第二章 有理数 第2.6节 有理数的乘方-2024-2025学年七年级数学上学期《七年级数学上册培优全攻略》

苏科2024新版第二章 有理数 2.6 有理数的乘方 瞄准学习目标：让你知己知彼，百战不殆 1．理解有理数乘方的意义，会进行有理数乘方的运算； 2．知道底数、指数、幂的概念，会求一个有理数的正整数指数幂； 3．会用科学记数法表示一个较大的数，并能将科学记数法表示的数还原为普通形式。 理清思维导图：让你运筹帷幄，决胜千里 挖掘数学文化：让你了解数学背后的故事 听数学家谈数学——为什么把乘方叫做幂？为什么把乘方叫做幂？ 1． 数学中的“幂”，是“幂”这个字面意思的引申，“幂”原指盖东西的布巾，数学中“幂”是一个数自乘若干次的形式，而乘方的表示是通过在一个数字上加上标的形式来实现的，故这就像在一个数字上“盖上了一块头巾”。在现实中盖头巾又有升级的意思，所以把乘方叫做幂正好契合了数学中指数级数快速增长的含义，形式上也很契合，所以叫做幂。 的汉语解释 2. 幂mì （1） 古代指覆盖东西的布。 （2） 覆盖，遮盖。 （3） 数学上指一个数自乘若干次形式：幂次（方次）。乘幂（乘方）。 3. 三国时的刘徽为《九章算术·方田》作注：“田幂，凡广(即长)从(即宽)相乘谓之乘．”幂字之义由长方形的布引申成长方形的面积；明代徐光启翻译《几何原本》时，自注回：“自乘之数日幂”．幂字之义由长方形的面积再引申成相同的数相乘，即． 考点详解：让您快速掌握每个考点 知识点1：乘方的相关概念 1.乘方的概念： 1.乘方的定义：求相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)． 即有：. 底数：在中，叫做底数， 指数：n叫做指数. 2.特别地，当指数=2时，一般成为平方；当指数=3时，一般成为立方。 名师点拨： （1）乘方与幂是不同的，乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果． （2）当底数是以下几种情况时，要用括号括起来： 底数是负数、底数是分数、底数不是单独的一个数而是含有运算的式子。 （3）一个数可以看作这个数本身的一次方，指数1通常省略不写． 知识点2：乘方的符号法则 乘方的符号法则： （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即． 名师点拨： (1)有理数的乘方运算，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值． (2)计算幂时，可以转化成乘法计算。 知识点3：科学记数法 科学记数法的定义： 把一个绝对值大于10的数表示成的形式（其中l≤||＜10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法. 名师点拨： （1）负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其它与正数一样； （2）把一个数写成形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1. 经典例题：为你快速找到，航行灯塔 题型1 考查乘方的概念、幂的概念 1.表示（        ） A．6个相乘的积 B．乘以6的积 C．个6相乘的积 D．6与相乘的积 2．把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么． (1)； (2) 题型2 利用乘方的定义进行计算 计算： (1)； (2)； (3) (4)； (5)； (6)． 题型3 科学记数法 1．节约是一种美德，节约是一种智慧．据不完全统计，全国每年浪费食物总量折合粮食可养活约3亿5千万人，350000000用科学记数法表示为 ． 2．中国科学院高能物理研究所发布，基于中国“慧眼”卫星和“极目”空间望远镜对产生于距离地球光年宇宙深处伽马射线暴的高精度测量，发现其具有迄今观察到的最大亮度，其中用科学记数法表示为 ． 3．成人血管首尾相连的总长度大约是米，将用科学记数法表示为 ． 4．“神舟十五号”飞船于年月日发射成功，将在远地点高度的轨道上驻留个月进行太空实验研究，将数据用科学记数法表示为的形式，则为 ． 5．今年“五一”假期，西安市文博单位累计接待游客约人次，将用科学记数法表示为 ． 题型4 还原科学记数法表示的数 1．《红楼梦》是我国古代四大名著之一，全书约有个字，用科学记数法表示的数的原数是 ． 2．2023年国庆期间，郑州新彩虹桥顺利通车．通车当天搜索“郑州新彩虹桥”，找到相关结果用科学记数法表示为个，则原数是 个． 3．用科学记数法表示人体中约有的红细胞为个，不用科学记数法表示，原来的数据是 个． 4．“天文单位”是天文学中用来计量距离的一种单位．1天文单位用科学记数法表示为千米，这个数也可以写成 亿千米． 题型5 含乘方的有理数的混合运算 计算： (1)； (2)． 题型6 利用乘方解决实际问题 1.当细菌繁殖时，每隔一段时间，一个细菌就分裂成两个． (1)一个细菌在分裂n次后，数量变为 个． (2)有一种分裂速度很快的细菌，它每12分钟分裂一次，如果现在盘子里有1000个这样的细菌，那么1小时后，盘子里有 个细菌． (3)求两个小时后的数量是1小时后的多少倍？ 2．如图，当你把一张纸对折1次时可以得到2层，对折2次时可以得到4层，对折3次时可以得到8层，继续对折下去（最多折7次）． (1)你能发现层数与折纸次数之间的关系吗？ (2)如果每层纸的厚度是0.05毫米，求对折7次时纸的总厚度． 题型7 乘方的规律探究问题 观察下列各式，完成下列问题。 已知1+3=4=22， 1+3+5=9=32， 1+3+5+7=16=42， 1+3+5+7+9=25=52，…… （1）仿照上例，计算：1+3+5+7+……+99=_______ （2）根据上述规律，请你用自然数n（n≥1）表示一般规律：_______ （3）根据你所总结的规律计算121+123+……+179的值 培优训练：让你一飞冲天，一鸣惊人 一、选择题（本大题共8小题） 1．对于式子，下列说法错误的是（      ） A．表示3个2相乘 B．指数是3 C．底数是 D．幂为 2．的底数、指数、结果分别是（    ） A． B． C．2，4，16 D． 3．下列各式中，不相等的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 4．若是负数，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 5．在，，，0中，非负数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．近期生物科学家发现一种病毒的长度约为米，利用科学记数法表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 7．拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成许多细的面条，如图所示，这样捏合到第8次后，就可以拉出（    ）根细面条． A．16 B．32 C．64 D． 8．生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示即；，，，，，…，请你推算的个位数字是（    ） A．6 B．4 C．2 D．8 二、填空题（本大题共8小题） 9．（1）将写成幂的形式是 ，底数是 ，指数是 ． （2）表示的意义是 ，底数是 ，指数是 ；表示的意义是 ，底数是 ，指数是 ． 10．计算： ， ， ． 11．如果一个数的15次幂是负数，那么这个数的2021次幂是 ．（填“正数”或“负数”） 12．中国科学院高能物理研究所发布，基于中国“慧眼”卫星和“极目”空间望远镜对产生于距离地球光年宇宙深处伽马射线暴的高精度测量，发现其具有迄今观察到的最大亮度，其中用科学记数法表示为 ． 13．根据国家旅游局数据中心综合测算，今年国庆期间全国累计旅游收入4 822亿元，用科学记数法表示4 822亿为4.822×1011，则原数中“0”的个数是 个. 14．《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为64米的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度是 米． 15．在古代，人们通过在绳子上打结来计数．即“结绳计数”，当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了 天 16．如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是下部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，受此启发，则 ． 三、解答题（本大题共5小题） 17．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)． (7)． (8)． 18．你能迅速的判断下列各幂的正负吗？ (1)； (2)． 19．计算：（1） 20．计算： 21．计算：． 22．计算． 23．如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞经过1次分裂便由1个分裂成2个． 根据此规律可得： (1)这样的一个细胞经过2次分裂后可分裂成　　个细胞； (2)这样的一个细胞经过5次分裂后可分裂成　　个细胞； (3)这样的一个细胞经过n（n为正整数）次分裂后可分裂成　　个细胞． 24．生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一， 例：； 计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一， 例：二进制数10010转化为十进制数： ； 其他进制也有类似的算法… (1)【发现】根据以上信息，将二进制数“10110”转化为十进制数是________； (2)【迁移】按照上面的格式将八进制数“4372”转化为十进制数； (3)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数． 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 苏科2024新版第二章 有理数 2.6 有理数的乘方 瞄准学习目标：让你知己知彼，百战不殆 1．理解有理数乘方的意义，会进行有理数乘方的运算； 2．知道底数、指数、幂的概念，会求一个有理数的正整数指数幂； 3．会用科学记数法表示一个较大的数，并能将科学记数法表示的数还原为普通形式。 理清思维导图：让你运筹帷幄，决胜千里 挖掘数学文化：让你了解数学背后的故事 听数学家谈数学——为什么把乘方叫做幂？为什么把乘方叫做幂？ 1． 数学中的“幂”，是“幂”这个字面意思的引申，“幂”原指盖东西的布巾，数学中“幂”是一个数自乘若干次的形式，而乘方的表示是通过在一个数字上加上标的形式来实现的，故这就像在一个数字上“盖上了一块头巾”。在现实中盖头巾又有升级的意思，所以把乘方叫做幂正好契合了数学中指数级数快速增长的含义，形式上也很契合，所以叫做幂。 的汉语解释 2. 幂mì （1） 古代指覆盖东西的布。 （2） 覆盖，遮盖。 （3） 数学上指一个数自乘若干次形式：幂次（方次）。乘幂（乘方）。 3. 三国时的刘徽为《九章算术·方田》作注：“田幂，凡广(即长)从(即宽)相乘谓之乘．”