精品解析：河南省实验中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

河南省实验中学2024-2025学年上期开学考 高三数学 时间：120分钟 满分：150分 命题人：杨亚峰 赵风江 审题人：杨亚峰 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1. 已知集合，，，则M、N、P的关系满足（ ） A. B. C. D. 2. 心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.一心形作为建筑立面造型，呈现出优雅的弧度，心形木屋融入山川，河流，森林，草原，营造出一个精神和自然聚合的空间.图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ） A. B. C. D. 3. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海，”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天的“退步”率都是，一年后是．这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍．那么当“进步值”是“退步值”的5倍时，大约经过（ ）（参考数据：） A. 70天 B. 80天 C. 90天 D. 100天 4. 已知函数，若，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数 是定义在R上的偶函数，且在上是减函数，，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 已知正数，满足，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 8. 函数及其导数的定义域均为，记，若和都是偶函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 是奇函数 D. 是偶函数 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分， 有选错的得 0 分． 9. 已知a，b为正实数，且 ，，，则（ ） A. 的最大值为4 B. 的最小值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为2 10. 设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数.令函数，以下结论正确的有（ ） A. B. 为奇函数 C. D. 的值域为 11. 已知函数的定义域为 ，且当时， ．若对任意的 ，都有，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象过点 B. 为奇函数 C. D. 在上单调递减 第II卷（非选择题） 三、填空题 （本题共 4 小题，每小题 5 分，共 15 分．） 12. 已知多项式，则__________. 13. 设函数是定义在整数集上的函数，且满足，对任意的x，都有，则＝______． 14. 若函数的最小值为0，则__________. 四、解答题 15. 对数均值不等式在各个领域都有着重要应用． （1）试证明对数均值不等式的前半部分或后半部分： （2）设，试证明： 16. 某学校举办了一次主题为“科技兴国，强国有我”的知识竞赛，并从所有参赛学生中随机抽取了男、女生各50人，统计他们的竞赛成绩（满分100分，每名参赛学生至少得60分），并将成绩分成4组：，，，（单位：分），得到如下的频率分布直方图． （1）现将竞赛成绩不低于90分的学生称为“科技知识达人”，成绩低于90分的学生称为“非科技知识达人”．把随机抽取的参赛学生数据统计如下，将下列 列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为能否获得“科技知识达人”称号与性别有关． 科技知识达人 非科技知识达人 合计 男生 15 女生 合计 （2）将频率视为概率，从所有参赛学生中随机抽取3人进行访谈，记这3人中是“科技知识达人”的人数为 ，求 的分布列与数学期望． 附：（其中 ）． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 17. 为实施乡村振兴，科技兴农，某村建起了田园综合体，并从省城请来专家进行技术指导．根据统计，该田园综合体西红柿亩产量的增加量y（千克）与某种液体肥料每亩使用量x（千克）之间的对应数据如下． x（千克） 2 4 5 6 8 y（千克） 300 400 400 400 500 （1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合 与的关系，请计算相关系数并加以说明（若 ，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）； （2）求 关于的线性回归方程，并预测当液体肥料每亩使用量为20千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少千克？ 附：对于一组数据 ， ，⋯， ，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数r的公式分别为，，． 参考数据： ． 18. 已知函数，． （1）若关于的不等式 在实数集 上恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式． 19. 给定正整数 ，设集合.对于集合中的任意元素和，记.设，且集合，对于中任意元素，若，则称具有性质. （1）是否存在集合具有性质，若存在，请写出的表达式，若不存在，请说明理由； （2）判断集合是否具有性质？若具有，求的值；若不具有，请说明理由； （3）是否存在具有性质的集合？若存在，请找出来；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省实验中学2024-2025学年上期开学考 高三数学 时间：120分钟 满分：150分 命题人：杨亚峰 赵风江 审题人：杨亚峰 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1. 已知集合，，，则M、N、P的关系满足（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，将集合中元素化为统一形式，进而判断各选项. 【详解】依题意，， ， 所以对任意，存在使， 令，则且，所以. 同理，对任意，存在使， 令，则且，所以，综上，. ，则， 所以的关系满足. 故选：A 2. 心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.一心形作为建筑立面造型，呈现出优雅的弧度，心形木屋融入山川，河流，森林，草原，营造出一个精神和自然聚合的空间.图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇偶性和最值排除错误答案即可. 【详解】A选项：，故A错误； B选项：记，则，故为奇函数， 不符合题意，故B错误； C选项：记，则， 故为偶函数， 当时，， 此函数在上单调递增，在上单调递减， 且，故C正确； D选项：记，则， 故既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意，故D错误. 故选：C. 3. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海，”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天的“退步”率都是，一年后是．这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍．那么当“进步值”是“退步值”的5倍时，大约经过（ ）（参考数据：） A. 70天 B. 80天 C. 90天 D. 100天 【答案】B 【解析】 【分析】先根据天后的“进步值”是“退步值”的5倍列方程，应用指对转化求值. 【详解】设天后的“进步值”是“退步值”的5倍，则，即，两边同时取对数得， 化简得， 所以． 故当“进步值”是“退步值”的5倍时，大约经过80天． 故选:B． 4. 已知函数，若，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先计算出和的范围以及之间的关系，再利用函数单调性求范围． 【详解】因为，，且， 所以，且，即， 所以，令， 则， 所以 在单调递减，， 所以的取值范围是， 故选：D． 5. 已知函数 是定义在R上的偶函数，且在上是减函数，，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的性质，结合函数的零点，解抽象不等式. 【详解】因为函数是偶函数，在上是减函数，所以在上是增函数，， 时，，， 则或. 当时，，得时； 当时，，此时. 故选:D. 6. 已知正数，满足，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据对数定义把指数化为对数，再根据对数运算结合基本不等式逐个运算判断. 【详解】设，则, ∴ 对A：，A正确； 对B：由题意可得：，同理可得： ∵ ∴，则，B错误； 对C：∵ ∴，C正确； 对D： ∴，D正确； 故选：B. 7. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 【答案】B 【解析】 【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解 【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式， 故选：B 8. 函数及其导数的定义域均为，记，若和都是偶函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 是奇函数 D. 是偶函数 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可知函数 、 的图象分别关于直线 、对称，结合导数的几何意义可知函数 图象关于与对称，且 的图象关于点对称，进而证得函数 的周期为4，则，即可求解. 【详解】由是偶函数，得， 所以函数 的图象关于直线 对称； 由是偶函数，得， 所以函数 的图象关于直线对称，又， 则 关于对称，所以是函数 图象的对称中心， 由于不确定的值，所以无法判断函数 的奇偶性，故排除选项A、B； 又，由，得， 即，得， 所以函数 的图象关于点对称； 由，得，即， 所以，即， 所以函数 的周期为4，所以， 所以函数 为偶函数，故排除C，选择D. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题通过函数的奇偶性、对称性和周期性，结合导数的几何意义、运算和合理赋值，寻找函数 图象的对称性是解题的关键，原函数与导函数图象的关系、奇偶性的联系都是解题的思路. 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分， 有选错的得 0 分． 9. 已知a，b为正实数，且 ，，，则（ ） A. 的最大值为4 B. 的最小值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为2 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，由基本不等式得到，从而得到，求出；B选项，，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值；C选项，由基本不等式得到，从而得到，得到；D选项，变形得到，由C选项，得到答案. 【详解】A选项，， 因为a，b为正实数，且 ，， 由基本不等式得，即，解得， 当且仅当时，等号成立，故 的最小值为4，A错误； B选项，由， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立，B正确； C选项，， 因为a，b为正实数，且 ，， 由基本不等式得，即，解得， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为4，C正确； D选项，因为，所以， 因为的最小值为4，所以的最小值为2，D正确. 故选：BCD 10. 设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数.令函数，以下结论正确的有（ ） A. B. 为奇函数 C. D. 的值域为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题中定义，结合奇函数的性质、函数的周期的性质逐一判断即可. 【详解】对于，故正确. 对于 ，取 .1，则，而，故，所以不为奇函数，故B错误. 对于，故C正确. 对于 ，由可知，为周期函数，且周期为1， 当 时，，当时，， 当 时，； 当时，，则的值域为，故D错误， 故选：AC 【点睛】关键点睛：根据题中定义进行求解是解题的关键. 11. 已知函数的定义域为 ，且当时， ．若对任意的 ，都有，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象过点 B. 为奇函数 C. D. 在上单调递减 【答案】BC 【解析】 【分析】令，求出的值，可判定A项；令，利用奇函数的定义可判定B项；令和，得到，结合 ，可得判定C项；设，且，令，，利用函数单调性的定义及奇函数的性质，可判定D项. 【详解】对于A中，由， 令，可得，解得 ，所以A不正确． 对于B中，令，， 则，，，即， 因为 不恒成立，所以，所以为奇函数，所以B正确． 对于C中，令，则， 令，则， 两式相减得， 所以， 即， 当时， ，所以，，则， 所以C正确． 对于D中设，且，令，， 则，又由，，，， 所以，即， 所以在上单调递增，则在上单调递增，所以D不正确． 故选：BC. 【点睛】方法点睛：解答抽象函数问题的方法较多，其中赋值法是一种行之有效的方法，赋值时主要从以下几个方面考虑： ①令，利用这些特殊值求抽象函数的函数值； ②取为 ，判断抽象函数的奇偶性； ③将换为，确定抽象函数的周期． 第II卷（非选择题） 三、填空题 （本题共 4 小题，每小题 5 分，共 15 分．） 12. 已知多项式，则__________. 【答案】32 【解析】 【分析】借助换元法设，可得，借助赋值法令即可得，分别计算出与的展开式中一次项与常数项后，计算即可得，即可得解. 【详解】设，则， 令，则， 的展开式中一次项为，常数项为， 的展开式中一次项为，常数项为， 所以， 所以. 故答案为： . 13. 设函数是定义在整数集上的函数，且满足，对任意的x，都有，则＝______． 【答案】 【解析】 【分析】由通过赋值，推导出函数 周期,通过已知函数值,分析中自变量的数据特征求值. 【详解】令 , 令得 , 令 ,得, 即, 可得, 所以, 所以, 所以函数 周期, 为奇数时,, 因为为奇数时,也为奇数,此时 为偶数时,为4的整数倍,此时， ， 因为, 由,则为偶数, 记， 则， ， ， 所以， 所以. 故答案为:. 14. 若函数的最小值为0，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先把恒成立不等式同构再结合函数的单调性得出恒成立，再由导数求出最小值即可. 【详解】由题意可知恒成立， 所以恒成立. 令，则是增函数，且， 所以，即恒成立且等号能成立. 令，则. 当时， ，单调递减； 当 时，单调递增. 所以的最小值为，所以. 故答案为：. 四、解答题 15. 对数均值不等式在各个领域都有着重要应用． （1）试证明对数均值不等式的前半部分或后半部分： （2）设，试证明： 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）不妨设，等价于，令，求导，利用导函数的符号可得函数的单调性，进而可证结论成立，等价于，令，求导，利用导函数的符号可得函数的单调性，进而可证结论成立，. （2）利用，可得，再累加求和即可. 【小问1详解】 不妨设， 因为， 设，，则问题转化为：，． 令， 所以在 上恒成立， 所以在 上单调递增；所以，在上单调递增，所以． 故，成立，所以． 又因为． 令，则在上恒成立， 所以在上单调递减，所以，故，成立，所以． 所以：成立． 【小问2详解】 根据 ， 所以， 所以，成立 16. 某学校举办了一次主题为“科技兴国，强国有我”的知识竞赛，并从所有参赛学生中随机抽取了男、女生各50人，统计他们的竞赛成绩（满分100分，每名参赛学生至少得60分），并将成绩分成4组：，，，（单位：分），得到如下的频率分布直方图． （1）现将竞赛成绩不低于90分的学生称为“科技知识达人”，成绩低于90分的学生称为“非科技知识达人”．把随机抽取的参赛学生数据统计如下，将下列 列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为能否获得“科技知识达人”称号与性别有关． 科技知识达人 非科技知识达人 合计 男生 15 女生 合计 （2）将频率视为概率，从所有参赛学生中随机抽取3人进行访谈，记这3人中是“科技知识达人”的人数为 ，求 的分布列与数学期望． 附：（其中 ）． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 科技知识达人 非科技知识达人 合计 男生 15 35 50 女生 5 45 50 合计 20 80 100 有的把握认为能否获得“科技知识达人”称号与性别有关 （2） 0 1 2 3 期望 【解析】 【分析】（1）补充完整 列联表，计算的值，再与临界值比较即可； （2）由题意可知， 的可能取值为0，1，2，3，利用二项分布的概率公式求出相应的概率，进而得到 的分布列，再结合期望公式求解． 【小问1详解】 列联表补充完整如下： 科技知识达人 非科技知识达人 合计 男生 15 35 50 女生 5 45 50 合计 20 80 100 零假设：能否获得“科技知识达人”称号与性别无关， 则， 所以依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即有的把握认为能否获得“科技知识达人”称号与性别有关； 【小问2详解】 从所有参赛学生中任取一人是“科技知识达人”的概率， 由题意可知：， 的可能取值为0，1，2，3， 则， ， ， ， 所以 的分布列为： 0 1 2 3 所以． 17. 为实施乡村振兴，科技兴农，某村建起了田园综合体，并从省城请来专家进行技术指导．根据统计，该田园综合体西红柿亩产量的增加量y（千克）与某种液体肥料每亩使用量x（千克）之间的对应数据如下． x（千克） 2 4 5 6 8 y（千克） 300 400 400 400 500 （1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明（若 ，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）； （2）求关于的线性回归方程，并预测当液体肥料每亩使用量为20千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少千克？ 附：对于一组数据 ， ，⋯， ，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数r的公式分别为，，． 参考数据： ． 【答案】（1） 由已知数据可得 ， ， ， ， ， 相关系数 ． ，可用线性回归模型拟合y与x的关系． （2） ，850千克 【解析】 【分析】（1）首先求和，再代入相关系数的公式，即可求解，并加以说明； （2）将数据代入公式求和，即可求解回归直线方程，并代入进行预测. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， 线性回归方程为 ． 当时， ． 即当液体肥料每亩使用量为20千克时，西红柿亩产量的增加量约为850千克． 18. 已知函数，． （1）若关于的不等式 在实数集 上恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式． 【答案】（1） （2）当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当 时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为 【解析】 【分析】（1）对进行分类讨论，根据一元二次不等式的性质即可求解. （2）化简问题得出，对分三类讨论，利用一元二次不等式的性质即可求解. 【小问1详解】 依题意，在实数集 上恒成立． ①当 时， ，成立； ②当 时，要使原不等式恒成立， 则，解得． 综上所述，实数的取值范围是． 【小问2详解】 不等式， 等价于， 即． ①当时，解原不等式可得或； ②当 时，不等式整理为，解得； ③当 时，方程的两根为，， （i）当时，因为，解原不等式得； （ii）当时，因为，原不等式的解集为； （iii）当时，因为，解原不等式得， 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当 时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为 19. 给定正整数 ，设集合.对于集合中的任意元素和，记.设，且集合，对于中任意元素，若，则称具有性质. （1）是否存在集合具有性质，若存在，请写出的表达式，若不存在，请说明理由； （2）判断集合是否具有性质？若具有，求的值；若不具有，请说明理由； （3）是否存在具有性质的集合？若存在，请找出来；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）不存在，理由如下： 由题意可知表示集合有2个元素，且 ，， 则或，均无法满足， 所以不存在集合具有性质. （2）具有，12 （3）不存在，理由如下： 假设存在集合具有性质，易知集合中有4个元素且. ①若，则，不符合4个元素，舍去； ②若 ，则，， 又， 所以不满足，舍去； ③若 ，则， 又， 所以这3组每组至多只能有一个包含于，所以至多只有3个元素，矛盾，舍去； ④若，则，， 又， 所以不满足，舍去； ⑤若，则，只有一个元素，舍去. 综上，不存在具有性质的集合. 【解析】 【分析】（1）根据定义可确定具有性质的集合中的元素个数和元素具备的性质，即可得解； （2）对给定的集合，逐一验证，可检验集合是否具有性质，并求所要求的和； （3）对进行分类讨论，逐个验证是否符合该性质. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 对于， 则，同理， 而，同理， 所以具有性质. 且. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：对新定义型的题目解答，关键是要理解好题意，按定义的要求进行计算解答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $