精品解析：湖南省郴州市桂阳县甘甜中学2024-2025学年高一上学期入学检测数学试题

2024年秋高一入学检测卷·数学 说明： 1．全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．请把答案写在答题卡上，否则不给分． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项，请将正确答案的代号填入题后括号内） 1. 下列四个数中，最小的一个数是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，这是某班45名同学爱心捐款额的频数分布直方图(每组含前一个边界值，不含后一个边界值)，则捐款人数最多的一组是（ ） A. 5~10元 B. 10~15元 C. 15~20元 D. 20~25元 5. 已知一次函数y=ax+b与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数 的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 人们常用“一刹那”这个词来形容时间极为短暂，按古印度《僧只律》(又有资料为《倡只律》)解释：一刹那即为一念，二十念为一瞬；二十瞬为一弹指，二十弹指为一罗预；二十罗预为一须叟，一日一昼为三十须叟．照此计算，一须叟为48分钟，一罗预为144秒，一弹指为7.2秒，一瞬为0.36秒，一刹那为0.0 18秒．则一天24小时有（ ） A. 8×104刹那 B. 4.8×106刹那 C. 4.8×105刹那 D. 4.8×107刹那 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 小明制作了如图所示的四张卡片(四张卡片除正面的文字不同外，其余均相同)，现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．从中随机抽取两张卡片，则这两张卡片恰好组成“劳动”一词的概率是____． 8 分解因式：___________________． 9. 已知方程2x2-x-1=0两根分别是x1，x2，则x1+x2的值为____． 10. 中国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，奠定了中国圆周率计算在世界上的领先地位．刘徽提出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”由此求得圆周率π的近似值．设圆的半径为r，圆内接正n边形的周长为C，圆的直径为d．如图1，当n=6时，π≈===3;如图2，当n=12时，π≈=____．(结果精确到0.01;参考数据：sin 15°≈0.259，sin 75°≈0.966) 11. 如图，在中，AB=3，AC=5，D是BC的中点，连接AD，且AD=2，则BC的长为____． 12. 如图，在正方形中，对角线，交于点，折叠正方形，使边落在上，点落在点处，折痕交于点，交于点，连接，则下列结论：①；②为等边三角形；③；④．其中正确的是____． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）化简：． （2）解不等式组： 14. 阏伯台又叫火星台、火神台，位于商丘古城西南1.5公里处，是距今4000多年的观星台遗址，火神台为圆形夯土筑成．某数学小组想要测量火神台的高度，如图，数学小组用测角仪在点处测得火神台顶端的仰角为，用无人机在点处测得火神台顶端的仰角为，，求火神台的高度．(结果精确到0.1 m．参考数据：，，) 15. 如图，现有4个质地和大小完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4．将标有1，2的小球放入不透明的甲袋中，标有3，4的小球放入不透明的乙袋中．从甲袋中随机摸出一个球，将球上的数字当作指数，再从乙袋中随机摸出一个球，将球上的数字当作底数，从而得到一个乘方，并计算其值，记作m． （1）用列表或画树状图的方法，表示m的所有可能结果． （2）老师说：“如果我再放进一个标有数字0小球，那么放到甲袋中得到的m是奇数的概率和放到乙袋中得到的m是偶数的概率是一样的．”请判断老师的结论是否正确，并说明理由． 16. 如图，四边形ABCD为菱形，延长AB至点E，使得BE=AB，过点E作EF∥AD，交DB的延长线于点F，请仅用无刻度直尺按下列要求作图(保留作图痕迹)． （1）在图1中，过BD的中点作直线l∥AE． （2）图2中，作出一个矩形． 17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数（m为常数，且）的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点C在x轴上，点D在反比例函数的图象上，若四边形ABCD为矩形． （1）直接写出点A，B，D的坐标(用含m的式子表示)． （2）求矩形ABCD的面积． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 珍爱生命，远离溺水．某校开展了“远离溺水·珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛，并为获奖的同学颁发奖品．李老师去商店购买甲、乙两种笔记本作为奖品，若买甲种笔记本10本，乙种笔记本20本，共用110元，且买5本甲种笔记本比买10本乙种笔记本少花5元． （1）求甲、乙两种笔记本的单价． （2）李老师准备购买甲、乙两种笔记本共100本，且甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的3倍，因李老师购买的数量多，实际付款时按原价的九折付款．为了使所花费用最低，应如何购买？最低费用是多少元？ 19. 每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某中学在全校七、八年级开展“国家安全法”知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩(100分制，80分及以上为优秀)进行整理、描述和分析(成绩用x表示，共分成四组：A.，B.，C.，D．)．下面给出了部分信息： 七年级抽取的学生竞赛成绩在C组的数据是：80，84，85，90，95，98． 八年级抽取的学生竞赛成绩在C组的数据是：80，82，84，86，86，90，94，98． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩的统计表 年级 平均数 众数 中位数 满分率 七年级 82 100 a 25% 八年级 82 b 88 35% 七年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出a，b值． （2）该校七、八年级共有800人参加此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数． 20. 如图1，某商业中心从一楼到二楼有一自动扶梯，图2是该场景的侧面示意图．已知自动扶梯AB的坡度为1∶，AB的长度是12米，MN∥PQ，点C在MN上，BC⊥MN，在自动扶梯底端A处测得点C的仰角为45°． （1）求自动扶梯顶端B到地面PQ的距离． （2）若在自动扶梯顶端B的正上方的楼顶C处悬挂一个高为2米(CG=2米)的广告牌，请问一个身高为1.9米的人能否正常通过此处?(≈1.73) 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图1，AB是☉O的直径，C是☉O上异于点A，B的一点，连接AC，BC，并延长BA至点E，使得∠ECA=∠B． （1）求证：CE是☉O的切线． （2）如图2，若∠B=30°，请直接写出三个你认为正确的结论(注：不另外添加辅助线)． 22. 在平面直角坐标系中，顶点为C的抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧． （1）若点B的坐标为(3，0)，求b的值． （2）规定：横、纵坐标均为整数的点叫做整点．已知抛物线的对称轴为y轴． ①求抛物线与x轴所围成封闭图形G内部(不包括边界)整点的个数; ②若双曲线y=与抛物线在第四象限内围成的封闭图形W内部及边界上的整点的个数总和为2，求实数m的取值范围． （3）若点C在第三象限，且点C到x轴的距离为，直线y=与抛物线在x轴下方的部分有两个交点，直接写出t的取值范围． 六、（本大题共12分） 23. 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动(每位同学的矩形纸片规格不同)．老师规定矩形纸片按如下方式操作(如图1)． 操作一：在矩形纸片的边上找一点，将矩形沿直线折叠，使点的对应点为点； 操作二：将矩形沿过点的直线折叠，使点的对应点落在边上，折痕为． （1）根据以上操作可知的度数为　　　　． （2）如图2，小明折叠自己的矩形纸片后发现，当点落在矩形的边上时，射线恰好经过点，请判断的形状并说明理由． （3）如图3，在小华的矩形纸片中，若经过小华折叠后的，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年秋高一入学检测卷·数学 说明： 1．全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．请把答案写在答题卡上，否则不给分． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项，请将正确答案的代号填入题后括号内） 1. 下列四个数中，最小的一个数是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据实数的大小比较即可. 【详解】因为, 所以最小的为， 故选：A. 2. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据从左边看到的图形是左视图即可判断出答案． 【详解】根据从左边看到的图形是左视图，A符合题意， 故选：A． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项和幂的运算法则以及平方差公式，对各选项进行判断即可． 【详解】A选项，和不是同类项，不能合并，错误； B选项，根据幂的运算法则，错误； C选项，根据平方差公式，错误 D选项，根据合并同类项法则，正确； 故选：D. 4. 如图，这是某班45名同学爱心捐款额的频数分布直方图(每组含前一个边界值，不含后一个边界值)，则捐款人数最多的一组是（ ） A. 5~10元 B. 10~15元 C. 15~20元 D. 20~25元 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形所给出的数据直接找出捐款人数最多的一组即可. 【详解】根据图形所给出的数据可得：捐款额为15~20元的有20人，人数最多， 则捐款人数最多的一组是15~20元. 故选：C 5. 已知一次函数y=ax+b与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数 的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数y=ax+b与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可判断出，由此可判断二次函数 的图象可能的位置，即得答案. 【详解】由题意可知 ， 故二次函数 的图象开口向下， ， 与y轴交点在x轴上方，故可能的图象为A， 故选：A 6. 人们常用“一刹那”这个词来形容时间极为短暂，按古印度《僧只律》(又有资料为《倡只律》)解释：一刹那即为一念，二十念为一瞬；二十瞬为一弹指，二十弹指为一罗预；二十罗预为一须叟，一日一昼为三十须叟．照此计算，一须叟为48分钟，一罗预为144秒，一弹指为7.2秒，一瞬为0.36秒，一刹那为0.0 18秒．则一天24小时有（ ） A. 8×104刹那 B. 4.8×106刹那 C. 4.8×105刹那 D 4.8×107刹那 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意利用除法即可得解. 【详解】由题意可知，， 即一天24小时有刹那. 故选：B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 小明制作了如图所示的四张卡片(四张卡片除正面的文字不同外，其余均相同)，现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．从中随机抽取两张卡片，则这两张卡片恰好组成“劳动”一词的概率是____． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图得出所有等可能的结果数和这两张卡片恰好组成“劳动”一词的结果数，再利用概率公式可得出答案. 【详解】画树状图如下: 共有12种等可能的结果，其中这两张卡片恰好组成“劳动”一词的结果有2种， 所以这两张卡片恰好组成“劳动”一词的概率为. 故答案为: 8. 分解因式：___________________． 【答案】 【解析】 【分析】提取公因式后再利用平方差公式分解即可. 【详解】 故答案为： 9. 已知方程2x2-x-1=0的两根分别是x1，x2，则x1+x2的值为____． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据一元二次方程的韦达定理，可得答案. 【详解】由方程的解为，可得， 故答案为： 10. 中国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，奠定了中国圆周率计算在世界上的领先地位．刘徽提出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”由此求得圆周率π的近似值．设圆的半径为r，圆内接正n边形的周长为C，圆的直径为d．如图1，当n=6时，π≈===3;如图2，当n=12时，π≈=____．(结果精确到0.01;参考数据：sin 15°≈0.259，sin 75°≈0.966) 【答案】3.11 【解析】 【分析】根据圆内接十二边形的性质结合锐角三角函数可求边长，进而可根据π的近似值求解公式求解. 详解】当n=12时,, 所以, 所以正十二边形的周长为， 故， 故答案为：3.11 11. 如图，在中，AB=3，AC=5，D是BC的中点，连接AD，且AD=2，则BC的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】延长至，使，连接，利用平行四边形的判定性质，结合勾股定理及逆定理计算即得. 【详解】延长至，使，连接，又D是BC的中点，则四边形是平行四边形， 于，又，则， 因此，在中，， 所以. 故答案为： 12. 如图，在正方形中，对角线，交于点，折叠正方形，使边落在上，点落在点处，折痕交于点，交于点，连接，则下列结论：①；②为等边三角形；③；④．其中正确的是____． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】①可有折叠对称得到，进而可得；②通过几何性质可得，即可判断；③设，可得，进而可得；④因，故即得. 【详解】因为折叠正方形，使边落在上，点落在点处， 所以，，， 故． 因为， 所以， 所以，故①正确． 因，所以， 故，故， 所以，. 因为，所以四边形是平行四边形 所以，所以平行四边形是菱形， 所以． 因为， 故不是等边三角形，所以②不正确． 设，则， 所以，所以，故③正确． 因为，所以，故④正确． 故答案为：①③④ 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）化简：． （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据多项式的乘法进行化简； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】（1）解：. （2）解： 解不等式①得，解不等式②得， ∴不等式组的解集为. 14. 阏伯台又叫火星台、火神台，位于商丘古城西南1.5公里处，是距今4000多年的观星台遗址，火神台为圆形夯土筑成．某数学小组想要测量火神台的高度，如图，数学小组用测角仪在点处测得火神台顶端的仰角为，用无人机在点处测得火神台顶端的仰角为，，求火神台的高度．(结果精确到0.1 m．参考数据：，，) 【答案】 【解析】 【分析】设，由题意得，运用锐角三角函数求出的值即可求解. 【详解】设， 在中，， ， ， ，， ， ，， 在中，， 解得，经检验，是原方程的根， ， 答：火神台的高度约为. 15. 如图，现有4个质地和大小完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4．将标有1，2的小球放入不透明的甲袋中，标有3，4的小球放入不透明的乙袋中．从甲袋中随机摸出一个球，将球上的数字当作指数，再从乙袋中随机摸出一个球，将球上的数字当作底数，从而得到一个乘方，并计算其值，记作m． （1）用列表或画树状图的方法，表示m的所有可能结果． （2）老师说：“如果我再放进一个标有数字0的小球，那么放到甲袋中得到的m是奇数的概率和放到乙袋中得到的m是偶数的概率是一样的．”请判断老师的结论是否正确，并说明理由． 【答案】（1）树状图见详解，3、4、9、16； （2）正确，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）直接画树状图（或列表）可得； （2）分别求出放入甲袋和乙袋中m的所有情况，然后可得. 【小问1详解】 （1）根据题意画树状图如下： 则m共有4种等可能的结果，分别为3、4、9、16. 【小问2详解】 老师的结论正确. 当放到甲袋中时，m分别是3、4、9、16、1、1，奇数的概率是=; 当放到乙袋中时，m分别是0、0、3、4、9、16，偶数的概率是= 故放到甲袋中得到的m是奇数的概率与放到乙袋中得到的m是偶数的概率是相同的，老师的结论正确. 16. 如图，四边形ABCD为菱形，延长AB至点E，使得BE=AB，过点E作EF∥AD，交DB的延长线于点F，请仅用无刻度直尺按下列要求作图(保留作图痕迹)． （1）在图1中，过BD的中点作直线l∥AE． （2）在图2中，作出一个矩形． 【答案】（1）作图见解析； （2）作图见解析. 【解析】 【分析】（1）利用菱形、平行四边形对角线、中位线性质找到并画出直线l； （2）利用菱形性质找到中点、，利用全等三角形得且，结合矩形的判定即可得. 【小问1详解】 连接，与BD的交点，即为BD的中点， 连接，与的交点，即为的中点， 所以BD的中点与的中点的连线即为所求直线l，如下图示： 【小问2详解】 由为菱形对角线交点，则，即， 而，过分别作交于一点，将其与连接，交于， 易知为中点，故，即， 易证，则且， 综上，四边形OBGC即为所求矩形，如下图示： 17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数（m为常数，且）的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点C在x轴上，点D在反比例函数的图象上，若四边形ABCD为矩形． （1）直接写出点A，B，D的坐标(用含m的式子表示)． （2）求矩形ABCD的面积． 【答案】（1）A(2m，0)，B(0，m)，D(，-m ) （2）40 【解析】 【分析】（1）把，代入，可得点B坐标，把代入，可得点A坐标，再过点D作轴于E，证，即可得，把代入，求得，即得D点坐标． （2）证明，则，代入可得，解得，再由，即可求解． 【小问1详解】 解：对于一次函数，令，则，∴， 令，则，解得：，∴， 过点D作轴于E， ∵四边形为矩形．∴，， ∴，∵ ∴，∴， ∴点D纵坐标为，把代入，得 ，解得：，∴； 【小问2详解】 解：∵四边形为矩形．∴， ∵，∴ ∵∴，∴ ∴， 由（1）知：，，， ∴，∴， ∴，∴， ∴． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 珍爱生命，远离溺水．某校开展了“远离溺水·珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛，并为获奖的同学颁发奖品．李老师去商店购买甲、乙两种笔记本作为奖品，若买甲种笔记本10本，乙种笔记本20本，共用110元，且买5本甲种笔记本比买10本乙种笔记本少花5元． （1）求甲、乙两种笔记本的单价． （2）李老师准备购买甲、乙两种笔记本共100本，且甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的3倍，因李老师购买的数量多，实际付款时按原价的九折付款．为了使所花费用最低，应如何购买？最低费用是多少元？ 【答案】（1）甲种笔记本的单价是5元，乙种笔记本的单价是3元； （2）购买75本甲种笔记本，25本乙种笔记本，所花费用最低，最低费用是405元. 【解析】 【分析】（1）设出未知数，列出二元一次方程组并求解即得. （2）设购买m本甲种笔记本，求出所需费用为元关于的函数关系，再利用一次函数的性质求出最小值. 【小问1详解】 设甲种笔记本的单价是x元，乙种笔记本的单价是y元， 根据题意得，解得， 所以甲种笔记本的单价是5元，乙种笔记本的单价是3元. 【小问2详解】 设购买m本甲种笔记本，则购买()本乙种笔记本， 由甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的3倍，得，解得， 设所需费用为元， 则，显然随m的增大而增大， 因此当时，最小，最小值为 (元)，此时， 所以购买75本甲种笔记本，25本乙种笔记本，所花费用最低，最低费用是405元. 19. 每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某中学在全校七、八年级开展“国家安全法”知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩(100分制，80分及以上为优秀)进行整理、描述和分析(成绩用x表示，共分成四组：A.，B.，C.，D．)．下面给出了部分信息： 七年级抽取的学生竞赛成绩在C组的数据是：80，84，85，90，95，98． 八年级抽取的学生竞赛成绩在C组的数据是：80，82，84，86，86，90，94，98． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩的统计表 年级 平均数 众数 中位数 满分率 七年级 82 100 a 25% 八年级 82 b 88 35% 七年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出a，b的值． （2）该校七、八年级共有800人参加此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数． 【答案】（1） （2）520人 【解析】 【分析】（1）找出七年级成绩处在中间位置的两个数的平均数即为中位数，可求出，找出八年级成绩出现次数最多的数为八年级成绩的众数； （2）分别求出七、八年级学生竞赛成绩的优秀人数即可求解． 【小问1详解】 七年级抽取的学生竞赛成绩从小到大排列后， 处在中间位置的两个数的平均数为（分），因此中位数是82分，即． 八年级抽取的学生竞赛成绩的中位数是88， 因此在及以上的应有10人，可得100分的有(人)， 因此竞赛成绩的众数为100，即． 【小问2详解】 七年级抽取的学生竞赛成绩为优秀的人数是， 八年级抽取的学生竞赛成绩为优秀的人数是， 则优秀人数为人. 所以参加此次竞赛活动成绩优秀的学生约有520人. 20. 如图1，某商业中心从一楼到二楼有一自动扶梯，图2是该场景的侧面示意图．已知自动扶梯AB的坡度为1∶，AB的长度是12米，MN∥PQ，点C在MN上，BC⊥MN，在自动扶梯底端A处测得点C的仰角为45°． （1）求自动扶梯顶端B到地面PQ的距离． （2）若在自动扶梯顶端B的正上方的楼顶C处悬挂一个高为2米(CG=2米)的广告牌，请问一个身高为1.9米的人能否正常通过此处?(≈1.73) 【答案】（1）6米； （2）能. 【解析】 【分析】（1）延长CB交PQ于D，求出自动扶梯AB的坡度tan∠BAD=值，确定∠BAD的大小，进而可得B到地面PQ的距离； （2）由（1）求出BD、CD，即可求结果. 【小问1详解】 如图，延长CB，交PQ于D． ∵MN∥PQ，BC⊥MN， ∴BD⊥PQ， ∵自动扶梯AB的坡度为1∶， ∴tan∠BAD===， ∴∠BAD=30°，故BD=AB=6米． 答：自动扶梯顶端B到地面PQ的距离为6米. 【小问2详解】 由（1）得：AD=BD=6， 在Rt△CDA中，∠CDA=90°，∠CAD=45°， ∴CD=AD=6≈10.38， ∴BG=CDBDCG=2.38>1.9， 答：一个身高为1.9米的人能正常通过此处. 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图1，AB是☉O的直径，C是☉O上异于点A，B的一点，连接AC，BC，并延长BA至点E，使得∠ECA=∠B． （1）求证：CE是☉O的切线． （2）如图2，若∠B=30°，请直接写出三个你认为正确的结论(注：不另外添加辅助线)． 【答案】（1）证明见解析 （2）AB=2AC，∠E=30°，EA=AC(符合题意即可) 【解析】 【分析】（1）将问题转化为证明，然后利用圆的性质证明可得； （2）结合（1）中证明过程，写出三个正确结论即可. 【小问1详解】 如图，连接OC． ∵AB是☉O的直径，∴∠ACB=90°， ∴∠B+∠CAB=90° ∵OA=OC，∴∠CAO=∠ACO， ∴∠B+∠ACO=90° ∵∠B=∠ECA， ∴∠ECA+∠ACO=90°， ∴∠ECO=90°，∴EC⊥OC ∵OC为☉O的半径，∴CE是☉O的切线 【小问2详解】 AB=2AC，∠E=30°，EA=AC(符合题意即可) 由（1）知，为直角三角形，因为，所以AB=2AC. 因为，所以 由外角定理知， 又，所以 由上知，，所以EA=AC. 22. 在平面直角坐标系中，顶点为C的抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧． （1）若点B的坐标为(3，0)，求b的值． （2）规定：横、纵坐标均为整数的点叫做整点．已知抛物线的对称轴为y轴． ①求抛物线与x轴所围成封闭图形G内部(不包括边界)整点的个数; ②若双曲线y=与抛物线在第四象限内围成的封闭图形W内部及边界上的整点的个数总和为2，求实数m的取值范围． （3）若点C在第三象限，且点C到x轴的距离为，直线y=与抛物线在x轴下方的部分有两个交点，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）； （2）① 7；②； （3）<t<． 【解析】 【分析】（1）将点代入抛物线方程即可, （2）根据对称轴可得抛物线方程，根据列举法即可求将所有的整数点，结合抛物线和双曲线的图象特征即可确定两个整数点为，即可求解， （3）根据C到x轴的距离为可得抛物线方程，根据直线与抛物线的相切只有一个公共点时可得t=，进而结合图形特征即可求解. 【小问1详解】 把B(3，0)代入，得，解得 【小问2详解】 抛物线的对称轴为y轴，∴b=0，∴． 令，解得，∴点A的坐标为，点B的坐标为, ①∵当x=1时，，∴点,在区域G的内部; ∵当时，，∴点在区域G的内部; ∵当时，，∴点在区域G的内部; ∴在区域G的内部(不包括边界)的整点的个数为7 ②抛物线过点， ∴抛物线在第四象限内的部分是0<x<2之间的图象． ∵由题意可得整点坐标只能为， ∴解得 【小问3详解】 <t< ∵点C在第三象限，且点C到x轴的距离为，抛物线， ∴其顶点C的纵坐标为，解得(舍去)， ∴，令，解得， ∴． 当直线y=经过点B时，即有0=，解得t=; 当直线y=与抛物线在x轴下方的部分只有一个交点时， 方程有两个相等的实数根，∴，解得t=， ∴<t<． 六、（本大题共12分） 23. 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动(每位同学的矩形纸片规格不同)．老师规定矩形纸片按如下方式操作(如图1)． 操作一：在矩形纸片的边上找一点，将矩形沿直线折叠，使点的对应点为点； 操作二：将矩形沿过点的直线折叠，使点的对应点落在边上，折痕为． （1）根据以上操作可知的度数为　　　　． （2）如图2，小明折叠自己的矩形纸片后发现，当点落在矩形的边上时，射线恰好经过点，请判断的形状并说明理由． （3）如图3，在小华的矩形纸片中，若经过小华折叠后的，请直接写出的长． 【答案】（1） （2）等腰直角三角形；理由见解析 （3）1或 【解析】 【分析】（1）根据图形变化特征即可得角； （2）通过图形特征及折叠得出即可判断三角形形状； （3）经过折叠后的的长结合勾股定理，计算写出DE的长． 【小问1详解】 根据以上折叠操作, 又因为， 所以, . 【小问2详解】 是等腰直角三角形． 理由：如图1，连接． ∵四边形是矩形， ∴， ∴ 由折叠知 ∴． ∵， ∴ ∴ ∵ ∵ ∵ ∴． ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形 【小问3详解】 DE的长为1或.0 提示：如图2，过点E作交的延长线于点H，设， 由已知易得四边形为矩形，∴ 由折叠的性质可知． ∵ ∴在中，由勾股定理得， ∴ ∴ 在Rt△ECF中，由勾股定理得 ∴ 解得或， ∴的长为1或． 【点睛】关键点点睛：解题关键是折叠后边长及角的变化和不变的量的应用计算. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$