第1章 图形的相似（能力提升）-2024-2025学年九年级数学上册单元测试定心卷（青岛版）

第1章图形的相似（能力提升） 数学问卷（原卷版） 本试卷共8页。满分120分。考试用时120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡规定的位置上，并在本页上方空白处写上姓名和准考证号。 2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答案写在试卷上无效。 3. 非选择题必须用0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）如果两个相似三角形周长的比是，那么它们的面积比是（   ） A． B． C． D． 2．（本题3分）如图所示，△ABC中∠BAC＝80°，AB＝4，AC＝6．甲、乙、丙、丁四名同学分别在△ABC内画出一个阴影三角形与△ABC相似，其中画的错误的是(　　) A．B．C．D． 3．（本题3分）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD上的中点，EC交对角线BD于点F，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（本题3分）一块含30°角的直角三角板（如图），它的斜边AB=8cm，里面空心△DEF的各边与△ABC的对应边平行，且各对应边的距离都是1cm，那么△DEF的周长是（  ） A．5cm B．6cm C． D． 5．（本题3分）如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行．张强扛着箱子(人与箱子的总高度约为2.2m)乘电梯刚好安全通过，请你根据图中数据回答，两层楼之间的高约为(   ) A． B． C．11m D． 6．（本题3分）如图，为驾驶员盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为米，车头近似看成一个矩形，且满足，若车宽的长为米，则盲区的长是（    ）． A．米 B．6米 C．米 D．8米 7．（本题3分）如图，在中，，，，点F在AC上，并且，点E为BC上的动点（点E不与点C重合），将沿直线EF翻折，使点C落在点P处，结论①：当时，的长为；结论②：点P到AB的距离的最小值是，则关于上述两个结论，下列说法正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①和②都正确 D．①和②都错误 8．（本题3分）将矩形ABCD和矩形CEFG分割成5块图形（如图中①②③④⑤），并把这5块图形重新组合，恰好拼成矩形BEHN．若AM＝1，DE＝4，EF＝3，那么矩形BEHN的面积为（    ） A．20 B．24 C．30 D．45 9．（本题3分）如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连结BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连结AF，有以下五个结论；①；②；③；④；⑤若，则；其中正确的结论有（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 10．（本题3分）如图，正方形的边长为4，点分别在边上，且平分，连接，分别交于点是线段上的一个动点，过点作，垂足为，连接．有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的是（    ） A．①② B．②③④ C．①③ D．①③④ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）在平行四边形中，对角线与交于点O，的重心为E， . 12．（本题3分）在阳光下，高6m的旗杆在水平地面上的影子长为4m，此时测得附近一个建筑物的影子长为16m，则该建筑物的高度是 m． 13．（本题3分）在平面直角坐标系中，已知△OEF的顶点分别为，，，若与是以原点为位似中心，且点的对应点的坐标是，则点的对应点的坐标是 ． 14．（本题3分）如图，在一场羽毛球比赛中，站在场内M处的运动员林丹把球从N点击到了对方内的B点，已知网高OA=1.52米，OB=4米，OM=5米，则林丹起跳后击球点N离地面的距离NM= 米． 15．（本题3分）如图，边长为4的正方形ABCD中，E为AD的中点，连接CE交BD于F，连接AF，过A作AM⊥AF交CE的延长线于M，则DM的长为 ．    16．（本题3分）如图，在中，点、分别是边、的中点，过的中点并与的延长线交于点，与交于点．若的面积为，则四边形的面积＝ ． 三、解答题（共72分） 17．（本题6分）如图，四边形四边形，求边、的长度和角的大小．    18．（本题6分）如图所示，正方形网格中有一条简笔画“鱼”，请你以O为位似中心放大，使新图形与原图形的对应线段的比是2∶1(不要求写作法). 19．（本题8分）如图，在中，是斜边上的高． 求证：（1）； （2）． 20．（本题8分）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．    (1)画出关于x轴对称的； (2)以点O为位似中心，在网格中画出的位似图形，使与的相似比为； (3)设点为内一点，则依上述两次变换后点P在内的对应点的坐标是___________． 21．（本题10分）如图，在中，，是的中线，作于点E，EF∥BC，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求及的长． 22．（本题10分）如图，中，，，点为平行四边形边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得线段，点的对应点是． (1)如图1． ①当，点落在直线或直线上时，直接写出此时的长为 ； ②连接，求证：的面积是一个定值． (2)如图2，当时，连接，将绕点逆时针旋转得线段，点的对应点是．直接写出是等腰三角形时的值． 23．（本题12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，如果点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点F由点D出发沿DA方向向点A匀速运动，它们的速度分别为每秒2cm和1cm，FQ⊥BC，分别交AC、BC于点P和Q，设运动时间为t秒（0＜t＜4）． （1）连接EF，若运动时间t＝秒时，求证：EQF是等腰直角三角形． （2）连接EP，当EPC的面积为3cm2，求t值． （3）当EF⊥AC时，求运动时间t． 24．（本题12分）在矩形中，点O是对角线，的交点，直角的顶点p与O重合，，分别与，边相交于E，F，连接，（为常数）．    (1)发现问题：如图1，若，猜想 ． (2)类比探究：如图2，，探究线段，之间的数量关系，并说明理由． (3)拓展运用：如图3，在（2）的条件下，若，，，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$第1章图形的相似（能力提升） 数学答题卡 姓名： 班级： 考场/座位号： 注意事项 1．答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清楚。 2．客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 3．主观题答题，必须使用黑色签字笔书写。 4．必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效。 5．保持答卷清洁、完整。 正确填涂 缺考标记 准考证号                 [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] 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3．（本题3分）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD上的中点，EC交对角线BD于点F，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质得出△EDF∽△CBF，AD＝BC，求出BC＝AD＝2ED，再得出答案即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴△EDF∽△CBF， ∴， ∵点E是边AD的中点， ∴AD＝2ED， ∴BC＝2ED， ∴＝， 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形相似的判定与性质．利用数形结合的思想是解题关键． 4．（本题3分）一块含30°角的直角三角板（如图），它的斜边AB=8cm，里面空心△DEF的各边与△ABC的对应边平行，且各对应边的距离都是1cm，那么△DEF的周长是（  ） A．5cm B．6cm C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：根据相似三角形的周长的比等于相似比可求△DEF的周长，求出EF的长是解决本题的关键． 试题解析：∵斜边AB=8cm，∠A=30°， ∴BC=4cm，AC=4cm，周长是12+4cm， 连接BE，过E作EM⊥BC于M， 则∠EBC=30°，EM=1cm， ∴BM=cm． 则EF=4-1-=3-cm． ∴△ABC∽△DEF， 相似比是， 相似三角形周长的比等于相似比， 因而， 解得△DEF的周长是6cm． 故选B． 考点：相似三角形的判定与性质． 5．（本题3分）如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行．张强扛着箱子(人与箱子的总高度约为2.2m)乘电梯刚好安全通过，请你根据图中数据回答，两层楼之间的高约为(   ) A． B． C．11m D． 【答案】A 【详解】如图，作DE⊥FC于点E，∴△ABC∽△CED，∴． 设AB＝x米，由题意得DE＝6米，EF＝2.2米．∴，解得x＝5.5．故选A． 6．（本题3分）如图，为驾驶员盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为米，车头近似看成一个矩形，且满足，若车宽的长为米，则盲区的长是（    ）． A．米 B．6米 C．米 D．8米 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，如图，根据，可得，作，交于点，交于点，根据矩形的性质可得四边形是矩形，可得，可证，根据相似三角形对应表的比等于对应高的比，由此即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点作，交于点，交于点，则， ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，且， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C ． 7．（本题3分）如图，在中，，，，点F在AC上，并且，点E为BC上的动点（点E不与点C重合），将沿直线EF翻折，使点C落在点P处，结论①：当时，的长为；结论②：点P到AB的距离的最小值是，则关于上述两个结论，下列说法正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①和②都正确 D．①和②都错误 【答案】C 【分析】利用相似三角形的性质求解可求得；延长交于M，当时，点P到的距离最小，证明，利用相似三角形的性质求出即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，故①正确； 如图，延长交于M，当时，点P到的距离最小． ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点P到边距离的最小值是．故②正确； 综上，①和②都正确． 故选：C． 【点睛】本题考查翻折变换、最短问题、相似三角形的判定和性质、勾股定理．垂线段最短等知识，解第②题的关键是正确找到点P位置． 8．（本题3分）将矩形ABCD和矩形CEFG分割成5块图形（如图中①②③④⑤），并把这5块图形重新组合，恰好拼成矩形BEHN．若AM＝1，DE＝4，EF＝3，那么矩形BEHN的面积为（    ） A．20 B．24 C．30 D．45 【答案】C 【分析】如图，由题意知，，，由，可得，证明，则，设，，证明，则即，求的值，进而可得，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图， 由题意知， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 设，，   ∵， ∴ ∴即 解得 ∴， ∴ 故选C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 9．（本题3分）如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连结BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连结AF，有以下五个结论；①；②；③；④；⑤若，则；其中正确的结论有（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】①四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形，BD，BE是对角线，得∠ABD＝∠FBE＝45°，根据等式的基本性质确定出；②再根据正方形的对角线等于边长的倍，得到两边对应成比例，再根据角度的相减得到夹角相等，利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可判断；④根据两角相等的两个三角形相似得到△EBH∽△DBE，从而得到比例式，根据BE＝BG，代换即可判断；③由相似三角形对应角相等得到∠BAF＝∠BDE＝45°，可得出AF在正方形ABCD对角线上，根据正方形对角线垂直即可判断．⑤设CE=x，DE=3x，则BC=CD=4x，结合BE2＝BH•BD，求出BH，DH，即可判断． 【详解】解：①∵四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形，BD，BE是对角线， ∴∠ABD＝∠FBE＝45°， 又∵∠ABF＝45°−∠DBF，∠DBE＝45°−∠DBF， ∴， ∴选项①正确； ②∵四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形， ∴AD＝AB，BF＝BE， ∴BD＝AB，BE=BF， ∴， 又∵， ∴， ∴选项②正确； ④∵四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形，BD，BE是对角线， ∴∠BEH＝∠BDE＝45°， 又∵∠EBH＝∠DBE， ∴△EBH∽△DBE， ∴，即BE2＝BH•BD， 又∵BE＝BG， ∴， ∴选项④正确； ③由②知：， 又∵四边形ABCD为正方形，BD为对角线， ∴∠BAF＝∠BDE＝45°， ∴AF在正方形另外一条对角线上， ∴AF⊥BD， ∴③正确， ⑤∵， ∴设CE=x，DE=3x，则BC=CD=4x， ∴BE=，， ∵BE2＝BH•BD， ∴， ∴DH=BD-BH=， ∴， 故⑤错误， 综上所述：①②③④正确， 所以正确的结论有4个， 故选：C． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解本题的关键． 10．（本题3分）如图，正方形的边长为4，点分别在边上，且平分，连接，分别交于点是线段上的一个动点，过点作，垂足为，连接．有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的是（    ） A．①② B．②③④ C．①③ D．①③④ 【答案】D 【分析】证明，可判定①正确； 连接交于点O,Q，点M，点G关于直线对称，故的最小值是点P与点Q重合时，取得，且为,故的最小值是，故②错误；先证明，得，可证，故③ 正确；根据，故④正确．本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， 故①正确； 连接交于点O,Q， ∵正方形，且, ∴， ∵垂直平分， ∴点M，点G关于直线对称， 故的最小值是点P与点Q重合时，取得，且为, 故的最小值是， 故②错误； ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故③ 正确； ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， 故④正确． 故选D． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）在平行四边形中，对角线与交于点O，的重心为E， . 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的重心，平行四边形的性质与相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造三角形相似是解题的关键．连接，并延长交于点F，由点E是的重心，可得是的中线，则，在中，由得到，从而，即，进而求得，即可解答． 【详解】连接，并延长交于点F，    ∵点E是的重心， ∴是的中线，即点F是的中点， ∴， ∵在中，，， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∴． 故答案为： 12．（本题3分）在阳光下，高6m的旗杆在水平地面上的影子长为4m，此时测得附近一个建筑物的影子长为16m，则该建筑物的高度是 m． 【答案】24 【分析】先设建筑物的高为h米，再根据同一时刻物高与影长成正比列出关系式求出h的值即可． 【详解】解：设建筑物的高为h米， 则＝， 解得h＝24． 故答案为：24． 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键． 13．（本题3分）在平面直角坐标系中，已知△OEF的顶点分别为，，，若与是以原点为位似中心，且点的对应点的坐标是，则点的对应点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．先根据点的坐标、点的坐标求出相似比，再根据位似变换的性质计算是解决问题的关键， 【详解】解：∵与以原点为位似中心，点的坐标为，点的对应点E'的坐标是， ∴与的相似比为， ∵点的坐标为， ∴点的对应点的坐标为（，即， 故答案为：． 14．（本题3分）如图，在一场羽毛球比赛中，站在场内M处的运动员林丹把球从N点击到了对方内的B点，已知网高OA=1.52米，OB=4米，OM=5米，则林丹起跳后击球点N离地面的距离NM= 米． 【答案】3.42 【详解】解：根据题意得：AO⊥BM，NM⊥BM， ∴AO∥NM， ∴△ABO∽△NAM， ∴， ∵OA=1.52米，OB=4米，OM=5米， ∴BM=OB+OM=4+5=9（米）， ∴， 解得：NM=3.42（米）， ∴林丹起跳后击球点N离地面的距离NM为3.42米． 15．（本题3分）如图，边长为4的正方形ABCD中，E为AD的中点，连接CE交BD于F，连接AF，过A作AM⊥AF交CE的延长线于M，则DM的长为 ．    【答案】 【分析】作MN⊥AD，先证明MA=ME，进而求出AN=NE=1，利用MN∥CD得求出MN，在RT△MND中利用勾股定理即可求出DM． 【详解】解：作MN⊥AD垂足为N．    ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=AD，∠ABF=∠CBF，BC∥AD，∠BAD=∠CDA=90°， ∵BF=BF， ∴△BFA≌△BFC， ∴∠BAF=∠BCF=∠CED=∠AEM， ∵∠MAF=∠BAD=90°， ∴∠BAF=∠MAE， ∴∠MAE=∠AEM， ∴MA=ME ∵AE=ED=AD=2， ∴AN=NE=AE=1， ∵∠MNE=∠CDE=90°， ∴MN∥CD， ∴， ∵CD=4， ∴MN=2， 在RT△MND中，∵MN=2，DN=3， ∴DM=， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质、等腰三角形的判定和性质、平行成比例的性质、勾股定理等知识，灵活运用这些知识是解题的关键． 16．（本题3分）如图，在中，点、分别是边、的中点，过的中点并与的延长线交于点，与交于点．若的面积为，则四边形的面积＝ ． 【答案】 【分析】由点D、E分别是边AB、AC的中点，可得DE∥BC，DE=BC，即可得△ADE∽△ABC与△ODE∽△OFB，又由EC的中点是G，则可得△DEG≌△FCG，然后由相似三角形的面积比等于相似比的平方与等高三角形的面积比等于对应底的比即可求得答案． 【详解】解：∵点D、E分别是边AB、AC的中点， ∵△ADE的面积为S， ∴S△ABC=4S， ∵DE∥BC， ∴△ODE∽△OFB，∠EDG=∠F，∠DEG=∠GCF， 又EG=CG， ∴△DEG≌△FCG（AAS）， ∴DE=CF， ∴BF=3DE， ∵DE∥BC， ∴△ODE∽△OFB ∵AD=BD， ∴S△BDE=S△ADE=S， ∵AE=CE=2EG， ∵S四边形DBCE=S△ABC-S△ADE=3S， ∴S四边形OBCG=S四边形DBCE-S△BDE-S△OEG=3S-S- 故答案为： 【点睛】此题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质以及全等三角形与相似三角形的判定与性质等知识．此题综合性较强，解题的关键是数形结合思想的应用，还要注意相似三角形的面积比等于相似比的平方与等高三角形的面积比等于对应底的比． 三、解答题（共72分） 17．（本题6分）如图，四边形四边形，求边、的长度和角的大小．    【答案】，，. 【分析】直接根据相似多边形的性质即可得出结论． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴，，． ∴，，． 【点睛】考查相似多边形的性质，掌握相似多边形对应角相等，对应边成比例是解题的关键. 18．（本题6分）如图所示，正方形网格中有一条简笔画“鱼”，请你以O为位似中心放大，使新图形与原图形的对应线段的比是2∶1(不要求写作法). 【答案】见解析. 【分析】连接OA，OB，OC，OD并延长到A′，B′，C′，D′，使OA′，OB′，OC′，OD′的长度是OA，OB，OC，OD的2倍．顺次连接各点，即可得与原图形的对应线段的比是2∶1的新图形． 【详解】连接OA，OB，OC，OD并延长到A′，B′，C′，D′，使OA′，OB′，OC′，OD′的长度是OA，OB，OC，OD的2倍．顺次连接A′B′C′D′，如图： 【点睛】本题考查位似图形的画法，解题关键是根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点. 19．（本题8分）如图，在中，是斜边上的高． 求证：（1）； （2）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）欲证明，只要证明△ACD∽△ABC即可． （2）欲证明．，只要证明△CDB∽△ADC即可． 【详解】证明：（1）∵∠A＝∠A，∠CDA＝∠ACB＝90°， ∴△ACD∽△ABC， ∴ ∴ （2）在与中 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、解题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型． 20．（本题8分）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．    (1)画出关于x轴对称的； (2)以点O为位似中心，在网格中画出的位似图形，使与的相似比为； (3)设点为内一点，则依上述两次变换后点P在内的对应点的坐标是___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图—位似变换，轴对称变换，坐标与图形． （1）根据题意分别画点A、B、C关于x轴对称的点，连接即可得到； （2）相似比为，即对应点到位似中心的距离比也是，据此画图； （3）利用（2）中的坐标变换规律求解． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）如图，为所作；    （3）点P关于x轴的对称点坐标为：， 的坐标是． 故答案为：． 21．（本题10分）如图，在中，，是的中线，作于点E，EF∥BC，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求及的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题关键． （1）由是的中线可得，即，结合可得从而得证； （2）由（1）可得对应边成比例，从而求出，根据勾股定理即可求出，再由可得，代入数据即可求出． 【详解】（1）证明：是的中线， 即， ， ， ， ； （2）， ，即， 解得， 是的中线， ， ， ， ，即， 解得． 22．（本题10分）如图，中，，，点为平行四边形边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得线段，点的对应点是． (1)如图1． ①当，点落在直线或直线上时，直接写出此时的长为 ； ②连接，求证：的面积是一个定值． (2)如图2，当时，连接，将绕点逆时针旋转得线段，点的对应点是．直接写出是等腰三角形时的值． 【答案】(1)①；②见解析 (2)的长为 或 【分析】（1）①当在上时，分别画出图形，得出是等腰直角三角形，进而根据勾股定理，即可求解； ②过点作交于点，过点作于点，证明，得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解． （2）分，当时，两种情况，分别画出图形，即可求解． 【详解】（1）解：①如图所示，当在上时， ∵ ∴ ∵，， ∴； 当在上时，如图所示， ∵，， ∴， ∵，四边形是平行四边形 ∴ ∴ 在中，， 故此情况不存在； 综上所述，， 故答案为：． ②是定值； 如图所示，过点作交于点，过点作于点， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，添加辅助线如图所示， 同理可得， ∴， 又 ∴ ∴到的距离为的长，即， 延长交于点，则是等腰直角三角形， ∴， 同理可得是等腰直角三角形， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴， 又∵， ∴ ∴； 当时， 如图所示， 在中， 在中， 当时，如图所示， 设交与点，交于点， ∵，则 ∴ ∴ 又∵， ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴垂直平分 ∴ ∴ 过点，分别作的垂线，垂足分别为， ∴四边形是矩形，， 又∵是等腰直角三角形， ∴ ∴ 综上所述：的长为 或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，平行线分线段成比例，勾股定理，矩形的性质，垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 23．（本题12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，如果点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点F由点D出发沿DA方向向点A匀速运动，它们的速度分别为每秒2cm和1cm，FQ⊥BC，分别交AC、BC于点P和Q，设运动时间为t秒（0＜t＜4）． （1）连接EF，若运动时间t＝秒时，求证：EQF是等腰直角三角形． （2）连接EP，当EPC的面积为3cm2，求t值． （3）当EF⊥AC时，求运动时间t． 【答案】（1）见解析；（2） ；（3） 【分析】（1）通过计算发现EQ=FQ=6即可证明； （2）由题意可分别得到BE、DF、CQ的长，再易得△CPQ∽△CAB，从而可求得PQ的长，则由面积关系可得关于t的方程，解方程即可； （3）设AC、EF交于点G，可分别得到△CGE∽△CBA及△AGF∽△ADC，从而可分别求得CG、AG，再由AG+CG=AC建立方程，即可求得t的值． 【详解】（1）由题意得： ， ∵四边形ABCD是矩形 ∴CD=AB=6cm，AD=BC=8cm，∠B=∠D=∠BCD=90゜ ∵FQ⊥BC ∴∠FQC=90゜ ∴∠D=∠BCD=∠FQC=∠DFQ=90゜ ∴四边形CDFQ为矩形 ∴ 即EQ=FQ，且FQ⊥BC ∴△EQF是等腰直角三角形 （2）由题意及（1）知，BE=2tcm，DF=CQ=tcm ∴CE=BC-BE=(8-2t)cm ∵∠B=∠FQC=90゜ ∴FQ∥AB ∴△CPQ∽△CAB ∴ ∴ ∵ ∴ 化简得: 解得： 即当当EPC的面积为3cm2，t的值为2 （3）如图，设AC与EF交于点G ∵EF⊥AC ∴∠CGE=∠AGF=90゜ ∴∠CGE=∠B=90゜ ∵∠GCE=∠BCA ∴△CGE∽△CBA ∴ 由题意得：BE=2tcm，DF=tcm ∴CE=BC-BE=(8-2t)cm，AF=(8-t)cm 由勾股定理得： ∴ 同理：△AGF∽△ADC ∴ ∵AG+CG=AC ∴ 解得： 即当EF⊥AC时，运动时间为 秒 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，解一元二次方程等知识，把问题转化为方程解决是本题的关键． 24．（本题12分）在矩形中，点O是对角线，的交点，直角的顶点p与O重合，，分别与，边相交于E，F，连接，（为常数）．    (1)发现问题：如图1，若，猜想 ． (2)类比探究：如图2，，探究线段，之间的数量关系，并说明理由． (3)拓展运用：如图3，在（2）的条件下，若，，，求的长． 【答案】(1)1 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理． （1）根据题意可知，此时四边形为正方形，然后证明即可得到，从而得出结论即可； （2）过作于，作于，利用相似三角形的判定与性质证明即可； （3）根据题意判定，从而得到，令，则，可在中根据勾股定理可列得方程求出未知数，从而得到的长度，最终求得和的长度，再在中利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）若，则，即四边形为正方形， ∴，，，，，，， ∴，， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：1； （2）． 理由：过作于，作于，    ∵， ∴四边形是矩形． ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在矩形中，， ∵， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴； （3）∵， ∴， 由（2），， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，    令，则 由题意，， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）知，， ∴在中，， ∴． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $$