精品解析：山东省济南市莱芜区莲河学校2023-2024学年八年级下学期第一次学情检测数学试题

济南市莱芜区莲河学校2023-2024学年下学期第一次学情检测 八年级数学试题 一．选择题（共10小题） 1. 下列选项中，菱形不具有的性质是（ ） A. 四边相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 每条对角线平分一组对角 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是本题的关键．根据菱形的性质可判断． 【详解】解：∵菱形四边相等、对角线互相垂直、每条对角线平分一组对角， ∴A、B、D选项不符合题意， ∵菱形的对角线不一定相等， ∴菱形不具有的性质是对角线相等， ∴选项C符合题意， 故选：C 2. 如图，在菱形中，对角线交于点，若菱形的面积是，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的性质得到，，再根据等底同高的三角形面积相等得到，进而得到，即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴ 和是等底同高的三角形， 和是等底同高的三角形， 和是等底同高的三角形， ∴，， ， ， ∴， 故选：． 3. 如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6．若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为(　　) A. 4 B. 2.4 C. 4.8 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】连接BD，根据菱形的性质可得AC⊥BD，AO=AC，然后根据勾股定理计算出BO长，再算出菱形的面积，然后再根据面积公式BC•AE=AC•BD可得答案． 【详解】连接BD，交AC于O点， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD=5， ∴ ∴ ∵AC=6， ∴AO=3， ∴ ∴DB=8， ∴菱形ABCD的面积是 ∴BC⋅AE=24， 故选C． 【点睛】本题考查了勾股定理，菱形的性质，解决此题的关键是作合理辅助线以及运用等面积法． 4. 菱形的对角线长分别为，则此菱形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，根据菱形的对角线互相垂直平分线得到，进而利用勾股定理求出，据此可得答案． 【详解】解；如图，在菱形中，对角线交于O，且， ∴， ∴， ∴菱形的周长为， 故选C． 5. 如图，▱ABCD对角线AC，BD交于点O，请添加一个条件（ ），使得▱ABCD是菱形． A. AB＝AC B. AC⊥BD C. AB＝CD D. AC＝BD 【答案】B 【解析】 【分析】由菱形的判定可直接求解． 【详解】解：添加一个条件为AC⊥BD，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形． 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的判定、，解决本题的关键是掌握菱形的判定． 6. 如图，在矩形中，对角线交于点O，，，则的长是（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．先由矩形的性质得出，再证明是等边三角形，再求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 故选：B． 7. 如图，建筑公司验收门框时要求是矩形．在中，对角线，相交于点O，下列验收方法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的判定定理，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，若，则是矩形，A不符合题意； B、对角线相等的平行四边形是矩形，∵，∴，∴是矩形，B不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，若，则是矩形，C不符合题意； D、平行四边形对角线互相平分，故根据不能判定是矩形，D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定，解题的关键是掌握有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形． 8. 如图，在中，，，，P为边上一动点，于点E，于点F，点M为中点，则最小值为（　　） A. 2.4 B. 2.5 C. 4.8 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据勾股定理的逆定理可以证明； 结合已知可以证明四边形是矩形，由此可得到对角线相等，M是的中点； 要求的最小值，实际上就是求的最小值，当，利用三角形面积，即可求得最小值． 【详解】连接， ∵，，， ∴， ∴． ∵，， ∴四边形是矩形， ∴． ∵M是的中点， ∴． 根据直线外一点与直线上任一点所连的线段中，垂线最短， 可知当时，最短．同样也最短． 当时，有， 即， 解得． ∴的最小值为，． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，矩形，垂线段，直角三角形斜边上的中线，直角三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理判定直角三角形，矩形的判定与性质、垂线段最短的性质，直角三角形斜边上的中线性质，由面积法求三角形的高，是解决问题的关键． 9. 如图，在正方形中，点E，F分别在和边上，，则的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，先根据正方形的性质得到，进而证明四边形是平行四边形，得到，则，最后根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是是正方形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的面积． 故选：B． 10. 如图，平行四边形的对角线，相交于点O，点E为的中点，连接并延长交于点F，，．下列结论：①；②；③四边形是菱形；④，其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】通过判定为等边三角形求得，利用等腰三角形的性质求得，从而判断①；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③，然后结合菱形的性质和含直角三角形的性质判断②；根据三角形中线的性质判断④． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，，，， 点为的中点， ， 又∵， ∴， ， ， 是等边三角形， ，， ∴， ∴, ∵， ， ， ∵， ∴， ∴，故①正确； 在平行四边形中，，，， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ∵， 平行四边形是菱形，故③正确； ，， 在中，， ， ∴，故②正确； 在平行四边形中，， 又点为的中点， ， ∵，， ∴， ∴，故④正确； 综上所述：正确的结论有4个， 故选：A． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，含的直角三角形的性质，掌握菱形的判定是解题关键． 二．填空题（共6小题） 11. 如图，四边形是边长为4的菱形，为其对称中心，过点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．若，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是菱形的性质，利用割补法求解阴影部分的面积，如图，过作于，先求解菱形的高与面积，再利用菱形的性质可得阴影部分的面积是菱形面积的一半即可得到答案． 【详解】解：如图，过作于， ∵四边形是边长为4的菱形，， ∴，， ∴，， ∴菱形面积为：； ∵O是菱形两条对角线的交点，菱形是中心对称图形， ∴， ∴阴影部分的面积为． 故答案为： 12. 如图，在四边形中，，，连接，相交于点．请增加一个条件，使得四边形是矩形，增加的条件为________．（填一个即可） 【答案】或（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，由，得出四边形是平行四边形，再由矩形的判定即可得出答案，熟练掌握矩形的判定是解此题的关键． 【详解】解：在四边形中，，， 四边形是平行四边形， 当或时，四边形是矩形， 故答案为：或（答案不唯一）． 13. 已知正方形，分别以为边长作等边和等边，连接，则_______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，掌握正方形的性质是解题的关键．由正方形的性质可得，由等边三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：15． 14. 如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DEAC，CEBD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为_____． 【答案】10 【解析】 【分析】由菱形的性质和勾股定理求出CD＝20，证出平行四边形OCED为矩形，得OE＝CD＝10即可． 【详解】解：∵DEAC，CEBD， ∴四边形OCED为平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝8， ∴∠DOC＝90，CD＝＝＝10， ∴平行四边形OCED为矩形， ∴OE＝CD＝10， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质以及平行四边形判定与性质等知识；熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键． 15. 如图，长方形中，，点P从A出发，以的速度沿运动，最终到达点C，在点P运动了3秒后点Q开始以的速度从D运动到A，在运动过程中，设点P的运动时间为t，则当的面积为时，t的值为____________________． 【答案】2或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、一元一次方程的几何应用、三角形的面积等知识；熟练掌握矩形的性质是解题的关键．分两种情况，①点P在上时，点Q在D处；②点P在上时；由三角形面积分别求出t的值即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 分两种情况： ①点P在上时，点Q在D处，如图1所示： ∵的面积为， ∴，解得：； ②点P在上时，如图2所示： ∵的面积为， ∴， 解得：， ∴， 解得：； 综上所述，当的面积为时，t的值为2或； 故答案为：2或． 16. 如图，四边形是菱形，、交于点E，交于点F，连接，若，，则________． 【答案】9.6 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理和直角三角形斜边的中线，关键是由菱形的面积公式得到．由菱形的性质得到，，，由直角三角形斜边中线的性质求出，由勾股定理求出，由菱形的面积公式得到，即可求出． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵菱形的面积， ∴， ∴． 故答案为：9.6． 三．解答题（共10小题） 17. 如图，点E，F分别在菱形的边上，且．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】证即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了菱形的性质和全等三角形的性质．熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 18. 如图，四边形ABCD为平行四边形，EFBD，分别交BC，CD于点P，Q，交AB，AD的延长线于E，F，且BE＝BP，求证： （1）∠E＝∠F； （2）四边形ABCD是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）首先判定四边形BPFD是平行四边形，所以BP∥DF，利用平行线的性质可得∠F＝∠BPE，又因为BE＝BP，可得∠E＝∠F； （2）利用平行线的性质以及菱形的判定方法进而得出即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BP∥DF， ∵EF∥BD， ∴四边形BPFD是平行四边形， ∴BP∥DF， ∴∠F＝∠BPE， ∵BE＝BP， ∴∠E＝∠BPE， ∴∠E＝∠F； 【小问2详解】 ∵EF∥BD， ∴∠E＝∠ABD，∠F＝∠ADB ∴∠ABD＝∠ADB， 又∵四边形ABCD为平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定、菱形的判定等知识，得出四边形BPFD是平行四边形是解题关键． 19. 如图，在中，对角线的垂直平分线与交于点O，与交于点E，与交于点F，连接， （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）24 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质、中垂线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）证明，再结合即可证明． （2）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可； 【小问1详解】 证明：在中，． ∴． 在与中， ， ∴． ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形为菱形， ∴． 20. 如图，在矩形中，，，与交于点．求与的周长差． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题关键．利用矩形的性质可得，，再根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：四边形为矩形，，， ，， ， 与的周长之差为2． 21. 已知，如图，在矩形ABCD中，点E，F在边AD上，且AE=DF，求证：BF=CE． 【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠D=90°，AB=DC，AD=BC， ∵AE=DF， ∴AF=DE， 在△ABF和△DCE中， ∵AB=DC，∠A=∠D，AF=DE， ∴△ABF≌△DCE（SAS）， ∴BF=CE． 【解析】 【分析】由ABCD是矩形得出∠A=∠D=90°，AB=DC，再证出AF=DE，由SAS证明△ABF≌△DCE，得出对应边相等即可． 【详解】略 22. 如图，中，D、E分别是边上的中点，连接并延长使，连接， （1）四边形是怎样的四边形？证明你的结论； （2）当满足什么条件时，四边形是矩形？ 【答案】（1）平行四边形，理由见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的判定，三角形的中位线定理，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；以及平行四边形和矩形的判定定理． （1）根据题意易得，，即可推出四边形为平行四边形； （2）当时，四边形是矩形，根据中位线定理得出，则，易得，推出，即可推出四边形为平矩形． 【小问1详解】 解：∵点E为中点， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； 【小问2详解】 解：当时，四边形是矩形， ∵、分别是、边上的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为矩形． 23. 已知：如图，在中，，是的平分线，是外角的平分线，，垂足为点．求证：四边形为矩形． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定、等腰三角形的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．根据三个角是直角是四边形是矩形即可证明． 【详解】证明：，是的平分线， ，． ， 为的外角的平分线， ． ， ， ． 四边形为矩形． 24. 如图，在平行四边形中，点E，F分别在，上，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，且，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据，证明平行四边形是矩形即可； （2）先根据勾股定理求出，根据，得出四边形为菱形．证明，设，则，根据勾股定理得出，求出，再求出平行四边形的面积即可． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，即， ∵， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ， ，， 在中，由勾股定理得： ， ， 四边形为菱形． ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握矩形、菱形和平行四边形的判定方法，数形结合． 25. 如图，将正方形的四边各延长一倍．即．连接M，N，P，Q四点，试判断的形状，并予以证明． 【答案】四边形为正方形，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质及正方形的判定的运用，全等三角形的判定及性质的运用，直角三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 由正方形的性质可以得出，就可以得出，由条件就可以得出，就可以得出，就可以得出结论． 【详解】解：四边形为正方形． 理由：四边形为正方形， ， ． ， ， ， ． 在和中 ， ， ． ， ， 即， 同理可得，， ， ， 四边形为菱形． ， 菱形为正方形． 26. 如图，在中，，和的平分线交于点G，于点E，于点F， （1）求证：四边形是正方形； （2）若，，求四边形的周长． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，正方形的判定，勾股定理，掌握角平分线上的点到两边距离相等，正方形的判定定理是解题的关键． （1）过G作于D，根据角平分线的性质可证，再根据是直角三角形，，，推出四边形是矩形，即可求证四边形为正方形； （2）连接，由勾股定理得，设，则，再根据，列出方程求解即可． 【小问1详解】 证明：过G作于D， ∵、的角平分线交于G点，于点F， ∴，， ∴， ∵是直角三角形，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形为正方形； 【小问2详解】 解：如图2，连接， 由勾股定理得：， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济南市莱芜区莲河学校2023-2024学年下学期第一次学情检测 八年级数学试题 一．选择题（共10小题） 1. 下列选项中，菱形不具有的性质是（ ） A. 四边相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 每条对角线平分一组对角 2. 如图，在菱形中，对角线交于点，若菱形的面积是，则的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6．若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为(　　) A. 4 B. 2.4 C. 4.8 D. 5 4. 菱形的对角线长分别为，则此菱形的周长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，▱ABCD对角线AC，BD交于点O，请添加一个条件（ ），使得▱ABCD是菱形． A. AB＝AC B. AC⊥BD C. AB＝CD D. AC＝BD 6. 如图，在矩形中，对角线交于点O，，，则的长是（ ） A. 4 B. 2 C. D. 7. 如图，建筑公司验收门框时要求是矩形．在中，对角线，相交于点O，下列验收方法错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，P为边上一动点，于点E，于点F，点M为中点，则最小值为（　　） A. 2.4 B. 2.5 C. 4.8 D. 5 9. 如图，在正方形中，点E，F分别在和边上，，则的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 10. 如图，平行四边形的对角线，相交于点O，点E为的中点，连接并延长交于点F，，．下列结论：①；②；③四边形是菱形；④，其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二．填空题（共6小题） 11. 如图，四边形是边长为4的菱形，为其对称中心，过点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．若，则阴影部分的面积为______． 12. 如图，在四边形中，，，连接，相交于点．请增加一个条件，使得四边形是矩形，增加的条件为________．（填一个即可） 13. 已知正方形，分别以为边长作等边和等边，连接，则_______． 14. 如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DEAC，CEBD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为_____． 15. 如图，长方形中，，点P从A出发，以的速度沿运动，最终到达点C，在点P运动了3秒后点Q开始以的速度从D运动到A，在运动过程中，设点P的运动时间为t，则当的面积为时，t的值为____________________． 16. 如图，四边形是菱形，、交于点E，交于点F，连接，若，，则________． 三．解答题（共10小题） 17. 如图，点E，F分别在菱形的边上，且．求证：． 18. 如图，四边形ABCD为平行四边形，EFBD，分别交BC，CD于点P，Q，交AB，AD的延长线于E，F，且BE＝BP，求证： （1）∠E＝∠F； （2）四边形ABCD是菱形． 19. 如图，在中，对角线的垂直平分线与交于点O，与交于点E，与交于点F，连接， （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求菱形的面积． 20. 如图，在矩形中，，，与交于点．求与的周长差． 21. 已知，如图，在矩形ABCD中，点E，F在边AD上，且AE=DF，求证：BF=CE． 22. 如图，中，D、E分别是边上的中点，连接并延长使，连接， （1）四边形是怎样的四边形？证明你的结论； （2）当满足什么条件时，四边形是矩形？ 23. 已知：如图，在中，，是的平分线，是外角的平分线，，垂足为点．求证：四边形为矩形． 24. 如图，在平行四边形中，点E，F分别在，上，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，且，，求四边形的面积． 25. 如图，将正方形的四边各延长一倍．即．连接M，N，P，Q四点，试判断的形状，并予以证明． 26. 如图，在中，，和的平分线交于点G，于点E，于点F， （1）求证：四边形是正方形； （2）若，，求四边形的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $