精品解析：安徽省安庆市怀宁县第二中学2023-2024学年高二上学期期末教学质量检测数学模拟试题

2023-2024学年安徽省安庆市怀宁二中高二上数学期末教学质量检测模拟试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知一个圆锥的体积为，任取该圆锥的两条母线a，b，若a，b所成角的最大值为，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 2 设函数，则（ ） A. 1 B. 5 C. D. 0 3. 过点（-2，1）的直线中，被圆x2+y2-2x+4y=0截得的弦最长的直线的方程是（ ） A. x+y+1=0 B. x+y-1=0 C. x-y+1=0 D. x-y-1=0 4. 大数学家阿基米德的墓碑上刻有他最引以为豪的数学发现的象征图——球及其外切圆柱(如图).以此纪念阿基米德发现球的体积和表面积，则球的体积和表面积均为其外切圆柱体积和表面积的（ ） A. B. C. D. 5. 圆关于直线对称的圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，P为圆锥顶点，O是圆锥底面的圆心，圆锥PO的轴截面PAE是边长为2的等边三角形，是底面圆的内接正三角形．则（ ） A. B. C. D. 7. 双曲线的渐近线的斜率是（ ） A. 1 B. C. D. 8. 已知是等比数列，则（ ） A. 数列是等差数列 B. 数列是等比数列 C. 数列是等差数列 D. 数列是等比数列 9. 已知是抛物线上的一个动点,是圆上的一个动点,是一个定点,则的最小值为 A. B. C. D. 10. 已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（ ） A 2 B. 6 C. 4 D. 12 11. 若数列为等比数列，且，，则（ ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 12. 已知长方体的底面ABCD是边长为4的正方形，长方体的高为，则与对角面夹角的正弦值等于（ ）． A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0＝________． 14. 命题“若实数a，b满足，则且”是_______命题(填“真”或“假”). 15. 已知在四面体ABCD中，，，则______． 16. 已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线与两点，且，则拋物线的准线方程为________. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知是等差数列，其n前项和为，已知． （1）求数列的通项公式： （2）设，求数列的前n项和． 18. 已知椭圆的左顶点、上顶点和右焦点分别为，且的面积为，椭圆上的动点到的最小距离是． （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆的左顶点作两条互相垂直的直线交椭圆于不同的两点（异于点）. ①证明：动直线恒过轴上一定点； ②设线段的中点为，坐标原点为，求的面积的最大值. 19. 如图，矩形ABCD，点E，F分别是线段AB，CD的中点，，，以EF为轴，将正方形AEFD翻折至与平面EBCF垂直的位置处.请按图中所给的方法建立空间直角坐标系，然后用空间向量坐标法完成下列问题 （1）求证：直线平面； （2）求直线与平面所成角正弦值. 20. 已知点是圆上任意一点，是圆内一点，线段的垂直平分线与半径相交于点． （1）当点在圆上运动时，求点的轨迹的方程； （2）设不经过坐标原点，且斜率为直线与曲线相交于、两点，记、的斜率分别是、，以、为直径的圆的面积分别为、当、都存在且不为时，试探究是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 21. 曲线与曲线在第一象限的交点为.曲线是()和()组成的封闭图形.曲线与轴的左交点为､右交点为. （1）设曲线与曲线具有相同的一个焦点，求线段的方程； （2）在（1）的条件下，曲线上存在多少个点，使得，请说明理由. （3）设过原点的直线与以为圆心的圆相切，其中圆的半径小于1，切点为.直线与曲线在第一象限的两个交点为..当对任意直线恒成立，求的值. 22. 排一张有6个歌唱节目和5个舞蹈节目的演出节目单. （1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？ （2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年安徽省安庆市怀宁二中高二上数学期末教学质量检测模拟试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知一个圆锥的体积为，任取该圆锥的两条母线a，b，若a，b所成角的最大值为，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆锥的母线长为R，底面半径长为r，由题可知圆锥的轴截面是等边三角形，根据体积公式计算可得，利用扇形的面积公式计算即可求得结果. 【详解】如图，设圆锥的母线长为R，底面半径长为r，由题可知圆锥的轴截面是等边三角形， 所以，圆锥的体积，解得， 所以该圆锥的侧面积为. 故选：B 2. 设函数，则（ ） A. 1 B. 5 C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合导数的运算可得，再由导数的概念即可得解. 【详解】由题意，所以， 所以原式等于. 故选：B. 3. 过点（-2，1）的直线中，被圆x2+y2-2x+4y=0截得的弦最长的直线的方程是（ ） A x+y+1=0 B. x+y-1=0 C. x-y+1=0 D. x-y-1=0 【答案】A 【解析】 【分析】当直线被圆截得的最弦长最大时，直线要经过圆心，即圆心在直线上，然后根据两点式方程可得所求． 【详解】由题意得，圆的方程为， ∴圆心坐标为． ∵直线被圆截得的弦长最大， ∴直线过圆心， 又直线过点（-2，1）， 所以所求直线的方程为， 即． 故选：A． 4. 大数学家阿基米德的墓碑上刻有他最引以为豪的数学发现的象征图——球及其外切圆柱(如图).以此纪念阿基米德发现球的体积和表面积，则球的体积和表面积均为其外切圆柱体积和表面积的（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设球的半径为,则圆柱的底面半径为，高为，分别求出球的体积与表面积，圆柱的体积与表面积，从而得出答案. 【详解】设球的半径为,则圆柱的底面半径为，高为 所以球的体积为, 表面积为. 圆柱的体积为：,所以其体积之比为： 圆柱的侧面积为：, 圆柱的表面积为： 所以其表面积之比为： 故选：C 5. 圆关于直线对称的圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据圆的标准方程得到圆的圆心和半径，求出圆心关于直线的对称点，进而写出圆的标准方程. 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 且关于直线对称的点为， 所以所求圆的圆心为、半径为， 即所求圆的标准方程为. 故选：D. 6. 如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，圆锥PO的轴截面PAE是边长为2的等边三角形，是底面圆的内接正三角形．则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，再利用向量的线性运算和数量积计算求解. 【详解】解：由题得, , ． 故选：B 7. 双曲线的渐近线的斜率是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线的渐近线方程为：，化简即可得到答案. 【详解】双曲线的渐近线方程为：，即， 渐近线的斜率是. 故选：B 8. 已知是等比数列，则（ ） A. 数列是等差数列 B. 数列是等比数列 C. 数列是等差数列 D. 数列是等比数列 【答案】B 【解析】 【分析】取，可判断AC选项；利用等比数列的定义可判断B选项；取可判断D选项. 【详解】若，则、无意义，A错C错； 设等比数列的公比为，则，（常数）， 故数列是等比数列，B对； 取，则，数列为等比数列， 因为，，，且， 所以，数列不是等比数列，D错. 故选：B. 9. 已知是抛物线上的一个动点,是圆上的一个动点,是一个定点,则的最小值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：恰好为抛物线的焦点，等于到准线的距离，要想最小，过圆心作抛物线的准线的垂线交抛物线于点，交圆于，最小值等于圆心到准线的距离减去半径4-1=. 考点:1.抛物线的定义；2.圆中的最值问题； 10. 已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（ ） A. 2 B. 6 C. 4 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设条件求出椭圆的长半轴，再借助椭圆定义即可作答. 【详解】由椭圆＋y2＝1知，该椭圆的长半轴， A是椭圆的一个焦点，设另一焦点为，而点在BC边上，点B，C又在椭圆上， 由椭圆定义得， 所以的周长 故选：C 11. 若数列为等比数列，且，，则（ ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 【答案】B 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，根据等比数列的通项公式得到，即可求出，再根据计算可得； 【详解】解：设等比数列的公比为，因为、，所以，所以； 故选：B 12. 已知长方体的底面ABCD是边长为4的正方形，长方体的高为，则与对角面夹角的正弦值等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量的夹角坐标公式即可求出线面角的正弦值. 【详解】连接，建立如图所示的空间直角坐标系． ∵底面是边长为4的正方形，， ∴，，， 因为,，且，所以平面， ∴，平面的法向量， ∴与对角面所成角的正弦值为 ． 故选：C. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0＝________． 【答案】 【解析】 【详解】f（x）=xlnx ∴f'（x）=lnx+1 则f′（x0）=lnx0+1=2 解得：x0=e 14. 命题“若实数a，b满足，则且”是_______命题(填“真”或“假”). 【答案】假 【解析】 【分析】 列举特殊值，判断真假命题. 【详解】当时，，所以，命题“若实数a，b满足，则且”是假命题. 故答案为：假 15. 已知在四面体ABCD中，，，则______． 【答案】24 【解析】 【分析】由线段的空间关系有，应用向量数量积的运算律及已知条件即可求. 【详解】由题设，可得如下四面体示意图， 则， 又，， 所以. 故答案为：24 16. 已知抛物线焦点为，过焦点的直线交抛物线与两点，且，则拋物线的准线方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意作出图形，设直线与轴的夹角为，不妨设，设抛物线的准线与轴的交点为，过点作准线与轴的垂线，垂足分别为，过点分别作准线和轴的垂线，垂足分别为，进一步可以得到，进而求出，同理求出，最后解得答案. 【详解】设直线与轴的夹角为，根据抛物线的对称性，不妨设，如图所示.设抛物线的准线与轴的交点为，过点作准线与轴的垂线，垂足分别为， 过点分别作准线和轴的垂线，垂足分别为. 由抛物线的定义可知，， 同理：, 于是，，则抛物线的准线方程为：. 故答案为：. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知是等差数列，其n前项和为，已知． （1）求数列的通项公式： （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的基本量，结合已知条件，列出方程组，求得首项和公差，即可写出通项公式； （2）根据（1）中所求，结合裂项求和法，即可求得. 小问1详解】 因为是等差数列，其n前项和为，已知，设其公差为， 故可得：，，解得， 又，故. 【小问2详解】 由（1）知，，又， 故. 即. 18. 已知椭圆的左顶点、上顶点和右焦点分别为，且的面积为，椭圆上的动点到的最小距离是． （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆的左顶点作两条互相垂直的直线交椭圆于不同的两点（异于点）. ①证明：动直线恒过轴上一定点； ②设线段的中点为，坐标原点为，求的面积的最大值. 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据题意得，，解方程即可； （2）①设直线：，直线：，联立曲线分别求出点和的坐标， 求直线方程判断定点即可；②根据题意得，代入求最值即可. 【小问1详解】 根据题意得，，，又， 三个式子联立解得，，，所以椭圆的方程为： 【小问2详解】 ①证明：设两条直线分别为和，根据题意和得斜率存在且不等于； 因为，所以设直线：，直线：； 由，解得，所以， 同理，. 当时，， 所以直线的方程为：， 整理得，此时直线过定点； 当时，直线的方程为：，此时直线过定点， 故直线恒过定点. ②根据题意得，， ， ，所以 ，当且仅当， 即时等号成立，故的面积的最大值为：. 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力， 重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 19. 如图，矩形ABCD，点E，F分别是线段AB，CD的中点，，，以EF为轴，将正方形AEFD翻折至与平面EBCF垂直的位置处.请按图中所给的方法建立空间直角坐标系，然后用空间向量坐标法完成下列问题 （1）求证：直线平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出对应向量的坐标，根据向量垂直，即可证明线面垂直； （2）根据（1）中所求平面的法向量，利用向量法，即可容易求得结果. 小问1详解】 矩形ABCD中，点E，F分别是线段AB，CD的中点，∴，∴翻折后 ∵平面平面，且面，面， 故可得面，又面，∴，故两两垂直， ∴分别以，，为，，轴建立如图所示空间直角坐标系： ∵，则，，，， ，， ∵，，∴， ∴，，又面， ∴平面. 【小问2详解】 由（1）知，平面的法向量为，又向量， 则向量与法向量为所成角的余角即是直线与平面所成角， 设直线与平面所成角为，向量与法向量为所成角为， 则. 故直线与平面所成角正弦值为. 20. 已知点是圆上任意一点，是圆内一点，线段的垂直平分线与半径相交于点． （1）当点在圆上运动时，求点的轨迹的方程； （2）设不经过坐标原点，且斜率为的直线与曲线相交于、两点，记、的斜率分别是、，以、为直径的圆的面积分别为、当、都存在且不为时，试探究是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）； （2）是定值，. 【解析】 【分析】(1)由条件可得点轨迹满足椭圆定义，设出椭圆方程，由，的值可得的值，从而求得轨迹方程； (2)设出直线的方程，结合韦达定理，分别求得为定值，也为定值，从而可得是定值． 【小问1详解】 由题意知， ， 根据椭圆的定义知点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 设椭圆的方程为， 则，， 曲线的方程为； 【小问2详解】 由题意知直线的方程为且m≠0)， 设直线与椭圆的交点为，，，， 由得，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是定值，为． 21. 曲线与曲线在第一象限的交点为.曲线是()和()组成的封闭图形.曲线与轴的左交点为､右交点为. （1）设曲线与曲线具有相同的一个焦点，求线段的方程； （2）在（1）的条件下，曲线上存在多少个点，使得，请说明理由. （3）设过原点的直线与以为圆心的圆相切，其中圆的半径小于1，切点为.直线与曲线在第一象限的两个交点为..当对任意直线恒成立，求的值. 【答案】（1）或；（2）一共2个，理由见解析；（3）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）先求曲线的焦点，再求点的坐标，分焦点为左焦点或右焦点，求线段的方程；（2）分点在双曲线或是椭圆的曲线上，结合条件，说明点的个数；（3）首先设出直线和圆的方程，利用直线与圆相切，以及直线与曲线相交，分别表示，并计算得到的值. 【详解】（1）两个曲线相同的焦点，，解得：， 即双曲线方程是，椭圆方程是，焦点坐标是, 联立两个曲线，得，，即， 当焦点是右焦点时， 线段的方程 当焦点时左焦点时， ，，线段的方程 （2）， 假设点在曲线上 单调递增 ∴ 所以点不可能在曲线上 所以点只可能在曲线上，根据得 可以得到 当左焦点，，同样这样的使得不存在 所以这样的点一共2个 （3）设直线方程，圆方程为 直线与圆相切，所以 ， ， 根据得到 补充说明：由于直线的曲线有两个交点，受参数的影响，蕴含着如下关系， ∵， 当，存在，否则不存在 这里可以不需讨论，因为题目前假定直线与曲线有两个交点的大前提，当共焦点时 存在不存在. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆和双曲线相交的综合应用，本题的关键是曲线由椭圆和双曲线构成，所以研究曲线上的点时，需分两种情况研究问题. 22. 排一张有6个歌唱节目和5个舞蹈节目的演出节目单. （1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？ （2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)用插空法，现排唱歌，利用产生的空排跳舞； （2）先排唱歌再排舞蹈 【小问1详解】 解：先排歌唱节目有种，歌唱节目之间以及两端共有7个空位，从中选5个放入舞蹈节目，共有种方法，所以任何两个舞蹈节目不相邻的排法有种方法. 【小问2详解】 解：先排舞蹈节目有种方法，在舞蹈节目之间以及两端共有6个空位，恰好供6个歌唱节目放入.所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有种方法. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$