精品解析：河北省保定市高碑店市崇德实验中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

高二期末考试 数学试卷 命题人 考试中心 审题人 考试中心 说明：本试题满分150分考试时间120分钟，请在答题卡上作答 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算补集，再计算交集； 【详解】, 故选:B. 2. 已知命题，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题的否定为特称命题分析判断. 【详解】由题意可知：为，. 故选：D. 3. 若向量、满足，，，则与的夹角为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用的坐标求，再利用数量积的定义求出即可得到. 【详解】因为，所以，又，，所以，又，所以. 故选：C. 4. 已知命题“成立”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】原命题为假命题，则其否定为真命题，转化成恒成立问题，然后分离参数，利用函数的单调性求函数的最值，可得问题的答案. 【详解】由命题“成立”是假命题， 则命题“，成立”是真命题， 即恒成立． 令，，则， 因为 所以函数在上为增函数，当时，，所以． 故选：A 5. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的函数，借助二次函数分段讨论其单调性作答. 【详解】当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，，则函数在上单调递增， 所以函数的单调递减区间是. 故选：A 6. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 图象关于点对称 B. 的图象向右平移个单位后得到的图象 C. 在区间的最小值为 D. 偶函数 【答案】D 【解析】 【分析】先由函数图象求出函数解析式，然后再逐个分析判断 【详解】因为的图象过点， 所以， 因为，所以， 因为的图象过点， 所以由五点作图法可知，得， 所以， 对于A，因为，所以为的图象的一条对称轴，所以A错误， 对于B，的图象向右平移个单位后，得，所以B错误， 对于C，当时，，所以，所以在区间的最小值为，所以C错误， 对于D，，令， 因为，所以为偶函数， 所以D正确， 故选：D 7. 已知α，β∈，若sin＝，cos＝，则sin(α－β)的值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出α＋，β－，则可得到他们的正弦，余弦值，在通过sin(α－β)＝－sin[(α＋)－(β－)]计算即可. 【详解】由题意可得α＋∈，β－∈， 所以cos＝－，sin(β－)＝－， 所以sin(α－β)＝－sin[(α＋)－(β－)]＝－＝． 故选：A． 8. 在中，角的对边分别为，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量数量积运算法则及正弦定理得，求出，，再利用余弦定理求出. 【详解】由题意得：， 因为，所以， 由正弦定理得：， 即， 因为， 所以， 故，即， 则， 由余弦定理及得：， 即，解得：. 故选：B 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. （ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用诱导公式确定正确答案. 【详解】，A错误； ，B正确； ，C错误； ，D正确. 故选：BD 10. 下列说法正确的有（ ） A. 所有幂函数的图象都不经过第四象限 B. 函数在其定义域上为增函数 C. 对任意的角， D. 函数与的图象关于直线对称 【答案】AD 【解析】 【分析】根据幂函数函数值的符号判断A，利用正切函数的单调性判断B，利用正切函数定义判断C，利用反函数的性质判断选项D 【详解】对于A：因为所有的幂函数在区间上都有定义，所以，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故A正确； 对于B：函数在上为增函数，而不是在其定义域上为增函数，故B错误； 对于C，当时，，分式没有意义，故C错误； 对于D：因为函数与互为反函数，故他们图象关于直线对称，故D正确. 故选：AD 11. 已知定义在上的函数满足，且.若时，，则（ ） A. 最小正周期 B. 的图象关于对称 C. D. 函数在区间上所有零点之和为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据，且判断是奇函数且图象关于对称，进而确定周期和对称中心，判断A，B；计算得C错误；推导出在的图象关于对称且值域为确定D选项. 【详解】因为，所以是奇函数； 因为，所以的图象关于对称， 所以，则， 因而，所以的最小正周期，故A正确； 由，则的一个对称中心为，故B正确； ，故C错误； 当时，单调递增且值域为， 因为的图象关于对称，所以在单调递减且值域为， 又因为是奇函数，所以在的图象关于对称且值域为， 所以函数在区间上有两个零点，且所有零点之和为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）. 12. 设函数（）是以为最小正周期的周期函数，且当时，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用函数的周期,将自变量的值转化为解析式要求的自变量范围内即可求得. 【详解】因函数的周期为2，故 故答案为：. 13. 已知函数．则在处的切线方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导函数，即可求出与，再用点斜式求出切线方程； 【详解】解：因为，所以，， 则，即切点为，切线的斜率， 所以切线方程为，即； 故答案为： 14. 函数在区间上的最大值与最小值之和为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求出函数的最大最小值再相加可得答案. 【详解】由已知得， 当时，， 当时，， 所以函数在区上单调递增，在上单调递减， 又当时，，当时， 当时，， 所以，所以， 所以函数在区间上的最大值与最小值之和为. 故答案为：. 四、解答题（本题共有5道小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知. （1）化简； （2）若是第三象限的角，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式化角,约分化简即可； （2）由诱导公式得，根据同角三角函数平方关系及角的范围得,代入数值得. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 因为，所以，又是第三象限的角， 所以，故. 16. 求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数的运算性质即可求解 （2）将分数指数幂化为根式，即可求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 17. 已知函数，其中． （1）若，求函数的定义域； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由真数大于0列出不等式即可求解； （2）先根据函数为单调递增函数，将转化为，根据题意可转化为在上最小值大于0，然后结合二次函数的性质即可求得. 【小问1详解】 当时，， 由得， 故或， 得或， 故函数的定义域为； 【小问2详解】 由得， 得， 即， 设， 因，故， 所以当时，恒成立， 即为在上最小值大于0， 函数的对称轴为， 当即时，函数在上单调递增， 此时，得， 即满足题意； 当，即时，函数在对称轴取得最小值， 此时，得， 即满足题意； 故的取值范围为. 18. 已知函数． （1）若，求函数在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性． 【答案】（1）； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）把代入，求出的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程即得. （2）求出函数的导数，再按为正负0分类讨论求出函数的单调区间. 【小问1详解】 当时，，求导得， 则，而， 所以所求切线方程为，即 【小问2详解】 函数的定义域为R，求导得， 当时，由，得，由，得或， 函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得，由，得或， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数的递减区间为，递增区间为； 当时，函数的递增区间为； 当时，函数的递减区间为，递增区间为. 19. 在①，②，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答． 在中，内角，，的对边分别为，，，且______． （1）求角的大小； （2）已知，是边的中点，且，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）若选①，利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；若选②，利用正弦定理将边化角，再结合三角恒等变换公式求出，即可得解；若选③，利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及二倍角公式计算可得； （2）首先求出，由中线的性质得到，由面积公式得到，再由余弦定理得到，即可求出、，再由勾股定理计算可得. 【小问1详解】 方案一：选条件①．因为 由正弦定理得，即， 由余弦定理得． 又，所以． 方案二：选条件②．因为， 由正弦定理得， 所以， 因为，所以，又，所以，又，所以． 方案三：选条件③．因为， 由正弦定理得， 因为，所以，所以． 在中，，可得， 故，因为，则， 所以，故，所以，则． 【小问2详解】 解法一：因为D是边AB的中点，所以，由（1）知， 因，所以，故，故． 由余弦定理得， 故，因为，所以，． 在中，，， 所以，即的长为． 解法二：由（1）知，因为，所以， 因为，D是边AB的中点，所以 设，则，在中，①， 在中，由正弦定理，即②， ①②两式相除可得，即，得， 所以，所以 解法三：以C为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，设，因为D是边AB的中点，所以． 因为，所以直线的斜率为，则，所以． 又，所以， 所以，故的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二期末考试 数学试卷 命题人 考试中心 审题人 考试中心 说明：本试题满分150分考试时间120分钟，请在答题卡上作答 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若向量、满足，，，则与的夹角为（ ）. A. B. C. D. 4. 已知命题“成立”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象向右平移个单位后得到的图象 C. 在区间的最小值为 D. 为偶函数 7. 已知α，β∈，若sin＝，cos＝，则sin(α－β)的值为( ) A B. C. D. 8. 在中，角的对边分别为，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. （ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 所有幂函数的图象都不经过第四象限 B. 函数在其定义域上为增函数 C. 对任意角， D. 函数与的图象关于直线对称 11. 已知定义在上函数满足，且.若时，，则（ ） A. 的最小正周期 B. 的图象关于对称 C. D. 函数在区间上所有零点之和为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）. 12. 设函数（）是以为最小正周期的周期函数，且当时，，则__________． 13. 已知函数．则在处的切线方程为_________． 14. 函数在区间上的最大值与最小值之和为______． 四、解答题（本题共有5道小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知. （1）化简； （2）若是第三象限的角，且，求的值. 16. 求下列各式的值： （1）； （2）． 17. 已知函数，其中． （1）若，求函数定义域； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围． 18. 已知函数． （1）若，求函数在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性． 19. 在①，②，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答． 在中，内角，，对边分别为，，，且______． （1）求角的大小； （2）已知，是边的中点，且，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$