精品解析：浙江省温州市南浦实验中学2023-2024学年九年级下学期开学数学试卷

2023-2024学年浙江省温州市鹿城区南浦实验中学九年级（下）开学数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若线段，，则线段，的比例中项为（ ） A. B. C. 6 D. 2. 已知的半径是5，直线与相交，圆心到直线的距离可能是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 10 3. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 抽屉里放有4只白袜子和2只黑袜子，它们除颜色外其余都相同．小明从中任意摸出一只袜子，摸出的袜子为黑色的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在纸片中，，将该纸片沿虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 6. 圆内接四边形，，，的度数之比为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图是装满液体的高脚杯示意图，测量发现点A到地面的距离为30，，，若用去一部分液体后液面降至，测量发现点E到地面的距离为，则EF的长为（ ） A. 9 B. 8 C. 6 D. 5 8. 如图是一把圆弧形伞面的雨伞简易图，伞面的圆心为，若的度数为，伞柄，则伞面展开距离为（ ） A. B. C. D. 9. 已知点，，，都在抛物线上，其中，则下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以的各边为边分别向外作正方形，再把正方形平移放入正方形内（如图2），使点在上，点在上，并将正方形沿翻折，得到正方形，若图2中，，三点共线，且，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 如果，那么______． 12. 某批青稞种子在相同条件下发芽试验结果如表：估计这批青稞发芽的概率是______结果保留到 每次试验粒数 发芽频数 13. 如图，在一个半径为3的圆中，若圆周角∠ABC为30°，则的长为_____． 14. 某种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是，则这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为__________s； 15. 如图，在正六边形中，，分别是，的重心，若，则线段的长为______． 16. 利用无人机探照灯测量坡面的角度如图，一架无人机探照灯在点处，测得它的下边缘光线落在坡脚点处，上边缘光线落在斜坡点处，此时无人机离地面米，将无人机沿水平方向前进米到达点处，探照灯的上下边缘光线，落在斜坡，处，，，此时点恰好在的正上方，现测得，则______． 三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 有4张正面分别写有数字1，2，3，4的不透明卡片，它们除数字外完全相同，将它们背面朝上洗匀． （1）随机抽取一张，求抽到数字为奇数的概率． （2）随机抽取两张，记下两张卡片的数字，用列表或画树状图求抽取的两张卡片上数字之和为奇数的概率． 18. 如图，在平行四边形中，点在对角线上，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 19. 如图，在直角坐标系中，已知点，，，将绕点旋转得到，点，的对应点分别是点，． （1）在图中，作出，使点落在轴上． （2）在图中，作出，使点的横坐标是纵坐标的倍． 20. 已知抛物线经过，两点． （1）求抛物线的表达式及其顶点坐标． （2）点，都在抛物线上，，当时，求S的取值范围． 21. 如图，是的直径，，E是的中点，连结并延长到点F，使．连结交于点D，连结． （1）求证：直线是的切线． （2）若，求的长． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 如图1是某足球场的一部分，球门宽，高．小梅站在A处向门柱一侧发球，点A正对门柱（即），，球射向球门的路线呈抛物线，且一直在正上方． 此次射门的侧面示意图如图2所示，当足球飞行的水平距离时，球达到最高点Q，此时球离地面．以点A为原点，直线为x轴，建立平面直角坐标系． 素材2 如图3，距离球门正前方处放置一块矩形拦网，拦网面垂直于地面，且（足够长），拦网高． 任务1 求足球运动的高度与水平距离之间的函数关系式． 任务2 未放置拦网时，判断此次射门球能否进入球门．若能进入，计算出足球经过C点正上方时的高度；若不能进入，小梅不改变发球的方向，且射门路线的形状和最大高度保持不变，他应该带球向正后方至少移动多少米射门，才能让足球进入球门． 任务3 放置拦网后，小梅站在A处，射门路线的形状和最大高度保持不变，只改变发球方向，使射向球门的路线在正上方，判断足球能否越过拦网，在点E处进入球门． 注：上述任务中足球落在门柱边线视作足球进入球门． 23. 如图，四边形内接于，是的直径，的切线交的延长线于点，过作交于点，交的延长线于点，设． （1）求证：． （2）若，，求的度数． （3）若是的直径，记，求关于的函数表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年浙江省温州市鹿城区南浦实验中学九年级（下）开学数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若线段，，则线段，的比例中项为（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查比例线段的定义，根据成比例线段的定义解得即可． 【详解】设线段，的比例中项为， 则， 解得： 又因为为线段， 所以． 故选：C． 2. 已知的半径是5，直线与相交，圆心到直线的距离可能是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据直线和相交，即可判断． 【详解】的半径为5，直线与相交， 圆心到直线的距离的取值范围是， 故选：A． 3. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】形如y=a(x-h)2+k的顶点坐标为（h，k），据此可以直接求顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为（2，-4）． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质．二次函数的顶点式方程y=a（x-k）2+h的顶点坐标是（k，h），对称轴方程是x=k． 4. 抽屉里放有4只白袜子和2只黑袜子，它们除颜色外其余都相同．小明从中任意摸出一只袜子，摸出的袜子为黑色的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查概率公式，根据题意和题目中的数据，可以计算出从中任意摸出一只袜子，摸出的袜子为黑色的概率． 【详解】抽屉里放有4只白袜子和2只黑袜子， 小明从中任意摸出一只袜子，摸出的袜子为黑色的概率是， 故选：B． 5. 如图，在纸片中，，将该纸片沿虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，由于点D，得，则，而，即可证明，可判断A不符合题意；由，得，则，可证明，可判断B不符合题意；由，得，而，可证明，可判断C不符合题意；由，得，，则，而，所以与不相似，可判断D符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1， ∵于点D， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故A不符合题意； 如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故B不符合题意； 如图3， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故C不符合题意； 如图4， ∵， ∴，， ∴， 假设， ∵， ∴，与已知条件不符， ∴与不相似， 故D符合题意， 故选：D． 6. 圆内接四边形，，，的度数之比为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的对角互补列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：设，，的度数分别为， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， 解得，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键． 7. 如图是装满液体的高脚杯示意图，测量发现点A到地面的距离为30，，，若用去一部分液体后液面降至，测量发现点E到地面的距离为，则EF的长为（ ） A. 9 B. 8 C. 6 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查点到直线的距离，解直角三角形，解题的关键是熟练运用三角函数解决问题．利用三角函数即可解答． 【详解】解：设延长交于点G，设延长交于点， 点到地面的距离为30， ， ， ， 有题意可知，是等腰三角形，， ∴， 在中， ， 又到地面的距离为22， ， 在中， ， ， ． 故选：D． 8. 如图是一把圆弧形伞面的雨伞简易图，伞面的圆心为，若的度数为，伞柄，则伞面展开距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形，涉及到圆的基本知识，有一定的综合性，难度不大．由，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由题意得，，， 则， 故选：D． 9. 已知点，，，都在抛物线上，其中，则下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合即可解决问题． 【详解】， 抛物线的对称轴为直线， ，，， 点在点、点的下方， 如图所示， 若，则（此时点的位置符合条件）， 若，则（此时点的位置符合条件）． 故选：D． 10. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以的各边为边分别向外作正方形，再把正方形平移放入正方形内（如图2），使点在上，点在上，并将正方形沿翻折，得到正方形，若图2中，，三点共线，且，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，连接交于点，设交于点，交于点，则点在上，由正方形的性质得，，，可证明，得，则四边形是矩形，所以点在上，而，所以，则，再证明，则，再证明△，得，由，证明，则，求得，，则，于是得到问题的答案．此题重点考查正方形的性质、平移的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 【详解】解：如图2，设，连接交于点，设交于点，交于点， ，，三点共线， 点在上， 四边形、四边形、四边形都是正方形， ，，， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， 点在上， 由平移得， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， 解得，（不符合题意，舍去）， ，， ， 四边形是矩形， ， 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 如果，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查把给出的等式改写成比例式的方法，在改写时，要注意：相乘的两个数要作内项就都作内项，要作外项就都作外项．根据比例的性质，把所给的等式，改写成一个外项是x，一个内项是y的比例，则和x相乘的数2就作为比例的另一个外项，和y相乘的数5就作为比例的另一个内项，据此写出结果即可． 【详解】解：因为，所以． 故答案为：． 12. 某批青稞种子在相同条件下发芽试验结果如表：估计这批青稞发芽的概率是______结果保留到 每次试验粒数 发芽频数 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，写出相应的概率．根据表格中的数据，可以估算出这批青稞发芽的概率． 【详解】解：由表格中的数据可得， ，，，，， 由上可得，估计这批青稞发芽的概率是， 故答案为：． 13. 如图，在一个半径为3的圆中，若圆周角∠ABC为30°，则的长为_____． 【答案】Π 【解析】 【分析】连接OA，OC，根据圆周角定理求出∠AOC，利用弧长公式计算，得到答案． 【详解】解：连接OA，OC， 由圆周角定理得，∠AOC＝2∠ABC＝60°， ∴的长＝＝π， 故答案为π． 【点睛】本题考查的是弧长的计算，圆周角定理，掌握弧长公式是解题的关键． 14. 某种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是，则这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为__________s； 【答案】6 【解析】 【分析】把二次函数的一般式写成顶点式，找出顶点坐标，即可知道多长时间后得到最高点． 【详解】解： ＝−（t−6）2＋91， ∵−＜0 ∴这个二次函数图象开口向下． ∴当t＝6时，升到最高点． 故答案为：6． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 15. 如图，在正六边形中，，分别是，的重心，若，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了重心的性质以及相似三角形的性质，依据重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为：，即可得到，再根据相似三角形的性质，即可得到的长．解决问题的关键是掌握：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为． 【详解】解：如图所示，取的中点，连接，，则点在上，点在上， ，分别是，的重心， ∴， 连接，，则， ∴． 正六边形的边长为， ∴，， ∴， ， ∴． 故答案为：． 16. 利用无人机探照灯测量坡面的角度如图，一架无人机探照灯在点处，测得它的下边缘光线落在坡脚点处，上边缘光线落在斜坡点处，此时无人机离地面米，将无人机沿水平方向前进米到达点处，探照灯的上下边缘光线，落在斜坡，处，，，此时点恰好在的正上方，现测得，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形和三角形相似，连接，作于，根据题意是直角三角形，根据勾股定理求出的长，证明，根据对应线段成比例，推出，求出，推出，分别求出和，进而求出，根据，，进而求出，解题的关键是作辅助线． 【详解】解：如图，连接，作于， 点恰好在的正上方， 是直角三角形， 又，， 根据勾股定理得，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 有4张正面分别写有数字1，2，3，4的不透明卡片，它们除数字外完全相同，将它们背面朝上洗匀． （1）随机抽取一张，求抽到数字为奇数的概率． （2）随机抽取两张，记下两张卡片的数字，用列表或画树状图求抽取的两张卡片上数字之和为奇数的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式． （1）直接利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及抽取的两张卡片上数字之和为奇数的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：数字1，2，3，4中，为奇数的有1，3， ∴随机抽取一张，抽到数字为奇数的概率为． 【小问2详解】 解：列表如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上数字之和为奇数的结果有：，，，，，，，，共8种， ∴抽取的两张卡片上数字之和为奇数的概率为． 18. 如图，在平行四边形中，点在对角线上，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定： （1）由平行四边形的性质得到，则可推出，再由，即可证明； （2）根据相似三角形的性质列式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，即， ∴（负值已舍去）． 19. 如图，在直角坐标系中，已知点，，，将绕点旋转得到，点，的对应点分别是点，． （1）在图中，作出，使点落在轴上． （2）在图中，作出，使点的横坐标是纵坐标的倍． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） 如图，和均满足题意． 【解析】 【分析】本题考查作图旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． （1）若点落在轴上，则是由绕点旋转得到的，根据旋转的性质作图即可． （2）由题意可取点或，即是由绕点逆时针旋转或顺时针旋转得到的，再根据旋转的性质作图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 已知抛物线经过，两点． （1）求抛物线的表达式及其顶点坐标． （2）点，都在抛物线上，，当时，求S的取值范围． 【答案】（1），抛物线顶点坐标为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，然后求出其顶点坐标即可； （2）根据（1）所求可知点，关于直线对称，则．由，得到当时，，则． 【小问1详解】 解：（将，代入，得， 解得， ∴， ∴当时，， ∴抛物线顶点坐标为． 【小问2详解】 解：∵抛物线对称轴为直线，点，关于直线对称， ∴， ∴． ∵， ∴当时，，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，求二次函数顶点坐标，求二次函数函数值的取值范围等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 21. 如图，是的直径，，E是的中点，连结并延长到点F，使．连结交于点D，连结． （1）求证：直线是的切线． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径，且， ∴直线是的切线． （2）2 【解析】 【分析】（1）连接，证明四边形是平行四边形，则，由得，则，，可证明是的切线； （2）由是的直径得，则，可证明，根据勾股定理求出的长，再证明，根据相似三角形的对应边成比例即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长为2． 【点睛】本题考查圆的切线的判定、圆的弦与弧及圆心角的关系、圆周角定理、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，根据题意正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 如图1是某足球场的一部分，球门宽，高．小梅站在A处向门柱一侧发球，点A正对门柱（即），，球射向球门的路线呈抛物线，且一直在正上方． 此次射门的侧面示意图如图2所示，当足球飞行的水平距离时，球达到最高点Q，此时球离地面．以点A为原点，直线为x轴，建立平面直角坐标系． 素材2 如图3，距离球门正前方处放置一块矩形拦网，拦网面垂直于地面，且（足够长），拦网高． 任务1 求足球运动的高度与水平距离之间的函数关系式． 任务2 未放置拦网时，判断此次射门球能否进入球门．若能进入，计算出足球经过C点正上方时的高度；若不能进入，小梅不改变发球的方向，且射门路线的形状和最大高度保持不变，他应该带球向正后方至少移动多少米射门，才能让足球进入球门． 任务3 放置拦网后，小梅站在A处，射门路线的形状和最大高度保持不变，只改变发球方向，使射向球门的路线在正上方，判断足球能否越过拦网，在点E处进入球门． 注：上述任务中足球落在门柱边线视作足球进入球门． 【答案】能在E处入网． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先判断当时，y的值与的大小，设向后移动了m米，需要经过点，求解即可； （3）先证明，求出，再与题中数据比较． 【详解】解：任务1、设抛物线的解析式为：． ∵经过点， ∴． 解得：． ∴足球运动的高度与水平距离之间的函数关系式为：； 任务2、当时，． ∵． ∴足球不能入网． ∵小梅不改变发球的方向，且射门路线的形状和最大高度保持不变，设向后移动了m米． ∴ ∵需要经过点，才能使得退后的距离最小， ∴． 解得：（舍去）或． ∴他应该带球向正后方至少移动1米射门，才能让足球进入球门； 任务3、如图，由题意得： ． ∴． ∴． ∴． ∴． 解得：． 当时， ． ∴能通过拦网． 当时，． ∵， ∴能在E处入网． 【点睛】本题考查二次函数的应用，二次函数解析式，勾股定理等知识．熟练掌握二次函数的应用，二次函数解析式，勾股定理是解题的关键． 23. 如图，四边形内接于，是的直径，的切线交的延长线于点，过作交于点，交的延长线于点，设． （1）求证：． （2）若，，求的度数． （3）若是的直径，记，求关于的函数表达式． 【答案】（1） 证明：连接，如图： 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ；+ （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，由是的直径，可得，而，有，故，从而，即； （2）设交于，由是的切线，为直径，可得，知，设，则，求出，，可得，证明，得，根据，可得，故，即得是等腰直角三角形，； （3）连接，设交于，由，设，则，可得，，，再证，得，又，即可得，在中，，根据，可得． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：设交于，如图： 是的切线，为直径， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， 由（1）知， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ； 【小问3详解】 解：连接，设交于，如图： 是的切线，为直径， ， ， ， ， 设，则， ， ， 为直径，， ， 为的直径，为直径， ， 四边形内接于， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 整理得：， ， ， ， ； 关于的函数表达式为． 【点睛】本题考查圆的综合应用，涉及相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，等腰直角三角形判定与性质等，解题的关键是掌握圆的相关性质和相似三角形的判定定理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $