月份，8月份应缴纳的水费； （2）根据所给的收费标准进行分段计算，可以计算出当时，该用户应缴纳的水费； （3）分当时，当时，当时，三种情况根据所给的收费标准讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知： ①某用户1月份用了水，则该用户这个月应缴纳的水费为：（元）； 故答案为：6； ②某用户4月份用了水，则该用户这个月应缴纳的水费为：（元）； 故答案为：27； ③某用户8月份用了水，则该用户这个月应缴纳的水费为：（元）； 故答案为：60； （2）由题意可得： （元）， ∴当时，该户应缴纳的水费为元， 故答案为：； （3）∵， ∴， 当时，甲用水量超过但不超过，乙用水量超过， ∴甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为： ； 当时，甲的用水量超过，乙的用水量超过但不超过， ∴甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为： ； 当时，甲的用水量超过，乙的用水量不超过， ∴甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为： ； 综上所述，当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为元；当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为元；当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为元． 【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合计算的实际应用，整式加减计算的实际应用，正确理解题意利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$