1.6函数y=Asin(wx+j)的性质与图像教学设计-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

§6 函数 y =Asin (wx +j )的性质与图像（4 课时，单元教学设计） 一、单元内容和内容解析 1.内容 根据现实世界中的实际情境——“南昌之星”摩天轮，提炼出一般的匀速圆周运动模型.在此基础上抽象出单位圆及几何关系，并建立数学模型.提炼并抽象出函数 y =Asin (wx +j )，研究参数w,j , A 对函数图象及性质的影响.最后借助信息技术手段，利用 geogebra 作图软件和几何画板等，更直观地探究参数对图象及性质的影响. 本单元的知识结构： 现实世界中的匀速 函数 y =Asin wx +j ) 圆周运动 ( 参 数 w对 参 数 A 对 参 数 j 对 函数性质 函数性质 的影响 函数性质 的影响 利用信息技术有段探究 y =Asin (wx +j )的图象 本单元内容计划使用 4 课时，第 1 课时，提出问题并通过特例 y =sin 2x 研究 w的变化对函数性质的影响；第 2 课时，通过特例 æ p ö y =sin çx - ÷研究j 的变化对函数性质的影响；第 3 课时，通过特例 3 è ø æ p ö y =2sin ç2x + ÷研究 A 的变化对函数性质的影响及综合研究 w,j , A 在 6 è ø 变化时对函数性质的影响，特别是变化顺序不同时有何影响，内容较为抽象；第 4 课时，通过信息技术手段，特别是 geogebra 动画演示，展示同学们在本单元的探究成果，更加直观的显示在具体操作中. 2.内容解析 函数 y =Asin (wx +j )具有丰富的现实背景，是描述现实生活周期 现象的重要数学模型，以摩天轮为背景引入函数 y =Asin (wx +j )，既 有生活气息，又有现实背景.是一个非常典型的函数建模过程，不仅 能够联系实际，而且能够方便学生自然地联系到单位圆模型，进而突 出w,j , A 的物理意义和内在关系，方便在后期探索的时候进行抽象， 为提升直观想象、数学抽象、逻辑推理等核心素养搭建较好的平台.研究 y =Asin (wx +j )的性质，关键是研究参数w,j , A 的变化对函数 性质的影响，相比而言最重要的是对参数w的研究，这是决定函数周 期性的最重要参数，而周期性是三角函数区别于其他函数中重要的性 质 .教 材 探 究 时 按 照 y =sin wx ， y =sin (x +j )， y =sin (wx +j )， y =Asin (wx +j )的顺序，研究其与函数 y =sin x 之间的关系，看似并列， 实则递进，让学生再探究的过程中，既分散了难度，又逐层加深，相 互区别，潜移默化中落实核心素养.，形成能力. 二、单元目标和目标解析 1.目标 （1）结合实例，了解形如 y =Asin (wx +j )（其中w,j , A 是常数， A >0 ， w >0 ）的函数解析式的实际意义；探究参数 w,j , A 的变化对 y =Asin (wx +j )图象的影响；掌握由 y =sin x 出发，利用图象变换得到 y =Asin (wx +j )图象的方法和步骤. （2）在探究w,j , A 的变化对 y =Asin (wx +j )图象的影响的过程， 领悟数学研究的一般思路与方法. （3）在利用图象变换由 y =sin x 得到 y =Asin (wx +j )的图象的过 程，培养由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想和图象变换的能力. 通过本节的学习，让学生获得分析问题、解决问题的一般思路，即通 过对简单问题的思考和讨论，得到复杂的数学结论. 2.目标解析 达成上述目标的标志是： （1）能借助“摩天轮”模型，抽象出单位圆模型，并提炼出函数 y =Asin (wx +j )，能初步感知w,j , A 的意义. （2）能根据特例的性质探究过程，利用五点法得出图象，利用 图象得到特例函数的性质，并逐步抽象出w,j , A 对函数性质的影响， 体会探究过程. （3）能通过对比，得出 y =sin x 变化得到 y =sin wx ， y =sin (wx +j ) · y =Asin (wx +j )的过程，能准确解释函数解析式的变化与相应函数图象的变换之间的内在联系；能根据 y =Asin (wx +j )的性质得出其简 图. （4）能通过图形计算器、geogebra、几何画板等作图工具参与 作图，直观体会参数w,j , A 在变化过程中对图象的影响，能设计探索 方案. 三、单元教学问题诊断分析 摩天轮模型虽然常见，但从中抽象出函数 y =Asin (wx +j )并不容 易，需要有较强的数学建模能力，是本单元的第一个难点.教学时要 分析匀速圆周运动的特点，联系单位圆和物理背景，逐条分析w,j , A 的意义，也为后续学习打好基础. 在研究w,j , A 对函数 y =Asin (wx +j )图象影响时，五点法作图并不简单，其图象与函数 y =sin x 图象之间的关联也比较隐蔽，准确作图也很困难，是本单元学习的第二个难点.教学中，要遵从教材设计，从易到难，由具体到抽象，从特殊到一般，给学生作图的时间，利用小组讨论、合作交流的形式完成对这个难点的突破. 本单元的第三个教学难点在于利用 geogebra 或几何画板通过直观作图的形式感悟参数变化对图象形式的影响，特别是参数变化顺序对函数图象变化的影响的区别.因为大多数学生并没有图形计算器，也很少有主动探究的经验.突破难点的方法是由小组合作设计探究方案，由教师展示探究结果，并组织学生讨论分析.四、单元教学条件支持 借助信息技术不仅使“画图象”变得简单，而且参数“ w,j , A ” 的变化引起相关的图象变化会有了更直观的呈现，有助于理解解析式 变化和图象变化之间的内在逻辑关系.学生如果能够自己操作图形计 算器，还可以开发高效课外的学习能力，有助于学生自主探究知识， 发现规律，夯实素养. 五、教学过程设计 6.1 探究w对 y =sin wx 的图象的影响 （一）创设情境 “南昌之星”摩天轮，总高度 160 m，直径 153 m. 匀速旋转一圈需时 30 min. 以摩天轮的中心为原点建立平面直角坐标系.设座舱 A 为起始位置，OA 与 x 轴所形成的角为 - p2 .因为转一圈需要 30 min，所以每分所转的角度为 15p .经过 x min 后，OA 旋转到OA¢，OA¢与 x 轴所形成的角的大小为 15p x - p2 .根据时间关系可得点 A¢到底面的距离 y p p ö æ 与时间 x 的关系为 y =76.5sin ç x - ÷+83.5 . 2 è15 ø 设计意图：利用教材中提供的场景，引出一个具体函数，进而建 立函数关系，可以通过具体实例，让学生直观感知 y =Asin (wx +j )的 函数模型，并体验数学建模的过程. （二）问题提出 在物理学和工程技术中会遇到一些问题，其中的函数关系都形 · y =Asin (wx +j ) （其中w,j , A 是常数， A >0 ，w >0 ），这类函数有什么性质？与函数 y =sin x 有什么关系？ 设计意图：提出问题，引出整个单元的任务，并指明研究方向. （三）新课讲解 考虑这类函数的一个特例： y =sin 2x, x Î R . 合作探究：我们研究函数的哪些性质？按什么顺序研究？怎样研 究？ 设计意图：通过合作交流分析，一方面促进学生思考这类函数有 可能具有那些性质，另一方面按什么顺序研究函数性质能够比较容易 的实现更多性质的发现.促进学生思考没有图象时怎样通过解析式 “预测”函数的性质. 确定周期 “五点法”作图 突 出 周 期 突出“起点” 性，缩小研 和周期，体现 究范围 复合关系 讨论性质 突出直观想 象 归纳参数影响 突出数学抽 象 探究 1：函数 y =sin 2x 是不是周期函数，如何确定函数 y =sin 2x 的周期. 对 任 意 x Î R ， 由 y =sin x 的 周 期 为 2p ， 都 有 sin 2x =sin (2x +2p )=sin 2 (x +p )，根据周期函数的定义， y =sin 2x 是周 期函数，且经探究发现 为最小正周期. 探究 2：周期性对研究函数性质有怎样的帮助？ 类比正弦函数的图象的画法，你能否画出函数 y sin 2x 的图象？ （追问）利用五点法该怎样选关键点？为什么？ 根据周期性，选取 [0,p]内的五个关键点， (0,0)， æp ,1ö， æp ,0ö， çè4 ÷ø çè2 ÷ø 3p ÷ ( ) ç æ , - 1ö， p,0 .