精品解析：河南省南阳市内乡县实验高级中学2025届高三上学期学习效果检测数学试题

45届高三学习效果检测——数学试题 命题人： 审核人： 时长：120分钟 总分：150分 难度系数0.6 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每题5分，共8题） 1. 下列关系中正确的个数为（ ） ①，②，③④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 设集合，，若，则（ ）． A. 2 B. 1 C. D. 3. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知且，若集合，且﹐则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共3题） 9. 某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（ ） A. 三项比赛都参加的有2人 B. 只参加100米比赛的有3人 C. 只参加400米比赛的有3人 D. 只参加1500米比赛的有3人 10. 关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则a的值可以为（　　） A. ﹣2 B. 1 C. ﹣1 D. 11. 已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共3题） 12. 若函数的定义域为，则实数的范围为________． 13. 已知定义在R上的偶函数满足当时，则________． 14. 如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”．函数的值域为，则与y是“同域函数”的一个解析式为___________________________． 四、解答题（第15题13分，第16和17题每题15分，第18和19题每题17分） 15. 已知集合，集合. （1）若，求实数的取值范围 （2）若，求实数的值 16. （1）已知，求； （2）已知为二次函数，且，求； （3）已知函数对于任意的x都有，求． 17. 已知函数 ，图象经过点 ，且 . （1）求的值； （2）用定义法证明函数 在区间 上单调递增. 18. 设数集A由实数构成，且满足：若（且），则. （1）若，则A中至少还有几个元素？ （2）集合A是否为双元素集合？请说明理由； （3）若A中元素个数不超过，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A中的元素. 19. 已知函数且. （1）求的解析式; （2）已知的定义域为. （ⅰ）求的定义域； （ⅱ）若方程有唯一实根，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 45届高三学习效果检测——数学试题 命题人： 审核人： 时长：120分钟 总分：150分 难度系数0.6 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每题5分，共8题） 1. 下列关系中正确的个数为（ ） ①，②，③④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】正确理解常用数集的定义，并正确表达元素与集合之间的关系即得. 【详解】对于①，显然正确； 对于②，是无理数，故②正确； 对于③，是自然数，故③正确； 对于④，是无理数，故④错误. 故正确个数为3. 故选：C. 2. 设集合，，若，则（ ）． A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可. 【详解】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故选：B. 3. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意求出的定义域，结合函数列出相应不等式组，即可求得答案. 【详解】由题意可知函数的定义域为，即， 故，则的定义域为， 则对于，需满足， 即的定义域为， 故选：C 4. 已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系. 【详解】若函数在上单调递增，则在上的最大值为， 若在上的最大值为， 比如， 但在为减函数，在为增函数， 故在上的最大值为推不出在上单调递增， 故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件， 故选：A. 5. 已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据真子集的定义，推断出集合含有4个元素，即不等式的解集中有且仅有4个整数解，由此进行分类讨论，列式算出实数的取值范围． 【详解】若集合有15个真子集，则中含有4个元素， 结合，可知，即，且区间,中含有4个整数， ①当时，,的区间长度，此时,中不可能含有4个整数； ②当时，,,，其中含有4、5、6、7共4个整数，符合题意； ③当时，,的区间长度大于3， 若,的区间长度，即． 若是整数，则区间,中含有4个整数，根据，可知，， 此时,,，其中含有5、6、7、8共4个整数，符合题意． 若不是整数，则区间,中含有5、6、7、8这4个整数，则必须且，解得； 若时，,,，其中含有5、6、7、8、9共5个整数，不符合题意； 当时，,的区间长度，此时,中只能含有6、7、8、9这4个整数， 故，即，结合可得． 综上所述，或或，即实数的取值范围是,,． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：由真子集的个数可得，且区间,中含有4个整数，结合区间长度，即可对讨论求解. 6. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 7. 函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知是减函数，结合分段函数单调的条件求解． 【详解】因为对任意，都有成立，所以是上的减函数， 则，解得， 即实数a的取值范围为． 8. 已知且，若集合，且﹐则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合M，再由给定条件，对集合N分类讨论，构造函数，利用导数探讨函数最小值求解作答. 【详解】依题意，，，令， 当时，函数在上单调递增，而，则，使得， 当时，，当时，，此时，因此，， 当时，若，，则恒成立，，满足， 于是当时，，当且仅当，即不等式对成立， ，由得，当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， ，于是得， 即，变形得，解得，从而得当时，恒成立，，满足， 所以实数a的取值范围是或. 故选：D 【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以利用导数探讨函数的最值，借助函数最值转化解决问题. 二、多选题（每题6分，共3题） 9. 某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（ ） A. 三项比赛都参加的有2人 B. 只参加100米比赛的有3人 C. 只参加400米比赛的有3人 D. 只参加1500米比赛的有3人 【答案】AB 【解析】 【分析】由题意先分析出3项都参加的人数，再分析只参加某项的人数即可. 【详解】根据题意，设{是参加100米的同学}， {是参加400米的同学}，{是参加1500米的同学}， 则 且 则， 所以三项比赛都参加的有2人， 只参加100米比赛的有人， 只参加400米比赛的有人， 只参加1500米比赛的有人. 故选：AB 10. 关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则a的值可以为（　　） A. ﹣2 B. 1 C. ﹣1 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】分类讨论a的符号解不等式，结合题意分析解集中恰有3个整数为：或，分别列式求解 【详解】当时，则，即，解集中必有无数个整数，不合题意，即不成立 当时，令，则 ∴原不等式解集为，且 由题意可得： 若，则，解得 若，则，解得 即或 当时， 开口向上 ∴原不等式解集中必有无数个整数，不合题意，则不成立 综上所述：或 故选：CD. 11. 已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 【详解】对于A，， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，， 当且仅当时，等号成立，故C不正确； 对于D，因为， 所以，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：ABD 【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共3题） 12. 若函数的定义域为，则实数的范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知可将问题转化为不等式对任意的恒成立，满足方程没有实数根，求解即可. 【详解】由题意，知不等式对任意的恒成立， 所以方程没有实数根， 所以， 解得，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 13. 已知定义在R上的偶函数满足当时，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】先由偶函数，推出，再根据分段函数的不同区间依次求得，. 【详解】因是在R上的偶函数，则， 故. 故答案为：1. 14. 如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”．函数的值域为，则与y是“同域函数”的一个解析式为___________________________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意，先求出的定义域，再写出跟其相同定义域、值域的函数即可. 【详解】因为，所以，解得， 所以函数的定义域为． 又由题意可知的值域为， 与之定义域、值域相同的函数，如，，等等． 故答案为：（答案不唯一）. 四、解答题（第15题13分，第16和17题每题15分，第18和19题每题17分） 15. 已知集合，集合. （1）若，求实数的取值范围 （2）若，求实数的值 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）利用判别式计算即可； （2）直接代入1计算即可. 【小问1详解】 若，则， 即实数的取值范围为； 【小问2详解】 若，则 即实数的值为2. 16. （1）已知，求； （2）已知为二次函数，且，求； （3）已知函数对于任意的x都有，求． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）利用换元法或配凑法求解即可； （2）利用待定系数法，令，然后结合已知条件化简列方程组可求出，从而可求出； （3）将已知等式中的用替换，得到另一个式子，与已知等式联立可求出. 【详解】（1）方法一 （换元法）： 令，则，， 所以， 所以的解析式为． 方法二 （配凑法）： ． 因为， 所以的解析式为． （2）设， 则 ， 所以，解得， 所以． （3）， 令，得， 于是得到关于与的方程组， 解得． 17. 已知函数 ，图象经过点 ，且 . （1）求的值； （2）用定义法证明函数 在区间 上单调递增. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件得到方程组，可求出答案； （2），且，变形判断符号可得结论. 【小问1详解】 由题意得， 解得 【小问2详解】 由（1）可知， ，且， ， 因为，所以， 又，所以， 所以，即，所以， 所以函数在区间上单调递增. 18. 设数集A由实数构成，且满足：若（且），则. （1）若，则A中至少还有几个元素？ （2）集合A是否为双元素集合？请说明理由； （3）若A中元素个数不超过，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A中的元素. 【答案】（1）两个； （2）不是，理由见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用给定的定义，依次计算即得. （2）由，求得A中其它元素，再判断不相等即可. （3）由（2）中信息，可得，再结合已知列出方程求解即得. 【小问1详解】 由，得，则，因此 所以A中至少还有两个元素为，. 【小问2详解】 不是双元素集合．理由如下： 由，得，则， 而且，，即，， 于是，由，得，则， 因此集合A中至少有个元素，所以集合A不是双元素集合． 【小问3详解】 由（2）知A中有三个元素为、、（且），且， 依题意，A中除上述3个元素外，还有其它元素，设A中有一个元素为， 则，，且， 于是A中的元素为，且集合A中所有元素之积为， 由A中有一个元素的平方等于所有元素的积，设或，解得或． 此时，，，依题意，， 整理得，即，解得或或， 所以集合A中的元素为. 19. 已知函数且. （1）求的解析式; （2）已知的定义域为. （ⅰ）求的定义域； （ⅱ）若方程有唯一实根，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）（ⅰ）；（ⅱ），或. 【解析】 【分析】（1）利用换元法以及，即可求解的解析式； （2）（ⅰ）解不等式，即可得出的定义域； （ⅱ）结合函数的解析式将方程化为，利用换元法得出，讨论的值，结合二次函数的性质即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 令，则，所以， 因为，所以， 所以； 【小问2详解】 （ⅰ）因为的定义域为， 所以，解得， 所以的定义域为. （ⅱ）因为，所以， 化简得，   令，则在有唯一实数根， 令， 当时，令，则，所以，得符合题意，所以； 当时，，所以只需，解得，因为，所以此时无解； 当时，，即，或 ，，符合题意， ，，故不符合题意， ，解得，或，只需满足，解得，故不符合题意， 综上，，或. 【点睛】方法点睛：本题考查了利用换元法求函数解析式以及根据函数的零点确定参数的范围，已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $