精品解析：陕西省西安市西咸新区泾河新城第一中学2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试卷

泾河一中高2026届高一第二次月考 数学试题 满分：100分 考试时间：100分钟 命题人：罗欣 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知i为虚数单位，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若为的边BC的中点，则（ ） A B. C. D. 3. 如图，是一个平面图形的直观图，若，则这个平面图形的面积是（ ） A. 1 B. C. D. 4. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果a=2，A=45°，B=30°，那么b=（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面上三点不共线，是不同于的任意一点，若，则是(　　) A 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 6. 已知平面平面，直线，则直线a与l的位置关系是（ ） A. 平行或异面 B. 相交 C. 平行 D. 异面 7. 已知向量则在上的投影向量坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则值为（ ） A. i B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 如图所示，在正方体中，，分别为棱，的中点，其中正确的结论为 A. 直线与相交直线； B. 直线与是平行直线； C. 直线与是异面直线： D. 直线与所成的角为. 10. 复数满足，且，则下列正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 下列命题中其中正确命题的为（ ） A. 平行于同一直线两个平面平行； B. 平行于同一平面的两个平面平行； C. 垂直于同一直线的两直线平行； D. 垂直于同一平面的两直线平行． 12. 四边形内接于圆，，，，下列结论正确的有（ ） A. 四边形为梯形 B. 四边形的面积为 C. 圆的直径为 D. 的三边长度满足 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 13. 某咖啡连锁店为了了解各地连锁店的销售情况，把36个连锁店按地区分成甲、乙、丙三组，其中甲、乙两组中连锁店的个数分别为4和12，若用分层随机抽样法从这36个连锁店中抽取9个进行调查，则丙组中应抽取的连锁店的个数为_____________． 14. 已知向量与向量的夹角是，且，则＝________. 15. 欧拉是十八世纪伟大的数学家，他巧妙地把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数和联系在一起，得到公式，这个公式被誉为“数学的天桥”，若，则称为复数的辐角主值．根据该公式，可得的辐角主值为_______． 16. 已知是两个不同的平面，均为外的两条不同直线，给出四个论断：①;②;③;④. 请以其中三个为条件，余下的一个为结论，写出一个正确的命题_______________________（示例：请将答案写成如下形式：“①②③⇒④”） 四、解答题：本题共3小题，共36分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 某地有2000名学生参加数学学业水平考试，现将成绩汇总，得到如图所示的频率分布表． 成绩分组 频数频率 成绩分组 100 800 200 （1）请完成题目中的频率分布表，并补全题目中的频率分布直方图； （2）将成绩按分层抽样的方法抽取150名同学进行问卷调查，甲同学在本次测试中数学成绩为95分，求他被抽中的概率． 18. △的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求角C； （2）若，求的面积. 19. 如图，在四棱锥中，平面，底部为菱形，为的中点． （1）若，求证：平面； （2）棱上是否存在点，使得平面？说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 泾河一中高2026届高一第二次月考 数学试题 满分：100分 考试时间：100分钟 命题人：罗欣 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知i为虚数单位，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求解. 【详解】解：由， 得， 故选：B 2. 若为的边BC的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用向量的运算法则即可求出结果. 【详解】因为为的边BC的中点， 所以，得到， 故选：B. 3. 如图，是一个平面图形直观图，若，则这个平面图形的面积是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合斜二测法的转化关系，求出平面图形的底和高，即可求解. 【详解】由已知得中，直角边，，则平面图中该三角形，对应底面边长不变为，三角形的高应为，则平面三角形的面积为. 故选：C 4. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果a=2，A=45°，B=30°，那么b=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据△ABC中，a=2，A=45°，B=30°，直接利用正弦定理求解. 【详解】因为在△ABC中，a=2，A=45°，B=30°， 所以由正弦定理得， 解得， 故选：A. 【点睛】本题在考查正弦定理的应用，属于基础题》 5. 已知平面上三点不共线，是不同于的任意一点，若，则是(　　) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：,所以 是等腰三角形，故选A. 考点：1.向量的几何运算；2.向量数量积的几何意义. 6. 已知平面平面，直线，则直线a与l的位置关系是（ ） A. 平行或异面 B. 相交 C. 平行 D. 异面 【答案】C 【解析】 【分析】过作平面、，由线面平行的性质得、，即，根据线面平行判定及性质有，最后由平行公理的推论判断直线a与l的位置关系. 【详解】过作平面，，则， 过作平面，，则 所以，，，则， 而，平面平面，则， 综上，. 故选：C 7. 已知向量则在上的投影向量坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，先求在上的投影，在结合向量的同向单位向量，即可得到在上的投影向量坐标. 【详解】根据题意，在上的投影为：， 在上的投影向量坐标为：. 故选：D. 8. 已知，则的值为（ ） A. i B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算，再由幂的运算求解即可. 【详解】因为，所以， 所以 故选：B 二、多选题：本题共4小题，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 如图所示，在正方体中，，分别为棱，的中点，其中正确的结论为 A. 直线与是相交直线； B. 直线与是平行直线； C. 直线与是异面直线： D. 直线与所成的角为. 【答案】CD 【解析】 【分析】 根据图形及异面直线的定义，异面直线所成的角判断即可. 【详解】结合图形，显然直线与是异面直线，直线与是异面直线，直线与是异面直线，直线与所成的角即直线与所成的角,在等边中，所以直线与所成的角为, 综上正确的结论为C D. 【点睛】本题主要考查了异面直线，异面直线所成的角，属于中档题. 10. 复数满足，且，则下列正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意，设复数，（不同时为0），由，可得，进而有，，从而即可求解. 【详解】解：由题意，设复数，（不同时为0）， 因为，所以，即， 所以，所以， 所以，故选项A错误；，故选项B正确； ，故选项C正确； ，故选项D正确. 故选：BCD. 11. 下列命题中其中正确命题的为（ ） A. 平行于同一直线的两个平面平行； B. 平行于同一平面的两个平面平行； C. 垂直于同一直线的两直线平行； D. 垂直于同一平面的两直线平行． 【答案】BD 【解析】 【分析】利用平面与平面的位置关系对A进行判断，利用面面平行的判定和面面平行的性质对B进行判断，利用空间中直线与直线的位置关系对C进行判断，利用线面垂直的性质对D进行判断，从而得结论 【详解】对于A，因为平行于同一直线的两个平面平行可能平行，也可能相交，所以A不正确；        对于B，设，，取直线且， 因为，所以在内存在，且 又因为，所以在内存在，且， 因此，又因为，，所以，同理可得， 而，，因此，所以B正确；    对于C，因为垂直于同一直线的两直线可能平行、相交或异面，所以C不正确； 对于D，由线面垂直的性质知：垂直于同一平面的两直线平行，所以D正确． 故选：BD 12. 四边形内接于圆，，，，下列结论正确的有（ ） A. 四边形为梯形 B. 四边形面积为 C. 圆的直径为 D. 的三边长度满足 【答案】ABD 【解析】 【分析】直接利用余弦定理，三角形的面积公式，圆的内接四边形性质，和等差数列的证明对选项逐一判断即可. 【详解】对于A，，， 连接，由可得，又因为， 所以，， ，， 显然不平行，即四边形为梯形，故A正确； 对于B，在中， ， 在中由余弦定理可得， ，解得或（舍去）， ， ， ，故B正确； 对于C，由B可知，，，则圆的直径不可能是，故C错误； 对于D，在中，，，，满足，故D正确. 故选：ABD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 13. 某咖啡连锁店为了了解各地连锁店的销售情况，把36个连锁店按地区分成甲、乙、丙三组，其中甲、乙两组中连锁店的个数分别为4和12，若用分层随机抽样法从这36个连锁店中抽取9个进行调查，则丙组中应抽取的连锁店的个数为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分层抽样的计算方法即可求解. 【详解】由题意得丙组中连锁店的个数为个， 则丙组中应抽取的连锁店的个数为个. 故答案为：. 14. 已知向量与向量的夹角是，且，则＝________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量数量积的坐标表示及模长公式计算即可. 【详解】设，由题意可知， 即，所以. 故答案为： 15. 欧拉是十八世纪伟大的数学家，他巧妙地把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数和联系在一起，得到公式，这个公式被誉为“数学的天桥”，若，则称为复数的辐角主值．根据该公式，可得的辐角主值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据欧拉公式与复数的相关概念求解即可. 【详解】因为，所以，所以辐角主值为． 故答案为:. 16. 已知是两个不同的平面，均为外的两条不同直线，给出四个论断：①;②;③;④. 请以其中三个为条件，余下的一个为结论，写出一个正确的命题_______________________（示例：请将答案写成如下形式：“①②③⇒④”） 【答案】①③④⇒②（或②③④⇒①）. 【解析】 【分析】根据平面垂直关系的相关性质即可判断. 【详解】若①;②;③成立，则与可能平行也可能相交，即④不一定成立； 若①;②;④成立，则与可能平行也可能相交，即③不一定成立； 若①;③;④成立，因为，，所以或，又，所以，即①③④⇒②； 若②;③;④成立，因为，，所以或，又，所以，即②③④⇒①. 故答案为：①③④⇒②（或②③④⇒①）. 四、解答题：本题共3小题，共36分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 某地有2000名学生参加数学学业水平考试，现将成绩汇总，得到如图所示的频率分布表． 成绩分组 频数频率 成绩分组 100 800 200 （1）请完成题目中的频率分布表，并补全题目中的频率分布直方图； （2）将成绩按分层抽样的方法抽取150名同学进行问卷调查，甲同学在本次测试中数学成绩为95分，求他被抽中的概率． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，填写频率分布表，计算，补全频率分布直方图即可； （2）用分层抽样方法，该同学被抽中的概率是与每一个同学的几率相等，为． 【小问1详解】 完成题目中的频率分布表，如下； 成绩分组 频数 频率 100 0.05 600 0.30 800 0.40 300 0.15 200 0.10 补全题目中的频率分布直方图，如下； 【小问2详解】 将成绩按分层抽样的方法抽取150名同学进行问卷调查， 甲同学在本次测试中数学成绩为95分， 他被抽中的概率为． 18. △的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求角C； （2）若，求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】(1)结合正弦定理边化角和三角函数的诱导公式即可求解； (2)结合余弦定理联立方程组即可求解. 【小问1详解】 由已知及正弦定理， 得，即. 故，可得，∵，∴； 【小问2详解】 由已知及余弦定理得，，又， 故，因此，， ∴△的面积. 19. 如图，在四棱锥中，平面，底部为菱形，为的中点． （1）若，求证：平面； （2）棱上是否存在点，使得平面？说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）结合题意，利用线面垂直的性质定理及判定定理即可证明； （2）取的中点为，的中点为，连接，结合题意利用面面平行的判定定理及性质定理即可求解. 【小问1详解】 证明：平面，平面， ， 底面为菱形，为的中点，， ， 又，平面， 平面. 【小问2详解】 棱上存在点，使得平面， 理由如下： 取的中点为，的中点为，连接， 底面为菱形，为的中点，分别为的中点， ， ，平面，平面， 平面， 同理，平面，平面， 平面， 又，平面， 平面平面， 平面， 棱上存中点，使得平面. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$