素养拓展01 建系求点能力培养强化（思维导图+5大题型+综合通关）（暑假预习讲义）新高二数学人教A版

素养拓展01 建系求点能力培养强化 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 建系求点问题 一、建系设点有关的基础储备 1、与垂直相关的定理与结论 （1）线面垂直 ①如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直 ②两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直 ③两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直 ④直棱柱：侧棱与底面垂直； ⑤有一条侧棱垂直于底面的椎体。 ⑥正三棱柱、正四棱柱：顶点在底面的投影为底面的中心。 ⑦侧面与底面所成角均相等或侧棱长均相等可得顶点在底面的投影为底面的中心。 （2）线线垂直（相交垂直） ①正方形，矩形，直角梯形 ②等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一） ③菱形的对角线相互垂直 ④勾股定理逆定理：若，则 二、建立直角坐标系的原则 1、轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即轴要与坐标平面垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为轴与底面的交点 2、轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考： （1）尽可能的让底面上更多的点位于轴上 （2）找角：轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件 （3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点 3、常用的空间直角坐标系满足轴成右手系，所以在标轴时要注意。 4、同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应不同。但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的。 5、解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直底面两条线垂直），这个过程不能省略。 三、坐标的书写 1、能够直接写出坐标的点 （1） 坐标轴上的点，例如在正方体（长度为1）中的点，坐标特点如下： 轴： 轴： 轴： （2）底面上的点：坐标均为，即竖坐标，由于底面在作立体图时往往失真，所以要快速正确写出坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考：以下图为例： 则可快速写出点的坐标，位置关系清晰明了 2、空间中在底面投影为特殊位置的点 如果在底面的投影为，那么（即点与投影点的横纵坐标相同） 这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写。如果可以则直接确定了横纵坐标，而竖坐标为该点到底面的距离。例如：正方体中的点，其投影为，而所以，而其到底面的距离为，故坐标为 以上两个类型已经可以囊括大多数几何体中的点，但总还有一些特殊点，那么就要用到第三个方法： 3、需要计算的点 ①中点坐标公式：，则中点 ②利用向量关系进行计算（先设再求）：向量坐标化后，向量的关系也可转化为坐标的关系，进而可以求出一些位置不好的点的坐标，方法通常是先设出所求点的坐标，再选取向量，利用向量关系解出变量的值，例如：求点的坐标，如果使用向量计算，则设，可直接写出，观察向量，而 ， 四、空间直角坐标系建立的模型 1、墙角模型：已知条件中有过一点两两垂直的三条直线，就是墙角模型． 建系：以该点为原点，分别以两两垂直的三条直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，当然条件不明显时，要先证明过一点的三条直线两两垂直(即一个线面垂直面内两条线垂直)，这个过程不能省略．然后建系． 　　　 2、垂面模型：已知条件中有一条直线垂直于一个平面，就是墙角模型． 情形１　垂下(上)模型：直线竖直，平面水平，大部分题目都是这种类型．如图，此情形包括垂足在平面图形的顶点处、垂足在平面图形的边上(中点多)和垂足在平面图形的内部三种情况． 第一种建系方法为以垂足为坐标原点，垂线的向上方向为z轴，平面图形的一边为x轴或y轴，在平面图形中，过原点作x轴或y轴的垂线为y轴或x轴(其中很多题目是连接垂足与平面图形的另一顶点)建立空间直角坐标系．如图1-1 第二种建系方法为以垂足为坐标原点，垂线的向上方向为z轴，垂足所在的一边为x轴或y轴，在平面图形中，过原点作x轴或y轴的垂线为y轴或x轴(其中很多题目是连接垂足与平面图形的另一顶点)建立空间直角坐标系．如图1-2 第三种建系方法为以垂足为坐标原点，垂线的向上方向为z轴，连接垂足与平面图形的一顶点所在直线为为x轴或y轴，在平面图形中，过原点作x轴或y轴的垂线为y轴或x轴(其中很多题目是连接垂足与平面图形的另一顶点)建立空间直角坐标系．如图1-3 　　　　　　 图1－1 　　　 图1－2 　 　 图1－3 情形2　垂左(右)模型：直线水平，平面竖直．各种情况如图，建系方法可类比情形1． 图2－1　　　　　　　　　　　　　　图2－2　　　　　　　　　　　　图2－3 情形3　垂后(前)模型：直线水平，平面竖直．各种情况如图，建系方法可类比情形1． 图3－1　　　 题型01 底面是三角形载体 1．（24-25高二上·陕西西安·期中）我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中把底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在堑堵中，，，分别是线段，上的点，且，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河南南阳·期末）在正三棱锥中，是棱的中点，则点到直线的距离是（   ） A．3 B． C．8 D． 3．（2026高二下·浙江温州·学业考试）已知三棱锥，，点为内部一点，若，，且，则____________． 4．如图，三棱锥中，，，，为的中点． (1)证明：； (2)点满足，求直线与平面所成角的正弦值． 5．如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，平面平面，，，E为PD的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值． 6．如图，在三棱锥中，为的中点.点在棱上，. (1)若平面，求二面角的大小； (2)在直线上是否存在点，使得平面？若存在，确定点的位置；若不存在请说明理由. 【技巧归纳】 建立直角坐标系的原则 1、轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即轴要与坐标平面垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为轴与底面的交点 2、轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考： （1）尽可能的让底面上更多的点位于轴上 （2）找角：轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件 （3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点 3、常用的空间直角坐标系满足轴成右手系，所以在标轴时要注意. 4、同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应不同.但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的. 5、解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直底面两条线垂直），这个过程不能省略. 题型02 底面是四边形（菱形、梯形等）载体 1．（25-26高二下·上海·期中）如图所示，在直四棱柱中，底面是梯形，，，，，E，F分别为棱，的中点． (1)求证：直线平面； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 2．（25-26高二下·贵州遵义·期中）如图所示，在四棱锥中，底面，底面为正方形，在侧棱上，，为的中点，点在侧棱上，且． (1)证明：、、、四点共面； (2)若，求点到平面的距离． 3．（25-26高二下·江苏镇江·期末）已知四棱锥的底面是菱形，，交于点，底面，点为棱上的点.在空间坐标系中，点，，，. (1)求点坐标； (2)求直线与平面所成的角； (3)求平面与平面的夹角的余弦值. 4．如图，在五面体中，四边形是矩形，平面平面，是正三角形，，，． (1)求证：； (2)求二面角的余弦值． 5．如图，在四棱锥中，平面平面，， ，，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 6．（25-26高二上·广东惠州·期中）如图，已知四棱锥中，，三棱锥A-PCD为正三棱锥，且.    (1)求证：； (2)设的重心为，求直线与平面所成角的正弦值. 题型03 底面是圆形载体 1．（24-25高二上·山西晋城·阶段检测）已知圆柱的底面半径为，高为，如图，矩形是圆柱的轴截面，点是圆柱下底面圆上一点，且满足，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）如图，圆锥PO的底面圆周上有三点，为底面圆O的直径，点是底面直径所对弧的中点，点D是母线PA的中点，若，则直线和平面所成角的正弦值为（   ）    A． B． C． D． 3．（25-26高二上·重庆·期中）如图，为圆柱的轴截面，为底面半圆周上一点，为中点，，其中，．    (1)求的长； (2)若，求平面与平面所成夹角的余弦值． 4．如图所示，在圆锥中，是的直径，是正三角形，点在上，且，.    (1)证明：平面； (2)设为的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 5．如图，已知圆台，AB，CD，EF均为母线，四边形为圆台的轴截面，且，． (1)证明：； (2)求异面直线EF与BC所成角； (3)已知二面角的余弦值为，求圆台的高的长． 题型04 棱台、其他图形载体 1．（25-26高二上·天津河东·期中）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点分别在棱上．      (1)若是的中点，证明：平面； (2)若，平面与平面夹角的余弦值为，求四面体的体积． 2．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）在三棱台中，，，，，，平面. (1)若平面平面，求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 3．（25-26高二上·安徽蚌埠·阶段检测）如图，四棱台中，上､下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧面所成的角为.    (1)求点到平面的距离； (2)求二面角的余弦值. 4．如图所示，在六棱锥中，平面，六边形是边长为3的正六边形，是上靠近点的三等分点． (1)证明：平面； (2)求线与平面所成角的正弦值． 5．如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． (1)证明：； (2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 6．在五棱锥中，，底面五边形中，，，，． (1)求证：； (2)若，，求与所成角的余弦值． 题型05 在图形之外建系以及其他特殊建系 1．（25-26高二下·安徽安庆·期中）如图，在四棱锥中，底面是菱形，. (1)求证：； (2)若，且，，求平面与平面所成角的正弦值. 2．如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，，为中点． (1)求证：平面； (2)若平面平面，求到平面的距离； (3)若三棱锥外接球半径为2，求直线和平面所成角的余弦值． 3．如图，和都垂直平面，且，，是的中点． (1)证明：平面； (2)若四棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 4．如图，在矩形中、，．为线段中点，将沿翻折至，使得． (1)证明：平面； (2)点，分别为线段，上的点，，当直线与平面所成角最大时，求点到平面的距离． 1．如图，在四棱锥中，，，，点满足. (1)求证：平面； (2)若平面，，，，求平面与平面夹角的余弦值. 2．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，和均是边长为2的正三角形，，分别为棱，的中点，且. (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 3．如图，是圆锥的顶点，是底面圆心，是底面直径，是母线的中点，点，在底面圆周上，且，点在线段上，且直线平面．    (1)证明：； (2)若是正三角形，求直线与平面所成角的正弦值． 4．如图，在面积为的梯形中，，，为的中点.将沿翻折至.    (1)证明：； (2)当时，求平面与平面夹角的余弦值. 5．如图，三棱柱的棱长均相等，平面平面，，，分别为，的中点．    (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 6．（24-25高二下·江苏徐州·期末）如图在多面体中，四边形是边长为4的正方形，四边形为等腰梯形，且，，，． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 7．（25-26高二下·云南红河·期中）如图，在四棱锥中，平面，且，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求四棱锥的体积； (3)求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 8．（25-26高二下·湖南长沙·期中）如图1所示，△ABE是边长为2的正三角形，四边形BCDE是一个梯形；其中BE∥CD，ED＝DC＝CB＝1，现在沿着BE把△ABE折起到△的位置，连接，且使得＝2，如图2所示． (1)求证：平面； (2)求直线与平面夹角的正弦值． 9．（25-26高二上·湖南湘潭·期末）如图，在三棱台中，，平面，． (1)证明：平面平面； (2)若，点满足，求平面与平面夹角的余弦值． 10．如图所示，在多面体中，为平面六边形，平面平面，平面⊥平面，，，与都是边长为2的等边三角形， ，，，， M，N，K分别为的中点． (1)求证：平面； (2)棱上是否存在点P，使得与平面成角？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 11．（25-26高二下·云南玉溪·阶段检测）如图，在四边形中，，，为的中点，点在上，，，，将四边形沿翻折至四边形，使得面与面所成的二面角为． (1)证明：平面； (2)求面与面所成的二面角的正弦值． 12．如图，在四棱锥中，底面为边长等于2的菱形，，侧面为正三角形，且二面角为120°. (1)证明：； (2)设点为棱上的动点，当直线与平面所成角的正弦值为时，求的值. 13．（25-26高二上·四川南充·阶段检测）如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，底面为直角梯形，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），例如：正方体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正方体在各顶点的曲率为．已知四棱锥在点的曲率为． ①求证：平面平面； ②在直线上是否存在点，使得平面，若存在，求的长；若不存在，说明理由． 14．（25-26高二下·江苏南京·期末）如图，菱形的边长为，.现将沿折起，得到四面体 ，设二面角等于. (1)求证：； (2)若三棱锥的体积为， （i）求直线与平面所成的角； （ii）当时，求锐二面角的余弦值. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 α O l α y x z O l α O l α y x z O l l α O l α O y z x O D A B C P x y z O l α O l α y x z O l α O l α y x z l α O l α O y x z l α O l α x O y z l α O l α x y z O l α O l α y O z x $ 素养拓展01 建系求点能力培养强化 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 建系求点问题 一、建系设点有关的基础储备 1、与垂直相关的定理与结论 （1）线面垂直 ①如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直 ②两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直 ③两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直 ④直棱柱：侧棱与底面垂直； ⑤有一条侧棱垂直于底面的椎体。 ⑥正三棱柱、正四棱柱：顶点在底面的投影为底面的中心。 ⑦侧面与底面所成角均相等或侧棱长均相等可得顶点在底面的投影为底面的中心。 （2）线线垂直（相交垂直） ①正方形，矩形，直角梯形 ②等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一） ③菱形的对角线相互垂直 ④勾股定理逆定理：若，则 二、建立直角坐标系的原则 1、轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即轴要与坐标平面垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为轴与底面的交点 2、轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考： （1）尽可能的让底面上更多的点位于轴上 （2）找角：轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件 （3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点 3、常用的空间直角坐标系满足轴成右手系，所以在标轴时要注意。 4、同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应不同。但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的。 5、解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直底面两条线垂直），这个过程不能省略。 三、坐标的书写 1、能够直接写出坐标的点 （1） 坐标轴上的点，例如在正方体（长度为1）中的点，坐标特点如下： 轴： 轴： 轴： （2）底面上的点：坐标均为，即竖坐标，由于底面在作立体图时往往失真，所以要快速正确写出坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考：以下图为例： 则可快速写出点的坐标，位置关系清晰明了 2、空间中在底面投影为特殊位置的点 如果在底面的投影为，那么（即点与投影点的横纵坐标相同） 这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写。如果可以则直接确定了横纵坐标，而竖坐标为该点到底面的距离。例如：正方体中的点，其投影为，而所以，而其到底面的距离为，故坐标为 以上两个类型已经可以囊括大多数几何体中的点，但总还有一些特殊点，那么就要用到第三个方法： 3、需要计算的点 ①中点坐标公式：，则中点 ②利用向量关系进行计算（先设再求）：向量坐标化后，向量的关系也可转化为坐标的关系，进而可以求出一些位置不好的点的坐标，方法通常是先设出所求点的坐标，再选取向量，利用向量关系解出变量的值，例如：求点的坐标，如果使用向量计算，则设，可直接写出，观察向量，而 ， 四、空间直角坐标系建立的模型 1、墙角模型：已知条件中有过一点两两垂直的三条直线，就是墙角模型． 建系：以该点为原点，分别以两两垂直的三条直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，当然条件不明显时，要先证明过一点的三条直线两两垂直(即一个线面垂直面内两条线垂直)，这个过程不能省略．然后建系． 　　　 2、垂面模型：已知条件中有一条直线垂直于一个平面，就是墙角模型． 情形１　垂下(上)模型：直线竖直，平面水平，大部分题目都是这种类型．如图，此情形包括垂足在平面图形的顶点处、垂足在平面图形的边上(中点多)和垂足在平面图形的内部三种情况． 第一种建系方法为以垂足为坐标原点，垂线的向上方向为z轴，平面图形的一边为x轴或y轴，在平面图形中，过原点作x轴或y轴的垂线为y轴或x轴(其中很多题目是连接垂足与平面图形的另一顶点)建立空间直角坐标系．如图1-1 第二种建系方法为以垂足为坐标原点，垂线的向上方向为z轴，垂足所在的一边为x轴或y轴，在平面图形中，过原点作x轴或y轴的垂线为y轴或x轴(其中很多题目是连接垂足与平面图形的另一顶点)建立空间直角坐标系．如图1-2 第三种建系方法为以垂足为坐标原点，垂线的向上方向为z轴，连接垂足与平面图形的一顶点所在直线为为x轴或y轴，在平面图形中，过原点作x轴或y轴的垂线为y轴或x轴(其中很多题目是连接垂足与平面图形的另一顶点)建立空间直角坐标系．如图1-3 　　　　　　 图1－1 　　　 图1－2 　 　 图1－3 情形2　垂左(右)模型：直线水平，平面竖直．各种情况如图，建系方法可类比情形1． 图2－1　　　　　　　　　　　　　　图2－2　　　　　　　　　　　　图2－3 情形3　垂后(前)模型：直线水平，平面竖直．各种情况如图，建系方法可类比情形1． 图3－1　　　 题型01 底面是三角形载体 1．（24-25高二上·陕西西安·期中）我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中把底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在堑堵中，，，分别是线段，上的点，且，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，设，应用空间向量的数量积计算判断各个选项． 【详解】在堑堵中，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 不妨设，因，， 则得. 对于A，因，由可得不成立，故A错误； 对于B, 因，由，可得不成立，故B错误； 对于C，因，由，可得，故C正确； 对于D，因，由，可得不成立，故D错误. 2．（25-26高二上·河南南阳·期末）在正三棱锥中，是棱的中点，则点到直线的距离是（   ） A．3 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】取棱的中点，连接，作，垂足为，过点作，根据正三棱锥的性质得到平面、，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】如图，取棱的中点，连接，作，垂足为，过点作，交AB于点，交BC于点，连接BD. 因为三棱锥是正三棱锥， 所以平面，又为等边三角形，所以，所以， 则HB，HF，HP两两垂直， 故以为坐标原点，HB，HF，HP所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为是边长为的等边三角形，所以，． 因为，所以， 所以，，，，所以， 所以，， 则，， ， 所以点到直线BC的距离． 故选：D    3．（2026高二下·浙江温州·学业考试）已知三棱锥，，点为内部一点，若，，且，则____________． 【答案】/ 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，设，，由已知条件求得参数值，再由两点间距离公式计算. 【详解】由题意是等边三角形， 如图，以为轴，线段的中垂线为轴，建立空间直角坐标系（使得点的坐标为正）， 则，，， 因为，所以在线段的中垂面上，即在坐标平面上，设， 由得，即①， 设，由得， 解得，即， 又，， ， 所以②，③， 由②③解得，，，代入①得， 所以. 4．如图，三棱锥中，，，，为的中点． (1)证明：； (2)点满足，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过证明和均为等腰三角形，利用三线合一性质得到和，进而证明平面，最后利用线面垂直的性质得证； （2）根据（1）中的垂直关系及勾股定理逆定理证明，从而建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面角的正弦值。 【详解】（1）因为， 所以为等边三角形，则. 同理，因为， 所以为等边三角形，则，所以. 因为为的中点，所以. 又因为,为的中点，所以. 因为平面， 所以平面, 因为平面， 所以. （2）不妨设由（1）可知. 在中，，， 所以. 因为为的中点，所以，. 在中，， 所以 在中，， 所以. 由（1）知平面，且平面， 所以， 故两两垂直. 以为坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系 则 所以,. 因为， 所以 所以. 设平面的法向量为， 则，取，则， 设直线与平面所成角为， 则, 所以直线与平面所成角的正弦值为 5．如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，平面平面，，，E为PD的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形性质得到是等边三角形，取的中点，连接，得，再由面面垂直性质定理得到平面，再结合题中条件利用线面垂直判定定理得证；（2）建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用空间向量法求出平面与平面的法向量，计算夹角余弦值 【详解】（1）因为底面为菱形，，所以是等边三角形，， 取的中点，连接， 在菱形中，，所以是等边三角形，则， 又因为平面平面，且平面平面， 平面， 所以平面. （2）由（1）知平面，以A为原点，所在直线为x轴，过A作的垂线为 y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系. 因为，所以， 因为E为PD的中点，所以， ，设平面的法向量为， 则，取，得. ，设平面的法向量为， 则，取，得， 二面角为钝角， 故， 所以二面角的余弦值为. 6．如图，在三棱锥中，为的中点.点在棱上，. (1)若平面，求二面角的大小； (2)在直线上是否存在点，使得平面？若存在，确定点的位置；若不存在请说明理由. 