第01章 二次函数 章节整合练习（15个知识点+40题练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第01章 二次函数 章节整合练习（15个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．二次函数的定义 （1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． （2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 知识点2．二次函数的图象 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 知识点3．二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 知识点4．二次函数图象与系数的关系 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 知识点5．二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）． ①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝． 知识点6．二次函数图象与几何变换 由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 知识点7．二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 知识点8．待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 知识点9．二次函数的三种形式 二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）． 知识点10．抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 知识点11．图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 知识点12．二次函数与不等式（组） 二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系 ①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围． ②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 知识点13．根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 知识点14．二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 知识点15．二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 章节题型整合练习 一．二次函数的定义 1．（2023秋•浙江月考）下列函数中，是二次函数的有　　 ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2023秋•新昌县校级月考）已知二次函数，则二次项系数　　，一次项系数　　． 二．二次函数的图象 3．（2023秋•滨江区校级期中）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是　　 A． B． C． D． 4．（2022•西湖区校级开学）已知四个二次函数的图象如图所示，那么，，，的大小关系是 　　．（请用“”连接排序） 三．二次函数的性质 5．（2024•沧州一模）若抛物线经过，两点，则抛物线的对称轴为　　 A． B． C． D． 6．（2024•东阳市二模）已知二次函数为常数），点，，，是其图象上两点，若，则的取值范围为 　　． 7．（2022秋•老河口市期中）如图，已知抛物线经过点． （1）求的值，并求出此抛物线的顶点坐标； （2）当时，直接写出的取值范围． 四．二次函数图象与系数的关系 8．（2023秋•萧山区期中）已知，二次函数满足以下三个条件：①，②，③，则它的图象可能是　　 A． B． C． D． 9．（2023秋•东阳市月考）已知二次函数，当时，随的增大而增大，而的取值范围是 　　． 10．（湖州）（注意：本题为自选题，供考生选做．自选题得分将记入本学科的总分，但考生所得总分最多为120分．二次函数图象的一部分如图所示，则的取值范围是　　． 五．二次函数图象上点的坐标特征 11．（2024•江夏区模拟）是二次函数图象上一点，是一次函数图象上一点，且，若是上一点，则的值是　　 A．1 B．3 C．或3 D．1或 12．（2024•东坡区模拟）已知点，，点在抛物线上运动，则的最小值为 　　． 13．（2023秋•浙江期中）已知二次函数的图象经过，两点． （1）求，的值． （2）试判断点是否在此函数的图象上． 六．二次函数图象与几何变换 14．（2024•滨江区校级三模）抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移方法正确的是　　 A．先向左平移2个单位，再向上平移7个单位 B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 C．先向右平移2个单位，再向上平移7个单位 D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位 15．（2023秋•西湖区期末）将二次函数的图象向下平移个单位长度后，所得到的二次函数图象经过点，则的值为 　　． 16．（2022•瑞安市一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，． （1）求的值． （2）将抛物线向上平移得到的新抛物线交直线于点，，交轴 于点，若，求的长． 七．二次函数的最值 17．（2024•浙江模拟）已知：，，，则下列说法中正确的是　　 A．有最大值4，最小值1 B．有最大值3，最小值 C．有最大值3，最小值1 D．有最大值3，最小值 18．（2024•浙江校级模拟）已知关于的二次函数，该函数的最大值为 　　． 19．（2022•永嘉县模拟）已知二次函数的图象经过，． （1）用含的代数式表示． （2）若二次函数的最小值为，求的值． 八．待定系数法求二次函数解析式 20．（2024•钱塘区三模）已知二次函数，，是常数，的图象经过点，且对任意的值，始终成立，则该二次函数的解析式为　　 A． B． C． D． 21．（2022秋•温州期末）若抛物线的顶点在轴，则　　． 22．（2022秋•上城区校级期中）根据下列条件，分别求二次函数的表达式 （1）已知图象的顶点坐标为，且过点； （2）已知图象经过点，，并以直线为的对称轴． 九．二次函数的三种形式 23．（2022秋•长兴县期中）将二次函数化为的形式，正确的结果是　　 A． B． C． D． 24．（2023秋•江干区校级期中）将变为的形式 　　．顶点坐标是 　　． 25．（2020秋•金东区校级月考）已知二次函数． （1）用配方法将二次函数的表达式化为的形式； （2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （3）当　　时，． 一十．抛物线与x轴的交点 26．（2024•阳新县一模）我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是　　 ①图象与坐标轴的交点为，和； ②图象具有对称性，对称轴是直线； ③当或时，函数值随值的增大而增大； ④当或时，函数的最小值是0； ⑤当时，函数的最大值是4， A．4 B．3 C．2 D．1 27．（2023秋•路桥区月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的解为 　　． 28．（2024•平湖市模拟）已知关于的二次函数 （1）若该函数的图象与轴的交点坐标是，，求的值； （2）若该函数的图象的顶点纵坐标为3， ①用含的代数式表示； ②当时，的取值范围是，求的取值范围． 一十一．图象法求一元二次方程的近似根 29．（2023秋•瑞安市月考）如表中有二次函数的自变量与函数值的几组对应值，据此判断方程的正数根的范围是　　 0 3 1 A． B． C． D． 30．（2020•鄞州区校级自主招生）二次函数的图象如图，对称轴为直线．若关于的一元二次方程、为实数）在的范围内有解，则的取值范围是 　　． 一十二．二次函数与不等式（组） 31．（2024•浙江模拟）在平面直角坐标系中，一次函数和，无论取何值，始终有，则的取值为　　 A． B． C． D．且 32．（2022秋•吴兴区期末）如图，已知二次函数与一次函数的图象交于，两点，则关于的不等式的解集为 　　． 33．（2024•镇海区校级四模）已知函数，，，为常数且． （1）若的图象经过点，求该函数的表达式． （2）若函数，的图象始终经过同一定点． ①求点的坐标和的值． ②若，当时，总有，求的取值范围． 一十三．根据实际问题列二次函数关系式 34．（2023秋•江北区期末）慈城某店家销售特产印花糕，经调查发现每盒印花糕售价为15元时，日销售量为200盒，当每盒售价每下降1元时，日销售量会增加5盒．已知每盒印花糕的成本为5元，设每盒降价元，商家每天的利润为元，则与之间的函数表达式为　　 A． B． C． D． 35．（2020秋•西湖区期末）某工厂1月份的产值是200万元，平均每月产值的增长率为，则该工厂第一季度的产值关于的函数解析式为　　． 36．（2020秋•西湖区校级期中）某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量（件与每件的销售价（元满足一次函数关系． （1）请写出商场卖这种商品每天的销售利润（元与每件销售价（元之间的函数关系式． （2）商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由． 一十四．二次函数的应用 37．（2022秋•龙湾区期中）将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是　　 A． B． C． D． 38．（2023秋•义乌市期末）如图，小明打高尔夫球，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（米与飞行时间（秒之间满足函数关系则小球从飞出到达到最高点瞬间所需要的时间为 　　秒． 一十五．二次函数综合题 39．（2023秋•诸暨市校级月考）如图，抛物线与交于点，且分别与轴交于点，．过点作轴的平行线，交抛物线于点，．则以下结论： ①无论取何值，总是负数； ②抛物线可由抛物线向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到； ③当时，随着的增大，的值先增大后减小； ④四边形为正方形． 其中正确的是 　　．（填写正确的序号） 40．（2024•金华三模）已知二次函数，，是常数，的图象经过点． （1）若抛物线的顶点为，求函数的表达式． （2）在（1）的条件下，若函数图象过点，，求证：． （3）若函数图象经过点，，其中，且关于的方程有两个相等的实数根，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01章 二次函数 章节整合练习（15个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．二次函数的定义 （1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． （2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 知识点2．二次函数的图象 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 知识点3．二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 知识点4．二次函数图象与系数的关系 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 知识点5．二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）． ①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝． 知识点6．二次函数图象与几何变换 由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 知识点7．二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 知识点8．待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 知识点9．二次函数的三种形式 二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）． 知识点10．抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 知识点11．图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 知识点12．二次函数与不等式（组） 二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系 ①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围． ②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 知识点13．根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 知识点14．二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 知识点15．二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 章节题型整合练习 一．二次函数的定义 1．（2023秋•浙江月考）下列函数中，是二次函数的有　　 ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数，进而判断得出答案． 【解答】解：①，是二次函数，故此选项符合题意； ②，不是二次函数，故此选项不符合题意； ③，是二次函数，故此选项符合题意； ④，不是二次函数，故此选项不合题意． 故选：． 【点评】此题主要考查了二次函数的定义，正确掌握相关函数定义是解题关键． 2．（2023秋•新昌县校级月考）已知二次函数，则二次项系数　3　，一次项系数　　． 【分析】根据二次函数的定义即可求解． 【解答】解：二次函数的二次项系数，一次项系数， 故答案为：3；． 【点评】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 二．二次函数的图象 3．（2023秋•滨江区校级期中）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次函数图象与轴交点的位置和一次函数的增减性，判断出的符号，即可确定出正确的选项． 【解答】解：．由直线与轴的交点在轴的负半轴上可知，，错误，不符合题意； ．由抛物线与轴的交点在轴的正半轴上可知，，由直线可知，，错误，不符合题意； ．由抛物线轴的交点在轴的负半轴上可知，，由直线可知，，错误，不符合题意； ．由抛物线轴的交点在轴的负半轴上可知，，由直线可知，，正确，符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的图象、一次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，由二次函数二次项系数结合选项找出是解题的关键． 4．（2022•西湖区校级开学）已知四个二次函数的图象如图所示，那么，，，的大小关系是 　　．（请用“”连接排序） 【分析】直接利用二次函数的图象开口大小与的关系进而得出答案． 【解答】解：如图所示：的开口小于的开口，则， 的开口大于的开口，开口向下，则， 故． 故答案为： 【点评】此题主要考查了二次函数的图象，正确记忆开口大小与的关系是解题关键． 三．二次函数的性质 5．（2024•沧州一模）若抛物线经过，两点，则抛物线的对称轴为　　 A． B． C． D． 【分析】由、两点的坐标，根据抛物线的对称性可求得答案． 【解答】解：抛物线经过、两点， 抛物线对称轴为直线， 故选：． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，利用、关于对称轴对称是解题的关键． 6．（2024•东阳市二模）已知二次函数为常数），点，，，是其图象上两点，若，则的取值范围为 　　． 【分析】通过作差法，根据，可得，进而求解． 【解答】解：， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键． 7．（2022秋•老河口市期中）如图，已知抛物线经过点． （1）求的值，并求出此抛物线的顶点坐标； （2）当时，直接写出的取值范围． 【分析】（1）把点代入得到关于的方程，再解方程可确定抛物线解析式，在化为顶点式求顶点坐标； （2）分别确定自变量为0和对应的函数值，然后结合函数图象和二次函数的性质求解． 【解答】解：（1）把代入得： ， 解得， ， 抛物线的顶点坐标为； （2）， 抛物线开口向下，有最大值4， 当时，，当时，， 当时，的取值范围是． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质，关键是利用二次函数的性质解题． 四．二次函数图象与系数的关系 8．（2023秋•萧山区期中）已知，二次函数满足以下三个条件：①，②，③，则它的图象可能是　　 A． B． C． D． 【分析】由抛物线满足：①，②，③，判断抛物线与轴的交点，根据图象判断、的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：二次函数满足以下三个条件：①，②，③， 由①可知当时，则抛物线与轴有两个交点，当时，则抛物线与轴无交点； 由②可知：当时，， 由③可知：， ，必须， 符合条件的有、， 由的图象可知，对称轴直线，，，抛物线交的负半轴，，则， 由的图象可知，对称轴直线，，，抛物线交的负半轴，，则有可能， 故满足条件的图象可能是， 故选：． 【点评】此题考查了二次函数各系数与函数图象的关系，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 9．（2023秋•东阳市月考）已知二次函数，当时，随的增大而增大，而的取值范围是 　　． 【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解． 【解答】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 时，随增大而增大， ， 解得， 故答案为：． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 10．（湖州）（注意：本题为自选题，供考生选做．自选题得分将记入本学科的总分，但考生所得总分最多为120分．二次函数图象的一部分如图所示，则的取值范围是　　． 【分析】由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点得出的值，然后根据图象经过的点的情况进行推理，进而推出所得结论． 【解答】解：抛物线开口向下，， 图象过点，， 图象过点，， ． 由题意知，当时，应有， ， ， ， 实数的取值范围是． 【点评】根据开口判断的符号，根据与轴，轴的交点判断的值以及用表示出的代数式．难点是推断出当时，应有． 五．二次函数图象上点的坐标特征 11．（2024•江夏区模拟）是二次函数图象上一点，是一次函数图象上一点，且，若是上一点，则的值是　　 A．1 B．3 C．或3 D．1或 【分析】将点、分别代入对应的解析式，根据列出不等式，根据是上一点得到，继而不等式转化成，设，则有，所以或，根据选项选择符合条件的选项即可． 【解答】解：是二次函数图象上一点， ， 一次函数图象上一点， ， ， ， 是上一点， ， ， 设，则有， ，， 或， 或， 故选：． 【点评】本题考查了二次函数与一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握不等式的解法是解答本题的关键． 12．（2024•东坡区模拟）已知点，，点在抛物线上运动，则的最小值为 　5　． 【分析】设点，用含代数式表示，可得点到点的距离与点到直线的距离相等，进而求解． 【解答】解：设点， 则点到轴距离为，， 点到点的距离与点到直线的距离相等， 点横坐标为， 点为直线与抛物线交点， 如图，设直线与直线交点， 为最小值，， 故答案为：5． 【点评】本题考查二次函数与图形的结合问题，解题关键是找出抛物线上的点到的距离的特点． 13．（2023秋•浙江期中）已知二次函数的图象经过，两点． （1）求，的值． （2）试判断点是否在此函数的图象上． 【分析】（1）把两点代入即可得出，的值； （2）把代入解析式，算一下的值是否为2，即可得出答案． 【解答】解：（1）把，代入， 得， 解得， ，的值分别为，1； （2）把代入，得， 点不在此函数的图象上． 【点评】本题考查了对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用待定系数法求二次函数的解析式是解此题的关键． 六．二次函数图象与几何变换 14．（2024•滨江区校级三模）抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移方法正确的是　　 A．先向左平移2个单位，再向上平移7个单位 B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 C．先向右平移2个单位，再向上平移7个单位 D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位 【分析】先将抛物线化为的形式，再根据函数图象平移的法则进行解答． 【解答】解：抛物线化为， 把抛物线先向右平移2个单位，再向下平移1个单位即可得到抛物线． 故选：． 【点评】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 15．（2023秋•西湖区期末）将二次函数的图象向下平移个单位长度后，所得到的二次函数图象经过点，则的值为 　5　． 【分析】先求出平移后的解析式，再把代入解析式求值即可． 【解答】解：将二次函数的图象向下平移个单位长度后得到的抛物线解析式为， 抛物线经过点， ， 解得， 故答案为：5． 【点评】本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，关键是掌握二次函数平移的性质． 16．（2022•瑞安市一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，． （1）求的值． （2）将抛物线向上平移得到的新抛物线交直线于点，，交轴 于点，若，求的长． 【分析】（1）根据抛物线的对称性即可求得抛物线的对称轴为直线，即可得到，解得； （2）设，将抛物线向上平移得到的新抛物线为，由题意可知，代入，求得的值，即可求得的长． 【解答】解：（1）由题意得，抛物线的对称轴为直线， ， ． （2）设， 将抛物线向上平移得到的新抛物线为， 抛物线的对称轴为直线，， ， 代入得，， 解得， ． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与几何变换，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键． 七．二次函数的最值 17．（2024•浙江模拟）已知：，，，则下列说法中正确的是　　 A．有最大值4，最小值1 B．有最大值3，最小值 C．有最大值3，最小值1 D．有最大值3，最小值 【分析】依据题意，由，从而，进而根据二次函数的性质可得，，再结合，可得，最后可得的范围，故可判断得解． 【解答】解：由题意，， ． 又当时，；时，；时，取最大值为3． 当时，． ， ． ． ． 又， ． 有最大值3，最小值1． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数的最值，解题时要能熟练掌握并能灵活进行变形配方是关键． 18．（2024•浙江校级模拟）已知关于的二次函数，该函数的最大值为 　5　． 【分析】把解析式化成顶点式，即可根据二次函数的性质求得该函数的最大值． 【解答】解：， 抛物线开口向下， ， 当时，函数有最大值为5， 故答案为：5． 【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是是解题的关键． 19．（2022•永嘉县模拟）已知二次函数的图象经过，． （1）用含的代数式表示． （2）若二次函数的最小值为，求的值． 【分析】（1）由抛物线经过，可得抛物线解析式为，把代入解析式求解． （2）由抛物线的对称性可得抛物线对称轴为直线，从而可得的值，根据函数最值为求解． 【解答】解：（1）设， 把代入得． ． （2）图象经过，， 抛物线对称轴为直线， 解得， ， 函数最小值为， 整理得， 解得或． 【点评】本题考查二次函数的最值问题，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握求二次函数最值的方法． 八．待定系数法求二次函数解析式 20．（2024•钱塘区三模）已知二次函数，，是常数，的图象经过点，且对任意的值，始终成立，则该二次函数的解析式为　　 A． B． C． D． 【分析】根据当时，，，得出当时，再根据图象经过点，得出，，再根据对任意实数，恒有，即恒成立，整理得，然后由判别式△求出的值，从而得出结论． 【解答】解：由已知可知，当时，， ， 当时，， 即， 时，； 当时，，当时，， 即，， 解得：，， 对任意实数，恒有， 恒成立，即， △，即， 解得：， 此时， 故抛物线的表达式为：． 故选：． 【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，关键是利用二次函数与轴的位置关系和不等式的性质解答． 21．（2022秋•温州期末）若抛物线的顶点在轴，则　9　． 【分析】顶点在轴上，根据顶点的纵坐标是0，列出方程求解． 【解答】解：根据题意，顶点在轴上，顶点纵坐标为0， 即，解得． 【点评】本题考查求顶点纵坐标的公式，比较简单． 22．（2022秋•上城区校级期中）根据下列条件，分别求二次函数的表达式 （1）已知图象的顶点坐标为，且过点； （2）已知图象经过点，，并以直线为的对称轴． 【分析】（1）根据顶点坐标设出抛物线顶点式，把代入求出的值，即可确定出解析式； （2）根据抛物线以直线为对称轴，设出抛物线解析式，把已知两点坐标代入求出与的值，即可求出解析式． 【解答】解：（1）设抛物线解析式为， 把代入得：，即， 则二次函数解析式为； （2）根据题意设抛物线解析式为， 把与代入得：， 解得：，， 则抛物线解析式为． 【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 九．二次函数的三种形式 23．（2022秋•长兴县期中）将二次函数化为的形式，正确的结果是　　 A． B． C． D． 【分析】根据完全平方公式把原式变形，把一般式化为顶点式即可． 【解答】解： ， 故选：． 【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，掌握完全平方公式是解题的关键． 24．（2023秋•江干区校级期中）将变为的形式 　　．顶点坐标是 　　． 【分析】利用配方法把二次函数一般式化为顶点式，并写出顶点坐标． 【解答】解： ， 顶点坐标为， 故答案为：，． 【点评】本题考查的是二次函数的三种形式、顶点坐标，掌握配方法把一般式化为顶点式的一般步骤是解题的关键． 25．（2020秋•金东区校级月考）已知二次函数． （1）用配方法将二次函数的表达式化为的形式； （2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （3）当　　时，． 【分析】（1）利用配方法把二次函数解析式配成顶点式； （2）利用描点法画出二次函数图象； （3）利用二次函数的性质求解． 【解答】解：（1） ； （2）列表： 0 3 0 0 3 如图， （3）当时，． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数的三种形式：一般式：，，是常数，，该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与轴的交点坐标是；顶点式：，，是常数，，其中为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为；交点式：，，是常数，，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与轴的两个交点坐标，，，． 一十．抛物线与x轴的交点 26．（2024•阳新县一模）我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是　　 ①图象与坐标轴的交点为，和； ②图象具有对称性，对称轴是直线； ③当或时，函数值随值的增大而增大； ④当或时，函数的最小值是0； ⑤当时，函数的最大值是4， A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】由，和坐标都满足函数知①是正确的；从图象可以看出图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线，②也是正确的；根据函数的图象和性质，发现当或时，函数值随值的增大而增大，因此③也是正确的；函数图象的最低点就是与轴的两个交点，根据，求出相应的的值为或，因此④也是正确的；从图象上看，当或，函数值要大于当时的，因此⑤时不正确的；逐个判断之后，可得出答案． 【解答】解：①，和坐标都满足函数，①是正确的； ②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线，因此②也是正确的； ③根据函数的图象和性质，发现当或时，函数值随值的增大而增大，因此③也是正确的； ④函数图象的最低点就是与轴的两个交点，根据，求出相应的的值为或，因此④也是正确的； ⑤从图象上看，当或，存在函数值要大于当时的，因此⑤是不正确的； 故选：． 【点评】考查了二次函数图象与轴的交点问题，理解“鹊桥”函数的意义，掌握“鹊桥”函数与与二次函数之间的关系；两个函数性质之间的联系和区别是解决问题的关键；二次函数与轴的交点、对称性、对称轴及最值的求法以及增减性应熟练掌握． 27．（2023秋•路桥区月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的解为 　或　． 【分析】根据抛物线的轴对称性质得到抛物线与轴的另一个交点坐标，由此求得关于的方程的两根． 【解答】解：抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， 关于的方程的解为或， 故答案为：或． 【点评】本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，解题的关键是求得抛物线与轴的两个交点坐标． 28．（2024•平湖市模拟）已知关于的二次函数 （1）若该函数的图象与轴的交点坐标是，，求的值； （2）若该函数的图象的顶点纵坐标为3， ①用含的代数式表示； ②当时，的取值范围是，求的取值范围． 【分析】（1）依据题意得，，可得①②得，，进而可以得解； （2）①依据题意，由函数的图象的顶点纵坐标为3，可得，进而计算可以得解； ②依据题意得，，从而可得抛物线的对称轴是直线，再分时和时，进行讨论即可判断得解． 【解答】解：（1）由题意得，， ①②得，． ． （2）①由题意，函数的图象的顶点纵坐标为3， ． ． ②由题意得，， 抛物线的对称轴是直线． 当时， ． ． 或（舍去）． ． ． 当时， ． 或（舍去）． 综上：． ． ． 【点评】本题主要考查了抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 一十一．图象法求一元二次方程的近似根 29．（2023秋•瑞安市月考）如表中有二次函数的自变量与函数值的几组对应值，据此判断方程的正数根的范围是　　 0 3 1 A． B． C． D． 【分析】利用表格中数据，得到对称轴为直线，再利用图象的对称性，由负数根的范围，关于对称轴对称，得到正数根的范围，由此得到答案． 【解答】解：根据表格中数据得： 当时，；时，， 由二次函数图象的对称性得到， 二次函数的对称轴为：， 又当时，， 二次函数的一个负数根的范围：， 由二次函数图象的对称性得到， 二次函数的一个正数根的范围：． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，用图象法求一元二次方程的近似根，利用表格数据找到对称轴，利用抛物线对称性，找到正数根的范围是解答本题的关键． 30．（2020•鄞州区校级自主招生）二次函数的图象如图，对称轴为直线．若关于的一元二次方程、为实数）在的范围内有解，则的取值范围是 　　． 【分析】根据对称轴求出的值，从而得到、4时的函数值，再根据一元二次方程为实数）在的范围内有解相当于与在的范围内有交点解答． 【解答】解：对称轴为直线， 解得， 所以，二次函数解析式为， ， 时，， 时，， 相当于与直线的交点的横坐标， 当时，在的范围内有解． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数与不等式，把方程的解转化为两个函数图象的交点的问题求解是解题的关键，作出图形更形象直观． 一十二．二次函数与不等式（组） 31．（2024•浙江模拟）在平面直角坐标系中，一次函数和，无论取何值，始终有，则的取值为　　 A． B． C． D．且 【分析】由题意可知，且在的下方，则，当经过点时，，此时两直线相交，则时，． 【解答】解：， 直线经过定点， 无论取何值，始终有， ，且在的下方， ， 当经过点时， ， ， 此时两直线相交， 时，， 即． 故选：． 【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，通过所给的条件确定两条直线的位置关系是解题的关键． 32．（2022秋•吴兴区期末）如图，已知二次函数与一次函数的图象交于，两点，则关于的不等式的解集为 　　． 【分析】利用图象法进行求解即可． 【解答】解：由题意得，关于的不等式的解集即为二次函数的图象在一次函数的图象上方时自变量的取值范围， 关于的不等式的解集为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了根据图象法求不等式的解集，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 33．（2024•镇海区校级四模）已知函数，，，为常数且． （1）若的图象经过点，求该函数的表达式． （2）若函数，的图象始终经过同一定点． ①求点的坐标和的值． ②若，当时，总有，求的取值范围． 【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可． （2）①因为函数经过定点，对于函数，当时，，推出当时，两个函数过定点． ②首先确定抛物线的对称轴的位置，利用图象法，构建不等式解决问题即可． 【解答】解：（1）把代入，得到， 解得， 抛物线的解析式为． （2）①由（1）可知函数经过定点， 对于函数，当时，， 当时，两个函数过定点． ②， 抛物线的对称轴， 抛物线的对称轴在定点的左侧， 由题意当时，满足当时，总有， ， ． 【点评】本题考查二次函数与不等式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题． 一十三．根据实际问题列二次函数关系式 34．（2023秋•江北区期末）慈城某店家销售特产印花糕，经调查发现每盒印花糕售价为15元时，日销售量为200盒，当每盒售价每下降1元时，日销售量会增加5盒．已知每盒印花糕的成本为5元，设每盒降价元，商家每天的利润为元，则与之间的函数表达式为　　 A． B． C． D． 【分析】根据每下降1元时，日销售量会增加5盒，利润每盒的利润销售的盒数，列出函数关系式即可． 【解答】解：根据题意可得：． 故选：． 【点评】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是掌握利润每盒的利润销售的盒数． 35．（2020秋•西湖区期末）某工厂1月份的产值是200万元，平均每月产值的增长率为，则该工厂第一季度的产值关于的函数解析式为　　． 【分析】首先分别表示出二月、三月的产值，然后再列出函数解析式即可． 【解答】解：由题意得：， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了根据实际问题列出二次函数解析式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 36．（2020秋•西湖区校级期中）某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量（件与每件的销售价（元满足一次函数关系． （1）请写出商场卖这种商品每天的销售利润（元与每件销售价（元之间的函数关系式． （2）商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由． 【分析】（1）此题可以按等量关系“每天的销售利润（销售价进价）每天的销售量”列出函数关系式，并由售价大于进价，且销售量大于零求得自变量的取值范围． （2）根据（1）所得的函数关系式，利用配方法求二次函数的最值即可得出答案． 【解答】解：（1）由题意得，每件商品的销售利润为元，那么件的销售利润为， 又， ， 即， ， ． 又， ，即． ． 所求关系式为． （2）由（1）得， 所以可得售价定为42元时获得的利润最大，最大销售利润是432元． ， 商场每天销售这种商品的销售利润不能达到500元． 【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，解答本题的关键是根据等量关系：“每天的销售利润（销售价进价）每天的销售量”列出函数关系式，另外要熟练掌握二次函数求最值的方法． 一十四．二次函数的应用 37．（2022秋•龙湾区期中）将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据售价减去进价表示出实际的利润． 【解答】解：根据题意可得：， 故选：． 【点评】此题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解“该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个”． 38．（2023秋•义乌市期末）如图，小明打高尔夫球，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（米与飞行时间（秒之间满足函数关系则小球从飞出到达到最高点瞬间所需要的时间为 　2　秒． 【分析】依据题意，令，解方程求，进而可以判断得解． 【解答】解：令， ， 解得（舍去），． 小球从飞出到落地要用4秒． 又由对称性， 小球从飞出到达到最高点瞬间所需要的时间为2秒． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解决本题的关键是熟练地解一元二次方程． 一十五．二次函数综合题 39．（2023秋•诸暨市校级月考）如图，抛物线与交于点，且分别与轴交于点，．过点作轴的平行线，交抛物线于点，．则以下结论： ①无论取何值，总是负数； ②抛物线可由抛物线向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到； ③当时，随着的增大，的值先增大后减小； ④四边形为正方形． 其中正确的是 　①②④　．（填写正确的序号） 【分析】①由非负数的性质，即可证得，即可得无论取何值，总是负数； ②由抛物线与交于点，可求得的值，然后由抛物线的平移的性质，即可得可由向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到； ③由，可得随着的增大，的值减小； ④首先求得点，，，的坐标，即可证得，又由，即可证得四边形为正方形． 【解答】解：①， ， ， 无论取何值，总是负数； 故①正确； ②抛物线与抛物线交于点， 当时，， 即， 解得：； ， 可由向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到； 故②正确； ③， 随着的增大，的值减小； 故③错误； ④设与交于点， 当时，， 解得：或， 点， 当时，， 解得：或， 点， ，， 当时，，， ，， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形． 故④正确． 故答案为：①②④． 【点评】此题属于二次函数综合题，综合考查了待定系数法求二次函数的解析式、非负数的性质、二次函数的平移以及正方形的判定．此题难度较大，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用． 40．（2024•金华三模）已知二次函数，，是常数，的图象经过点． （1）若抛物线的顶点为，求函数的表达式． （2）在（1）的条件下，若函数图象过点，，求证：． （3）若函数图象经过点，，其中，且关于的方程有两个相等的实数根，求的取值范围． 【分析】（1）设该抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）根据题意，函数图象过点，，易得，，进而可得，结合，即可得解； （3）根据二次函数的图象经过点，易得，结合方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程的根的判别式可得，进而可得①；时，即该二次函数图象经过点时，易知②，联立①②并求解，可得函数解析式为，令，得，求解可知此时 ；当逐渐增大时，该函数图象与轴的另一交点逐渐向左运动，函数图象与轴的交点逐渐向下运动，结合，结合图象即可得解． 【解答】（1）解：由题意，抛物线的顶点为， 可设抛物线为． 又图象经过点， ． ． 函数表达式为． （2）证明：根据题意，函数图象过点，， 分别将点，代入函数解析式， 可得，， ， ， ； （3）解：二次函数的图象经过点， ， ， 将方程整理可得，， 该方程有两个相等的实数根， △， ， 可有，即有①， 该二次函数解析式为， 当时，即该二次函数图象经过点时， 若，即该函数图象开口向下，如图， 此时该函数图象与轴交点在轴的正半轴上，此时，故不符合题意； 若，即该函数图象开口向上，如图， 则有，即②，联立①②，可得， 解得， 该函数解析式为， 令，得， 解得，， 此时； 当逐渐增大时，该函数图象与轴的另一交点逐渐向左运动，函数图象与轴的交点逐渐向下运动， 该函数图象开口向上，， 函数图象与轴的交点在轴的正半轴上， 函数图象与轴的交点在轴的正半轴上， 当逐渐增大时，有． 综上所述，的取值范围为． 【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析、二次函数综合应用、非负数的性质、一元二次方程的应用等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． 学科网（北京）股份有限公司 $$