精品解析：江苏省南京市大厂高级中学2024届高三三模数学试题

高三数学 2024.5. 命题人 李晓怡 审核人 李传喜 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试卷共4页 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某中学举行数学解题比赛，其中5人的比赛成绩分别为：70，85，90，75，95，则这5人成绩的上四分位数是（ ） A. 90 B. 75 C. 95 D. 70 2. 已知向量在向量上的投影向量为，且 ，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 若双曲线的一条渐近线方程为，则 （ ） A. 1 B. 2 C. 8 D. 16 4. 为了解某中学学生假期中每天自主学习的时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取高一学生40人，其每天学习时间均值为8小时，方差为0.5，抽取高二学生60人，其每天学习时间均值为9小时，方差为0.8，抽取高三学生100人，其每天学习时间均值为10小时，方差为1，则估计该校学生每天学习时间的方差为（ ） A. 1.4 B. 1.45 C. 1.5 D. 1.55 5. 已知数列各项均为正数，首项，且数列是以为公差的等差数列，则（ ） A. B. C. 1 D. 9 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，圆台的上、下底面半径分别为，，且，半径为4的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，，，圆柱体在三棱锥内部（包含边界），且该圆柱体的底面圆在平面 内，则当该圆柱体的体积最大时，圆柱体的高为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于复数、，下列说法正确的是（ ） A. B. 若， C. 若，则 D. 10. 对于事件与事件，若发生的概率是0.72，事件发生的概率是事件发生的概率的2倍，下列说法正确的是（ ） A. 若事件与事件互斥，则事件发生的概率为0.36 B. C. 事件发生的概率的范围为 D. 若事件发生的概率是0.3，则事件与事件相互独立 11. 我们把方程的实数解称为欧米加常数，记为，和一样，都是无理数，还被称为在指数函数中的“黄金比例”.下列有关的结论正确的是（ ） A. B. C. ，其中 D. 函数的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中项的系数为___________. 13. 已知直线x+y=a与圆 交于A､B两点，且，其中O为坐标原点，则实数a的值为________. 14. 某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重（单位：克）与脉搏率（单位：心跳次数/分钟）的对应数据，根据生物学常识和散点图得出与近似满足（为参数）.令，，计算得，，.由最小二乘法得经验回归方程为，则的值为___________；为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和，则决定系数___________.（参考公式：决定系数） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知、、分别为的三个内角、、的对边长，，且． （1）求角的值； （2）求面积的取值范围． 16. 已知等差数列的公差为2，记数列的前项和为且满足. （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的前项和. 17. 如图，在斜三棱柱 中，平面平面，，四边形是边长为2的菱形，，，，分别为，的中点. （1）证明： . （2）求直线与平面 所成角的正弦值. 18. 已知椭圆 的左、右焦点分别为，，点A在C上，当轴时，；当时，. （1）求C的方程； （2）已知斜率为-1的直线l与椭圆C交于M，N两点，与直线交于点Q，且点M，N在直线的两侧，点．若，是否存在到直线l的距离的P点？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由. 19. 已知函数 . （1）当时，求的单调区间； （2）当时，设正项数列满足：， ①求证： ； ②求证： . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 2024.5. 命题人 李晓怡 审核人 李传喜 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试卷共4页 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某中学举行数学解题比赛，其中5人的比赛成绩分别为：70，85，90，75，95，则这5人成绩的上四分位数是（ ） A. 90 B. 75 C. 95 D. 70 【答案】A 【解析】 【分析】根据第p百分位数定义计算判断即可. 【详解】将5人的比赛成绩由小到大排列依次为：70，75，85，90，95， ，5人成绩的上四分位数为第四个数:90. 故选：A. 2. 已知向量在向量上的投影向量为，且 ，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设向量与向量的夹角为，根据投影向量的定义求出的值，然后利用平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】设向量与向量的夹角为，因为， 所以向量在向量上的投影向量为，则， 所以 . 故选：D. 3. 若双曲线的一条渐近线方程为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 8 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程写出双曲线的渐近线方程，可得关于的方程，求解即可． 【详解】双曲线，则， 其渐近线方程为， 依题意，解得． 故选：A． 4. 为了解某中学学生假期中每天自主学习的时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取高一学生40人，其每天学习时间均值为8小时，方差为0.5，抽取高二学生60人，其每天学习时间均值为9小时，方差为0.8，抽取高三学生100人，其每天学习时间均值为10小时，方差为1，则估计该校学生每天学习时间的方差为（ ） A. 1.4 B. 1.45 C. 1.5 D. 1.55 【答案】B 【解析】 【分析】利用分层随机抽样的均值与方差公式即可解决. 【详解】由题意可得，该校学生每天学习时间的均值为 ， 该校学生每天学习时间的方差为 . 故选：B 5. 已知数列各项均为正数，首项，且数列是以为公差的等差数列，则（ ） A. B. C. 1 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】由已知结合等差数列的通项公式即可求解. 【详解】因为数列各项均为正数，首项，则， 又数列是以为公差的等差数列， 则，故 故选：A 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对已知等式两边平方结合平方关系、二倍角公式以及诱导公式即可运算求解. 【详解】. 故选：D. 7. 如图，圆台的上、下底面半径分别为，，且，半径为4的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆台的轴截面图，结合圆台和球的结构特征求解，然后代入圆台的侧面积公式求解即可. 【详解】如图所示，作出轴截面， 分别为上下底面圆的圆心，为侧面切点，为内切球球心， 则为的中点， ， 因为，所以， 则 过点作，垂足为， 则， 在中，由勾股定理得， 即，解得 或 ， 因为，所以 ，，故， 所以圆台的侧面积为. 故选：D. 8. 在三棱锥中，，，圆柱体在三棱锥内部（包含边界），且该圆柱体的底面圆在平面内，则当该圆柱体的体积最大时，圆柱体的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设内接圆柱的底面半径为r，高为h，由轴截面中相似三角形把用 表示，求出体积后利用导数求最大值及取最值时高的条件． 【详解】 设内接圆柱的底面半径为r，圆柱体的高为h. 是圆柱上底面与三棱锥侧面的切点, 是连接直线与棱锥下底面的交点， 是圆柱上底面所在平面与的交点， ，， 则由与相似，可得,可得，可得. 内接圆柱体积. 因为， 单调递增,单调递减, 所以有最大值，此时. 故选:A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于复数、，下列说法正确的是（ ） A. B. 若， C. 若，则 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用复数的模长公式可判断A选项；利用特殊值法可判断BC选项；利用复数的运算法则结合共轭复数的定义可判断D选项. 【详解】设，. 对于A选项，， 所以， ，A对； 对于B选项，取，，则， 但，，则，B错； 对于C选项，取，，则，， 此时，，但，C错； 对于D选项， ，D对. 故选：AD. 10. 对于事件与事件，若发生的概率是0.72，事件发生的概率是事件发生的概率的2倍，下列说法正确的是（ ） A. 若事件与事件互斥，则事件发生的概率为0.36 B. C. 事件发生的概率的范围为 D. 若事件发生的概率是0.3，则事件与事件相互独立 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据互斥事件的性质、条件概率公式、独立事件的性质逐项判断即可得结论. 【详解】对于，若事件与事件互斥，则，所以，故A错误； 对于B，，故正确； 对于C，， 若事件与事件互斥，则，此时取到最小值为0.24，若，此时取到最大值为，故C正确； 对于D，，则，由， 得，则事件与事件相互独立，故D正确. 故选：BCD. 11. 我们把方程的实数解称为欧米加常数，记为，和一样，都是无理数，还被称为在指数函数中的“黄金比例”.下列有关的结论正确的是（ ） A. B. C. ，其中 D. 函数的最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】选项A根据零点存在性定理可得；选项B由指对化对数可得；选项C将代入可判断错误；选项D由根据导数判断 ，且，在上单调递增，进而可判断错误. 【详解】选项A：由得，设， 因单调递增，则为的唯一零点， 因为，故，A正确； 选项B：由题意，所以，故，即，故B正确； 选项C：若，其中，则， 故， 由选项B可知，因，显然不成立，故C错误； 选项D：由，得， 设，则， 故在上单调递增，因，即，故， 故 ，且使得在上有，此时， 在上单调递增，故不是的最小值，故D错误， 故选：AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中项的系数为___________. 【答案】42 【解析】 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得. 【详解】对，有， 则有. 故答案为： . 13. 已知直线x+y=a与圆 交于A､B两点，且，其中O为坐标原点，则实数a的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】由结合向量加减法的意义可得为等腰直角三角形，再经计算得解. 【详解】因，由向量加法和减法的几何意义知，以线段OA，OB为一组邻边的平行四边形两条对角线长相等， 从而这个平行四边形是矩形，即，又，则是等腰直角三角形，于是点O到直线AB距离为， 所以，即. 故答案为： 14. 某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重（单位：克）与脉搏率（单位：心跳次数/分钟）的对应数据，根据生物学常识和散点图得出与近似满足（为参数）.令，，计算得，，.由最小二乘法得经验回归方程为，则的值为___________；为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和，则决定系数___________.（参考公式：决定系数） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据回归直线方程必过样本中心点求出，即可求出，再根据决定系数公式求出. 【详解】因为，两边取对数可得， 又，， 依题意回归直线方程必过样本中心点， 所以，解得，所以， 又. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知、、分别为的三个内角、、的对边长，，且． （1）求角的值； （2）求面积的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，用正弦定理进行化简，再结合余弦定理即可得到结果； （2）由正弦定理，结合三角形的面积公式可得，再结合三角函数的性质即可得到结果. 【小问1详解】 由条件，可得， 由正弦定理，得，所以 ， 所以，因为 ，所以． 【小问2详解】 由正弦定理，可知， ， ∵，∴，∴. 16. 已知等差数列的公差为2，记数列的前项和为且满足. （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）证明： 时，，即. 又，也符合， 所以时，，即. 又，所以， 所以，所以数列成等比数列. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据通项与前项和之间的关系，作差可得，即可利用等比数列的定义求解， （2）根据错位相减法求和以及分组求解，结合等差等比数列求和求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）易得.由可得 ，所以 . 所以， 所以. 令， 则， 所以， 所以. 17. 如图，在斜三棱柱 中，平面平面，，四边形是边长为2的菱形，，，，分别为，的中点. （1）证明： . （2）求直线与平面 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明如下： 如图，连接. 因为四边形是边长为2的菱形，， 所以为等边三角形，则 . 又平面平面，平面 平面 ， 平面 ， 所以 平面， 因为平面，所以. 因为，，所以. 因为 ， 平面 ，所以平面 . 又 平面 ，所以 . （2） 【解析】 【分析】（1）根据题干，先证明 平面，从而得到，又因为，再得到平面 ，进而得到 ； （2）在点建立空间直角坐标系，求出直线与平面 中各点的坐标，再利用线面夹角公式代入求解即可得到. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，过作的平行线为 轴，结合（1）知 轴，，两两垂直.故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 则，，. 设平面 的法向量为， 则得 取，得，则. 因为为的中点，所以. 又.所以. 则. 设直线与平面 所成的角为，则， 即直线与平面 所成角的正弦值为. 18. 已知椭圆 的左、右焦点分别为，，点A在C上，当轴时，；当时，. （1）求C的方程； （2）已知斜率为-1的直线l与椭圆C交于M，N两点，与直线交于点Q，且点M，N在直线的两侧，点．若，是否存在到直线l的距离的P点？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）利用通径公式和椭圆定义，结合余弦定理即可建立方程，从而可求解椭圆方程； （2）由点M，N在直线的两侧可得，设直线l： ，点，，联立椭圆方程，消元，利用韦达定理可得，．根据，得到．代入斜率公式，得到，再由，求出的取值范围即可. 【小问1详解】 当轴时，，即①， 当时，， 在中，，由余弦定理可知， ， 即， 整理，可得，即②， 由①②，解得，． 所以C的方程为． 【小问2详解】 设直线l： ，点，， 令，则，， 由点M，N在直线的两侧，可得， 联立，消去x，可得， 则恒成立， 所以，． 因为，所以， 由正弦定理，得， 而，即， 所以，而，则， 所以，则，即， 即， 整理，得，所以， 因为，所以， 又，所以， 所以． 令， 结合，解得，则． 所以时，点P到直线l的距离． 【点睛】关键点睛：第二问中的关键是能把转化为，由正弦定理，得，从而得到，即，从而利用斜率公式和韦达定理求解. 19. 已知函数 . （1）当时，求的单调区间； （2）当时，设正项数列满足：， ①求证： ； ②求证： . 【答案】（1） 函数在上单调递增，在上单调递减 （2）①证明如下： 当时， ， 令 ，可得 ， 由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以 ，所以 ， 即 ，当且仅当时，等号成立， 所以，即， 又由函数 在为单调递增函数， 所以 ，所以 ， 得 ， 所以， 所以 ， 相乘得，，即 得证. ②证明如下： 因为 ，且，可得，， 当 时， ， ，所以 ，又， 所以 ， 所以当 时， ， 所以，， 所以 ， 故 . 【解析】 【分析】（1）对求导，结合导数符号与函数单调性的关系即可得解； （2）①构造函数 ，结合（1）中结论可证得，而此时函数 在为单调递增函数，从而可得，对其变形，结合累乘法以及不等式的性质即可得证；②通过归纳可得 ，进一步通过放缩可得当 时，，由累加法结合不等式的性质即可得证. 【小问1详解】 的定义域为， ， 当时，令 ，可得， 当时，单调递增； 当时，单调递减， ∴当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 ①略 ②略 【点睛】关键点点睛：第二问的关键是分别得出，由此即可顺利得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $