专题5.2 利用导数研究函数单调性（七个重难点突破）-2024-2025学年高二数学重难点突破及易错点分析（苏教版2019选择性必修第一册）

专题5.2 利用导数研究函数单调性 一、利用导数求不含参函数的单调区间 五、已知函数的单调性求参数 二、含参数的函数的单调性 六、函数图象与导数图象的应用 三、比较大小 七、证明不等式 四、解抽象不等式 知识点1函数的单调性 函数单调性的判定方法： 设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数． 注意： ①利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号； ②在某个区间内，()是函数在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.例如，函数在定义域上是增函数，但. 知识点2求可导函数单调区间的一般步骤 ①确定函数的定义域； ②求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数； ③把函数的间断点的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间； ④确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性. 知识点3函数在区间上单调与求函数单调区间 单调递增；单调递增； 单调递减；单调递减. 重难点一 利用导数求函数的单调区间（不含参） 1．若函数，则函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数，定义域为， 由，令，解得， 则函数的单调递减区间为. 故选：C. 2．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，当，得， 所以的单调递减区间为． 故选：B 3．已知，函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，令，解得， 当时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上的单调递增区间为， 故选：C． 4．已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1) (2)递减区间为和，递增区间为 【详解】（1）解：由函数，可得， 所以，又， 所以曲线在处的切线方程为，即． （2）解：由函数，可得的定义域为， 且， 令，记得或或； 令，得， 所以函数在区间和内单调递减，在区间上单调递增． 5．设函数，其中.曲线在点处的切线方程为. (1)求，的值； (2)求的单调区间. 【答案】(1) (2)递增区间为，递减区间为. 【详解】（1）依题意，，又，则，解得， 所以. （2）由（1）知，的定义域为R，， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以函数的递增区间为，递减区间为. 重难点二 含参数的函数的单调性 6．已知函数，讨论的单调性. 【答案】答案见解析 【详解】函数的定义域为， 当时，，则在上单调递增； 当时，由，得， 由，得；由，得， 于是有在上单调递增，在上单调递减． 综上所述，当时，在上单调递增； 当0时，在上单调递增，在上单调递减． 7．已知函数.讨论的单调性； 【答案】答案见解析 【详解】∵，∴， ①当时，恒成立，此时在上单调递增； ②当时，令，解得， 当时，，在区间上单调递减， 当时，，在区间上单调递增. 综上所述，当时，在上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 8．已知函数.讨论函数的单调性； 【答案】答案见解析 【详解】函数的定义域是， ， ①若，则，在上单调递增； ②若，令，解得， 令，解得， 故在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增. 9．已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，讨论的单调性． 【答案】(1) (2) 答案见解析 【详解】（1）当时，，则，， 又，在处的切线方程为：，即 （2）由题意得：定义域为，， 当时，，在上单调递增. 当时，若和，则. 若，则；在，上单调递增，在上单调递减. 10．已知函数．时，讨论的单调性． 【答案】答案见解析. 【详解】因为，所以， 所以， 所以 令可得，或， 若时， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 若， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 若，，且当且仅当时取等号， 所以在上单调递增， 综上，当时，函数的递增区间为，，递减区间为， 当，函数的递增区间为，，递减区间为， 若时，函数的单调递增区间为，没有递减区间. 重难点三 比较大小 11．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，，， 设，，则， 故当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因为，，，且， 可得，，所以. 故选：D. 12．已知函数，，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数，得当时，，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在上的最大值为. 当时，，，所以在上单调递减. 又，，， 所以，所以. 故选：A. 13．已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 当时，取得极大值，则，， 故． 故选：D 14．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，得，． 令，，则， 所以在上单调递增， 所以，即， 所以，则，故排除A，B． 因为，，， 所以，所以， 所以． 故选：D． 15．已知，，，则它们的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由幂函数的性质可知在区间上单调递增， 由于，故，即， 设，可得， 令，解得， 当时，单调递增，可得， 即，即， 两边取为底的指数，可得，即，所以. 故选：A. 重难点四 解抽象不等式 16．（多选）若函数，则满足的的取值范围可能为（　　） A．    B． C． D． 【答案】BD 【详解】∵，定义域为， ∴， ∴为上的奇函数. ∵，当且仅当，即时，等号成立. ∵时，， ∴恒成立，即为上的增函数. 由得， ∴，解得或，即的取值范围为. 故选：BD. 17．已知定义在上的函数的导函数，且，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以函数在上单调递增. 又， 所以解得. 故选：C 18．设是函数的导数，，，当时，，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则， 因为时，，故当时，， 故在上单调递增，且． 因为，故， 即，所以， 故关于直线对称，故在上单调递减，且， 当时，，则； 当时，，则； 所以使得成立的的取值范围是. 故选：C． 19．已知定义在上的可导函数，当时，恒成立，且对任意的实数，都有，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，当时，，所以在单调递增， ，所以为偶函数， 所以，两边平方解得. 故选：C 20．已知函数，若，则实数x的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为 ， 所以 ，即在上函数 单调递增， 由 可得， ，解得 ，即 . 故选：D. 重难点五 函数图象与导数图象的应用 21．若函数的单调递减区间恰为，则实数a的值为 ． 【答案】 【详解】由题意得，， ∵函数的单调递减区间恰为， 即的解集为， ∴所以和4是的两根， ∴． 故答案为：−4. 22．若函数在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得， 又在上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 即在上恒成立，只需求出的最小值即可， 又在单调递减，所以，则， 所以，故. 故选：D 23．已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意得的定义域为. 在上恒成立，即在上恒成立. 设，则，. 当时，， 所以在上单调递增，所以，所以， 即实数a的取值范围是. 故答案为： 24．已知满足．若为增函数，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将中的由来替代，得到， 联立， 消去两个式子中的得到． 令，， 则，解得． 又（当且仅当时，等号成立）， . 故选：D． 25．已知函数在存在单调递减区间，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于，故. 当时，对，由于，故. 故，从而在上递减，一定满足条件. 当时，对任意都有. 故，从而在上递增，不满足条件. 当时，对，由于，故. 故，从而在上递减，一定满足条件. 综上，的取值范围是. 故选：A. 重难点六 已知函数的单调性求参数的取值范围 26．已知函数，的导函数图象如图，那么，的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】从导函数的图象可知两个函数在处斜率相同，可以排除B、C. 由于导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，明显导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢慢变小，排除A. 故选：D 27．已知的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中，是的大致图象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，， ∴，故在区间上为减函数，排除AB； 当时，，∴， 故在区间上为减函数，排除D. 故选：C. 28．（多选）设 是函数 的导函数，将 和 的图象画在同一个直角坐标系中，正确的是（  ） A．   B．   C．   D．   【答案】ABC 【详解】若单调递增，则，若单调递减，则， 对于A， 若表示图像，恒成立，表示图像，单调递增， 符合导函数符号与原函数单调性的关系， A正确； 对于B，若表示图像，恒成立，表示图像，单调递增， 符合导函数符号与原函数单调性的关系，B正确； 对于C，若表示图像，恒成立，表示图像，单调递增， 符合导函数符号与原函数单调性的关系，C正确； 对于D，若表示图像，恒成立，表示图像，有增有减， 不符合导函数符号与原函数单调性的关系， 若表示图像，恒成立，表示图像， 有增有减， 不符合导函数符号与原函数单调性的关系，D错误. 故选：ABC 29．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【详解】由的图象可知，当时，函数单调递增，则，故排除C、D； 当时，先递减、再递增最后递减，所以所对应的导数值应该先小于0，再大于0，最后小于0，故排除B． 故选:A． 30．已知函数与其导函数的图象的一部分如图所示，则关于函数的单调性说法正确的是（    ） A．在单调递减 B．在单调递减 C．在单调递减 D．在单调递减 【答案】B 【详解】从图象可以看出过点的为的图象，过点的为导函数的图象， ， 当时，，故，在上单调递减， 当时，，故，在上单调递增， ACD错误，B正确， 故选：B 重难点七 证明不等式 31．已知. (1)求并写出的表达式； (2)证明：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【详解】（1）由有，取得到，解得. 将代入可得. （2）设，则，故当时，当时. 所以在上递减，在上递增，故. 从而. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于使用导数判断单调性，属于常规题. 32．已知函数在点处的切线方程为． (1)求函数的解析式； (2)证明：在上，恒有． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1），因为函数在点处的切线方程为， 所以，得，所以函数的解析式为． （2），记，则． 因为，所以，所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增，所以． 33．求证： 【答案】证明见解析 【详解】证明：不妨设，则若证，只需证 即证： 设 则 所以函数在上单调递增 因为，所以， 即 所以原不等式成立 【点睛】本题属于两元化一元问题，采用淡化一元的方法将问题转为关于a的函数是解题关键. 34．已知，证明： 【答案】证明见解析 【详解】令， 则，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，等号仅当时成立， 即， 从而，所以. 综上， 35．已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)当时，证明：对任意的，． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）由题可知函数的定义域为 ， ， 即， (i)若， 则在定义域上恒成立， 此时函数在上单调递增； (ii) 若， 令，即，解得, 令，即，解得, 所以在上单调递减，上单调递增. 综上，时，在上单调递增； 时，在上单调递减，上单调递增. （2）当时，， 要证明，只用证明， 令，， 令，即，可得方程有唯一解设为，且， 所以， 当变化时，与的变化情况如下， 单调递减 单调递增 所以， 因为，因为，所以不取等号， 即，即恒成立， 所以，恒成立， 得证. 一、单选题 1．设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是（    ）    A．   B．   C．     D．   【答案】C 【详解】由的图象知，当时，为增函数，当时，为减函数，当时，，为增函数. 故选：C 2．函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意， 在中，， 当时，解得（舍）或， 当即时，函数单调递减， ∴的单调递减区间为. 故选：B. 3．“在上单调递增”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】函数的定义域为，求导得， 由，得或，即函数在上单调递增， 而在上单调递增，于是，显然真包含于， 所以“在上单调递增”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4．设，若函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数，求导得， 依题意，，，而恒成立，则， 所以的取值范围为. 故选：C 5．设，，，则的大小关系为：（     ）. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，求导得，，， 当时，，函数在单调递减， 当时，，函数在单调递增， 所以，所以，当且仅当，时等号成立，所以， 所以，设，则， 记，则，记， 则，所以在上单调递增， 故时，，即， 所以在上单调递增，故时，， 即，所以在上单调递增， 故时，，即，所以， 又，所以，即，所以． 故选：A 6．设a，b都为正数，为自然对数的底数，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知，即. 设，则，. ，，. 当时，， 在上单调递增，所以. 故选：B. 二、多选题 7．下列函数在定义域上为增函数的有（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】A，函数的定义域为，而， 所以函数在定义域上不是增函数； B，函数的定义域为，且，当时， 即函数的单调递减区间为，故函数在定义域上不是增函数； C，函数的定义域为且不恒为零， 所以函数在上为增函数； D，函数的定义域为，， 当且仅当时，等号成立且不恒为零， 所以函数在上为增函数． 故选：CD 8．函数满足，则正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】依题意，令函数，求导得，函数在R上递减， 对于A，，，则，A正确； 对于B，，，则，B错误； 对于C，，，则，C正确； 对于D，，，则，D错误. 故选：AC 三、填空题 9．函数的单调递增区间是 . 【答案】 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 令，解得， 故的单调递增区间是. 故答案为：. 10．已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题得定义域为R，， 所以时，；时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又函数在区间上不单调， 所以，故m的取值范围是. 故答案为：. 11．若对任意的，且，，则m的最小值是 ． 【答案】 【详解】由，得， 令，则在上单调递减． 当时，；当时，， 的单调递减区间为， ，∴m的最小值为． 故答案为： 四、解答题 12．设函数. (1)求曲线在点切线方程； (2)求函数的单调区间; 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）由题意知， 所以，， 故所求切线方程为，化简得. （2）由（1）知， 当，时，，单调递增， 时，，单调递减； 当，时，，单调递减，时，，单调递增， 所以当时，的单调递增区间是，单调递减区间是， 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是. 13．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）因为，，所以. 若，则恒成立， 此时的单调递增区间为，无单调递减区间. 若，则当时，，当时，， 此时的单调递增区间为，单调递减区间为. 综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）方法一：当时，，不符合恒成立. 当时，由（1）可知，. 因为恒成立，所以，解得，故a的取值范围为. 方法二：恒成立等价于恒成立. 令，则. 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 则，故a的取值范围为. 14．已知函数． (1)若的单调减区间是，求实数的值； (2)若在上为严格减函数，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由， 得， 因为的单调减区间是， 所以的解集为， 所以方程的两个根为0和4，且， 所以，解得； （2）因为在上为严格减函数， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 因为在上单调递减， 所以，所以， 因为，所以， 即实数的取值范围为. 15．已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)当且时，判断与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)单调递增区间为；单调递减区间为和 (3)答案见解析 【详解】（1）当时，，所以． 所以． 所以曲线在点处的切线方程为． （2）的定义域为，且． 令，得． 与的情况如下： - - 0 + 所以的单调递增区间为；单调递减区间为和． （3）当且时，，证明如下： 令，则． 设，则． 所以当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 从而，即． 所以的单调递增区间为和． 当时，，即； 当时，，即． 综上，当且时，． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.2 利用导数研究函数单调性 一、利用导数求不含参函数的单调区间 五、已知函数的单调性求参数 二、含参数的函数的单调性 六、函数图象与导数图象的应用 三、比较大小 七、证明不等式 四、解抽象不等式 知识点1函数的单调性 函数单调性的判定方法： 设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数． 注意： ①利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号； ②在某个区间内，()是函数在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.例如，函数在定义域上是增函数，但. 知识点2求可导函数单调区间的一般步骤 ①确定函数的定义域； ②求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数； ③把函数的间断点的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间； ④确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性. 知识点3函数在区间上单调与求函数单调区间 单调递增；单调递增； 单调递减；单调递减. 重难点一 利用导数求函数的单调区间（不含参） 1．若函数，则函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 2．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 3．已知，函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 4．已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性． 5．设函数，其中.曲线在点处的切线方程为. (1)求，的值； (2)求的单调区间. 重难点二 含参数的函数的单调性 6．已知函数，讨论的单调性. 7．已知函数.讨论的单调性； 8．已知函数.讨论函数的单调性； 9．已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，讨论的单调性． 10．已知函数．时，讨论的单调性． 重难点三 比较大小 11．设，，，则（    ） A． B． C． D． 12．已知函数，，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 13．已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 14．设，，，则（    ） A． B． C． D． 15．已知，，，则它们的大小关系是（    ） A． B． C． D． 重难点四 解抽象不等式 16．（多选）若函数，则满足的的取值范围可能为（　　） A．    B． C． D． 17．已知定义在上的函数的导函数，且，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 18．设是函数的导数，，，当时，，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．已知定义在上的可导函数，当时，恒成立，且对任意的实数，都有，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．已知函数，若，则实数x的取值范围是( ) A． B． C． D． 重难点五 函数图象与导数图象的应用 21．若函数的单调递减区间恰为，则实数a的值为 ． 22．若函数在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 23．已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是 . 24．已知满足．若为增函数，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 25．已知函数在存在单调递减区间，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 重难点六 已知函数的单调性求参数的取值范围 26．已知函数，的导函数图象如图，那么，的图象可能是（   ） A． B． C． D． 27．已知的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中，是的大致图象的是（   ） A． B． C． D． 28．（多选）设 是函数 的导函数，将 和 的图象画在同一个直角坐标系中，正确的是（  ） A．   B．   C．   D．   29．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（   ）    A．   B．   C．   D．   30．已知函数与其导函数的图象的一部分如图所示，则关于函数的单调性说法正确的是（    ） A．在单调递减 B．在单调递减 C．在单调递减 D．在单调递减 重难点七 证明不等式 31．已知. (1)求并写出的表达式； (2)证明：. 32．已知函数在点处的切线方程为． (1)求函数的解析式； (2)证明：在上，恒有． 33．求证： 34．已知，证明： 35．已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)当时，证明：对任意的，． 一、单选题 1．设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是（    ）    A．   B．   C．     D．   2．函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 3．“在上单调递增”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．设，若函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．设，，，则的大小关系为：（     ）. A． B． C． D． 6．设a，b都为正数，为自然对数的底数，若，则（ ） A． B． C． D． 二、多选题 7．下列函数在定义域上为增函数的有（   ） A． B． C． D． 8．函数满足，则正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．函数的单调递增区间是 . 10．已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是 ． 11．若对任意的，且，，则m的最小值是 ． 四、解答题 12．设函数. (1)求曲线在点切线方程； (2)求函数的单调区间; 13．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围. 14．已知函数． (1)若的单调减区间是，求实数的值； (2)若在上为严格减函数，求实数的取值范围． 15．已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)当且时，判断与的大小，并说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$