幂字之义由长方形的布引申成长方形的面积；明代徐光启翻译《几何原本》时，自注回：“自乘之数日幂”．幂字之义由长方形的面积再引申成相同的数相乘，即． 考点详解：让您快速掌握每个考点 知识点1：乘方的相关概念 1.乘方的概念： 1.乘方的定义：求相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)． 即有：. 底数：在中，叫做底数， 指数：n叫做指数. 2.特别地，当指数=2时，一般成为平方；当指数=3时，一般成为立方。 名师点拨： （1）乘方与幂是不同的，乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果． （2）当底数是以下几种情况时，要用括号括起来： 底数是负数、底数是分数、底数不是单独的一个数而是含有运算的式子。 （3）一个数可以看作这个数本身的一次方，指数1通常省略不写． 知识点2：乘方的符号法则 乘方的符号法则： （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即． 名师点拨： (1)有理数的乘方运算，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值． (2)计算幂时，可以转化成乘法计算。 知识点3：科学记数法 科学记数法的定义： 把一个绝对值大于10的数表示成的形式（其中l≤||＜10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法. 名师点拨： （1）负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其它与正数一样； （2）把一个数写成形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1. 经典例题：为你快速找到，航行灯塔 题型1 考查乘方的概念、幂的概念 1.表示（        ） A．6个相乘的积 B．乘以6的积 C．个6相乘的积 D．6与相乘的积 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘法的意义，了解乘方的意义是解答本题的关键，难度不大． 根据乘方的意义直接回答即可． 【详解】根据乘方的意义知：表示6个相乘的积， 故选A． 2．把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么． (1)； (2) 【答案】(1)，底数为，指数为5 (2)，底数为，指数为6 【分析】本题考查乘方定义，乘方是一种特殊的乘法运算，幂是乘方的结果，当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括起来再写指数．首先化成幂的形式，再指出底数和指数，熟记乘方定义是解决问题的关键． 【详解】（1）解：， 底数为，指数为5； （2）解：， 底数为，指数为6． 题型2 利用乘方的定义进行计算 计算： (1)； (2)； (3) (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2)16 (3) (4) (5)8 (6)36 【分析】本题考查了乘方的运算法则，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行解题． （1）根据乘方的运算法则进行计算，即可得到答案． （2）根据乘方的运算法则进行计算，即可得到答案． （3）根据乘方的运算法则进行计算，即可得到答案． （4）根据乘方的运算法则进行计算，即可得到答案． （5）根据乘方的运算法则进行计算，即可得到答案． （6）根据乘方的运算法则进行计算，即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 题型3 科学记数法 1．节约是一种美德，节约是一种智慧．据不完全统计，全国每年浪费食物总量折合粮食可养活约3亿5千万人，350000000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数：科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，是正数；当原数的绝对值小于1时，是负数． 根据科学记数法表示较大的数的方法求解即可； 【详解】解：依题意，数据350000000用科学记数法表示为， 故答案为：． 2．中国科学院高能物理研究所发布，基于中国“慧眼”卫星和“极目”空间望远镜对产生于距离地球光年宇宙深处伽马射线暴的高精度测量，发现其具有迄今观察到的最大亮度，其中用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故答案为：． 3．成人血管首尾相连的总长度大约是米，将用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法．熟练掌握科学记数法是解题的关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．按照科学记数法的表示形式改写即可． 【详解】解：． 故答案为：． 4．“神舟十五号”飞船于年月日发射成功，将在远地点高度的轨道上驻留个月进行太空实验研究，将数据用科学记数法表示为的形式，则为 ． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法表示较大的数。将一个数表示为的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 5．今年“五一”假期，西安市文博单位累计接待游客约人次，将用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查科学记数法，注意n的值的确定方法，当原数的绝对值大于等于10时，n等于原数的整数数位减1，按此方法即可正确求解． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：将用科学记数法表示为， 故答案为：． 题型4 还原科学记数法表示的数 1．《红楼梦》是我国古代四大名著之一，全书约有个字，用科学记数法表示的数的原数是 ． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法数字还原，根据指数是几，小数点向右移即为求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， 故答案为：． 2．2023年国庆期间，郑州新彩虹桥顺利通车．通车当天搜索“郑州新彩虹桥”，找到相关结果用科学记数法表示为个，则原数是 个． 【答案】 【分析】本题考查了用科学记数法表示的数还原成原数．科学记数法的表示形式为的形式中，原数的整数位数等于．原数等于把a的小数点向右移动n位所得的数，若向右移动，位数不够则用0补上．据此解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．用科学记数法表示人体中约有的红细胞为个，不用科学记数法表示，原来的数据是 个． 【答案】 【分析】把个写成不用科学记数法表示的原数的形式，就是把的小数点向右移动位即可得到． 【详解】解：． 故答案为：． 4．“天文单位”是天文学中用来计量距离的一种单位．1天文单位用科学记数法表示为千米，这个数也可以写成 亿千米． 【答案】1.496 【分析】根据1亿，对这个数进行换算即可作答． 【详解】解：∵1亿， ∴千米亿千米， 故答案为：． 题型5 含乘方的有理数的混合运算 计算： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”． （1）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型6 利用乘方解决实际问题 1.当细菌繁殖时，每隔一段时间，一个细菌就分裂成两个． (1)一个细菌在分裂n次后，数量变为 个． (2)有一种分裂速度很快的细菌，它每12分钟分裂一次，如果现在盘子里有1000个这样的细菌，那么1小时后，盘子里有 个细菌． (3)求两个小时后的数量是1小时后的多少倍？ 【答案】(1) (2)32000 (3)32倍 【分析】本题考查有理数的乘方的实际应用．解题的关键是理解题意，算出细菌分裂的次数． （1）根据每分裂1次，数量是之前的2倍求解可得； （2）由每12分钟分裂一次知1小时分裂5次，据此求解可得； （3）先算出两个小时后的数量是，计算可得答案． 【详解】（1）解：根据题意：一个细菌在分裂n次后，数量变为个； （2）解：， 1小时后，盘子里有个细菌； （3）解：， 两个小时后的数量是， ∴两个小时后的数量是1小时后的（倍）． 2．如图，当你把一张纸对折1次时可以得到2层，对折2次时可以得到4层，对折3次时可以得到8层，继续对折下去（最多折7次）． (1)你能发现层数与折纸次数之间的关系吗？ (2)如果每层纸的厚度是0.05毫米，求对折7次时纸的总厚度． 【答案】(1)层数 (2)6.4毫米 【分析】本题考查了有理数的乘方，通过例举寻找规律是解题的关键． （1）由于把纸对折1次时，可以得到2层；当对折2次时，可以得到4-2层；当对折3次时，可以得到8-23层，由此即可得到层数5和折纸的次数之间的关系； （2）利用（1）的结论代入其中计算即可求解． 【详解】（1）解：∵对折1次，层数， 对折2次，层数， 对折3次，层数， ∴对折n次，层数； （2）解： （毫米）， 答：对折7次时纸的总厚度的总厚度为6.4毫米． 题型7 乘方的规律探究问题 观察下列各式，完成下列问题。 已知1+3=4=22， 1+3+5=9=32， 1+3+5+7=16=42， 1+3+5+7+9=25=52，…… （1）仿照上例，计算：1+3+5+7+……+99=_______ （2）根据上述规律，请你用自然数n（n≥1）表示一般规律：_______ （3）根据你所总结的规律计算121+123+……+179的值 【答案】（1）2500；（2）；（3）4500． 【分析】（1）仿照例子即可得； （2）根据例子归纳类推出一般规律即可得； （3）先根据规律分别求出和的值，再作差即可得． 【详解】（1）， 故答案为：2500； （2）归纳类推得：， 故答案为：； （3）， ， 则， ， ， ． 培优训练：让你一飞冲天，一鸣惊人 一、选择题（本大题共8小题） 1．对于式子，下列说法错误的是（      ） A．表示3个2相乘 B．指数是3 C．底数是 D．幂为 【答案】A 【分析】本题考查有理数幂的定义，根据有理数幂的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、表示3个相乘，原说法错误，符合题意； B、指数是3，原说法正确，不符合题意； C、底数是，原说法正确，不符合题意； D、幂为，原说法正确，不符合题意； 故选A． 2．的底数、指数、结果分别是（    ） A． B． C．2，4，16 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数幂的概念，有理数的乘方计算，对于式子，其中a叫做底数，m叫做指数，据此结合有理数乘方计算法则求解即可． 【详解】解：的底数是2，指数是4，其结果为， 故选：D． 3．下列各式中，不相等的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，绝对值．根据乘方运算和绝对值法则，逐个计算即可． 【详解】解：A、，，则，不符合题意； B、，，则，不符合题意； C、，，则，符合题意； D、，，则，不符合题意； 故选：C． 4．若是负数，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据乘方的定义即可依次判断． 【详解】解：A、是负数，则，不符合题意； B、是负数，则，不符合题意； C、是负数，则，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：D． 5．在，，，0中，非负数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘方中的符号问题，判断每个数的正负号即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，，，0中，只有0是非负数． 故选：A． 6．近期生物科学家发现一种病毒的长度约为米，利用科学记数法表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中， n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．与绝对值较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：B． 7．拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成许多细的面条，如图所示，这样捏合到第8次后，就可以拉出（    ）根细面条． A．16 B．32 C．64 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的乘方，能够根据题意列出式子是解题的关键．由图可知，第一次捏合是，即，第二次是，即，第三次是，即，即可得到答案． 【详解】解：第一次捏合后面条根，即根， 第二次捏合后面条根，即根， 第三次捏合后面条根，即根， 故第8次捏合后面条为根， 故选D． 8．生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示即；，，，，，…，请你推算的个位数字是（    ） A．6 B．4 C．2 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查数字的变化规律，乘方运算．根据尾数的循环性得出结论即可， 【详解】解：由题意知，个位数字每四个数按2，4，8，6循环出现， ∵， ∴的个位数字与相同，为6， 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题） 9．（1）将写成幂的形式是 ，底数是 ，指数是 ． （2）表示的意义是 ，底数是 ，指数是 ；表示的意义是 ，底数是 ，指数是 ． 【答案】 4 4个相乘 4 4个2相乘的相反数 2 4 【分析】本题考查有理数的乘方，熟练掌握乘方的知识是解答本题的关键． （1 ）根据题意，可以将题目中的数据写成幂的形式，再写出相应的底数和指数即可； （2 ）根据题意，可以将题目中的数据表示的意义、底数及指数即可． 【详解】解：（1 ），底数是，指数是4， 故答案为：，，4； （2）表示的意义是4个相乘，底数是，指数是4； 表示的意义是4个2相乘的相反数，底数是2，指数是4， 故答案为：4个相乘，，4；4个2相乘的相反数，2，4． 10．计算： ， ， ． 【答案】 4 / 【分析】本题考查有理数的乘方运算，正确计算出结果是解题的关键．根据有理数的乘方法则计算即可． 【详解】解：，，， 故答案为：，4，． 11．如果一个数的15次幂是负数，那么这个数的2021次幂是 ．（填“正数”或“负数”） 【答案】负数 【分析】根据一个数的15次幂是负数，得到这个数为负数，进而得到这个数的2021次幂也是负数． 【详解】解：因为正数的奇次幂是正数，负数的奇次幂是负数， 故一个数的15次幂是负数，可知这个数为负数， 所以这个数的2021次幂还是负数； 故答案为：负数． 12．中国科学院高能物理研究所发布，基于中国“慧眼”卫星和“极目”空间望远镜对产生于距离地球光年宇宙深处伽马射线暴的高精度测量，发现其具有迄今观察到的最大亮度，其中用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故答案为：． 13．根据国家旅游局数据中心综合测算，今年国庆期间全国累计旅游收入4 822亿元，用科学记数法表示4 822亿为4.822×1011，则原数中“0”的个数是 个. 【答案】8 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】4.822×1011=482200000000，则原数中“0”的个数是8个， 故填：8. 14．《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为64米的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度是 米． 【答案】2 【分析】本题考查了有理数乘方，掌握有理数乘方的意义及性质，理解题意写出算式是解题关键． 根据题意依次算出每一天剩余木棍的长度，观察规律即可求得第5天截取后木棍剩余的长度． 【详解】解：第一天截取后剩：米 第二天截取后剩：米 …… ∴第五天截取后剩：米． 故答案为：2． 15．在古代，人们通过在绳子上打结来计数．即“结绳计数”，当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了 天 【答案】516 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意以及图形分析，根据满七进一求解是解题的关键． 【详解】解：绳结表示的数为， 故答案为：516； 16．如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是下部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，受此启发，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方的应用；根据题意可以写出前几部分的面积，从而可以发现各部分面积的变化规律，再根据图形可知阴影部分的面积和部分⑥的面积相等，进而即可求解． 【详解】解：由题意可知， 部分①面积是， 部分②面积是， 部分③面积是， …， 则阴影部分的面积是， 阴影部分的面积是； ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共5小题） 17．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)． (7)． (8)． 【答案】(1)64 (2) (3) (4) (5)32 (6) (7) (8) 【分析】此题考查的是有理数的乘方运算，掌握有理数乘方的意义是解决此题的关键． （1）~(8)均根据乘方的意义计算即可； 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） ； （8） ； 18．你能迅速的判断下列各幂的正负吗？ (1)； (2)． 【答案】(1)正，正，负，正，负，正 (2)正，正，既不为正也不为负，正，正 【分析】（1）根据正数的乘方为正数，负数的偶数次方为正数，奇数次方为负数即可求解． （2）根据正数的乘方为正数，负数的偶数次方为正数，奇数次方为负数即可求解，0既不是正数，也不是负数． 【详解】（1）解：根据正数的乘方为正数，负数的偶数次方为正数，奇数次方为负数，则：16为正，故为正； 25为正，故为正； 为负，且9为奇数，故为负； 为负，6为偶数，故为正； -1为负，101为奇数，故为负； 为负，50为偶数，故为正． （2）根据正数的乘方为正数，负数的偶数次方为正数，奇数次方为负数， 0.01为正，故为正； 为负，2为偶数，故为正； ，0既不是正数也不是负数； 为正，故为正； 为负，2为偶数，故为正． 19．计算：（1） 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，先计算平方，化简绝对值，然后计算乘除法，最后再计算加减法． 【详解】解∶ 20．计算： 【答案】19 【分析】本题考查了有理数的加减运算，乘法运算，乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先用分配律进行计算，再进行加法运算． 【详解】解：原式 21．计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，去绝对值，幂的运算，正确运用相关运算法则计算是解题的关键； 根据有理数的混合运算法则即可求解； 【详解】解： 22．计算． 【答案】 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，掌握相应运算法则是解题的关键． 本题根据有理数的混合运算法则，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的，依次运算即可． 【详解】解： ． 故答案为：0 ． 23．如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞经过1次分裂便由1个分裂成2个． 根据此规律可得： (1)这样的一个细胞经过2次分裂后可分裂成　　个细胞； (2)这样的一个细胞经过5次分裂后可分裂成　　个细胞； (3)这样的一个细胞经过n（n为正整数）次分裂后可分裂成　　个细胞． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的乘方的应用； （1）根据题意，一次分裂成2个，则2次分裂成4个． （2）根据题意，5次分裂成个； （3）根据规律可得次后分裂为个 【详解】（1）解：依题意，一次分裂成2个，则2次分裂成4个； 故答案为：． （2）解：依题意，5次分裂成个； 故答案为：． （3）解：根据规律可得次后分裂为个 故答案为：． 24．生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一， 例：； 计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一， 例：二进制数10010转化为十进制数： ； 其他进制也有类似的算法… (1)【发现】根据以上信息，将二进制数“10110”转化为十进制数是________； (2)【迁移】按照上面的格式将八进制数“4372”转化为十进制数； (3)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数． 【答案】(1) (2) (3)42天 【分析】本题考查了有理数乘方的应用； （1）根据题目信息直接进行计算即可； （2）根据二进制转十进制的方法列式计算即可； （3）根据满五进一可知，类似于五进制数，然后仿照二进制转十进制的方法列式计算即可． 【详解】（1）解：将二进制数“10110”转化为十进制数是， 故答案为：； （2）将八进制数“4372”转化为十进制数； （3）因为从右向左绳结的数量依次为2，3，1， 所以孩子已经出生的天数为天． 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$