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）建立空间直角坐标系，用向量的方法求面面角，进而可得二面角的大小； （2）先假设存在点，先求平面的法向量为，再由平面可得，从而可得，进而可得点的位置. 【详解】（1）因为，为的中点，所以，且． 又因为平面，平面，平面， 所以， ． 故以为原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系．如图： 由题意可得，， ， ，． 因为，即， 所以， 即． 易知平面的一个法向量为． 设平面的法向量为， 因 ，． 由，故可取故可取 ． 设二面角的大小为，由图可知为锐角， 则． 所以，即二面角的大小为． （2）存在，点位于线段的延长线上，且满足. 理由如下： 设，则， 设平面的法向量为，，由（1）知， 由，故可取. 因为平面，， 由，可得，解得，即. 因此存在点，位于线段的延长线上，且，使得平面． 【技巧归纳】 建立直角坐标系的原则 1、轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即轴要与坐标平面垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为轴与底面的交点 2、轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考： （1）尽可能的让底面上更多的点位于轴上 （2）找角：轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件 （3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点 3、常用的空间直角坐标系满足轴成右手系，所以在标轴时要注意. 4、同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应不同.但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的. 5、解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直底面两条线垂直），这个过程不能省略. 题型02 底面是四边形（菱形、梯形等）载体 1．（25-26高二下·上海·期中）如图所示，在直四棱柱中，底面是梯形，，，，，E，F分别为棱，的中点． (1)求证：直线平面； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法判断直线平面. （2）利用向量法求得平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【详解】（1）如图所示，以D为坐标原点，分别以，，为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系． ，，．，，； 由，因此，从而直线． 于是，不在平面上的直线平行于该平面上的直线， 因此根据直线与平面平行判定定理，就有直线平面． （2），设平面的法向量为，则， 代入坐标得令，则， 因此是平面的一个法向量． 平面的法向量为， 设平面与平面所成锐二面角为， 则． 综上所述，平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 2．（25-26高二下·贵州遵义·期中）如图所示，在四棱锥中，底面，底面为正方形，在侧棱上，，为的中点，点在侧棱上，且． (1)证明：、、、四点共面； (2)若，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）以为空间内一组基底，根据空间向量线性运算结合空间向量共面基本定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，根据点到平面距离空间向量法计算即可. 【详解】（1）因为为非零向量且不共线， 所以可以作为空间内一组基底， 因为在侧棱上，， 所以， 同理可得， 因为为的中点，所以， 因为, 所以共面，即、、、四点共面； （2）以点为坐标原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 所以平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 3．（25-26高二下·江苏镇江·期末）已知四棱锥的底面是菱形，，交于点，底面，点为棱上的点.在空间坐标系中，点，，，. (1)求点坐标； (2)求直线与平面所成的角； (3)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据线面垂直的性质及点的坐标确定垂足的坐标； （2）由已建立的空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角公式计算； （3）分别求出平面和平面的法向量，利用向量夹角公式计算二面角的余弦值. 【详解】（1）因底面，且均在平面上，所 以面即为平面. 又因为，所以平行于轴且在平面上， 故点的横、纵坐标与点相同，竖坐标为，所以. 如图，作出符合题意的图形， （2）直线的方向向量可取， 已知，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，解得，，取得. 设直线与平面所成角为，且，， 则，因为，故. 因此直线与平面所成的角为. （3）平面，，, 设平面的法向量为，则， 即，令，得，，即. 由（2）的分析知，平面的法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则. 因此平面与平面的夹角的余弦值为. 4．如图，在五面体中，四边形是矩形，平面平面，是正三角形，，，． (1)求证：； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)因为，平面，平面， 所以平面， 又平面平面，平面， 所以； (2) 【分析】（1）证明平面，再根据线面平行的性质即可得证； （2）分别取的中点，连接，根据面面垂直的性质可得平面，再以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】（1）略 （2）如图，分别取，的中点，，连接，，则，， 因为是正三角形，所以，， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 如图，以点为原点建立空间直角坐标系，则，，，， 故，， 设平面的法向量为， 则有，令，得， 则可取， 因为平面， 所以即为平面的一个法向量， 则， 所以二面角的大小的余弦值为． 5．如图，在四棱锥中，平面平面，， ，，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)因为平面平面，，平面平面，平面， 可得平面，则， 又因为，，平面， 所以平面. (2) 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，可证，结合可证线面垂直； （2）作辅助线，建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角. 【详解】（1）略 （2）取的中点，连结，， 因为，所以， 且 平面，平面 平面，平面平面， 所以平面，且平面，所以， 又因为，所以， 如图建立空间直角坐标系， 则，，，，， 可得，，， 设平面的法向量为，则， 令 ，则，可得， 则， 所以直线 与平面 所成角的正弦值为. 6．（25-26高二上·广东惠州·期中）如图，已知四棱锥中，，三棱锥A-PCD为正三棱锥，且.    (1)求证：； (2)设的重心为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）推导出平面，再利用线面垂直的性质定理可证得结论成立； （2）推导出平面，然后以点A为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）取中点，连接，因为三棱锥为正三棱锥， 所以为等边三角形，为全等的等腰三角形， 所以，又，平面， 所以平面，又平面，所以； （2）因为，所以， 由（1）知，所以四边形是矩形， 则，在直角三角形中，， 所以，所以， 所以，， 又因为，所以平面； 以点A为坐标原点，所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则， 所以， 设平面的法向量为， 则，取，则， 所以平面的一个法向量为. 又，设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 题型03 底面是圆形载体 1．（24-25高二上·山西晋城·阶段检测）已知圆柱的底面半径为，高为，如图，矩形是圆柱的轴截面，点是圆柱下底面圆上一点，且满足，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】证明点为中点，建立空间直角坐标系，写出点坐标和线的方向向量坐标，由空间向量求出线线角的余弦值. 【详解】连接，∵为底面圆的直径，∴，∵，∴， ∴点为中点，即 如图： 在圆柱中可得，， ∴以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ∴，，，， ∴，， 设直线与的夹角为，则. 故选：A. 2．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）如图，圆锥PO的底面圆周上有三点，为底面圆O的直径，点是底面直径所对弧的中点，点D是母线PA的中点，若，则直线和平面所成角的正弦值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角. 【详解】点是底面直径所对弧的中点，所以，建立空间直角坐标系如图所示:    则，，，，，， 可得，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 设直线和平面所成角为， 可得. 3．（25-26高二上·重庆·期中）如图，为圆柱的轴截面，为底面半圆周上一点，为中点，，其中，．    (1)求的长； (2)若，求平面与平面所成夹角的余弦值． 【答案】(1)； (2). 【分析】(1)利用空间垂直关系转换可证明线线垂直，再利用等腰三角形三线合一可计算长度； (2)利用空间向量法来求面面角余弦值即可. 【详解】（1）    因为为底面半圆周上一点，所以， 又由为圆柱的轴截面，所以底面， 又因为底面，所以， 又因为平面，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为为中点，， 又因为，所以； （2）依题意如图建立空间直角坐标系，    由，，可得： ， 设平面的法向量为， 则，令，则， 即平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，令，则， 即平面的法向量为， 则 即平面与平面所成夹角的余弦值为． 4．如图所示，在圆锥中，是的直径，是正三角形，点在上，且，.    (1)证明：平面； (2)设为的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据圆锥性质特征可证明四边形为平行四边形，再由线面平行判定定理即可证明得出结论； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法即可得出直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）因为，，是的直径， 所以，且，因此可知四边形为平行四边形， 可知，又因为平面，平面， 所以平面； （2）取的中点为，连接，， 因为，，因此为正三角形； 所以，即， 由圆锥性质易知平面，平面， 所以，因此三条直线两两垂直， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：    取，可知，， 所以 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得， 即， 又，设直线与平面所成的角为， 所以， 因此直线与平面所成角的正弦值为. 5．如图，已知圆台，AB，CD，EF均为母线，四边形为圆台的轴截面，且，． (1)证明：； (2)求异面直线EF与BC所成角； (3)已知二面角的余弦值为，求圆台的高的长． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)1. 【分析】（1）利用圆台的结构特征，结合面面平行的性质推理得证. （2）根据给定条件证得，再以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积求得异面直线夹角. （3）求出平面与平面的法向量，利用面面角的向量法列式求解. 【详解】（1）证明：在圆台中，由为该圆台的母线，得的延长线交于一点， 所以四点共面， 而平面平面，平面平面，平面平面， 所以.； （2）连接，由直线为圆台的轴，得的延长线交于一点， 由（1）同理得，由，得， 则，而，因此，直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设， 则， ，则，即， 所以异面直线EF与BC所成角为. （3）由（2）得， 设平面与平面的法向量分别为， 则，取，得， ，取，得， 由二面角的余弦值为， 得， 所以，所以圆台的高的长为1. 题型04 棱台、其他图形载体 1．（25-26高二上·天津河东·期中）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点分别在棱上．      (1)若是的中点，证明：平面； (2)若，平面与平面夹角的余弦值为，求四面体的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面. （2）利用平面与平面夹角的余弦值以及确定的位置，进而求得四面体的体积． 【详解】（1）依题意可知，两两相互垂直， 以为原点，分别以、、所在直线为、、轴，建立空间直角坐标系. 则，，，，，，. 因是的中点，故. 向量，，. 因为，故； 因为，故. 因且平面，故平面.    （2）设， 则， 即. 设（），由， 得， 所以，故. 平面的点为、、，其法向量. 平面的向量，. 设平面的法向量为， 则，令，得. 由平面与平面夹角的余弦值为，得， 解得，平方得，即，故（）. 此时，. 所以. 2．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）在三棱台中，，，，，，平面. (1)若平面平面，求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明过程见解析； (2) 【分析】（1）先得到线面平行，由线面平行的性质得到线线平行； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而求出线面角的正弦值. 【详解】（1）因为，，所以为的中位线， 故，又，故， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面平面，平面，所以 （2）因为，，所以， 因为平面，平面，所以， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则， ， 设平面的一个法向量为， 则， 解得，令，则，故， 设直线与平面所成角为， 则， 直线与平面所成角的正弦值为. 3．（25-26高二上·安徽蚌埠·阶段检测）如图，四棱台中，上､下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧面所成的角为.    (1)求点到平面的距离； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取的中点，的中点，连接，根据已知求得，构建空间直角坐标系，向量法求点面距离即可； （2）根据（1）所得坐标系，应用向量法求二面角余弦值. 【详解】（1）取的中点，的中点，连接， 由题意可知四棱台为正四棱台， 则平面，线面垂直的性质知，，， 则，且，则四边形为矩形． 所以，故为与侧面所成的一个角． 因为与侧面所成角为，所以， 如图所示，以点为坐标原点，建立的间直角坐标系，    则，，，，， 所以，， 设平面的法向量为，则， 令，则平面的一个法向量为，而， 所以点到平面的距离； （2）因为，设面的法向量为， 则， 令，则面的一个法向量为， 所以，易知二面角的平面角为钝角， 所以二面角的余弦值为． 4．如图所示，在六棱锥中，平面，六边形是边长为3的正六边形，是上靠近点的三等分点． (1)证明：平面； (2)求线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的性质以及正六边形的性质可得，，即可由线面垂直的判定求证， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可由向量的夹角求解. 【详解】（1）因为平面平面，所以． 因为六边形是边长为3的正六边形，所以． 又平面平面，故平面． （2）以点为坐标原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，，，． 设平面的一个法向量为，由于， 所以，令，得， 即平面的一个法向量为， 所以直线和平面所成角的正弦值为 5．如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． (1)证明：； (2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 【答案】(1) 由， 得，又，在中， 由余弦定理得, 所以，则，即， 所以，又平面， 所以平面，又平面， 故； (2) 【分析】（1）由题意，根据余弦定理求得，利用勾股定理的逆定理可证得，则，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明； （2）由（1），根据线面垂直的判定定理与性质可证明，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解面面角即可. 【详解】（1）略 （2）连接，由，则， 在中，，得， 所以，由（1）知，又平面， 所以平面，又平面， 所以，则两两垂直，建立如图空间直角坐标系， 则， 由是的中点，得， 所以， 设平面和平面的一个法向量分别为， 则，， 令，得， 所以， 所以， 设平面和平面所成角为，则， 即平面和平面所成角的正弦值为. 6．在五棱锥中，，底面五边形中，，，，． (1)求证：； (2)若，，求与所成角的余弦值． 【答案】(1)连接 ，取 中点 ，连接 、， 由 ，，知，， 又， 、 平面，因此 平面． 又 平面，故 ． 在底面内，， ，因此， 又，因此四边形为矩形，因此，故    ； (2) 【分析】（1）连接 ，取 中点 ，连接 、，证明出 平面，可得出 ，再证明出，即可证得结论成立； （2）方法一：推导出，可知直线 与直线 所成角为或其补角，利用余弦定理求出，即可得解； 方法二：连接 、 ，设，连接 ，则 为 中点，推导出底面，然后以点 为原点，、 、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得结果. 【详解】（1）略 （2）（方法一）由（1）知，，， 在 中，由余弦定理，， 所以， 在矩形中，，故， 所以，故， 所以直线 与直线 所成角为或其补角， 在 中，， ， 由余弦定理可得， 所以 与 所成角的余弦值为． （方法二）连接 、 ，设，连接 ，则 为 中点， 由，知 ，同理， 因为， 、 底面，因此底面． 取 中点为 ，以 为原点，、 、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图的空间直角坐标系． 易知、、、． 则，， 设直线 与直线 所成角为 ，则． 故直线 与直线 所成角的余弦值为. 题型05 在图形之外建系以及其他特殊建系 1．（25-26高二下·安徽安庆·期中）如图，在四棱锥中，底面是菱形，. (1)求证：； (2)若，且，，求平面与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用菱形对角线互相垂直、等腰三角形三线合一的性质，先证明平面，再由线面垂直性质即可证明结论； （2）通过建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，再利用向量夹角的计算公式得出余弦值，进而得出正弦值. 【详解】（1）连接交于，连接， 由为菱形，得， 由，得，又因为，平面， 所以平面，又因为平面，故. （2）由（1）知，又因为，，平面， 所以面. 以为原点，分别以，，过且平行于的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示. 因，且底面是菱形，， 则是等边三角形，，. 则，，，， 则，，， 设平面的一个法向量为， 所以，令，则， 同理设平面的一个法向量为， 所以，令，则， 设面与面所成的角为， 则， 故. 2．如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，，为中点． (1)求证：平面； (2)若平面平面，求到平面的距离； (3)若三棱锥外接球半径为2，求直线和平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）设，先证明，再根据线面平行的判定定理，即可证明平面； （2）方法一，以A为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量及点D到平面的距离，利用平面，将到平面的距离转化为点D到平面的距离，即可得解； 方法二，利用平面，将到平面的距离转化为点到平面的距离，进而转化为点B到平面的距离，再利用等体积法计算即可； （3）设，利用正得到其外接圆圆心的坐标及半径，进而设出球心的坐标，根据球的性质求出点坐标，进而求出平面的法向量，即可根据向量法求出直线和平面所成角的正弦值，即可得解. 【详解】（1） 设，连接． 因为四边形为菱形，所以 为的中点． 在中，因为 为的中点，所以 OM为的中位线，故， 又因为平面，平面， 所以 平面； （2）方法一：向量法 以A为原点，以所在直线为轴，在平面内过作与垂直的直线为轴， 过作与平面垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，. 在平面内过作，交的延长线于，连接. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，所以. 因为，所以， 因为，，所以， 所以，，即，所以. 在中，，所以，， 则，因为为中点，所以， 则，. 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，则. 设点D到平面的距离为， 则． 由（1）知平面， 所以到平面的距离即为点D到平面的距离， 所以到平面的距离为； 方法二：等体积法 由（1）知平面， 所以到平面的距离等于点到平面的距离，设为． 因为为中点，所以点到平面的距离等于点B到平面的距离， 即， 在平面内作交直线的延长线于，取中点， 连接，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，所以平面， 又平面，所以. 在中，，所以，， 所以到平面的距离为. 因为，所以． 在中，， 由余弦定理可得， 在中，． 在中，，为中点，则， 由余弦定理可得， 所以，所以． 在中，，底边上的高为， 所以. 又因为. 由可得，解得， 所以到平面的距离为； （3） 在（2）所建的坐标系中，设，则， 因为，所以． 由，可得， 解得，故. 在正中，外接圆圆心为，外接圆半径． 设三棱锥外接球的半径为，球心为． 由球的性质可得，解得，则， 所以，因为点在外接球上，则， 所以， 即，即． 解得，所以， 所以，. 设平面的法向量为． 则，即. 令，则，即． 设直线和平面所成角为， 则 因为，所以． 所以直线和平面所成角的余弦值为． 3．如图，和都垂直平面，且，，是的中点． (1)证明：平面； (2)若四棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）的中点，构造平行四边形，再由线面平行的判定定理可得； （2）建立空间直角坐标系，设，进而可得，从而可得正弦值的最大值. 【详解】（1）取的中点，连接. 因为分别是的中点，所以且. 又因为和都垂直平面，所以且. 由平行公理可得且，所以四边形是平行四边形， 所以，平面，平面，由线面平行判定定理， 所以平面. （2）因为和都垂直平面，所以，平面， 所以平面平面. 以点为坐标原点，以分别为轴，以平面为面，建立空间直角坐标系，如图： 则，，设， 因为四边形为直角梯形，所以， 所以，得，即. 因为平面与平面重合，设平面的法向量为， ，由，得， 取，则，即. 所以线与平面所成角为， ， 当时，有最大值. 因此，直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 4．如图，在矩形中、，．为线段中点，将沿翻折至，使得． (1)证明：平面； (2)点，分别为线段，上的点，，当直线与平面所成角最大时，求点到平面的距离． 【答案】(1)由，得，则， 又，平面，则平面，平面，故， 由，为中点，得，而平面， 所以平面. (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定性质推理得证. （2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量法列式确定点位置，再利用点到平面的距离公式求解. 【详解】（1）略 （2）作，由（1）得平面，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设， ， 设平面的法向量为，则， 取，得， 记直线与平面所成角为， 则 ， 当时，；当时，， 当且仅当时取等号，此时最大， 平面的法向量为，， 所以点到平面的距离. 1．如图，在四棱锥中，，，，点满足. (1)求证：平面； (2)若平面，，，，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）过点作，交于点，连接，由得到，证明出四边形为平行四边形，得到，利用线面平行的判定定理得到结论. （2）利用空间向量法求解，求出平面的法向量和平面的法向量，设平面与平面的夹角为，利用数量积求出平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）过点作，交于点，连接， 因为. 所以， 因为，， 所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以. 又平面，平面， 所以平面. （2）因为平面，，平面， 所以，， 又， 所以，，两两垂直. 以为原点，以，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，. 设平面的法向量为， 则.即， 令，得，，则， 设平面的法向量为， 则，即， 令，得，，则. 设平面与平面的夹角为， 则. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 2．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，和均是边长为2的正三角形，，分别为棱，的中点，且. (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理证明线线垂直，进而根据线面垂直的判定定理证明线面垂直即可； （2）根据几何体的性质建立空间直角坐标系，进而写出点的坐标和平面的法向量，根据面面角的向量求法，求出面面夹角的余弦值即可. 【详解】（1）因为和均是边长为2的正三角形，为的中点， 所以，又因为为的中点，所以， 因为，所以，因为，， 且平面，所以平面， 因为平面，所以，因为， 所以平面. （2）由（1）知平面，所以，所以， 因为，，，所以平面， 所以，取中点，连接，则三条直线，，两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 易得，因为，故， 得到，， 所以，，，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，得，，所以， 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 3．如图，是圆锥的顶点，是底面圆心，是底面直径，是母线的中点，点，在底面圆周上，且，点在线段上，且直线平面．    (1)证明：； (2)若是正三角形，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) 连接，，，如图：    因为是中点，是中点，则，而平面， 所以平面，又因为平面，， 所以平面平面，即平面平面. 又平面平面，平面平面，所以， 所以，而，所以是等边三角形， 所以，又，所以四边形是平行四边形， 所以． (2)． 【分析】（1）先证明平面平面，再证明四边形是平行四边形即可. （2）以O为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法即可得出直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）略 （2）取的中点，连接， 由（1）知 ， 又，所以是等边三角形，则，即. 以为坐标原点，分别以，，为，，轴， 建立空间直角坐标系，如图所示.    不妨设，又是正三角形， 则，，，. 则，， 设为平面的一个法向量， 由，得， 令，则得平面的一个法向量， 所以， 所以，直线与平面所成角的正弦值为． 4．如图，在面积为的梯形中，，，为的中点.将沿翻折至.    (1)证明：； (2)当时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，由菱形性质可得，即可得； （2）借助梯形面积可得的面积，从而可求出，再以为坐标原点，建立适当空间直角坐标系，可求出平面与平面的法向量，利用空间向量夹角公式计算即可得解. 【详解】（1）连接，由为中点，则，又， 则四边形为菱形，设，则为中点， 则，所以三角形是直角三角形，且；    （2）当时，是边长为的等边三角形， 又因为梯形的面积为，所以的面积为， 所以，所以， 以为坐标原点，以，分别为，轴建立空间直角坐标系，如图所示，    则，，，， 所以，，， 设为平面的法向量，则， 即，令，则，所以， 设为平面的法向量，则， 即，令，则，，所以， 所以， 因此，平面与平面夹角的余弦值为. 5．如图，三棱柱的棱长均相等，平面平面，，，分别为，的中点．    (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】  （1）取的中点，连接，利用已知证明四边形是平行四边形，可证，可证结论； （2）由题意可得两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量法可求得二面角的正弦值． 【详解】（1）取的中点，连接. 因为为的中点，所以且． 在三棱柱中，且， 又为的中点，所以且. 所以且，所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2）连接， 因为三棱柱的棱长均相等，且， 所以是等边三角形，又为的中点，所以， 所以为二面角的平面角， 又平面平面，所以，所以， 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设三棱柱的棱长为2，利用勾股定理得， 则， ， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， ，令，得， 所以平面的一个法向量为， 设二面角的大小为， 则，所以， 所以二面角的正弦值为．    6．（24-25高二下·江苏徐州·期末）如图在多面体中，四边形是边长为4的正方形，四边形为等腰梯形，且，，，． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用面面垂直的判定定理证明可得； （2）过点作于，作，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量方法可得； （3）由空间点到面的距离公式计算可得. 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，，     ，，平面，平面，     平面，∴平面平面． （2）过点作于，由（1）知平面， ∵四边形是等腰梯形，，，， ，．         作，以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，             ，，，，． ，． 设平面的一个法向量，则，即， 令，，         又，， 同理设平面的一个法向量，则，即， 令，，         ，     ， 故平面与平面所成角的正弦值为． （3）设点到平面的距离为， 由（2）知，平面的一个法向量， ． 7．（25-26高二下·云南红河·期中）如图，在四棱锥中，平面，且，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求四棱锥的体积； (3)求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据给定条件，以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用空间位置关系的向量证明推理得证. （2）利用锥体体积公式求解. （3）由（1）中信息，再求出平面的法向量，利用面面角的向量法求解. 【详解】（1）在四棱锥中，取中点，连接，由，， 得四边形是平行四边形，，由，得， 由平面，得直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，取，得， 而，则，又平面，所以平面 （2）依题意，， 所以四棱锥的体积. （3）由（1）得，，平面的法向量为， 设平面的法向量为，则，取，得， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值. 8．（25-26高二下·湖南长沙·期中）如图1所示，△ABE是边长为2的正三角形，四边形BCDE是一个梯形；其中BE∥CD，ED＝DC＝CB＝1，现在沿着BE把△ABE折起到△的位置，连接，且使得＝2，如图2所示． (1)求证：平面； (2)求直线与平面夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过证明线面垂直，即证明垂直于底面上的两条相交直线和，最终推导出面面垂直； （2）建立空间直角坐标系将几何问题代数化，利用空间向量求出平面的法向量，通过计算法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值，直接得到线面角的正弦值. 【详解】（1）取BE的中点为O，连接，OC，OD， 由图1中，△ABE是边长为2的正三角形，等腰梯形BCDE， 且ED＝DC＝CB＝1，可得OC＝OD＝1，且， 因为＝2，所以，所以， 又由△正三角形性质，可得， 因为OCBE＝O，且OC，BE平面BCDE，所以平面BCDE， 又因为平面，所以平面平面BCDE． （2）取CD的中点F，连接OF，因为四边形BCDE为等腰梯形， 且O为BE的中点，所以OF⊥BE，又因为⊥平面BCDE， 以O为坐标原点，OB，OF，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，，， 所以，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，，所以， 设直线与平面夹角为，则， 所以直线与平面夹角的正弦值为． 9．（25-26高二上·湖南湘潭·期末）如图，在三棱台中，，平面，． (1)证明：平面平面； (2)若，点满足，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过证明垂直于平面内两条相交直线，得到线面垂直，进而可推出面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，求出各点坐标及两个平面的法向量，利用向量夹角公式计算夹角的余弦值. 【详解】（1）因为平面平面，所以， 又平面平面， 所以平面， 又平面，所以； 易得是直角梯形，且，则， 则，于是， 又因，又平面，故平面， 因为平面，所以平面平面． （2）以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 由题意得，， 则， 设，则，， 因为，则， 即，解得， 于是， 设平面的一个法向量为， 则，即，； 由（1）知平面的一个法向量可取为． 记平面与平面的夹角为， 则． 10．如图所示，在多面体中，为平面六边形，平面平面，平面⊥平面，，，与都是边长为2的等边三角形， ，，，， M，N，K分别为的中点． (1)求证：平面； (2)棱上是否存在点P，使得与平面成角？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)存在，． 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理进行证明； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的计算公式进行求解. 【详解】（1）证明：因为与均为等边三角形，且M，K分别为中点， 所以， 又平面⊥平面，平面平面，平面， 所以平面， 同理平面，所以； 又平面，平面，所以平面， 而平面平面，所以， 又平面，所以平面 （2） 过E作于T，因为，，，，， 所以,,, 所以是等腰直角三角形， ，同理可得，所以， 又M，N，K 分别为中点，所以所以 由（1）知平面，所以， 即两两垂直，故以N为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以四边形为平行四边形， 所以， 则，，，，， ， 所以， 设平面的法向量为，则， 不妨取，设，， 则， 因为与平面成角， 所以， 解得，所以存在点P，使得与平面成角，此时． 11．（25-26高二下·云南玉溪·阶段检测）如图，在四边形中，，，为的中点，点在上，，，，将四边形沿翻折至四边形，使得面与面所成的二面角为． (1)证明：平面； (2)求面与面所成的二面角的正弦值． 【答案】(1)证明：如图所示，过作交于，连接， 因为，，且， 所以四边形为矩形，四边形为矩形， 所以，且，，且，所以，且， 所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 又因为，平面，，所以平面平面， 因为平面，所以平面． (2) 【分析】（1）过作连接，证得四边形和为矩形，进而证得平面和平面，得到平面平面，利用面面平行的性质，即可得到平面． （2）根据二面角的定义，得到和，过点作，证得平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：因为， 所以即为平面与平面所成的二面角， 所以，同理可得， 过点作交于点， 因为，，且，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 因为，且，平面，所以平面， 以为坐标原点，以和过点且平行于的直线分别为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 设，则， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 设平面与平面所成的二面角的平面角为， 可得， 则，即平面与平面所成的二面角的正弦值. 12．如图，在四棱锥中，底面为边长等于2的菱形，，侧面为正三角形，且二面角为120°. (1)证明：； (2)设点为棱上的动点，当直线与平面所成角的正弦值为时，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点，连接 ，通过，即可求证； （2）建系，求得平面法向量，和直线方向向量，代入夹角公式即可求解. 【详解】（1）取中点，连接 ， 因为是正三角形，为中点，故； 底面是边长为2的菱形，， 故也是正三角形，为中点，故， 因为，且 平面， 所以平面， 又平面，因此，得证； （2） 由（1）知 ， 故 就是二面角的平面角，即， 以为原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 各点坐标为： ， 设 ，则， 得坐标： ， 因此 ， 设平面的法向量为， 则， 取，得， 即， 设直线与平面所成角为， 由线面角公式： ， 又， ， 已知， 代入得： ， 化简平方后整理得：，解得，即. 13．（25-26高二上·四川南充·阶段检测）如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，底面为直角梯形，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），例如：正方体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正方体在各顶点的曲率为．已知四棱锥在点的曲率为． ①求证：平面平面； ②在直线上是否存在点，使得平面，若存在，求的长；若不存在，说明理由． 【答案】见解析 【分析】（1）根据等边三角形，直角梯形的性质推出四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质，及线面平行的判定即可证明； （2）①先根据曲率的定义求出，再根据线面垂直的判定及性质推出面面垂直即可证明； ②先证明，，两两垂直，再建立对应的空间直角坐标系，根据空间向量的线性关系求出，再求出平面的法向量，再根据线面垂直的关系得到，进而列方程组求解即可判断点是否存在． 【详解】（1）取的中点F，连接，， 又为的中点，则，且， 又是边长为4的等边三角形，底面为直角梯形，且，， 则，，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面． (2)①由题意知，， 又是等边三角形，底面为直角梯形， 则，，所以，即， 又因为，且，所以平面， 又平面，故平面平面． ②取的中点，连接，，则，， 又平面平面，且平面平面，所以平面， 所以以为坐标原点，直线，，为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 又， 则，，，，， 所以，，，， 因为点在直线上， 不妨设， 所以， 设是平面的法向量，则， 取，则，，即， 假设存在点，使得平面，则， 所以， 但此方程组无解，故不存在点，使得平面． 14．（25-26高二下·江苏南京·期末）如图，菱形的边长为，.现将沿折起，得到四面体 ，设二面角等于. (1)求证：； (2)若三棱锥的体积为， （i）求直线与平面所成的角； （ii）当时，求锐二面角的余弦值. 【答案】(1)由菱形的边长为，且， 所以和都是等边三角形，因为沿折起得， 所以为等边三角形， 如图所示，取的中点，连接，，可得，， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以； (2)（i）或；（ii） 【分析】（1）取的中点，进而由线面垂直的判定定理可得平面，再由线面垂直的定义可得； （2）（i）先由三棱锥的体积可得或，再在等腰可得或，进而可得线面角的值；（ii）向量法：建立空间直角坐标系，用向量法求面面角，进而可所求二面角的余弦值；几何法：将二面角转化为线面角来计算,先用等积法可得点到平面的距离为，再计算点到二面角的棱的距离，进而可得直线与平面所成角的正弦值为，再同角三角函数关系式得余弦值，从而可得所求二面角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）（i）由（1）知平面，所以， 又由，，所以是二面角的平面角，即， 因为菱形的边长为，可得，，且 所以. 又因为三棱锥的体积为，所以， 解得，因为，所以或. （亦可用 在平面上的投影为，由（1）知平面，且平面， 所以平面平面，因此必在上. 因为，所以，则. 又因为三棱锥的体积为， 所以， 解得，所以或） 因为平面，且平面，所以平面平面， 因为平面平面，所以点在平面的投影在直线上， 所以即为直线与平面所成角， 在中，或，且，所以是等腰三角形， 当时，；当时，. 因此，直线与平面所成角为或. （ii）向量法： 由（i）知或，因为，，所以，且， 过点作平面的垂线为轴，，所在直线为轴，轴建立空间直角坐标系，如图：    可得，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以. 设平面的法向量为，则， 令，则，所以. 可得 因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 几何法：由（i）知或，因为，，所以，且，如图： 在中，，所以底边上的高为， 所以，设点到平面的距离为， 因为三棱锥的体积为，所以， 即，解得. 因为是等边三角形，所以点到二面角的棱的距离， 所以直线与平面所成角的正弦值为， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 α O l α y x z O l α O l α y x z O l l α O l α O y z x O D A B C P x y z O l α O l α y x z O l α O l α y x z l α O l α O y x z l α O l α x O y z l α O l α x y z O l α O l α y O z x $