通过描点作出一个周期的函数. è 4 ø 再通过周期性往两边延拓，即可得到函数 y =sin 2x 的图象. 设计意图：通过两个探究活动，首先确立函数的周期，利用周期性缩 短研究范围.再根据五点法作函数 y =sin x 的图象的办法找到函数 y =sin 2x 的五个特殊点.从解析式层面和图象层面两个维度体验函数变换对图象的影响. 思考交流 1：在同一个坐标系中，画出函数 y =sin x 和 y =sin 2x 的图象， 观察图象，总结发生了什么变化，并用数学语言表达出观察到的情形. （预设回答：图象压缩为原来的一半；每个点的坐标都向左平移到原 来的一半；直到引导学生从解析式和图象两个维度分析得出，将函数 y =sin x 图象上每个点的坐标，横坐标缩短为原来的 12 ，纵坐标不变，就得到了函数 y =sin 2x 的图象.） 思考交流 2：根据刚才的探究及函数 y =sin 2x 的图象，还可以得到这 个函数的哪些性质？ （预设及期望回答：函数的单调性，最大值，零点，对称轴等） é p p ù 函数 y =sin 2x 的单调递增区间为 kp - , kp + , k Î Z ，单调递 ê 4 4 ú ë û é p 3p ù p 减区间为 kp + , kp + , k Î Z ；当 x =kp + , k Î Z 时，函数有最大值 1， ê 4 4 ú 4 ë û · x =kp - p4 时，函数有最小值 - 1 .函数的零点为 k2p +p2 , k Î Z ，对称轴方程等. 设计意图：通过思考交流，既及时巩固了探究的成果，又能够锻 炼学生的数学语言表达能力.特别是发现函数 y =sin x 与 y =sin 2x 图象的关系方面，是本节课的难点，通过小组合作交流的形式，可以使结论逐步显化，也给了学生更多自由发现和表达的氛围和空间. （四）典例分析 例 1 求函数 y =sin 13 x 的周期，并画出其图象. 解：根据 y =sin x 的周期性， sin 13 x =sin æç13 x +2p ö÷=sin 13 (x +6p ).6p 为 è ø 最小正周期.选取五点及五点法作图过程略. 设计意图：通过典例分析，及时巩固所学知识点，再一次尝试具体函数，并且本例中w =13 Î (0,1)，为学生在抽象概括时提供不一样的范围素材. 探究 3：对于一般的函数 y =sin wx (w >0)，其函数有什么性质？可以 通过 y =sin x 怎样变换得到？ （预设及期望回答：首先回答周期性并能够给出理由， sin wx =sin (wx +2p ) æ 2p ö 2p 是函数 y =sin wx 的最小正周期 .函数 =sin wçx + ÷，所以 T = w è w ø y =sin wx 的图象是将函数 y =sin x 图象上所有点的横坐标缩短或伸长为原来的 w1 得到的） 设计意图：这是本节课的重点目标，也是难点.学生通过作图和特殊点的比对，发现具体函数之间的变换关系，进而抽象总结出一般函数的变换规律，并不容易.通过探究的方式进行发现，可以给不同的学生展示的机会，未必能够把所有成果都探究出来，经历探究的全过程，本单元的探究任务及模式就会逐渐深化. （五）课堂练习 教材第 42 页中的练习 1，2（特别是第一个练习，不仅知道结果，还要能够推导，并能够用数学语言表达.） （六）课堂小结 1.知识提升：函数 y =sin wx 的性质及图象与函数 y =sin x 图象间的关系. 2.能力提升：用数学的眼光看问题，能够从特殊到一般地抽象出知识之间的联系. 3.素养提升：直观想象、数学抽象 六、布置作业 基础作业：教材 42 页练习第 3 题. 发展作业：课下学习使用图形计算器或者 geogebra 作图软件、几何画板等作图软件，设计研究方案，验证探究目标. 七、板书设计 S6.1 探究w对 y =sin wx 的图象的影响 一、问题情境 三、典例分析 二、合作探究 探究 1 （希沃白板） 探究 2 …… 八、教学评价与反思 本节课主要采用学生自主探究合作交流的学习方式，整个过程培养了 学生动手画图能力，关注学生的自主体验，激发了学生的潜能，主要 通过图象发现规律，由特殊要一般的图象变换规律，并总结规律，让 学生从形的角度认识参数 对函数图象的影响，整节课循序渐进，效 果良好. 学科网（北京）股份有限公司 $$