第1章 图形的相似（基础过关）-2024-2025学年九年级数学上册单元测试定心卷（青岛版）

第1章图形的相似（基础过关） 数学问卷（原卷版） 本试卷共8页。满分120分。考试用时120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡规定的位置上，并在本页上方空白处写上姓名和准考证号。 2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答案写在试卷上无效。 3. 非选择题必须用0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）如图，△ABC中，DE∥BC，DE=1，AD=2，DB=3，则BC的长是（     ） A． B． C． D． 2．（本题3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB、AC相交于点D、E，若AD＝4，DB＝2，则EC：AE的值为（　　） A． B． C． D． 3．（本题3分）如图，梯子斜靠在墙上，梯子底端离墙脚的距离，梯子上一点离墙的距离．若，则梯子的长为（    ） A． B． C． D． 4．（本题3分）如图，在三角形纸片中，，，，则下列选项阴影部分的三角形与△ABC相似的是（　　）    A．   B．   C．   D．   5．（本题3分）如图，在平行四边形中，点E在边上，，连接交于点O，则的面积与四边形的面积的比为（    ） A． B． C． D． 6．（本题3分）如图，在MABC中，已知AB＝2，AD⊥BC，垂足为D，BD＝2CD．若E是AD的中点，则EC的长度为（　　） A．1 B． C． D．2 7．（本题3分）如图，平行四边形中，为的中点，已知的面积为，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 8．（本题3分）在四边形中，，，，，点P在上运动，则取最小值时，边AP上的高是（    ） A． B．C． D． 9．（本题3分）如图，在中，B是上的点，，，，且，若，点Q是线段上的动点，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 10．（本题3分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交BD于M、N，连按EN、EF、有以下结论：①AN＝EN，②当AE＝AF时，＝2﹣，③BE+DF＝EF，④存在点E、F，使得NF＞DF，其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）在和中，，若的周长是20cm，则的周长是 ． 12．（本题3分）如图，直线，直线交，，于点，，，直线交，，于点，，．若，，则的长为 ． 13．（本题3分）三个顶点、、，以原点为位似中心，得到的位似图形三个顶点分别为，，，则与的位似比是 ． 14．（本题3分）如图，平行四边形中，点E是边上一点，若，，的面积是8，则的面积为 ．    15．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，已知中，点，以原点为位似中心，相似比为，在位似中心同侧把缩小，则点的对应点的坐标是 ． 16．（本题3分）《九章算术》中记载：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问邑方几何？”意思是：在一座正方形城池的北边、西边正中A，C处各开一道门，从点A往正北方向走30步刚好有一棵树位于点B处．从点C往正西方向走750步到达点D处时，正好看到这棵树（如图所示），则正方形城池的边长为 ．    三、解答题（共72分） 17．（本题6分）已知：如图，在中，D、E分别在边上，连接，，，，，求证：． 18．（本题6分）已知：如图三个顶点的坐标分别为、、，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度． (1)以点为位似中心，在网格中画出△，使△与的位似比为，并直接写出点的坐标______； (2)△的面积为______． 19．（本题6分）如图，小明欲测量一座垂直于地面的古塔的高度，他直立站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他与该塔的距离，已知小明的身高，他的影长．求出古塔的高度．    20．（本题8分）小琳同学学习了《太阳光与影子》这一节以后，就想利用树影测量树高，但这棵树离大楼太近，影子不全落在地上，有一部分影子落在墙上(如图)，她在某时刻测得留在墙上的影长为1.2 m，测得地面上的影长为2.7 m，巧的是她拿的竹竿的长也是1.2 m，竹竿的影长为1.08 m，她是怎样求得树高AB的?结果是多少? 21．（本题8分）某数学兴趣小组要完成一个项目学习，测量凌霄塔的高度．如图，塔前有一棵高4米的小树，发现水平地面上点E、树顶C和塔顶A恰好在一条直线上，测得米，D、E之间有一个花圃距离无法测量；然后，在E处放置一平面镜，沿后退，退到G处恰好在平面镜中看到树顶C的像，米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米；已知，，，点B、D、E、G在同一水平线上．请你求出凌霄塔的高度．（平面镜的大小厚度忽略不计） 22．（本题12分）如图，点是菱形的对角线上一点，连结并延长，交于，交的延长线于点． (1)求证：． (2)若，，直接写出的长． 23．（本题12分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作一条直线分别交DA，BC的延长线于点E，F，连接BE，DF． （1）求证：四边形BFDE是平行四边形； （2）若EF⊥AB，垂足为M，，AE＝2，求菱形ABCD的边长． 24．（本题14分）问题提出：如果一个多边形的各个顶点均在另一个多边形的边上，则称这个多边形为另一多边形的内接多边形 问题探究： （1）如图1，正方形PEFG的顶点E、F在等边三角形ABC的边AB上，顶点P在AC边上．请在等边三角形ABC内部，以A为位似中心，作出正方形PEFG的位似正方形P'E'F'G'，且使正方形P'E'F'G'的面积最大（不写作法） （2）如图2，在边长为4正方形ABCD中，画出一个面积最大的内接正三角形，并求此最大内接正三角形的面积 拓展应用： （3）如图3，在边长为4的正方形ABCD中，能不能截下一个面积最大的直角三角形，并使其三边比为3：4：5，若能，请求出此直角三角形的最大面积，若不能，请说明理由． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$第1章图形的相似（基础过关） 数学答题卡 姓名： 班级： 考场/座位号： 注意事项 1．答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清楚。 2．客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 3．主观题答题，必须使用黑色签字笔书写。 4．必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效。 5．保持答卷清洁、完整。 正确填涂 缺考标记 准考证号                 [0] [1] [2] [3] [4] [5] 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代入可得：， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质，能够求解一些简单的计算问题是解题的关键． 4．（本题3分）如图，在三角形纸片中，，，，则下列选项阴影部分的三角形与△ABC相似的是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案． 【详解】解：三角形纸片中，，，， A、，，对应边，则阴影部分的三角形与不相似，故此选项错误； B、，，对应边，则阴影部分的三角形与不相似，故此选项错误； C、，，对应边，则阴影部分的三角形与不相似，故此选项错误； 、，，对应边，则阴影部分的三角形与相似，故此选项正确； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题关键． 5．（本题3分）如图，在平行四边形中，点E在边上，，连接交于点O，则的面积与四边形的面积的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，先根据已知条件证明，再证，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得，根据同高的三角形面积比等于底边长度之比，可得，进而可得，四边形的面积，由此可解． 【详解】解：， ， 平行四边形中，， ， 平行四边形中，， ，， ， ，， ， ，， ， 四边形的面积， 的面积与四边形的面积的比为， 故选A． 6．（本题3分）如图，在MABC中，已知AB＝2，AD⊥BC，垂足为D，BD＝2CD．若E是AD的中点，则EC的长度为（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据“两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似”证明△ADB∽△EDC，得，由AB=2则可求出结论． 【详解】， ， 为的中点， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ． 故选择A． 【点睛】此题主要考查了三角形相似的判定与性质，得出是解答此题的关键． 7．（本题3分）如图，平行四边形中，为的中点，已知的面积为，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于四边形是平行四边形，那么，，证明，再根据E是中点，易求出相似比，从而可求的面积． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴ 又∵E是中点， ∴ ∴ ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握“相似三角形的面积比等于相似比的平方”是解题的关键． 8．（本题3分）在四边形中，，，，，点P在上运动，则取最小值时，边AP上的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图所示，作A关于直线BC的对称点E，连接DE，PE，则可证当P、D、E三点共线时，PE+PD最小，即PA+PD最小，过点D作DF⊥BC于F，则四边形ABFD是矩形，从而求出CF= 3，，证明△EBP∽△EAD，求出BP=1，则，设△APD边AP上的高为h，根据，即可得到． 【详解】解：如图所示，作A关于直线BC的对称点E，连接DE，PE， ∵，， ∴∠ABF=∠BAD=90°， 又∵AE⊥BC， ∴A、B、E三点共线， ∴AP=EP，AB=BE即AE=2AB=2BE， ∴PA+PD=PE+PD， 要使PA+PD最小，则PE+PD最小， ∴当P、D、E三点共线时，PE+PD最小，即PA+PD最小， 过点D作DF⊥BC于F， ∴四边形ABFD是矩形， ∴AD=BF=2， ∴CF=BC-BF=3， ∴， ∵， ∴△EBP∽△EAD， ∴， ∴BP=1， ∴， 设△APD边AP上的高为h， ∴， ∴ 故选：B． 【点睛】本题主要考查了轴对称—最短路径问题，勾股定理，矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，三角形面积公式，正确作出辅助线求解是解题的关键． 9．（本题3分）如图，在中，B是上的点，，，，且，若，点Q是线段上的动点，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质．根据相似三角形的性质得到，得到，，过B作于H，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理得到，当时，的值最小，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：， ， ， 解得（负值舍去）， ， ， ， ， ， ， ， 如图，过B作于H， ， ， 当时，的值最小， ，， ， ， ， ， 故选A． 10．（本题3分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交BD于M、N，连按EN、EF、有以下结论：①AN＝EN，②当AE＝AF时，＝2﹣，③BE+DF＝EF，④存在点E、F，使得NF＞DF，其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】①如图1，证明△AMN∽△BME和△AMB∽△NME，可得∠NAE=∠AEN=45°，则△AEN是等腰直角三角形可作判断； ②先证明CE=CF，假设正方形边长为1，设CE=x，则BE=1-x，表示AC的长为AO+OC可作判断； ③如图3，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，证明△AEF≌△AEH（SAS），则EF=EH=BE+BH=BE+DF，可作判断； ④在△ADN中根据比较对角的大小来比较边的大小． 【详解】①如图1， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠EBM＝∠ADM＝∠FDN＝∠ABD＝45°， ∵∠MAN＝∠EBM＝45°，∠AMN＝∠BME， ∴△AMN∽△BME， ∴， ∵∠AMB＝∠EMN， ∴△AMB∽△NME， ∴∠AEN＝∠ABD＝45° ∴∠NAE＝∠AEN＝45°， ∴△AEN是等腰直角三角形， ∴AN＝EN， 故①正确； ②在△ABE和△ADF中， ∵， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴BE＝DF， ∵BC＝CD， ∴CE＝CF， 假设正方形边长为1，设CE＝x，则BE＝1﹣x， 如图2，连接AC，交EF于H， ∵AE＝AF，CE＝CF， ∴AC是EF的垂直平分线， ∴AC⊥EF，OE＝OF， Rt△CEF中，OC＝EF＝x， △EAF中，∠EAO＝∠FAO＝22.5°＝∠BAE＝22.5°， ∴OE＝BE， ∵AE＝AE， ∴Rt△ABE≌Rt△AOE（HL）， ∴AO＝AB＝1， ∴AC＝＝AO+OC， ∴1+x＝， x＝2﹣， ∴＝＝＝； 故②不正确； ③如图3， ∴将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，则AF＝AH，∠DAF＝∠BAH， ∵∠EAF＝45°＝∠DAF+∠BAE＝∠HAE， ∵∠ABE＝∠ABH＝90°， ∴H、B、E三点共线， 在△AEF和△AEH中， ， ∴△AEF≌△AEH（SAS）， ∴EF＝EH＝BE+BH＝BE+DF， 故③正确； ④△ADN中，∠FND＝∠ADN+∠NAD＞45°， ∠FDN＝45°， ∴DF＞FN， 故存在点E、F，使得NF＞DF， 故④不正确； 故选B． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质和判定等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线构造全等三角形. 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）在和中，，若的周长是20cm，则的周长是 ． 【答案】/25厘米 【分析】本题考查了比的性质，利用比的性质求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 又的周长是，即， ∴， 即的周长是， 故答案为：． 12．（本题3分）如图，直线，直线交，，于点，，，直线交，，于点，，．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理和比例性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理并正确求解是解答的关键． 13．（本题3分）三个顶点、、，以原点为位似中心，得到的位似图形三个顶点分别为，，，则与的位似比是 ． 【答案】 【分析】由△ABC三个顶点A（3，6）、B（6，2）、C（2，﹣1），以原点为位似中心，得到的位似图形△A′B′C′三个顶点分别为A′（1，2），B′（2，），C（，﹣），根据位似图形的性质，即可求得△A′B′C′与△ABC的位似比． 【详解】解：∵△ABC三个顶点A（3，6）、B（6，2）、C（2，﹣1），以原点为位似中心，得到的位似图形△A′B′C′三个顶点分别为A′（1，2），B′（2，），C（，﹣），∴△A′B′C′与△ABC的位似比是：1：3． 故答案为1：3． 【点睛】本题考查了位似图形的性质．此题比较简单，注意以原点为位似中心的位似图形的位似比是对应点的对应坐标的比． 14．（本题3分）如图，平行四边形中，点E是边上一点，若，，的面积是8，则的面积为 ．    【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 证明，则，即，计算求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，    ∴， ∴，即， 解得，， 故答案为：． 15．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，已知中，点，以原点为位似中心，相似比为，在位似中心同侧把缩小，则点的对应点的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据位似变换的性质，即可求解． 【详解】∵以原点O为位似中心，相似比为，在位似中心同侧把缩小， ∴点的对应点的坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了位似变换，掌握位似变换的性质是解题的关键． 16．（本题3分）《九章算术》中记载：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问邑方几何？”意思是：在一座正方形城池的北边、西边正中A，C处各开一道门，从点A往正北方向走30步刚好有一棵树位于点B处．从点C往正西方向走750步到达点D处时，正好看到这棵树（如图所示），则正方形城池的边长为 ．    【答案】300步 【分析】本题考查了分式方程的应用，正方形性质，相似三角形的性质和判定，设正方形城池的边长为步，利用正方形性质证明，利用相似三角形性质建立方程求解，即可解题． 【详解】解：设正方形城池的边长为步， 由题知，步，步， 步，， ， 由正方形性质可知，， ， ， ， 即，解得， 经检验是方程的解， 故答案为：步． 三、解答题（共72分） 17．（本题6分）已知：如图，在中，D、E分别在边上，连接，，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，掌握两边成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 18．（本题6分）已知：如图三个顶点的坐标分别为、、，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度． (1)以点为位似中心，在网格中画出△，使△与的位似比为，并直接写出点的坐标______； (2)△的面积为______． 【答案】(1)作图见解析； (2)8 【分析】（1）延长到使，延长到使，从而得到；然后写出点的坐标； （2）利用面积公式直接进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，为所作；点的坐标为； （2）解：由图可知：． 【点睛】本题考查位似三角形的作图，解题的关键是：熟练掌握位似三角形的定义：如果两个三角形不仅是相似三角形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个三角形叫做位似三角形． 19．（本题6分）如图，小明欲测量一座垂直于地面的古塔的高度，他直立站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他与该塔的距离，已知小明的身高，他的影长．求出古塔的高度．    【答案】米 【分析】本题考查的是相似三角形的应用举例，根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，利用相似三角形的性质求得相应线段的长即可． 【详解】解：∵，， ， ∴， ∴，即， 即， ∴（米）， ∴古塔的高度为16.2米． 20．（本题8分）小琳同学学习了《太阳光与影子》这一节以后，就想利用树影测量树高，但这棵树离大楼太近，影子不全落在地上，有一部分影子落在墙上(如图)，她在某时刻测得留在墙上的影长为1.2 m，测得地面上的影长为2.7 m，巧的是她拿的竹竿的长也是1.2 m，竹竿的影长为1.08 m，她是怎样求得树高AB的?结果是多少? 【答案】树AB的高度为4.2 m. 【分析】过点D作DE⊥AB于点E，连接AD，根据同一时刻物高与影长成正比例可求得AE的长，进而解决问题. 【详解】如图，过点D作DE⊥AB于点E，连接AD，则BE=CD=1.2 m，DE=BC=2.7 m， 又因为同一时刻物高与影长成正比例， 所以，，即 解得AE=3 m， 则AB=AE+EB=3+1.2=4.2(m). 答:树AB的高度为4.2 m. 【点睛】熟练运用同一时刻物高与影长成正比例是解决本题的关键. 21．（本题8分）某数学兴趣小组要完成一个项目学习，测量凌霄塔的高度．如图，塔前有一棵高4米的小树，发现水平地面上点E、树顶C和塔顶A恰好在一条直线上，测得米，D、E之间有一个花圃距离无法测量；然后，在E处放置一平面镜，沿后退，退到G处恰好在平面镜中看到树顶C的像，米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米；已知，，，点B、D、E、G在同一水平线上．请你求出凌霄塔的高度．（平面镜的大小厚度忽略不计） 【答案】凌霄塔的高度为42米，见解析 【分析】先证明，求出的长，再证明即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴解得：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴凌霄塔的高度为42米． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意是解题关键． 22．（本题12分）如图，点是菱形的对角线上一点，连结并延长，交于，交的延长线于点． (1)求证：． (2)若，，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形的对角线平分一组对角可得，然后利用“边角边”证明和全等，得出，利用两组角对应相等则两三角形相似，证明； （2）根据相似三角形的性质得出，进而即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， 在和中， ， ∴． ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵ ∴ ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，是解题的关键． 23．（本题12分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作一条直线分别交DA，BC的延长线于点E，F，连接BE，DF． （1）求证：四边形BFDE是平行四边形； （2）若EF⊥AB，垂足为M，，AE＝2，求菱形ABCD的边长． 【答案】（1）证明见解析；（2）6. 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠AEO=∠CFO，然后利用“角角边”证明△AEO和△CFO全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=OF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可； （2）设OM=x，BM=2x，根据△AOM∽△OBM，求得AM＝＝x，根据△AEM∽△BFM，求得EM：FM=AM：BM=x：2x=，根据△AEM∽△BFM，求得结论． 【详解】（1）证明：在菱形ABCD中，AD∥BC，OA＝OC，OB＝OD， ∴∠AEO＝∠CFO， 在△AEO和△CFO中，， ∴△AEO≌△CFO（AAS）， ∴OE＝OF， 又∵OB＝OD， ∴四边形BFDE是平行四边形； （2）解：∵， ∴设OM＝x，BM＝2x， ∵EF⊥AB， 又∵AC⊥BD， ∴∠AOM＝∠OBM， ∴△AOM∽△OBM， ∴＝， ∴AM＝＝x， ∵AD∥BC， ∴△AEM∽△BFM， ∴EM：FM＝AM：BM＝x：2x＝， ∵△AEO≌△CFO， ∴AE＝CF， ∵AE∥BF， ∴△AEM∽△BFM， ∴＝， ∴＝， ∴BF＝8， ∴BC＝6， ∴菱形ABCD的边长为6． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，难点在于（2）两次求出三角形相似． 24．（本题14分）问题提出：如果一个多边形的各个顶点均在另一个多边形的边上，则称这个多边形为另一多边形的内接多边形 问题探究： （1）如图1，正方形PEFG的顶点E、F在等边三角形ABC的边AB上，顶点P在AC边上．请在等边三角形ABC内部，以A为位似中心，作出正方形PEFG的位似正方形P'E'F'G'，且使正方形P'E'F'G'的面积最大（不写作法） （2）如图2，在边长为4正方形ABCD中，画出一个面积最大的内接正三角形，并求此最大内接正三角形的面积 拓展应用： （3）如图3，在边长为4的正方形ABCD中，能不能截下一个面积最大的直角三角形，并使其三边比为3：4：5，若能，请求出此直角三角形的最大面积，若不能，请说明理由． 【答案】（1）详见解析；（2）S△DEF＝16（2﹣3）；（3）能，S△DEF＝． 【分析】（1）利用位似图形的性质，作出正方形PEFG的位似正方形P'E'F'G'，如图1所示； （2）如图2，△DEF是最大内接正三角形，在AD上取一点M，使得EM=MD．由△DAE≌△DCF，推出∠ADE=∠CDF，由∠ADC=90°，推出∠ADE=∠CDF=15°，推出∠MED=∠MDE=15°，推出∠AME=∠MED+∠MDE=30°，设AE=a，则EM=DM=2a，AM=a，可得a+2a=4，推出a=4（2-），推出BE=BF=4（-1），由此即可解决问题． （3）能．理由：如图3中，假设△BEF是直角三角形，EF：BE：BF=3：4：5，由△ABE∽△DEF，可得，AB=4，推出DE=3，AE=1，DF=，推出BE=，EF=，BF=，由此即可解决问题． 【详解】（1）如图1，正方形P'E'F'G'即为所求； （2）如图2，△DEF是最大内接正三角形，在AD上取一点M，使得EM＝MD． ∵△DEF是等边三角形， ∴DE＝DF，∠EDF＝60°， 在Rt△DAE和Rt△DCF中， ， ∴△DAE≌△DCF， ∴∠ADE＝∠CDF， ∵∠ADC＝90°， ∴∠ADE＝∠CDF＝15°， ∴∠MED＝∠MDE＝15°， ∴∠AME＝∠MED+∠MDE＝30°， 设AE＝a，则EM＝DM＝2a，AM＝a， ∴a+2a＝4， ∴a＝4（2﹣）， ∴BE＝BF＝4（﹣1）， ∴S△DEF＝16﹣2××4×4（2﹣）﹣×4（﹣1）×4（﹣1）＝16（2﹣3）． （3）能．理由：如图3中，假设△BEF是直角三角形，EF：BE：BF＝3：4：5， ∵∠A＝∠D＝∠BEF＝90°， ∴∠AEB+∠ABE＝90°，∠AEB+∠DEF＝90°， ∴∠ABE＝∠DEF， ∴△ABE∽△DEF， ∴， ∵AB＝4， ∴DE＝3，AE＝1，DF＝， ∴BE=，EF=，BF=， ∴△BEF满足条件， ∴S△DEF＝•BE•EF＝． 【点睛】本题考查四边形综合题、等边三角形的性质、正方形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 24 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$