精品解析：四川省高县中学校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷

高2022级数学半期考试试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知点，则直线的斜率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两点的斜率公式计算即可. 【详解】由题意可知直线的斜率为. 故选：A 2. 方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可知解得. 考点：椭圆的标准方程及几何性质. 3. 直线和直线平行，则实数 的值为（ ） A. 3 B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】 由a•（a+2）+1＝0，解得a．经过验证即可得出． 【详解】由a•（a+2）+1＝0，即a2+2a+1＝0，解得a＝﹣1． 经过验证成立． ∴a＝﹣1． 故选：B． 【点睛】本题考查了两条直线平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 4. 直线被圆截得的弦长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：因为圆心为（3,0），半径为3，那么利用圆心到直线的距离公式 ，利用勾股定理可知弦长为． 选C 5. 已知圆关于直线对称的圆为C，则圆C的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将圆改写成标准方程形式确定圆心、半径，根据对称关系可得圆圆心、半径为，写出圆C的方程. 【详解】由题设，，则圆心为，半径为， 由圆关于直线对称的圆为C，则且半径为， ∴圆C的方程为. 故选：A 6. 齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出基本事件总数，再求出田忌的马获胜包含的基本事件种数，由此能求出田忌的马获胜的概率. 【详解】分别用A，B，C表示齐王的上、中、下等马，用a，b，c表示田忌的上、中、下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛有Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc共9场比赛，其中田忌马获胜的有Ba，Ca，Cb共3场比赛，所以田忌马获胜的概率为. 故选：A. 【点睛】本题考查概率的求法，考查等可能事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题. 7. 苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔米需用一根支柱支撑，则与相距米的支柱的高度是（ ）米.（注意：取） A. B. C. D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴、过点且平行于的直线为轴建立平面直角坐标系，求得点的坐标，设所求圆的半径为，由勾股定理可列等式求得的值，进而可求得圆的方程，然后将代入圆的方程，求出点的纵坐标，可计算出的长，即可得出结论. 【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴、过点且平行于的直线为轴建立平面直角坐标系， 由题意可知，点的坐标为，设圆拱桥弧所在圆的半径为， ，由勾股定理可得，即，解得， 所以，圆心坐标为，则圆的方程为， 将代入圆的方程得， ，解得， （米）. 故选：A. 【点睛】本题考查圆的方程的应用，求得圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题. 8. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比（，），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，已知动点的M与定点和定点的距离之比为2，其方程为，若点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，应用两点距离公式列方程求M轨迹，结合已知圆的方程求参数m，进而得，再由，数形结合求目标式最小值. 【详解】由题设，令，则， 所以，则，即， 又，即在圆外，，即在圆外， 由，当且仅当共线上等号成立， 所以的最小值为. 故选：C 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 投掷一枚均匀的骰子，记事件A：“朝上的点数大于3”，B：“朝上的点数为2或4”，则下列说法错误的是（ ） A. 事件A与事件B互斥 B. 事件A与事件B对立 C. 事件A与事件B相互独立 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据互斥事件以及对立事件的概念结合事件A与事件B的基本事件可判断选项AB；根据独立事件的概率公式可判断选项C；求出事件的概率可判断选项D. 【详解】事件A：“朝上的点数大于3”，B：“朝上的点数为2或4”， 这两个事件都包含有事件：“朝上的点数为4”，故事件A与事件B不互斥，也不对立，选项A，B错误； 投掷一枚均匀的骰子，共有基本事件6个， 事件A：“朝上的点数大于3”包含的基本事件个数有3个，其概率为， 事件B：“朝上的点数为2或4”，包含的基本事件个数有2个，其概率为， 事件AB包含的基本事件个数有1个，其概率为， 由于，故事件A与事件B相互独立，C选项正确； 对于D，事件包含的基本事件个数有朝上的点数为共4个，故，D选项错误. 故选：ABD. 10. 已知直线的一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是（ ） A. 的倾斜角等于 B. 在轴上的截距等于 C. 与直线垂直 D. 上的点与原点的距离最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】由方向向量求出直线斜率，即可求出直线方程， 由倾斜角与斜率的关系可判断A；令求出轴上的截距，可判断B； 由斜率与垂直关系可判断C；上的点与原点的距离最小值为原点到直线l的距离，求出点线距离即可判断D 【详解】直线的方向向量为，则斜率，故直线为，即， 对A， ∵，，故，A对； 对B，由得，B错； 对C，直线斜率，由得与直线垂直，C对； 对D，上的点与原点的距离最小值为原点到直线l的距离，即，D错； 故选：AC 11. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，则下列正确的是（ ） A. B. C. 的长为 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】AB选项，利用空间向量基本定理进行推导即可；C选项，在B选项的基础上，平方后计算出，从而求出；D选项，利用向量夹角的余弦公式进行计算. 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A选项，，A错误， 对于B选项，，B正确： 对于C选项，，则， 则，C错误： 对于，则，D正确. 故选：BD. 12. 下列结论正确的是（ ） A. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为； B. 圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 C. 已知，O为坐标原点，点是圆外一点，且直线m的方程是，则直线m与圆E相交； D. 已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为； 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，考虑截距为0时，求出直线l的方程为，A错误； B选项，得到圆心到直线的距离刚好为圆半径的一半，故可判断B正确； C选项，首先根据点在圆外得到不等式，再使用点到直线距离公式得到圆心到直线距离小于半径，从而得到C选项正确； D选项，求出直线过的定点，画出图象，结合定点与端点处连线的斜率，求出实数k的取值范围. 【详解】A：当截距为0时，设直线l的方程为，代入， 解得：，则直线l的方程为， 当截距不为0时，设直线l的方程为， 代入，解得：，此时直线l的方程为， 综上：直线l的方程为或.故A错误； B：圆的圆心为，半径为2， 圆心到直线的距离为，刚好为半径的一半， 所以圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1，故B正确； C：已知，O为坐标原点，点是圆外一点，所以， 直线m的方程是，则圆心到直线m的距离为，所以直线m与圆E相交，故C正确； D：直线整理为，即过定点， 如图所示， ，， 要想直线与以，为端点的线段相交， 则实数k的取值范围为或，故D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 若为椭圆上一点，分别为左、右焦点，若，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据椭圆的定义求得正确答案. 【详解】因为，所以． 故答案为：5 14. 已知圆与圆，若圆与圆相外切，则实数________. 【答案】2或－5 【解析】 【分析】由两圆外切知连心线的长为两圆的半径之和，利用两点间距离公式即可求得 【详解】圆，圆， 则，，，. 当圆与圆相外切时，显然有，即， 整理得，解得或. 故答案为：2或－5 15. 已知点，点为圆上任意一点，则连线的中点轨迹方程是___________． 【答案】 【解析】 【分析】首先设中点坐标为，再设出相关点的坐标，代入圆的方程，即可求解. 【详解】设连线的中点为，则， 则，即. 故答案为： 16. 若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线所过定点，再将曲线转化为，可知其为半圆，结合图像，即可求出的取值范围. 【详解】由题意得，直线的方程可化为，所以直线恒过定点， 又曲线可化为，其表示以为圆心，半径为2的圆的上半部分，如图. 当与该曲线相切时，点到直线的距离，解得， 设，则， 由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，须得，即. 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）焦点坐标为和，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为； （2）焦点坐标为和，且椭圆经过点. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设椭圆的标准方程为，根据椭圆的定义求出的值，进而可求得的值，由此可得出椭圆的标准方程； （2）设椭圆的标准方程为，根据椭圆的定义求出的值，进而可求得的值，由此可得出椭圆的标准方程. 【小问1详解】 解：因为椭圆的焦点坐标为和，设椭圆的标准方程为， 因为椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为，则，可得， 所以，， 因此，椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 解：因为焦点坐标为和，设椭圆的标准方程为， 因为椭圆经过点，由椭圆定义可得， 所以，，则， 因此，椭圆的标准方程为. 18. 已知的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为． （1）求直线的方程； （2）若边上的中线所在的直线方程为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程； （2）设点，求出线段的中点的坐标，将点的坐标代入直线的方程，求出的值，可得出点的坐标，再将点的坐标代入直线的方程，即可求出实数的值. 【小问1详解】 解：由条件知边上的高所在的直线的斜率为，所以直线的斜率为， 又因为，所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 解：因为点在轴上．所以设，则线段的中点为， 点在直线上，所以，得，即， 又点在直线上，所以，解得． 19. 在信道内传输0， 1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为， 收到1的概率为. （1）重复发送信号1三次，计算至少收到两次1的概率； （2）依次发送1，1， 0， 判断以下两个事件：①事件A：至少收到一个正确信号； ②事件B：至少收到两个0，是否互相独立，并给出证明. 【答案】（1）； （2）事件A与事件B不互相独立，证明如下： 若依次发送1，1， 0， 则三次都没收到正确信号的概率为， 故至少收到一个正确信号的概率为； 若依次发送1，1，0，“至少收到两个0”的可能情况为： (0，0，0)，(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)，根据事件的相互独立性， 故， 若依次发送1，1，0，“至少收到两个0且至少收到一个正确信号”的可能情况为： (0，0，0)，(0，1，0)，(1，0，0)，根据事件的相互独立性， 故， 因为，所以事件A与事件B不互相独立. 【解析】 【分析】（1）利用事件的相互独立求“至少收到两次1”的概率； （2）利用事件的相互独立性计算，，，利用独立事件的概率公式验证. 【小问1详解】 重复发送信号1三次，“至少收到两次1”的可能情况为： (1，1，1)，(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)， 因为信号的传输相互独立， 故“至少收到两次1”的概率为：. 【小问2详解】 事件A与事件B不互相独立，证明略. 20. 如图，直棱柱中，分别是的中点，． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1） 连接交于，连接，显然为中点，又是的中点， 所以，面，面，故平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接，易得，由线面平行的判定证结论； （2）构建空间直角坐标，应用向量法求二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，则，由为直棱柱，过作平行于侧棱， 所以可构建如下图示的空间直角坐标系，令，且， 故直棱柱上下底面为等腰直角三角形，且，则， 所以，则， 若、分别是面、面的一个法向量， ，令，故， ，令，故， 综上，，故锐二面角的余弦值为. 21. ①圆心在直线：上，圆过点；②圆过直线：和圆的交点：在①②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中进行求解． 已知圆经过点，且________． （1）求圆的标准方程； （2）已知点，求过点的圆的切线方程． 【答案】（1）选①：；选②： （2）和 【解析】 【分析】（1）利用圆的定义、直线方程、直线与圆的关系、圆与圆的关系运算即可得解. （2）利用直线与圆的关系、直线方程、点到直线的距离公式运算即可得解. 【小问1详解】 解：选①：设圆心，则由题意： ∵圆心在直线：上， ∴………………………（ⅰ） ∵圆过点和， ∴，即， 化简得：…………………（ⅱ） 联立（ⅰ）（ⅱ）解得：， ∴圆心，半径为， ∴圆的标准方程为. 选②：如下图：设直线：和圆的交点为， 连接，则由直线和圆的位置关系、圆和圆的位置关系知直线， 垂足为，连接、. 由题意，圆的圆心为，半径. ∵直线方程为，， ∴直线方程为，故设圆心， 由图知，则， 由解得直线和直线交点， 则， 圆半径， ，， 由得： ，解得：. ∴圆心，半径. ∴圆的标准方程为. 【小问2详解】 解：由（1）知，选①或选②，圆的标准方程均为， 如下图，点在圆外，则 因为圆的圆心到轴距离， 所以，是圆过点的一条切线. 设圆过点的另一条切线斜率为，则其方程为： ，即. 由直线与圆相切知圆心到直线距离为半径，则有 ，解得：， ∴切线方程为，即. 综上知，过点的圆的切线方程为和. 22. 如图1，已知是直角梯形，，，，C、D分别为BF、AE的中点，，，将直角梯形ABFE沿CD翻折，使得二面角的大小为60°，如图2所示，设N为BC的中点. （1）证明：； （2）若M为AE上一点，且，则当为何值时，直线BM与平面ADE所成角的正弦值为. 【答案】（1） ∵由图1得：，，且， ∴在图2中平面，是二面角的平面角，则， ∴是正三角形，且N是BC的中点，， 又平面BCF，平面BCF，可得， 而，平面ABCD. ∴平面ABCD， 而平面，∴. （2）或. 【解析】 【分析】（1）由题可得是二面角的平面角，利用其可说明平面，即可证明结论.（2）如图建立空间直角坐标系，设，由，可得，后表示出平面ADE的法向量，利用直线BM与平面ADE所成角的正弦值为得到关于的方程，即可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面ABCD，过点N做AB平行线NP，所以以点N为原点，NP，NB、NF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，设 ∴，，,. ∵，∴. ∴，∴， 设平面的法向量为 则，取， 设直线BM与平面ADE所成角为， ∴， ∴，∴或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2022级数学半期考试试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知点，则直线的斜率是（ ） A. B. C. D. 2. 方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 3. 直线和直线平行，则实数 的值为（ ） A. 3 B. C. D. 或 4. 直线被圆截得的弦长为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆关于直线对称的圆为C，则圆C的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔米需用一根支柱支撑，则与相距米的支柱的高度是（ ）米.（注意：取） A. B. C. D. 以上都不对 8. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比（，），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，已知动点的M与定点和定点的距离之比为2，其方程为，若点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 投掷一枚均匀的骰子，记事件A：“朝上的点数大于3”，B：“朝上的点数为2或4”，则下列说法错误的是（ ） A. 事件A与事件B互斥 B. 事件A与事件B对立 C. 事件A与事件B相互独立 D. 10. 已知直线的一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是（ ） A. 的倾斜角等于 B. 在轴上的截距等于 C. 与直线垂直 D. 上的点与原点的距离最小值为 11. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，则下列正确的是（ ） A. B. C. 的长为 D. 12. 下列结论正确的是（ ） A. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为； B. 圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 C. 已知，O为坐标原点，点是圆外一点，且直线m的方程是，则直线m与圆E相交； D. 已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为； 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 若为椭圆上一点，分别为左、右焦点，若，则______． 14. 已知圆与圆，若圆与圆相外切，则实数________. 15. 已知点，点为圆上任意一点，则连线的中点轨迹方程是___________． 16. 若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）焦点坐标为和，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为； （2）焦点坐标为和，且椭圆经过点. 18. 已知的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为． （1）求直线的方程； （2）若边上的中线所在的直线方程为，求的值． 19. 在信道内传输0， 1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为， 收到1的概率为. （1）重复发送信号1三次，计算至少收到两次1的概率； （2）依次发送1，1， 0， 判断以下两个事件：①事件A：至少收到一个正确信号； ②事件B：至少收到两个0，是否互相独立，并给出证明. 20. 如图，直棱柱中，分别是的中点，． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值． 21. ①圆心在直线：上，圆过点；②圆过直线：和圆的交点：在①②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中进行求解． 已知圆经过点，且________． （1）求圆的标准方程； （2）已知点，求过点的圆的切线方程． 22. 如图1，已知是直角梯形，，，，C、D分别为BF、AE的中点，，，将直角梯形ABFE沿CD翻折，使得二面角的大小为60°，如图2所示，设N为BC的中点. （1）证明：； （2）若M为AE上一点，且，则当为何值时，直线BM与平面ADE所成角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $