专题1.5平面上的距离（四个重难点突破）-2024-2025学年高二数学重难点突破及易错点分析（苏教版2019选择性必修第一册）

专题1.5平面上的距离 一、两点间的距离 ③已知距离，求直线方程 ①求两点间的距离 三、平行直线的距离 ②距离公式的应用 四、对称问题 二、点到直线的距离 ①求点关于直线的对称点 ①求点到直线的距离 ②直线关于点对称的直线 ②已知点到直线的距离求参数 ③将军饮马问题 知识点1 两点间的距离公式 如图，由点，由此得到两点间的距离公式， 特别地，原点与任一点间的距离 知识点2 点到直线的距离公式 点到直线的距离，可以验证，当A=0，或B=0时，上述公式仍然成立． 注意：点到几种特殊直线的距离 ①点到与x轴平行的直线的距离，特别地，点到x轴的距离d=|y0|； ②点到与y轴平行的直线的距离，特别地，点到y轴的距离. 知识点3 两条平行直线间的距离 1．两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长． 2．两条平行直线间的距离公式 一般地，两条平行直线间的距离 注意：当两直线都与轴(或轴)垂直时，可利用数形结合来解决： ①两直线都与轴垂直时，则； ②两直线都与轴垂直时则. 重难点一 两点间的距离 ①求两点间的距离 1．已知，，，则三角形的面积为（    ） A．3 B．5 C．7 D．8 2．（多选）直线上与点的距离等于的点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 3．顶点坐标分别为，，，则的形状为 . 4．平面上、两点的距离是 . 5．已知点，P为x轴上的一点，且点P与点A的距离等于13，则点P的坐标为 ． 6．已知点，在y轴上求一点P，使，并求的值. ②距离公式的应用 7．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 8．（多选）已知直线和点，过点A作直线与直线相交于点B，且，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 9．写出一个同时满足下列条件①②的点的坐标 . ①该点的横、纵坐标均为正整数； ②该点到点的距离比到点的距离大4. 10．函数的最小值是 . 11．求函数的最大值． 点，则两点间的距离公式， 重难点二 点到直线的距离 ①求点到直线的距离 12．点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 13．点到直线的距离等于（    ） A． B． C． D． 14．已知直线：，则点到直线距离的最大值为（    ） A． B． C．5 D．10 15．若点到直线l：的距离为d，则d的取值范围是 ． 16．求证：直线l：与点的距离不等于3． 17．已知直线恒过定点，则点到直线的距离为 . ②已知点到直线的距离求参数 18．若点到直线的距离为1，则实数a的值为 ． 19．已知，两点到直线：的距离相等，则（    ） A． B．6 C．或4 D．4或6 20．“点到直线的距离相等”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 21．（多选）已知点到直线的距离为3，则实数等于（    ） A．0 B． C．3 D．2 22．已知直线； (1)证明：直线l过定点； (2)已知点，当点到直线l的距离最大时，求实数m的值． ③已知距离，求直线方程 23．垂直于直线且与点的距离是的直线l的方程是 ． 24．已知直线l过点，若原点到l的距离为2，求直线l的方程． 25．已知直线l过直线和的交点P. (1)若直线l过点，求直线l的斜率； (2)若直线l与直线垂直，求直线l的一般式方程； (3)若原点到直线l的距离为1，求直线l的方程. 26．已知直线和直线. (1)试判断，能否平行，若平行，请求出两平行线之间的距离； (2)若原点到距离最大，求此时的直线的方程. 27．求经过两直线与的交点，且与点的距离为5的直线l的方程. 28．已知两条直线与的交点，求： (1)过点且过原点的直线的方程； (2)在（1）的条件下，若直线与l平行，且点到直线的距离为3，求直线的方程. 应用点到直线的距离公式应注意的三个问题 （1）直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． （2）点在直线上时，点到直线的距离为，公式仍然适用． （3）直线方程中，或公式也成立，但由于直线是特殊直线（与坐标轴垂直），故也可用数形结合求解． 重难点三 平行直线的距离 29．已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（    ） A．4 B． C． D． 30．两平行直线之间的距离为（    ） A． B．3 C． D． 31．（多选）下列直线与直线平行，且与它的距离为的是（    ） A． B． C． D． 32．（多选）若两条平行直线：与：之间的距离是，则的值可能为（    ） A．3 B．9 C．12 D．15 33．经过点，分别作两条平行直线、，如果、之间的距离为3，求这两条直线的方程． 求两条平行直线间距离的两种方法 （1）转化法：将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求． （2）公式法：平行直线间的距离 重难点四 对称问题 ①求点关于直线的对称点 34．点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 35．点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 36．一条光线从点射出，经直线反射后经过点，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 37．已知点与点关于直线l对称，则直线l的方程为 ． 38．已知直线和点 (1)请写出过点且与直线平行的直线； (2)求点关于直线的对称点的坐标. ②直线关于点对称的直线 39．点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 40．已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 41．直线l：关于点对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 42．已知三角形的三个顶点是，，，边BC上的高所在直线为l． (1)求直线l的方程； (2)求直线l关于点B对称的直线的方程． 43．已知点的坐标为，直线的方程为，求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于点的对称直线的方程． ③将军饮马问题 44．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B．5 C． D． 45．已知点在由直线，和所围成的区域内（含边界）运动，点在轴上运动.设点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 46．已知两定点，动点P在直线上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 47．的最小值为（    ） A． B． C． D． 48．已知点，点分别是x轴和直线上的两个动点，则的最小值等于 ． 若点关于直线l的对称点为，则． 一、单选题 1．三角形的三个顶点为，则的中线的长为（    ） A．3 B．5 C．9 D．25 2．已知两条平行直线，间的距离为3，则等于（    ） A． B．48 C．36或48 D．或48 3．点为两条直线和的交点，则点到直线：的距离最大为（    ） A． B． C． D．5 4．设，过定点A的直线和过定点B的直线交于点P．线段AB中点为Q，则的值为（    ） A． B． C． D．与m的取值有关 5．曲线：上到直线距离最短的点坐标为（    ） A． B． C． D． 6．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为．若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．对于，下列说法正确的是（    ） A．可看作点与点的距离 B．可看作点与点的距离 C．可看作点与点的距离 D．可看作点与点的距离 8．已知动点分别在直线与上移动，则线段的中点P到坐标原点O的距离可能为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．已知直线：与直线：且，则实数 ，，之间的距离为 ． 10．直线：与直线：交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则的最大值是 ． 11．已知实数满足，则的最大值为 ． 四、解答题 12．已知直线：，直线过点，且于点. (1)求直线的方程； (2)若直线与轴相交于点，求的面积. 13．已知直线． (1)直线是否过定点，若是，求出此定点；若不是，请说明理由. (2)求点到直线的距离的最大值． 14．直线经过点与点，经过点的直线. (1)求直线的斜率和直线的方程（结果写成一般式）； (2)若点到直线的距离相等，求直线的方程. 15．如图，已知，，，直线：． (1)求直线经过的定点坐标； (2)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.5平面上的距离 一、两点间的距离 ③已知距离，求直线方程 ①求两点间的距离 三、平行直线的距离 ②距离公式的应用 四、对称问题 二、点到直线的距离 ①求点关于直线的对称点 ①求点到直线的距离 ②直线关于点对称的直线 ②已知点到直线的距离求参数 ③将军饮马问题 知识点1 两点间的距离公式 如图，由点，由此得到两点间的距离公式， 特别地，原点与任一点间的距离 知识点2 点到直线的距离公式 点到直线的距离，可以验证，当A=0，或B=0时，上述公式仍然成立． 注意：点到几种特殊直线的距离 ①点到与x轴平行的直线的距离，特别地，点到x轴的距离d=|y0|； ②点到与y轴平行的直线的距离，特别地，点到y轴的距离. 知识点3 两条平行直线间的距离 1．两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长． 2．两条平行直线间的距离公式 一般地，两条平行直线间的距离 注意：当两直线都与轴(或轴)垂直时，可利用数形结合来解决： ①两直线都与轴垂直时，则； ②两直线都与轴垂直时则. 重难点一 两点间的距离 ①求两点间的距离 1．已知，，，则三角形的面积为（    ） A．3 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【详解】，, ， ，所以三角形为直角三角形， ， 故选：A. 2．（多选）直线上与点的距离等于的点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】设所求点的坐标为，则，且， 两式联立解得或， 所以所求点的坐标为或 故选：BC 3．顶点坐标分别为，，，则的形状为 . 【答案】等腰直角三角形 【详解】因为 , 所以 所以为等腰直角三角形. 故答案为：等腰直角三角形. 4．平面上、两点的距离是 . 【答案】 【详解】, 故答案为： 5．已知点，P为x轴上的一点，且点P与点A的距离等于13，则点P的坐标为 ． 【答案】或 【详解】点在轴上，设， 点与点的距离等于13， ，解得或， 点的坐标为或， 故答案为：或． 6．已知点，在y轴上求一点P，使，并求的值. 【答案】 【详解】设所求点为， 则， ， 由得 解得， 所以，所求点， . ②距离公式的应用 7．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由重心坐标公式可得：重心，即. 由，，可知外心在的垂直平分线上， 所以设外心，因为， 所以， 解得，即：， 则， 故欧拉线方程为：， 即：， 故选：A. 8．（多选）已知直线和点，过点A作直线与直线相交于点B，且，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】 因为点B在直线：上，设点， 因为，则，解得或， 则B点坐标为或， 当B点坐标为时，直线的方程为； 当B点坐标为时，直线的方程为，即. 故选：AC. 9．写出一个同时满足下列条件①②的点的坐标 . ①该点的横、纵坐标均为正整数； ②该点到点的距离比到点的距离大4. 【答案】（答案不唯一，或任写一个即可） 【详解】设该点为，则， 即， 即，即 且，化简计算得. 又，，所以该点为或. 故答案为：（答案不唯一，或任写一个即可） 10．函数的最小值是 . 【答案】 【详解】函数， 即为点至和的距离之和， 点关于轴对称的点为， 所以, 由图形易得最小值为. 故答案为: . 11．求函数的最大值． 【答案】 【详解】表示、的距离， 表示、的距离，所以， 因为， 所以. 点，则两点间的距离公式， 重难点二 点到直线的距离 ①求点到直线的距离 12．点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【详解】点到直线的距离. 故选：D 13．点到直线的距离等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线方程化为， 由点到直线的距离公式得． 故选：B. 14．已知直线：，则点到直线距离的最大值为（    ） A． B． C．5 D．10 【答案】B 【详解】直线：，即， 由，得到，所以直线过定点， 当直线垂直于直线时，距离最大，此时最大值为， 故选：B. 15．若点到直线l：的距离为d，则d的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：把直线的方程化为， 由方程组 解得 所以直线恒过定点， 其中直线不包括直线． 又， 且当与直线垂直时，点到直线的距离为， 所以点到直线的距离满足， 故答案为：． 16．求证：直线l：与点的距离不等于3． 【答案】证明见解析 【详解】由点到直线距离公式得 ， 假设， 即， 整理得， 因为， 所以方程无实根， 所以，即直线l与点的距离不等于3． 17．已知直线恒过定点，则点到直线的距离为 . 【答案】 【详解】直线可化为， 令，解得，于是此直线恒过点. 由点到直线的距离公式得到直线的距离. 故答案为： ②已知点到直线的距离求参数 18．若点到直线的距离为1，则实数a的值为 ． 【答案】或 【详解】因为点到直线的距离为1， 所以解得：或 故答案为：或 19．已知，两点到直线：的距离相等，则（    ） A． B．6 C．或4 D．4或6 【答案】D 【详解】点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 因为点到直线的距离和点到直线的距离相等， 所以，所以或. 故选：D. 20．“点到直线的距离相等”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若点到直线的距离相等，则 ，解得或. ∴点到直线的距离相等”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 21．（多选）已知点到直线的距离为3，则实数等于（    ） A．0 B． C．3 D．2 【答案】AB 【详解】依题意，解得或. 故选：AB. 22．已知直线； (1)证明：直线l过定点； (2)已知点，当点到直线l的距离最大时，求实数m的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由直线方程可得，， ， 直线l过恒过定点. （2）由题意可知，点到直线l的距离的最大值为点到定点的距离， 此时直线l与过点与定点的直线垂直， 则过与定点的直线的斜率为，所以， 所以． ③已知距离，求直线方程 23．垂直于直线且与点的距离是的直线l的方程是 ． 【答案】或 【详解】设与直线垂直的直线方程为， 则由点到直线的距离公式知，． 所以，即，得或， 故所求直线l的方程为或. 故答案为：或 24．已知直线l过点，若原点到l的距离为2，求直线l的方程． 【答案】或 【详解】当直线的斜率不存在时，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，直线过点， 直线的方程为，即， 又原点到直线的距离为2， ， ，， ，， 直线的方程为，即， 所以，直线l的方程为或． 25．已知直线l过直线和的交点P. (1)若直线l过点，求直线l的斜率； (2)若直线l与直线垂直，求直线l的一般式方程； (3)若原点到直线l的距离为1，求直线l的方程. 【答案】(1)； (2)； (3)或. 【详解】（1）直线l过直线和的交点P， 由，解得，即点，又直线l过点， 所以直线l的斜率. （2）直线l与直线垂直，则直线l的斜率，方程为， 所以直线l的一般式方程为：. （3）原点到直线l的距离为1，若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为：； 若直线l的斜率存在，设直线l的方程：， 由原点到直线l的距离为1，得，解得，直线l的方程：， 所以直线l的方程为：或. 26．已知直线和直线. (1)试判断，能否平行，若平行，请求出两平行线之间的距离； (2)若原点到距离最大，求此时的直线的方程. 【答案】(1)能平行， (2) 【详解】（1）因为，所以直线的斜率为， 又，若，则斜率必存在，所以且斜率为， 由，得到或， 当时，，，此时与重合，不合题意， 当时，，，此时，所以，能平行， 两平行线之间的距离为. （2）由，得到，所以直线过定点， 当时，原点到的距离最大， 此时直线的斜率为，直线的斜率不存在， 所以此时的直线的方程为. 27．求经过两直线与的交点，且与点的距离为5的直线l的方程. 【答案】或 【详解】联立方程，解得，即直线与直线的交点为， 当直线l的斜率不存在时，直线， 可知点到直线l的距离为5，满足题意； 当直线l的斜率存在时，可设直线，即， 所以点到直线l的距离为，解得， 此时直线l的方程为，即； 综上所述：直线l的方程为或. 28．已知两条直线与的交点，求： (1)过点且过原点的直线的方程； (2)在（1）的条件下，若直线与l平行，且点到直线的距离为3，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由，解得， 即直线过点和原点，所求直线方程为. （2）因为直线与直线平行，可设直线的方程为， 由点到直线的距离公式得，解得， 故所求直线方程为或. 应用点到直线的距离公式应注意的三个问题 （1）直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． （2）点在直线上时，点到直线的距离为，公式仍然适用． （3）直线方程中，或公式也成立，但由于直线是特殊直线（与坐标轴垂直），故也可用数形结合求解． 重难点三 平行直线的距离 29．已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【详解】因为和互相平行， 所以，解得. 直线可以转化为， 由两条平行直线间的距离公式可得. 故选：D 30．两平行直线之间的距离为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【详解】直线可化为， 直线可化为， 所以两平行直线之间的距离为. 故选：A. 31．（多选）下列直线与直线平行，且与它的距离为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】设所求直线的方程为，由题意可得， 解得或， 故所求直线的方程为或. 故选：BC 32．（多选）若两条平行直线：与：之间的距离是，则的值可能为（    ） A．3 B．9 C．12 D．15 【答案】BC 【详解】由题意知，解得，所以：， 又：，即， 所以，解得或， 所以或． 故选：BC． 33．经过点，分别作两条平行直线、，如果、之间的距离为3，求这两条直线的方程． 【答案】：，：或：，： 【详解】解：设：，：， 由题意得． 解得或， 故所求直线为：，：或：，：， 求两条平行直线间距离的两种方法 （1）转化法：将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求． （2）公式法：平行直线间的距离 重难点四 对称问题 ①求点关于直线的对称点 34．点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设所求对称点的坐标为， 则，解得， 故点关于直线对称的点的坐标为. 故选：D. 35．点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意， 在直线中，斜率为， 垂直于直线且过点的直线方程为，即， 设两直线交点为， 由，解得：， ∴, ∴点关于直线的对称点的坐标为， 即， 故选：C. 36．一条光线从点射出，经直线反射后经过点，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，化简得，解得， 故反射光线过点， 则反射光线所在直线的方程为. 故选：B. 37．已知点与点关于直线l对称，则直线l的方程为 ． 【答案】 【详解】设直线l的的斜率为k， 则， 直线的中点坐标为， 所以由点斜式写出直线方程为，即. 故答案为：. 38．已知直线和点 (1)请写出过点且与直线平行的直线； (2)求点关于直线的对称点的坐标. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设过点且与直线平行的直线为， 将代入，可得，所以直线方程为. （2）设，由题意可得，解得， 所以点的坐标为. ②直线关于点对称的直线 39．点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 【答案】C 【详解】由题设关于对称的点为，若该点必在上， ∴，解得，即一定在直线上. 故选：C. 40．已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 【答案】A 【详解】由于直线与直线关于点对称， 所以两直线平行，故，则， 由于点在直线上，关于点的对称点为， 故在上，代入可得，故， 故选：A 41．直线l：关于点对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为不在直线l：上， 所以可设直线l：关于点对称的直线方程为， 则，解得或（舍去）， 故所求直线方程为：. 故选：A 42．已知三角形的三个顶点是，，，边BC上的高所在直线为l． (1)求直线l的方程； (2)求直线l关于点B对称的直线的方程． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）因为点，，所以， 因为，所以，且直线l经过点， 所以直线l的方程为，即． （2）设直线的方程为， 由点到直线l和直线的距离相等， 所以，解得， 所以直线的方程为． 43．已知点的坐标为，直线的方程为，求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于点的对称直线的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，由题意可得，解得， 所以点的坐标为. （2）在直线上任取一点，设关于点的对称点为， 则，解得， 由于在直线上，则，即， 故直线关于点的对称直线的方程为. ③将军饮马问题 44．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得， ，又点 故“将军饮马”的最短总路程为． 故选：A．      45．已知点在由直线，和所围成的区域内（含边界）运动，点在轴上运动.设点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由直线，和围成,如图所示， 点在内（含边界）运动，   在轴上运动，作点关于轴的对称点，则， 的最小值为到直线的距离，即. 故选：B. 46．已知两定点，动点P在直线上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，显然点在直线的同侧，设点关于直线的对称点为点， 则，解得，，即点， 由对称性知， 当且仅当点为线段与直线的交点时取等号， 所以的最小值是. 故选：C 47．的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为 表示直线上一点到两点的距离之和． 设点关于直线的对称点为，所以，解得， 即，所以， 即的最小值为. 故选：C.    48．已知点，点分别是x轴和直线上的两个动点，则的最小值等于 ． 【答案】 【详解】如图，作点关于轴的对称点，则， 此时最小值即为到直线的距离，即， 所以的最小值为， 故答案为：. 若点关于直线l的对称点为，则． 一、单选题 1．三角形的三个顶点为，则的中线的长为（    ） A．3 B．5 C．9 D．25 【答案】B 【详解】设边的中点为D，则D点坐标为，即， 故的中线的长为， 故选：B 2．已知两条平行直线，间的距离为3，则等于（    ） A． B．48 C．36或48 D．或48 【答案】D 【详解】将改写为， 因为两条直线平行，所以． 由，解得或， 所以或48． 故选：D. 3．点为两条直线和的交点，则点到直线：的距离最大为（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【详解】由得，即， 直线：，所以直线过定点， 所以当直线与直线垂直时，此时点到直线的距离最大， 且最大值为. 故选：B. 4．设，过定点A的直线和过定点B的直线交于点P．线段AB中点为Q，则的值为（    ） A． B． C． D．与m的取值有关 【答案】A 【详解】由于经过的定点为，所以， 直线变形为，所以经过定点，故， 且两直线垂直，因此为直角三角形，所以， 故选：A      5．曲线：上到直线距离最短的点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设曲线：上的点的坐标为，， 则点到直线的距离， 当且仅当，即时，等号成立，此时点的坐标为. 故选：B. 6．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为．若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，设点关于直线的对称点为，与直线交于，且设饮马处为，    由轴对称性质得，，， 解得，，故， 即与重合时，将军饮马的总路程最短， 则最短路程为. 故选：C 二、多选题 7．对于，下列说法正确的是（    ） A．可看作点与点的距离 B．可看作点与点的距离 C．可看作点与点的距离 D．可看作点与点的距离 【答案】BD 【详解】由题意，可得， 可看作点与点的距离，可看作点与点的距离，可看作点与点的距离， 故选：BD 8．已知动点分别在直线与上移动，则线段的中点P到坐标原点O的距离可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】令、分别在直线：与：上， 设AB的中点M的坐标为，则有： ，两式相加得：， 所以，则原点到该直线的距离，大于该值的都有可能. 故选：CD 三、填空题 9．已知直线：与直线：且，则实数 ，，之间的距离为 ． 【答案】 6 【详解】因为，∴，解得：， ∴：，即，∴与之间的距离． 故答案为：6，. 10．直线：与直线：交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则的最大值是 ． 【答案】 【详解】因为：与直线：的交点坐标为， 所以， 若最大，则最小，则最小， 而，当且仅当时取等，此时， 所以的最大值是． 故答案为： 11．已知实数满足，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】由题可知，表示的是 直线0上一点到定点的距离之差． 如图，设点关于直线对称的点为， 则，解得， 当三点共线时，最大， 即最大， 所以的最大值为． 故答案为：． 四、解答题 12．已知直线：，直线过点，且于点. (1)求直线的方程； (2)若直线与轴相交于点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）直线：的斜率为， 因为，所以直线l的斜率为2，又直线l过点， 所以直线l的方程为，即． （2）由，解得， 可得点H的坐标为， 直线：，令，则，所以， ，， ，则，. 13．已知直线． (1)直线是否过定点，若是，求出此定点；若不是，请说明理由. (2)求点到直线的距离的最大值． 【答案】(1)存在，定点为 (2) 【详解】（1）直线， ，令，即直线恒过. （2）当时，点到直线的距离的最大， . 14．直线经过点与点，经过点的直线. (1)求直线的斜率和直线的方程（结果写成一般式）； (2)若点到直线的距离相等，求直线的方程. 【答案】(1)3； (2)或 【详解】（1）分析知，斜率存在，则其斜率，其方程为， 即； （2）当的斜率为零或者不存在时，点A，B到直线的距离不相等，故的斜率存在且不为零，设为，则的方程为，即， 又因为点A，B到直线的距离相等，所以， 解得，解得或， 所以直线的方程为或. 15．如图，已知，，，直线：． (1)求直线经过的定点坐标； (2)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由直线：，即， 令，解得， 故直线恒过定点； （2）设关于的对称点，则， 关于的对称点， 由直线的方程为，即， 所以，解得， 所以， 由题意得、、、四点共线，， 由对称性得， 所以入射光线的直线方程为， 即． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$