精品解析：湖南省衡阳市耒阳市正源学校2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题（A）

准高一年级四月份月考试卷A 一、选择题（共8题；共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知x∈R，则下列等式恒成立的是（ ） A. ＝ B. C. D. 3. 已知指数函数图象过点，则等于（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 27 4. 函数是（ ） A. 奇函数 B. 非奇非偶函数 C. 常数函数 D. 偶函数 5. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 6. 已知为第三象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 8. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共4题；共20分） 9. 下列函数中，最小值为2的有（ ） A. B. C. D. y=3x+2 10. 如图为函数的图象，其中m，n为常数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 下列选项中，与的值相等的是（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数的图象关于直线对称，则（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数在有且仅有2个最高或最低点 C. 若，则的最小值为 D. 若，则 三、填空题（共4题；共20分） 13. 若，则关于的不等式的解集为__________． 14. 已知函数是奇函数，则___________. 15. 若，则________. 16. 如图，正方形中，E，F分别为BC，CD的中点，设，则____________． 四、解答题（共6题；共70分） 17. 设集合． （1），求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围． 18. 已知，且是第四象限角. （1）求的值. （2）求的值. 19. 已知不等式的解集为. （1）求实数的值. （2）求不等式的解集. 20. 已知幂函数的图像过点. （1）求函数的解析式； （2）设函数在是单调函数，求实数的取值范围. 21. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）讨论在区间上的单调性． （3）将函数的图象向左平移个单位长度，所得函数图象与函数的图象重合，求实数m的最小值． 22. 已知函数． （1）求的值； （2）若，求的最大值和最小值； （3）若，讨论根的情况． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 准高一年级四月份月考试卷A 一、选择题（共8题；共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式化简集合，结合交集的概念即可得解. 【详解】因为，所以. 故选：B. 2. 已知x∈R，则下列等式恒成立的是（ ） A. ＝ B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式，判断各个选项中的式子是否成立，从而得出结论． 【详解】∵＝，故A成立；∵，故B不成立； ∵，故C不成立；∵，故D不成立， 故选：A 【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题． 3. 已知指数函数图象过点，则等于（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 27 【答案】C 【解析】 【分析】先求得的解析式，进而求得. 【详解】设且， 将代入得， 解得，所以， 所以. 故选：C 4. 函数是（ ） A. 奇函数 B. 非奇非偶函数 C. 常数函数 D. 偶函数 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，利用诱导公式可求函数解析式为，由余弦函数的性质可得函数是偶函数，由此得解. 【详解】解：， 由余弦函数的性质可得函数是偶函数. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了诱导公式，余弦函数的性质，考查了函数思想，属于基础题. 5. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数函数的性质，即可得出结果. 【详解】，， 函数的值域为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查对数型复合函数的值域，涉及指数函数性质，属于基础题型. 6. 已知为第三象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦的二倍角公式求解即可. 【详解】，∵为第三象限角，∴. 故选：A. 7. 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出． 【详解】因为，所以把函数图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象． 故选：D. 8. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的图象及“五点法”作图求解即可. 【详解】根据图象可得，，解得， 所以，即， 将点代入的解析式，得， 则，解得，，又， ，所以. 故选：D. 二、多选题（共4题；共20分） 9. 下列函数中，最小值为2的有（ ） A. B. C. D. y=3x+2 【答案】BC 【解析】 【分析】分别根据对勾函数，二次函数，指数函数的最值进行判断． 【详解】对于选项A：根据，在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，在（﹣1，0）递减，在（﹣∞，﹣1）递增，可得y≥2或y≤﹣2，所以选项A不满足最小值为2； 对于选项B：，当且仅当，即时取得最小值，所以选项B满足最小值为2； 对于选项C：，即时取得最小值，所以选项C满足最小值为2； 对于选项D：y=3x+2>2，所以选项D不满足最小值为2； 故选：BC 10. 如图为函数的图象，其中m，n为常数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据函数图象，由单调性可判断，结合时，，可判断正负. 【详解】由函数图象可得在上单调递减，所以， 又时，，即，故A，D正确. 故选：AD. 11. 下列选项中，与的值相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】 求出的值，进而利用二倍角的正弦求值判断A；利用两角和的余弦求值判断B；利用二倍角的余弦求值判断C；利用两角和的正切求值判断D. 【详解】. 对于A，； 对于B， ； 对于C，； 对于D，因为，可得. ∴与的值相等的是ABD. 故选：ABD. 12. 已知函数的图象关于直线对称，则（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数在有且仅有2个最高或最低点 C. 若，则的最小值为 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数对称轴方程可得，利用整体代换可求得的一个对称中心为；由自变量可得，可判断B正确；由正弦函数图象性质可知的最小值为半个周期，可得C正确；根据二倍角公式以及两角差与和的余弦公式计算可得D正确. 【详解】由函数的图象关于直线对称可得； 解得； 又，所以， 可得； 对于A，由可得； 当时，，所以函数的图象关于点对称，即A正确； 对于B，当时，， 易知，而，所以函数在有且仅有2个最高或最低点，可知B正确； 对于C，因为，所以中一个为函数的最大值，一个是最小值， 因此，因此C错误； 对于D，因为， 所以 ； 所以，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：在判断C选项中的最小值时，要充分利用正弦函数图象的最值以及周期性等性质即可得出相应结论. 三、填空题（共4题；共20分） 13. 若，则关于的不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由可得，则可求出一元二次不等式的解． 【详解】，，则， ， 或． 故答案为：． 14. 已知函数是奇函数，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用奇函数的定义可得出关于实数的等式，即可解得实数的值. 【详解】对任意的，，故函数的定义域为， ， 因为函数为奇函数，则，解得. 故答案为：. 15. 若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】 由，根据三角函数的诱导公式进行转化求解即可． 【详解】， ， 则， 故答案为：． 16. 如图，正方形中，E，F分别为BC，CD的中点，设，则____________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据直角三角形的边角关系可得，再利用二倍角公式计算可得结果. 【详解】设正方形的边长为2，，所以; 因此，所以， 令，则； 易知； 所以； 故答案为： 四、解答题（共6题；共70分） 17. 设集合． （1），求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据 集合的补集定义以及集合的交集运算，即可求得答案； （2）依题意可得，讨论集合是否为空集，列出相应的不等式，即可求得结果. 【小问1详解】 当时，可得， 故可得或，而， 所以或 【小问2详解】 由“”是“”的充分不必要条件可得； 当时，，解得，符合题意； 当时，需满足，且和中的等号不能同时取得， 解得； 综上可得，m的取值范围为或. 18. 已知，且是第四象限角. （1）求的值. （2）求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）利用三角函数的基本关系式，即可求解； （2）根据三角函数的诱导公式进行化简，即可求解. 【详解】（1）因为，可得， 又因为是第四象限角，可得，所以. （2）因为， 由. 19. 已知不等式的解集为. （1）求实数的值. （2）求不等式的解集. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由解集得到方程的根，利用韦达定理可求． （2）利用（1）中的结果并把分式不等式转化为一元二次不等式可求解集． 【详解】（1）因为不等式的解集是． 所以的解是和7． 故，解得 ． （2）由得，即， 解得或， 故原不等式的解集为． 20. 已知幂函数的图像过点. （1）求函数的解析式； （2）设函数在是单调函数，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用幂函数过点即可求出函数的解析式； （2）利用二次函数对称轴与区间的位置，即可求出实数的取值范围. 【详解】（1）因为的图像过点， 所以，则， 所以函数的解析式为：； （2）由（1）得， 所以函数的对称轴为， 若函数在是单调函数， 则或， 即或， 所以实数的取值范围为. 【点睛】本题考查了幂函数解析式的求解，二次函数单调区间与对称轴的位置关系，属于一般题. 21. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）讨论在区间上的单调性． （3）将函数的图象向左平移个单位长度，所得函数图象与函数的图象重合，求实数m的最小值． 【答案】（1） （2）在上单调递增，在上单调递减； （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的周期公式计算可得结果； （2）利用正弦函数图象性质计算即可求得函数的单调性； （3）根据平移规则并利用诱导公式可得实数m的最小值为. 【小问1详解】 由可得其最小正周期为. 【小问2详解】 当时，； 根据正弦函数单调性可得在上单调递增，在上单调递减； 当时，， 因此在上单调递增，在上单调递减； 【小问3详解】 将函数的图象向左平移个单位长度可得； 因此可得，解得； 易知当时，实数m取得最小值为. 22. 已知函数． （1）求的值； （2）若，求的最大值和最小值； （3）若，讨论根的情况． 【答案】（1） （2）最小值为，最大值为 （3）个根 【解析】 【分析】（1）根据函数解析式求得的值. （2）化简的解析式，然后根据三角函数最值的求法求得正确答案. （3）通过分离常数法，结合三角函数的图象来求得正确答案. 【小问1详解】 依题意，， 所以. 【小问2详解】 . 由于，所以， 当时，取得最小值为， 当时，取得最大值为. 【小问3详解】 由上述分析可知， 由于，所以，所以. 依题意，所以，， 由得， 则，画出在区间上的图象如下图所示， 由于，， 结合图象可知方程有个根. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $