精品解析：江西省南昌市第二中学2024-2025学年高一上学期入学测试数学试题

南昌二中2024级高一新生入学测试（数学） 一､选择题（6小题，每小题4分，共24分） 1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称，轴对称的定义可依次判断各个选项. 【详解】对于A选项，既不是中心对称图形也不是轴对称图形，故A错误； 对于B选项，是中心对称图形，不是轴对称图形，故B错误； 对于C选项，是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误； 对于D选项，既是中心对称图形也是轴对称图形，故D正确. 故选：D. 2. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，事件“一正一反”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可． 【详解】抛掷两枚质地均匀的硬币可能出现的情况为：正正，正反，反正，反反. 所以出现“一正一反”的概率是. 故选：A. 3. 已知集合只有一个元素，则实数的值为（ ） A. 1或0 B. 0 C. 1 D. 1或2 【答案】A 【解析】 【分析】讨论，当时，方程是一次方程，当时，二次方程只有一个解，，即可求. 【详解】若集合只有一个元素，则方程只有一个解， 当时，方程可化为，满足题意， 当时，方程只有一个解，则，解得， 所以或. 故选：. 4. 如图，将沿着弦翻折，劣弧恰好经过圆心，那么的半径长度为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作于，连接，结合直角三角形，利用勾股定理即可求解. 【详解】如图，作于，连接， , ,由折叠得，设，则， 在直角三角形中，，， 所以. 故选：B 5. 如图，的顶点在双曲线上，顶点在双曲线上，的中点恰好落在轴上，已知，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】作垂直轴于点，作垂直轴于点，连接，由题意可得，进而求得，可求的值. 【详解】如图所示，作垂直轴于点，作垂直轴于点，连接， 因为，所以， 又因为的中点恰好落在轴上，即有， 所以， 易知，所以， 又易得， 所以，所以， 所以，由题意可得，所以. 故选：D. 6. 如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论，①；②：③时，随的增大而增大；④若关于的一元二次方程没有实数根，则；⑤对于任意实数，总有.其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】由图象及条件可确定的正负和的关系，由此可判断①②，结合图象判断③，结合一元二次方程的解与判别式的关系判断④，化简可得，由此判断⑤，根据判断选择结论. 【详解】因为抛物线与轴交于点， 所以， 因为抛物线的对称轴为直线，且开口向上， 所以，， 所以，，，， 所以，①正确； 因为，所以②正确， 当时，随的增大而减少，③错误； 方程，可化为， 即， 若方程没有实数根，则， 所以，又， 所以，④正确； ，又， 所以对于任意实数，总有，⑤正确. 所以正确的结论有个. 故选：C. 二､填空题（5小题，每小题4分，共20分） 7. 已知关于的方程的一个根是，则它的另一个根是__________. 【答案】5 【解析】 【分析】根据一元二次方程韦达定理可知，两根之积等于，即可求得答案. 【详解】设方程的另一根为，由韦达定理，知，可得=. 故答案为：5. 8. 一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.4，则袋中约有绿球__________个. 【答案】8 【解析】 【分析】根据绿球个数除以总个数即可. 【详解】因为通过大量重复的摸球实验后，发现摸到绿球的频率稳定在，所以摸到绿球的概率为， 设不透明的袋中有个绿球，因为空袋中有9个红个球，3个白球，所以，解得：; 故答案为：8 9. 设集合，，若，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】 由集合间的关系，即可得出结论. 【详解】因为，， 所以 故答案为： 【点睛】本题考查的是集合的运算，较简单. 10. 圆锥侧面积为，侧面展开扇形的半径为，圆锥的底面半径为__________cm. 【答案】2 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，结合圆锥的结构特征及侧面积公式列方程，解方程可得结论. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为， 由已知，， 所以， 所以圆锥的底面半径为. 故答案为：. 11. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标分别为､.若抛物线的图象与正方形有公共点，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】找到抛物线的图象与正方形有公共点时的临界点，代入求解即可. 【详解】若抛物线的图象与正方形有公共点， 则抛物线的开口必然向上，， 随着的变化抛物线的开口大小会随之改变， 与正方形有公共点的两个临界位置分别是抛物线经过点和点， 经过点时，； ，经过点时，. 且从点到点抛物线的开口逐渐变大，的值逐渐减小， 所以的取值范围是. 故答案为：. 三､解答题（共4题，每题8分，共32分） 12. 解下列方程和不等式： （1） （2） 【答案】（1）4或 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的解法求得正确答案. （2）根据一元二次不等式的解法求得正确答案. 【小问1详解】 依题意，， 解得或. 【小问2详解】 依题意， 解得或， 所以不等式的解集为或. 13. 从甲､乙､丙､丁4名学生中选2名学生参加羽毛球单打比赛. （1）若甲一定被选中参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，则恰好选中乙的概率是__________； （2）任意选取2名学生参加比赛，求选中丙的概率.（用树状图或列表的方法求解） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用列举法，结合古典概型概率计算公式求得正确答案. （2）利用列表法，结合古典概型概率计算公式求得正确答案. 【小问1详解】 由甲一定被选中参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名， 共有甲､乙，甲､丙，甲､丁三种等可能，符合条件的情况数有1种， 甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中乙的概率是； 【小问2详解】 列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 甲､乙 甲､丙 甲､丁 乙 乙､甲 乙､丙 乙､丁 丙 丙､甲 丙､乙 丙､丁 丁 丁､甲 丁､乙 丁､丙 所有的等可能的情况数有12种，符合条件的情况数有6种， 所以选中丙的概率为：. 14. 晚上放学回家，小明和大华走在路灯下，突然灵机一动，想利用所学的知识测量路灯的高度.在灯光下，当大华站在点处时，小明测得大华的影长为3米；大华沿方向行走5米到达点，此时又测得大华的影长为4米.如果大华的身高为1.6米，请你根据以上信息，帮助他们计算路灯的高度. 【答案】高度为9.6米 【解析】 【分析】由三角形相似得到方程，得到方程组，求出，得到答案. 【详解】如图，于点于点， 由题意可知，米，米，米，米， ，即①， ， ，即，② 由①②得，，解得，， 经检验，是方程的根且符合题意， ，解得，. 答：路灯杆的高度为9.6米. 15. 阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下： 立方和公式：； 立方差公式：. 根据材料和已学知识解决下列问题 （1）因式分解：； （2）先化简，再求值：，其中. （3）利用材料因式分解： 【答案】（1） （2），5 （3） 【解析】 【分析】（1）利用题干中的立方差公式求解即可； （2）对式子化简求解即可； （3）利用题干中的立方差公式因式分解即可. 【小问1详解】 原式. 【小问2详解】 原式 . 当时，原式. 【小问3详解】 . 四､解答题（共3题，每题10分，共30分） 16. 如图，已知是反比例函数的图象和一次函数的图象的两个交点. （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图象直接写出不等式的解集. 【答案】（1）， （2）6 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求得函数的解析式. （2）结合图象以及三角形的面积公式求得的面积. （3）根据图象以及两点的坐标求得不等式的解集. 【小问1详解】 点在反比例函数的图象上， ，即，反比例函数解析式为：， 点在反比例函数的图象上， ，点的坐标为， 在一次函数的图象上，可得： ，解得，一次函数解析式为： 【小问2详解】 如图，一次函数的图象与轴交于点， . 【小问3详解】 ， 由图象可知，的取值范围是：或. 17. 如图，一份印刷品的排版（阴影部分）为矩形，面积为 32，它的左、右两边都留有宽为2的空白，上、下两边都留有宽为 1的空白.记纸张的面积为 S，排版矩形的长和宽分别为x，y. （1）用x，y 表示 S; （2）如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小? 并求最小面积. 【答案】（1） （2）纸张的长和宽分别为12，6时，纸张的面积最小，最小面积为72. 【解析】 【分析】（1）由题意知，再代入化简即可； （2）利用基本不等式即可求出最值. 【小问1详解】 由题意，， . 【小问2详解】 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以纸张的长和宽分别为12，6时，纸张的面积最小，最小面积为72. 18. 阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫作分母有理化． （1）化简：； （2）已知的整数部分为a，小数部分为b，求的值． （3）计算：． 【答案】（1） （2） （3）9 【解析】 【分析】（1）分母有理化化简即可； （2）分母有理化再求出整数部分后计算即可； （3）分母有理化化简求解即可； 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴的整数部分为，小数部分为， ∴； 【小问3详解】 ∵， ∴ ． 六､解答题（本大题共14分） 19. 如图①，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点. （1）求该抛物线的表达式； （2）若点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接.当的面积等于面积的2倍时，求点的坐标； （3）抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）或 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）代入点坐标即可； （2）利用铅锤法表示的面积，根据题意列出等式求出点坐标即可； （3）利用图形全等，由先确定点位置，进而求得其坐标. 【小问1详解】 把代入中，得： ，解得：， 抛物线解析式为； 【小问2详解】 过点作轴平行线交轴于，交于点，作于点， 把代入中，得：点坐标是， 设直线， 把代入，得，解得， 直线的解析式为设，则， 由得：， 整理得：解得： 的值为1或2， 当时，， 当时，， 点的坐标为或； 【小问3详解】 存在.由得， ①当点在左侧时.在轴上取点，延长交抛物线于点. 在和中，有，所以， 故 ， 设直线的解析式为， 将代入，得，解得， 设直线的解析式为， 由得：或（舍去），所以； ②当点在右侧时， 作关于的对称交二次函数于点，则 ， ， 四边形是正方形，， 令中，，则， 解得或， ， 在点抛物线上，即点满足条件. 故存在满足条件的点有两个，分别是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌二中2024级高一新生入学测试（数学） 一､选择题（6小题，每小题4分，共24分） 1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，事件“一正一反”的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合只有一个元素，则实数的值为（ ） A. 1或0 B. 0 C. 1 D. 1或2 4. 如图，将沿着弦翻折，劣弧恰好经过圆心，那么的半径长度为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 5. 如图，的顶点在双曲线上，顶点在双曲线上，的中点恰好落在轴上，已知，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. 6. 如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论，①；②：③时，随的增大而增大；④若关于的一元二次方程没有实数根，则；⑤对于任意实数，总有.其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二､填空题（5小题，每小题4分，共20分） 7. 已知关于的方程的一个根是，则它的另一个根是__________. 8. 一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.4，则袋中约有绿球__________个. 9. 设集合，，若，则的取值范围是________． 10. 圆锥侧面积为，侧面展开扇形的半径为，圆锥的底面半径为__________cm. 11. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标分别为､.若抛物线的图象与正方形有公共点，则的取值范围是__________. 三､解答题（共4题，每题8分，共32分） 12. 解下列方程和不等式： （1） （2） 13. 从甲､乙､丙､丁4名学生中选2名学生参加羽毛球单打比赛. （1）若甲一定被选中参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，则恰好选中乙的概率是__________； （2）任意选取2名学生参加比赛，求选中丙的概率.（用树状图或列表的方法求解） 14. 晚上放学回家，小明和大华走在路灯下，突然灵机一动，想利用所学的知识测量路灯的高度.在灯光下，当大华站在点处时，小明测得大华的影长为3米；大华沿方向行走5米到达点，此时又测得大华的影长为4米.如果大华的身高为1.6米，请你根据以上信息，帮助他们计算路灯的高度. 15. 阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下： 立方和公式：； 立方差公式：. 根据材料和已学知识解决下列问题 （1）因式分解：； （2）先化简，再求值：，其中. （3）利用材料因式分解： 四､解答题（共3题，每题10分，共30分） 16. 如图，已知是反比例函数的图象和一次函数的图象的两个交点. （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图象直接写出不等式的解集. 17. 如图，一份印刷品的排版（阴影部分）为矩形，面积为 32，它的左、右两边都留有宽为2的空白，上、下两边都留有宽为 1的空白.记纸张的面积为 S，排版矩形的长和宽分别为x，y. （1）用x，y 表示 S; （2）如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小? 并求最小面积. 18. 阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫作分母有理化． （1）化简：； （2）已知的整数部分为a，小数部分为b，求的值． （3）计算：． 六､解答题（本大题共14分） 19. 如图①，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点. （1）求该抛物线的表达式； （2）若点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接.当的面积等于面积的2倍时，求点的坐标； （3）抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $