精品解析：福建省厦门第六中学2023-2024学年高一下学期5月期中数学试题

厦门六中2023—2024学年第二学期高一年期中考试 数学试卷 满分：150分 完成时间：120分钟 命题时间：2024年4月30日 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z在复平面内对应的点是，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，向量是（ ） A. 有相同起点的向量 B. 模相等的向量 C. 共线向量 D. 相等的向量 3. 如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形面积是（ ） A. B. 1 C. D. 4. 在空间中，直线∥面，直线平面，则（ ） A. m与n平行 B. m与n平行或相交 C. m与n异面或相交 D. m与n平行或异面 5. 当太阳光与水平面的倾斜角为时，一根长为2m的竹竿如图所示放置，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，为上一点，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 7. 已知轴截面为正三角形的圆锥，被平行于底面的平面所截，截得的上、下两个几何体的表面积分别为，，体积分别为，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的（ ） A 若复数，则 B. 若，，则复数的虚部是2i C. 若是关于x的实系数方程的根，则 D. 若，则的最小值为1 10. 如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与是异面直线 B. 直线与是平行直线 C. 直线与是相交直线 D. 平面截正方体所得的截面面积为 11. 定义：，两个向量叉乘的模，则下列命题正确的是（ ） A. 若平行四边形ABCD的面积为4，则 B. 在正中，若，则 C. 若，，则最小值为 D. 若，，且为单位向量，则的值可能为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数是纯虚数，其中R，则|z|＝________. 13. 已知在中，，则__________. 14. 如图，直三棱柱中，，，，点P在棱上，且，则当______时，的面积取最小值；此时三棱锥的外接球的表面积为______． 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在平行四边形中，点是的中点，点分别是的三等分点（，），设，． （1）用，表示，； （2）如果，，那么有什么位置关系?用向量方法证明你结论． 16. 在中分别为角所对边，向量，且． （1）求； （2）若，的面积为，求的周长． 17. 已知三棱柱中，侧棱垂直于底面，点D是AB的中点． （1）求证：平面； （2）若底面ABC为边长为2的正三角形，，求三棱锥体积． 18. 如图所示，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N，K分别为AB，PC，PA的中点，平面平面． （1）判断直线l与BC的位置关系并证明； （2）求证：平面PAD； （3）直线PB上是否存在点H，使得平面平面ABCD?若存在，求出点H的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由． 19. （1）平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．四边形ABCD的顶点在同一平面上，已知，．当BD长度变化时，是否为一个定值?若是，求出这个定值；若否，说明理由． （2）在平面四边形ABCD中，已知，，．若，求证：． （3）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 厦门六中2023—2024学年第二学期高一年期中考试 数学试卷 满分：150分 完成时间：120分钟 命题时间：2024年4月30日 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z在复平面内对应的点是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的几何意义，写出复数，在运用复数的除法运算化简即可. 【详解】因为复数在复平面内对应的点为, 所以, 所以, 故选：C. 2. 如图，在中，向量是（ ） A. 有相同起点的向量 B. 模相等的向量 C. 共线向量 D. 相等的向量 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，由图形判断；对于B，根据圆的半径为向量的模判断；对于C，由共线向量的定义判断；对于D，由相等的向量的定义判断. 【详解】对于A，根据图形，可得向量，，不是相同起点的向量，∴A错误； 对于B，因为O是圆心，那么向量，，的模长是一样的，∴B正确； 对于C，共线向量知识点是方向相同或者相反的向量，∴C错误； 对于D，相等的向量指的是大小相等，方向相同的向量，∴D错误， 故选：B． 3. 如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形面积是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出的面积，再利用直观图与原图形面积关系求出结果. 【详解】在中，，由，得， 因此的面积， 所以原三角形面积是. 故选：C 4. 在空间中，直线∥面，直线平面，则（ ） A. m与n平行 B. m与n平行或相交 C. m与n异面或相交 D. m与n平行或异面 【答案】D 【解析】 【分析】由线面线线的位置关系可得答案. 【详解】直线∥面，直线平面，可知，m与n平行或异面． 故选：D 5. 当太阳光与水平面的倾斜角为时，一根长为2m的竹竿如图所示放置，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意利用正弦定理得出影子长为，再由三角函数值域即可得结果. 【详解】设竹竿与地面所成的角为，影子长为m． 由正弦定理，得， 解得． 又易知，可得， 即可知当，即时，x有最大值为． 即竹竿与地面所成的角是时，影子最长． 故选：B 6. 如图，在矩形中，为上一点，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】借助于矩形建立直角坐标系，利用坐标法求解. 【详解】 建立如图示坐标系，由则有： 因为E为上一点，可设 所以. 因为，所以，即，解得：，所以. 由得： ，解得：，所以. 故选：D 7. 已知轴截面为正三角形的圆锥，被平行于底面的平面所截，截得的上、下两个几何体的表面积分别为，，体积分别为，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出圆锥的轴截面，设出大小圆锥的底面圆半径，表示出母线长，利用代入化简得到，计算得到的值. 【详解】 如图，作出圆锥的轴截面，设截得的圆锥的底面圆半径为，原圆锥的底面圆半径为． 因为轴截面是正三角形，所以母线长为，原圆锥的母线长为， 则截得的圆台的母线长为．因为，即，解得， 于是， ，所以. 故选：A． 8. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由面积公式与正余弦定理化简后得出关系后求解 【详解】在中，， 故题干条件可化为，由余弦定理得， 故，又由正弦定理化简得： ， 整理得，故或（舍去），得 为锐角三角形，故，解得，故 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的（ ） A. 若复数，则 B. 若，，则复数的虚部是2i C. 若是关于x的实系数方程的根，则 D. 若，则的最小值为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数运算、复数的模、虚部、方程的根、复数模的几何意义对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，，A选项正确. B选项，，，，虚部为，B选项错误. C选项，由于是关于x的实系数方程的根， 则是关于x的实系数方程的根， 所以，解得，所以，C选项正确. D选项，表示对应点与点的距离为， 表示对应点与点的距离，结合图象可知，的最小值为， 所以D选项正确. 故选：ACD. 10. 如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与是异面直线 B. 直线与平行直线 C. 直线与是相交直线 D. 平面截正方体所得的截面面积为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于ABC：根据异面直线的定义来判断；对于D：四边形为平面截正方体所得的截面，求梯形面积即可. 【详解】面，面，，所以直线与是异面直线，故A正确； 面，面，，所以直线与是异面直线，即直线与是异面直线，故B错误； 面，面，，所以直线与是异面直线，故C错误； 明显，故四边形为平面截正方体所得的截面， ， 四边形是等腰梯形，则梯形的高是， 所以梯形的面积，故D正确． 故选：AD． 11. 定义：，两个向量的叉乘的模，则下列命题正确的是（ ） A. 若平行四边形ABCD的面积为4，则 B. 在正中，若，则 C. 若，，则的最小值为 D. 若，，且为单位向量，则的值可能为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据两个向量叉乘的模的定义及向量数量积的运算逐个分析判断. 【详解】对于A，因为平行四边形ABCD的面积为4，所以，所以，故A正确； 对于B，设正的边边上的中点为，则， 因为，所以， 所以，所以B错误； 对于C，因为，所以， 所以，因为，所以，所以， 所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为，所以C正确； 对于D，若，，且为单位向量， 则当时，， 此时，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数是纯虚数，其中R，则|z|＝________. 【答案】12 【解析】 【分析】根据复数的概念求出，根据复数模的定义可求出结果. 【详解】因为复数是纯虚数， 所以，解得， 所以，. 故答案为：12 13. 已知在中，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，将用表示，再利用向量数量积的定义结合等腰三角形性质求解作答. 【详解】在中，，，，取的中点，连接，如图， 则有，且，， 所以. 故答案为：. 14. 如图，直三棱柱中，，，，点P在棱上，且，则当______时，的面积取最小值；此时三棱锥的外接球的表面积为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设，先求得的关系式，然后利用基本不等式求得的面积取最小值，以及此时的值.根据三棱锥外接球表面积的求法求得三棱锥的外接球的表面积. 【详解】设，则，， 由于，所以，整理得， 所以 ， 当且仅当即时等号成立. 此时，，所以，所以， 由于，所以是三棱锥的外接球的直径， 所以外接球的半径为，表面积为. 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：求解三角形面积的最值问题，可以先将面积的表达式求出，然后根据表达式的结构，利用基本不等式、函数的最值等知识来求得面积的最值.求解几何体外接球有关问题，关键是判断出外接球的球心和半径. 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在平行四边形中，点是的中点，点分别是的三等分点（，），设，． （1）用，表示，； （2）如果，，那么有什么位置关系?用向量方法证明你的结论． 【答案】（1）， （2）垂直，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件，结合图形，利用向量加法的三角形法则，即可求解； （2）根据条件，利用向量数量积的运算律，即可求解. 【小问1详解】 因为点是的中点，，， 所以，. 【小问2详解】 垂直，证明如下， 由（1）知， 所以，得到. 16. 在中分别为角所对的边，向量，且． （1）求； （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】（1）根据条件得到，再由余弦定理即可求出结果； （2）根据条件，利用面积公式得到，进而求出，即可求解. 【小问1详解】 因为，且，所以， 即，得到， 又由余弦定理知，所以，得到， 又，所以. 【小问2详解】 因为，得到， 又，得到，所以，得到， 所以的周长为. 17. 已知三棱柱中，侧棱垂直于底面，点D是AB的中点． （1）求证：平面； （2）若底面ABC为边长为2的正三角形，，求三棱锥体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，只要证明即可； （2）求出面，得到是棱锥的高，利用棱锥的体积公式解答即可. 【小问1详解】 连接交于点，连接， 四边形是矩形， 为的中点，又是的中点， ，又平面平面, 平面； 【小问2详解】 是的中点， ， 又平面平面, 平面, 平面, 则是三棱锥的高, 又 . 18. 如图所示，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N，K分别为AB，PC，PA中点，平面平面． （1）判断直线l与BC的位置关系并证明； （2）求证：平面PAD； （3）直线PB上是否存在点H，使得平面平面ABCD?若存在，求出点H的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），证明见解析； （2）证明见解析； （3）存在，为中点，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理证明即可. （2）利用线面平行的判定定理证明即可. （3）利用面面平行的判定定理证明即可. 【小问1详解】 依题意，，平面，平面，则平面， 又平面平面，平面，所以. 【小问2详解】 取中点，连接，在中， 在中，，则，即四边形为平行四边形， 因此，平面，平面， 所以平面. 【小问3详解】 当为中点时，平面平面 证明如下： 取的中点为，连接， 在中，，平面，平面， 则平面，同理可证，平面， 又平面，， 所以平面平面. 19. （1）平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．四边形ABCD的顶点在同一平面上，已知，．当BD长度变化时，是否为一个定值?若是，求出这个定值；若否，说明理由． （2）在平面四边形ABCD中，已知，，．若，求证：． （3）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，求的取值范围． 【答案】（1）是，定值为1；（2）证明见解析；（3）. 【解析】 【分析】（1）由余弦定理得到，，相减得到为定值，定值为1； （2）由已知结合余弦定理可分别求解，然后结合角的大小关系及三角函数的性质可求边的大小； （3）首先得到均锐角，化简得到，，从而得到，换元，则，结合函数单调性求出取值范围. 【详解】（1）在中，由余弦定理，得， 同理，在中，， 则有， 所以当BD长度变化时，为定值，定值为1； （2）证明：中，，则， 在中，由余弦定理得 在中，由余弦定理得， 因为，， 所以，即， 又，， 所以 所以. （3）为的内角，则，则由，可得，则均为锐角， ， 又，，则，， 则，则 则， 令，则， 又函数在单调递增，，， 可得，则的取值范围为， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$