1.4.3诱导公式与对称教学设计-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

教材：北师大版（2019）版高中数学必修第二册 课题：4.3 诱导公式与对称 一. 课时教学内容 由三角函数的定义及终边的对称性抽象诱导公式，公式的简单应用二．课时教学目标 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用，理解诱导公式的推导过程； 2.经历自主探究发现问题，提出研究方法（利用坐标的对称关系，从三角函数的定义得出相应的关系式） 并完成推导过程，并对任意角三角函数化简、求值； 3.在探究活动中，学生通过独立思考和合作交流，发展思维，从探索中获得成功的体验，落实数学抽象、 数学运算、逻辑推理素养. 三． 教学重点与难点 教学重点：借助单位圆的对称性，利用定义推导出前四组诱导公式； 教学难点：从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中发现问题，提出研究方法 四. 教学过程设计 （一）创设情境• 明确对象 师：同学们，我们已经将角的概念已经由锐角扩充到了任意角，前面已经学习过任意角的三角函数， 那么任意角的三角函数值怎么求呢？先看一个具体的问题： 问题 1：已知sin 6π = 12，如何求 sin 13π6 的值？ 生：学生利用结合任意角三角函数定义及 sin (α + 2kπ) = sin α cos(α + 2kπ ) = cos α（k ∈ ℤ ）公式自主探究并回答问题. 师： sin (α + 2kπ) = sin α ，cos(α + 2kπ ) = cos α(k ∈ Z） 实质：终边相同，三角函数值相等，用途：“大”角化“小”角 π 1 π 7π 5π 问题 2：已知sin 6 = 2，如何求sin (−6) , sin 6 , sin 6 的值？ 那如何把任意角的三角函数转化为锐角三角函数呢？ 设计意图：前面的学习中，已经将角的概念从锐角扩充到了任意角，学习了任意角三角函数的定义， 接下来自然地会提出任意角的三角函数值怎么去求.于是，先安排求特殊值再过渡到一般情形比较符合学生 的身心特点和认知规律，意在培养学生从特殊到一般归纳问题和抽象问题的能力，引导学生在求三角函数值 1 时抓坐标、抓角终边之间的关系. （二）探究新知 • 构建公式 探究一：任意角α与−α 三角函数值的关系. 问题 3：（1） α 与 −α 的终边关系如何？ （2） α 与 −α 角的终边分别交单位圆与P1, P2 ,则P1与P2位置关系如何？ （3）设点P1的坐标为(x,y)，则点P2的坐标如何表示？ （4） 在单位圆中，如何用α 与 −α 表示P1与P2的坐标？ （5） sin α 与 sin (−α) ， cos α 与 cos (−α) 的关系如何？ α −α x α −α x 生： 与 的终边关于 轴对称， 与 的终边关于 轴对称， 若 P1(u,v)， 则 P2(u,−v)， P1(cos α,sin α)， P2 (cos (−α),sin (−α)) 可以得出 sin (−α) = −sin α 生：sin α是奇函数,cos α是偶函数，他的作用是“负角化正角”. 师：这里的α是第一象限角，是否可以扩充到任意角？这里的核心是什么？ 教师用 GGB 演示角α可以是任意角，引导学生体会从特殊角到一般角的变化，验证普适性. 设计意图：将研究目标分层，降低学生思考的难度。5 个问题之间的逻辑关系就是解决方案的框架. 师：刚才我们是怎样获得公式的？解决问题的思路是什么？ 预设：发现两角的中年与单位圆的交点关于原点对称，借助三角函数定义发现两角的同名三角函数值的 关系，进而获得公式. 师：起点在哪里？如何简约、凝练地描述？ 生：合作提炼：圆的对称性→角的终边对称关系→点的坐标关系→三角函数值得关系（诱导公式） · sin (−6π) = −sin 6π = −12 师：圆和角是形，三角函数值是数，这样我们就把数与形联系在一起，也就是数形结合思想， 设计意图：阶段小结，让学生将对称作为研究三角函数问题的一种方法使用.将上述研究过程进行梳理， 得出“圆的对称性→角的终边对称关系→点的坐标关系→三角函数值得关系”的研究路线图. 探究二：任意角 与 + 三角函数值的关系. π 1 7π 师：回归到问题 2：已知sin 6 = 2，如何求 sin 6 的值？ 2 问题 4： （1） 与 + 的终边关系如何？ （2） α 与α + π角的终边分别交单位圆与P1, P3 ,则P1与P3位置关系如何？ （3）设点P1的坐标为(x,y)，则点P3的坐标如何表示？ （4） 在单位圆中，如何用α 与α + π表示P1与P3的坐标？ （5） sin α与sin (α + π)，cos α与cos (α + π)的关系如何？ 生：α 与α + π的终边关于原点对称，P1与P3关于原点对称，若 P1(u,v)，则 P3(−u,−v) · P1(cos α,sin α) P3(cos (α + π),sin (α + π))可以得到 sin (α + π) = −sin α π α π α 由图， 逆时针旋转 可以得到上述公式，若 逆时针旋转 ，可以得到如下公式 sin (α−π) = −sin α 师：这组公式作用是什么？ 生：把 ~2 角化 ~ 角， sin 7π6 = sin（ 6π + π） = −sin 6π = −12 设计意图：通过营造开放的学习氛围，整理思路，为后继探索指明方向. 探究三：任意角 α 与 π-α 三角函数值的关系. 师：再次回归到问题 2：已知sin 6π = 12，如何求 sin 5π6 的值？ 生：总结如下公式，并分析作用：把2π~π角化0~2π角，故sin 5π6 = sin（ π−6π） = sin 6π = 12 sin (π−α) = sin α 师：你还有其他方法推导公式sin (π−α) = sin α cos(π−α ) = −cos α吗？ 设计意图：借助终边关于 y 轴对称找出两角的关系要比终边关于原点，x 轴对称难度找两角的关系大一点， 前面已经有了探究的体验，研究问题的思路学生已经清楚了，只要能找出终边关于 y 轴对称的两角的最简表 示形式即α与π−α，公式的推导就会水到渠成。在此过程中充分调动学生学习的积极性和激发学生的参与、 探究和体验的欲望，让他们既动脑又动手，让学生体验数与形的关系，尝试自主探究的乐趣. 问题 5：你能概括所学诱导公式的共同特点和规律吗？ sin (α + 2kπ) = sin α sin (α ± π) = sin α sin (−α) = − sin α sin (π−α) = sin α cos(α + 2kπ ) = cos α（k ） cos(α ± π ) = −cos α cos(−α ) = cos α cos(π−α ) = −cos α 3 生：结构特征： 1.角α为任意角； 2.左右两端三角函数名不变，α角不变，只是前面多了一个正负号; 3.符号判断方法，把α看成锐角时，原函数值不变. 师：可以简化为一句“函数名不变，符号看象限” 生：还可以从定义记忆 设计意图：归纳总结新课知识，帮助学生更加深入理解诱导公 式. （三）探究新知 • 辨析公式 思考：（1）如果两个角的同名三角函数值相等，它们的终边一定相同吗？（×） （2）你能找出与角6π正弦值相等，但终边不同的更多的角吗？（×） （3）若sin α = − sin 6π,则α一定为− 6π？（×） 设计意图：引导学生逆向思考，通过层层追问形成公式的反向印证。同样的公式，思考顺序相反，逻辑 轨迹相反，但核心理念、思路框架结构是一样的。 （四）例题分析• 巩固新知 例 求下列三角函数值： （1） sin (− 5π )；（2）cos 2π ； （3）sin 11 π ； （4）cos (− 31 π ). 4 3 6 6 æ 5p ö 5p æ p ö p 解 ( ) 2 ç ÷ ç ÷ = ; 1 sin - 4 =- sin 4 =- sin p+ 4 =sin 4 2 è ø è ø (2) cos 2p æ p ö æ pö p 1 =cos ç- +p÷=- cos ç- ÷=- cos =- ; 3 3 3 3 2 è ø è ø æ11p ö æ p ö æ pö p 1 3 sin =sin - +2p =sin - =- sin =- ; ç ( ) 6 ÷ ç 6 ÷ ç ÷ 6 2 è ø è ø è 6 ø æ 31pöæ31pöæ7p ö 7p æp ö p 3 (4) cos ç- ÷=cos ç ÷=cos ç +4p÷=cos =cos ç +p÷=- cos =- ; 6 6 6 6 2 è ø è ø è 6 ø è6 ø 练习：求下列三角函数值： （1） sin 11 π ； （2 ）cos（− 10 π )； （3）sin（− 10 π ). 3 3 3 4 设计意图：学生独立去实践解决问题，在实践中体会诱导公式在解题过程中的应用，使任意一个角都转 化为他们所熟知的锐角，体会从未知到已知的化归思想，从而为总结出解题的一般步骤奠定基础. （五）归纳梳理• 升华认知 你能从探究过程、生成的知识和思想方法方面谈谈本节课的收获吗？ 回顾本节课流程，我们从sin 6π = 12，探究如何求另外几个角的正弦值这个问题出发，总结出要想解决 这个问题，就从定义出发，通过圆的对称性→角的终边对称关系→点的坐标关系→三角函数值得关系得到−α 、α ± π、π−α与角α的三角函数值的关系，也就是这几组诱导公式。 本节课我们把不熟悉的问题转化为我们熟悉的问题，体现了数学中的化归思想，探究路径体现了数形 结合思想. 师生活动：引导学生回顾本节课所学知识和学习过程. 设计意图：让学生梳理数学知识、感悟数学思想、体会数学研究方法. （六）课后作业• 巩固成果 1. 基础巩固 课本 21 面 练习 2，3，4 2. 课外探究 ： 角α和角β的终边还有哪些特殊的位置关系（比如关于y = x,y = −x对称）你能探究出它们的三角 函数值之间的关系吗？ 设计意图：分层作业有利于不同层次的学生巩固知识，提升思维能力.课外探究题对学生提供多元化 和挑战性选择，促使学有余力的学生课后思考和自主探究几组公式之间的内在联系. （七）板书设计 诱导公式与对称 1.探究路径 投影区 互动探究题 2.诱导公式 （八）教学反思 5 学科网（北京）股份有限公司 $$