精品解析：吉林省长春市力旺实验初级中学2024-2025学年九年级上学期期初测试数学试题

长春力旺实验中学2024—2025学年度上学期九年级数学学科期初考试 考试时间：90分钟总分：100分 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列各式中是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 随着人们对环境的重视，新能源的开发迫在眉睫，石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度应是0.0000034m，用科学记数法表示0.0000034是（　　） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（ ） A. B. C. D. 4. 若把分式中的x、y都扩大2倍，则分式的值（ ） A. 扩大为原来的2倍 B. 不变 C. 缩小为原来的2倍 D. 缩小为原来的4倍 5. 已知，是一次函数图象上的两个点， 则的大小关系是( ) A. B. C. D. 不能确定 6. 如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，矩形的对角线相交于点O，过点O作，交于点E，连接，若矩形的周长是，则的周长是（ ） A. B. C. D. 8. 盐城市学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述甲、丁两所学校情况的点，恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中，成绩优秀人数最多的学校是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 分式的值为0，则________． 10. ，，的最简公分母是_____． 11. 已知直线在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式的解集为 ________． 12. 锐角为的两个平行四边形按如图所示的位置摆放．若，则的大小为_________度． 13. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的顶点在轴上，垂直于轴、点分别在函数和的图象上．若的面积为5，且，则的值为___________． 14. 如图，在中，点D、E、F分别在边上，且，．下列四种说法： ①四边形是平行四边形； ②如果，那么四边形是矩形； ③如果平分，那么四边形是菱形； ④如果，平分，那么四边形是正方形． 其中，正确的有______（只填写序号） 三、解答题（15、16、17、18每题6 分，19、20每题7分，21题8分，22题12分） 15. 计算：． 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 某快递公司为提高配送效率，引进了甲、乙两种型号的“分拣机器人”，已知甲型号每小时分拣数量比乙型号每小时分拣数量多50件，且甲型号分拣1000件与乙型号分拣800件所用时间相同，求乙型号分拣机器人每小时分拣的数量． 18. 如图，菱形中，对角线交于点，．求证：四边形是矩形． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点、均在格点上．只用没有刻度的直尺按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法，保留必要的作图痕迹． （1）在图①中以、为顶点画一个面积为3的平行四边形． （2）在图②中以、为顶点画一个面积为4的平行四边形． （3）在图③中以、为顶点画一个面积为10的平行四边形（正方形除外）． 20. 某物流公司引进A、B两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运，A种机器人于某日0时开始搬运，过了，B种机器人也开始搬运．两种机器人的搬运量y（kg）与时间x（h）的函数图象如图所示． （1）A种机器人每小时搬运量为______． （2）求B种机器人的搬运量y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）如果A、B两种机器人分别连续搬运，那么B种机器人比A种机器人多搬运了______千克？ 21. 【感知】如图①，在矩形中，，．为射线上一点，将沿直线翻折得到，点的对称点为点．若点在边上，则的长为 ． 【探究】如图②，图①中的点在矩形的内部，点在直线上，其它条件不变． （1）求证：． （2）的长为________． 【应用】如图③，当图①中的点在延长线上，且点在直线上时，其它条件不变．直接写出四边形的面积． 22. [模型探究]如图①，等腰直角三角形中，，，过点A作于点D，过点B作于点E．若，，求长． [迁移应用]如图②，在平面直角坐标系中直线与x轴、y轴交于A、B两点． （1）的长为______，的长为______． （2）将直线绕点B顺时针旋转得到直线，则直线所对应的函数表达式为______． [拓展延伸]如图③，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，若点C是第二象限内一点，在平面内是否存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形为正方形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春力旺实验中学2024—2025学年度上学期九年级数学学科期初考试 考试时间：90分钟总分：100分 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列各式中是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义；根据分式的定义“形如，分母含有字母”来判断，分母中含有字母的式子才叫分式． 【详解】解：A. ，是单项式，不是分式，故该选项不符合题意； B. ，是多项式，不是分式，故该选项不符合题意； C. ，是单项式，不是分式，故该选项不符合题意； D. ，是分式，故该选项不符合题意； 故选：D． 2. 随着人们对环境的重视，新能源的开发迫在眉睫，石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度应是0.0000034m，用科学记数法表示0.0000034是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．据此可解答． 【详解】用科学记数法表示0.0000034是． 故选：D 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，掌握用科学记数法表示较小的数的方法是解题的关键． 3. 在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，根据平面直角坐标系中每个象限内的点的坐标特点进行求解即可． 【详解】解：A、在第三象限，不符合题意； B、在第二象限，符合题意； C、在第一象限，不符合题意； D、在第四象限，不符合题意， 故选：B. 4. 若把分式中的x、y都扩大2倍，则分式的值（ ） A. 扩大为原来的2倍 B. 不变 C. 缩小为原来的2倍 D. 缩小为原来的4倍 【答案】B 【解析】 【分析】依题意分别用和去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】解：分别用和去代换原分式中的x和y，得： ， 可见新分式与原分式的值相等； 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 5. 已知，是一次函数图象上的两个点， 则的大小关系是( ) A. B. C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】由，利用一次函数的性质可知，y随着x的增大而减小，结合，可得出． 【详解】解：、是的图象上的两个点， ，， ， ． 故选：． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记“，y随x的增大而增大，，y随x的增大而减小”是解题的关键． 6. 如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，通过四边形是平行四边形，得，，则，由角平分线的定义得，则有，最后由线段和差即可求解，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 7. 如图，矩形的对角线相交于点O，过点O作，交于点E，连接，若矩形的周长是，则的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质，数形结合思想的应用．由矩形的对角线相交于点O，，根据线段垂直平分线的性质，可得，又由矩形的周长为，可得的长，继而可得的周长等于 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 矩形的周长为， ， ， ， 的周长， 故选：A． 8. 盐城市学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述甲、丁两所学校情况的点，恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中，成绩优秀人数最多的学校是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数图象与性质求解即可得到结论． 【详解】解：根据题意可知，的值即为该校的成绩优秀人数． 描述甲、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， 甲、丁两所学校的的值相同，即成绩优秀人数相同． 描述乙学校情况的点在反比例函数图象上方，描述丙学校情况的点在反比例函数图象下方， 乙学校的的值最大，即成绩优秀人数最多． 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 分式的值为0，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，分式值为0的条件是分子为0，分母不为0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， ∴且， ∴， 故答案为：． 10. ，，的最简公分母是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握．确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【详解】解：分式，，的最简公分母为， 故答案为：． 11. 已知直线在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式的解集为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，图象法求出不等式的解集即可． 【详解】解：由图象可知，随着的增大而减小，当时，， ∴的解集为：； 故答案为：． 12. 锐角为的两个平行四边形按如图所示的位置摆放．若，则的大小为_________度． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，多边形的内角和公式．根据平行四边形的性质结合五边形的内角和公式即可求解． 【详解】解：锐角为的两个平行四边形按如图所示的位置摆放， ，， ，， ， ， 故答案为：25． 13. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的顶点在轴上，垂直于轴、点分别在函数和的图象上．若的面积为5，且，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，连接，利用平行线间的距离相等，即可求得，利用反比例函数系数的几何意义得出，，即可得出即 ，与构成方程组，解方程组即可求解，明确是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵的顶点在轴上，垂直于轴， ∴轴， ∴， ∵点分别在函数和的图象上， ∴，， ∴， ∴， ∵， 得，即 ， 故答案为：． 14. 如图，在中，点D、E、F分别在边上，且，．下列四种说法： ①四边形是平行四边形； ②如果，那么四边形是矩形； ③如果平分，那么四边形是菱形； ④如果，平分，那么四边形是正方形． 其中，正确的有______（只填写序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的定义，菱形、矩形、正方形的判定，先由两组对边分别平行的四边形为平行四边形得出为平行四边形，得出①正确；当，根据推出的平行四边形，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形可得出②正确；若平分，得到一对角相等，再根据两直线平行内错角相等又得到一对角相等，等量代换可得，利用等角对等边可得一组邻边相等，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得出③正确；由可得四边形是菱形，但不一定为直角，④不一定正确 【详解】解：∵ ∴四边形是平行四边形，①正确； 若， ∴平行四边形为矩形，②正确； 若平分， ∴ 又 ∴ ∴ ∴ ∴平行四边形为菱形，③正确 由可得四边形是菱形，但不一定为直角， 故菱形不一定为正方形；④错误， 故答案为：①②③ 三、解答题（15、16、17、18每题6 分，19、20每题7分，21题8分，22题12分） 15. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】根据负整数指数幂的性质、有理数的乘方运算法则、零指数幂的性质和绝对值的意义进行计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握负整数指数幂的性质、有理数的乘方运算法则、零指数幂的性质和绝对值的意义是解答此题的关键． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，先根据分式的混合运算法则进行计算，然后再代入求值即可，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 17. 某快递公司为提高配送效率，引进了甲、乙两种型号的“分拣机器人”，已知甲型号每小时分拣数量比乙型号每小时分拣数量多50件，且甲型号分拣1000件与乙型号分拣800件所用时间相同，求乙型号分拣机器人每小时分拣的数量． 【答案】乙型号分拣机器人每小时分拣200件 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意；由题意可设乙型号分拣机器人每小时分拣x件，则甲型号每小时分拣件；然后根据题意可列方程进行求解． 【详解】解：设乙型号分拣机器人每小时分拣x件，则甲型号每小时分拣件，由题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解； 答：乙型号分拣机器人每小时分拣200件． 18. 如图，菱形中，对角线交于点，．求证：四边形是矩形． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、菱形的性质，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 先证四边形是平行四边形，再由菱形的性质得，则，然后由矩形的判定即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点、均在格点上．只用没有刻度的直尺按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法，保留必要的作图痕迹． （1）在图①中以、为顶点画一个面积为3的平行四边形． （2）在图②中以、为顶点画一个面积为4的平行四边形． （3）在图③中以、为顶点画一个面积为10的平行四边形（正方形除外）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图． （1）画一个平行四边形底为1，高为3即可； （2）画两个同底的三角形，使底都为4，高都为1即可； （3）以为直角边，画两个等腰直角三角形组成一个不是正方形的平行四边形即可． 【小问1详解】 解：如图： 即为所求（答案不唯一）； 【小问2详解】 解：如图： 即为所求（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：如图： 即为所求． 20. 某物流公司引进A、B两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运，A种机器人于某日0时开始搬运，过了，B种机器人也开始搬运．两种机器人的搬运量y（kg）与时间x（h）的函数图象如图所示． （1）A种机器人每小时搬运量为______． （2）求B种机器人的搬运量y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）如果A、B两种机器人分别连续搬运，那么B种机器人比A种机器人多搬运了______千克？ 【答案】（1）千克 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据图象获取信息进行计算即可； （2）根据待定系数法求出一次函数解析式； （3）根据一次函数解析式计算即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，A种机器人于某日0时开始搬运，小时搬运了吨， 故A种机器人每小时搬运量为（千克）； 【小问2详解】 解：设， 将代入函数解析式， ， 解得， 故； 【小问3详解】 解：设， 将代入，解得， 故， 当时，（千克）， 时，（千克）， （千克）． 故A、B两种机器人分别连续搬运，那么B种机器人比A种机器人多搬运千克． 21. 【感知】如图①，在矩形中，，．为射线上一点，将沿直线翻折得到，点的对称点为点．若点在边上，则的长为 ． 【探究】如图②，图①中的点在矩形的内部，点在直线上，其它条件不变． （1）求证：． （2）的长为________． 【应用】如图③，当图①中的点在延长线上，且点在直线上时，其它条件不变．直接写出四边形的面积． 【答案】感知：； 探究：（1）证明：四边形是矩形 ，， 由折叠可得：， ， 在和中 （2）2； 应用：32 【解析】 【分析】感知：由矩形的性质和折叠的性质可得，，，从而得到，，由勾股定理即可求解； 探究：（1）由矩形的性质可得，，，由折叠的性质可得，，得到，，即可证明；（2）由全等三角形的性质可得，由勾股定理可求，即可求解； 应用：由勾股定理可求，，推出，从而得到的面积即可求解． 【详解】感知：解：四边形是矩形 ， 将沿直线翻折得到且 ，， 是等腰直角三角形 故答案为：． 探究：（1）略 （2），， 故答案为：2． 应用：将沿直线翻折得到且 ，， 解得： 四边形的面积 故答案为：32． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 22. [模型探究]如图①，等腰直角三角形中，，，过点A作于点D，过点B作于点E．若，，求长． [迁移应用]如图②，在平面直角坐标系中直线与x轴、y轴交于A、B两点． （1）的长为______，的长为______． （2）将直线绕点B顺时针旋转得到直线，则直线所对应的函数表达式为______． [拓展延伸]如图③，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，若点C是第二象限内一点，在平面内是否存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形为正方形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】[模型探究]7；[迁移应用] （1）2；4；（2）；[拓展延伸] 或或 【解析】 【分析】[模型探究]证明，可得，即可解答； [迁移应用] （1）分别把当，代入解析式，即可求解； （2）过点A作交直线于点C，过点C作轴于点N，则，由旋转的性质可得是等腰直角三角形，同理[模型探究]得：，从而得到，从而得到点，即可求出直线的解析式； [拓展延伸]分三种情况讨论，即可求解． 【详解】[模型探究] 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； [迁移应用] 解：（1）对于， 当时，，当时，， ∴， ∴； 故答案为：2；4 （2）如图，过点A作交直线于点C，过点C作轴于点N，则， 由旋转的性质得：， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理[模型探究]得：， ∴， ∴， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为； [拓展延伸] 解：存在， 对于， 当时，；当时，， ∴点， ∴， ①当四边形是正方形时，分别过点D，C作轴于点E，轴于点N，则， ∴， 同理， ∴， ∴， ∴点； ②当四边形为正方形时，此时点D的坐标就是①中点C的坐标，即点D的坐标为； ③当四边形为正方形时，如图，过点D作x轴的垂线，垂足为点G，过B作于点H，则， 同理可证， ∴， 设， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点； 综上所述，点D的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $