第01章 三角形的初步认识 章节整合练习（22个知识点+40题练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第01章 三角形的初步认识 章节整合练习（22个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．平行线的判定 （1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行． （2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行． （3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行． （4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． （5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 知识点2．三角形 （1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 组成三角形的线段叫做三角形的边． 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． 相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． （2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． （3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高． （4）三角形具有稳定性． 知识点3．三角形的角平分线、中线和高 （1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． （2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． （3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． （4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． （5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 知识点4．三角形的面积 （1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高． （2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 知识点5．三角形的稳定性 当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中． 知识点6．三角形的重心 （1）三角形的重心是三角形三边中线的交点． （2）重心的性质： ①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等． ③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形） 知识点7．三角形三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． （4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 知识点8．三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 知识点9．三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 知识点10．全等图形 （1）全等形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形． （2）全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． （3）三角形全等的符号 “全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上． （4）对应顶点、对应边、对应角 把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角． 知识点11．全等三角形的性质 （1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等 说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等 ②全等三角形的周长相等，面积相等 ③平移、翻折、旋转前后的图形全等 （2）关于全等三角形的性质应注意 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 知识点12．全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 知识点13．全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 知识点14．全等三角形的应用 （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． （3）全等三角形在实际问题中的应用 一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 知识点15．角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 知识点16．线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 知识点17．作图—基本作图 基本作图有： （1）作一条线段等于已知线段． （2）作一个角等于已知角． （3）作已知线段的垂直平分线． （4）作已知角的角平分线． （5）过一点作已知直线的垂线． 知识点18．作图—复杂作图 复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法． 解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 知识点19．作图—应用与设计作图 应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中． 首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图． 知识点20．作图—代数计算作图 代数计算作图是实际问题中要求所作图形具备一定的条件，如角的度数或边的长度． （1）根据题意计算出图形所具备的条件，边长，角度等，在网格纸上作图或利用圆规和直尺作图． （2）直接利用尺规作图做出符合题意的图形．如在数轴上找到表示无理数的点． 要熟悉几何图形的性质和5种基本作图的步骤，才能灵活运用熟练作图． 知识点21．命题与定理 1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 3、定理是真命题，但真命题不一定是定理． 4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 知识点22．推理与论证 （1）推理定义：由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知的结论的思维过程． ①演绎推理是从一般规律出发，运用逻辑证明或数学运算，得出特殊事实应遵循的规律，即从一般到特殊． ②归纳推理就是从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论，即从特殊到一般． （2）论证：用论据证明论题的真实性． 证明中从论据到论题的推演．通过推理形式进行，有时是一系列的推理方式．因此，论证必须遵守推理的规则．有时逻辑学家把“证明”称为“论证”，而将“论证”称为“论证方式”． 简单来说，论证就是用一个或一些真实的命题确定另一命题真实性的思维形式． 章节题型整合练习 一．平行线的判定 1．（2020秋•温州月考）已知：如图，，平分．求证：． 二．三角形 2．（2022秋•源汇区校级月考）的周长是12，边长分别为，，，且，，则　　． 3．（2023秋•柯桥区期末）如图，在中，，．动点从点出发，沿边，向点运动．在点运动过程中，可能成为的特殊三角形依次是　　 A．直角三角形等边三角形直角三角形等边三角形直角三角形 B．等腰三角形直角三角形等边三角形直角三角形等腰直角三角形 C．直角三角形等边三角形直角三角形等腰直角三角形直角三角形 D．等腰直角三角形等腰三角形直角三角形等腰直角三角形直角三角形 三．三角形的角平分线、中线和高 4．（2023秋•拱墅区校级月考）如图，在中，，，为中线，则与的周长之差为 　　． 5．（2022秋•新昌县期中）下列各组图形中，表示是中边的高的图形为　　 A． B． C． D． 四．三角形的面积 6．（2021秋•义乌市校级月考）如图，已知、分别为的边、的中点，为的中线，连接，若四边形的面积为10，且，则中边上高的长为 　　． 7．（2022秋•桐乡市期中）如图，在中，，，点是上一点，连结．设：，当分别满足下列条件时，求的值． （1）为边上的中线； （2）为的平分线． 五．三角形的稳定性 8．（2021秋•柯桥区期末）如图，在生活中，我们经常会看见如图所示的情况，在电线杆上拉两条钢筋，来加固电线杆，这是利用了三角形的　　 A．稳定性 B．灵活性 C．对称性 D．全等性 9．（2022秋•瑞安市期中）如图所示的是一款手机支架，能非常方便地支起手机，由图分析这款手机支架的设计原理是三角形的 　　． 六．三角形的重心 10．（温州期末）如图，在中，，，，是的重心，连接，，则的面积为　　． 11．（2021春•海淀区期中）如图，在中，，分别是边，上的中线，与相交于点． （1）与的长度有什么关系？并证明你的结论． （2）边上的中线是否一定过点？为什么？ 七．三角形三边关系 12．（2023秋•江干区校级期末）三角形三边长分别为4，，7，则的取值范围是 　　． 13．（2021秋•上城区校级期中）已知，，是的三边长，若，，且的周长不超过，求的范围． 八．三角形内角和定理 14．（2021秋•瑞安市校级期中）在中，，则的形状是　　 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 15．（2022春•云梦县期末）如图，在中，，将沿着直线折叠，使点落在点的位置，则的度数是 　　． 九．三角形的外角性质 16．（2023秋•上城区期末）将一副三角板按照如图方式摆放，点、、共线，，则的度数为　　 A． B． C． D． 17．（2022秋•义乌市校级月考）【概念认识】如图①所示，在中，若，则，叫做的“三分线”，其中，是“邻三分线“，是“邻三分线”． 【问题解决】（1）如图②所示．在中．，．若的三分线交于点．求的度数． （2）如图③所示，在中．，分别是的邻三分线和的邻三分线，且．求的度数． 【延伸推广】（3）在中，是的外角，的三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点，若，．求出的度数．（用含的式子表示） 一十．全等图形 18．（2023秋•诸暨市月考）在下列各组图形中，是全等的图形是　　 A． B． C． D． 19．（越城区期末）下列图形中全等图形是 　　（填标号）． 一十一．全等三角形的性质 20．（2021秋•仙桃校级月考）如图，，，，则对于结论①，②，③，④，其中正确结论的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 21．（2021秋•义乌市月考）如图，已知． （1）若，，求的度数； （2）求证：． 一十二．全等三角形的判定 22．（2023秋•上虞区期末）如图，已知点，在上，，，添加一个条件，使．你所添加的条件是 　　．（只需写一个即可） 23．（2023秋•义乌市月考）如图①，在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． （1）如图①，当的面积等于面积的一半时，求的值； （2）如图②，点在边上，点在边上，，，，在的边上，若另外有一个动点与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，以，，为顶点的三角形恰好与全等，求点的运动速度． 一十三．全等三角形的判定与性质 24．（2022秋•鄞州区期中）如图，为的外角平分线上一点并且满足，过作于，交的延长线于，则下列结论： ①；②；③；④．其中正确的结论有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 25．（2023秋•磐石市期末）如图：在四边形中，，，于，若四边形的面积为16，则的长为　　． 一十四．全等三角形的应用 26．（2023秋•东阳市期末）如图是某纸伞截面示意图，伞柄平分两条伞骨所成的角，．若支杆需要更换，则所换长度应与哪一段长度相等　　 A． B． C． D． 27．（2023秋•竹溪县期末）杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由步行到达处的过程中，通过隔离带的空隙，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语．其具体信息汇集如下，如图，，相邻两平行线间的距离相等．，相交于，垂足为．已知米．根据上述信息，标语的长度为　 　． 一十五．角平分线的性质 28．（2023秋•西湖区校级月考）如图，射线是的平分线，是射线上一点，于点．若是射线上一点，且，则的面积是 　　． 29．（2022秋•慈溪市期中）如图，在中，，，是的角平分线． （1）求的度数； （2）若于点，，求的长． 一十六．线段垂直平分线的性质 30．（2023秋•拱墅区校级期中）如图，在中，是的垂直平分线，，，，则的周长为 　　． 31．（2022秋•金东区期末）如图，在中，，垂足为，，延长至，使得，连接． （1）求证：． （2）若，， ①求的面积． ②求的周长． 一十七．作图—基本作图 32．（2023秋•北仑区期末）已知下列尺规作图：①作一条线段的垂直平分线；②作一个角的平分线；③作一个角等于已知角．其中作法正确的是　　 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 33．（2023秋•义乌市校级月考）如图，中，，，，，利用尺规在，上分别截取，．使，分别以，为圆心，以大于为长的半径作弧，两弧在内交于点，作射线交边于点，点为边上的一动点，则的最小值为 　　． 一十八．作图—复杂作图 34．（2022秋•义乌市校级月考）数学课上，老师出示如下题目：“已知：．求作：．”如图是小宇用直尺和圆规的作法，其中的道理是作出△，根据全等三角形的性质，得到．△的依据是 　　． 35．（2023秋•鄞州区校级期末）作图题（不写作图步骤，保留作图痕迹）． 已知：如图，求作点，使点到、两点的距离相等，且到两边的距离也相等． 一十九．作图—应用与设计作图 36．（2022秋•台州期末）蜜桔丰收，桔农小王家有两片果园，，为方便统一运输，小王计划在公路上建一个蜜桔装卸站，并在果园和装卸站之间铺设机械轨道，果园和公路位置如图所示． （1）为使铺设轨道长度最短，请你为小王设计运输轨道铺设路线，并标出桔子装卸站位置．（不写作法，保留作图痕迹） （2）测量得轨道最短路线全长720米，为赶在桔子采摘前完工，实际施工时每天铺设轨道的长度是原计划的1.2倍，结果比原计划提前2天完成任务，求原计划每天铺设轨道的长度． 二十．作图—代数计算作图 37．（2022秋•鄞州区期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在所给网格中解答下面问题． （1）图中线段的两端点都落在格点（即小正方形的顶点）上，求出的长度； （2）再以为一边画一个等腰三角形，使点在格点上，且另两边的长都是无理数； （3）请直接写出符合（2）中条件的等腰三角形的顶点的个数． 二十一．命题与定理 38．（2023秋•吴兴区期末）对于命题“若，则”能说明它属于假命题的反例是　　 A．， B．， C．， D．， 39．（2022秋•拱墅区校级期中）在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的和两个三角形，并写出四个条件：①；②；③；④．请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明． 题设：　　； 结论：　　．（均填写序号） 证明： 　　． 二十二．推理与论证 40．（2023•慈溪市校级开学）甲、乙、丙三个学生分别在、、三所大学学习数学、物理、化学中的一个专业，若已知：①甲不在校学习；②乙不在校学习；③在校学习的学数学；④在校学习的不学化学；⑤乙不学物理，则　　 A．甲在校学习，丙在校学习 B．甲在校学习，丙在校学习 C．甲在校学习，丙在校学习 D．甲在校学习，丙在校学习 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01章 三角形的初步认识 章节整合练习（22个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．平行线的判定 （1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行． （2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行． （3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行． （4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． （5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 知识点2．三角形 （1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 组成三角形的线段叫做三角形的边． 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． 相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． （2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． （3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高． （4）三角形具有稳定性． 知识点3．三角形的角平分线、中线和高 （1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． （2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． （3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． （4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． （5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 知识点4．三角形的面积 （1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高． （2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 知识点5．三角形的稳定性 当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中． 知识点6．三角形的重心 （1）三角形的重心是三角形三边中线的交点． （2）重心的性质： ①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等． ③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形） 知识点7．三角形三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． （4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 知识点8．三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 知识点9．三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 知识点10．全等图形 （1）全等形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形． （2）全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． （3）三角形全等的符号 “全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上． （4）对应顶点、对应边、对应角 把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角． 知识点11．全等三角形的性质 （1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等 说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等 ②全等三角形的周长相等，面积相等 ③平移、翻折、旋转前后的图形全等 （2）关于全等三角形的性质应注意 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 知识点12．全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 知识点13．全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 知识点14．全等三角形的应用 （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． （3）全等三角形在实际问题中的应用 一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 知识点15．角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 知识点16．线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 知识点17．作图—基本作图 基本作图有： （1）作一条线段等于已知线段． （2）作一个角等于已知角． （3）作已知线段的垂直平分线． （4）作已知角的角平分线． （5）过一点作已知直线的垂线． 知识点18．作图—复杂作图 复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法． 解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 知识点19．作图—应用与设计作图 应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中． 首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图． 知识点20．作图—代数计算作图 代数计算作图是实际问题中要求所作图形具备一定的条件，如角的度数或边的长度． （1）根据题意计算出图形所具备的条件，边长，角度等，在网格纸上作图或利用圆规和直尺作图． （2）直接利用尺规作图做出符合题意的图形．如在数轴上找到表示无理数的点． 要熟悉几何图形的性质和5种基本作图的步骤，才能灵活运用熟练作图． 知识点21．命题与定理 1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 3、定理是真命题，但真命题不一定是定理． 4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 知识点22．推理与论证 （1）推理定义：由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知的结论的思维过程． ①演绎推理是从一般规律出发，运用逻辑证明或数学运算，得出特殊事实应遵循的规律，即从一般到特殊． ②归纳推理就是从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论，即从特殊到一般． （2）论证：用论据证明论题的真实性． 证明中从论据到论题的推演．通过推理形式进行，有时是一系列的推理方式．因此，论证必须遵守推理的规则．有时逻辑学家把“证明”称为“论证”，而将“论证”称为“论证方式”． 简单来说，论证就是用一个或一些真实的命题确定另一命题真实性的思维形式． 章节题型整合练习 一．平行线的判定 1．（2020秋•温州月考）已知：如图，，平分．求证：． 【分析】由为角平分线，利用角平分线的定义得到，利用等量代换得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行即可得证． 【解答】证明：平分， ， ， ， ． 【点评】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键． 二．三角形 2．（2022秋•源汇区校级月考）的周长是12，边长分别为，，，且，，则　3　． 【分析】根据三角形周长得出，再利用已知将，分别用表示，进而得出答案． 【解答】解：的周长是12，边长分别为，，， ， ，， ， ， 解得：． 故答案为：3． 【点评】此题主要考查了三角形的周长，将，用表示是解题关键． 3．（2023秋•柯桥区期末）如图，在中，，．动点从点出发，沿边，向点运动．在点运动过程中，可能成为的特殊三角形依次是　　 A．直角三角形等边三角形直角三角形等边三角形直角三角形 B．等腰三角形直角三角形等边三角形直角三角形等腰直角三角形 C．直角三角形等边三角形直角三角形等腰直角三角形直角三角形 D．等腰直角三角形等腰三角形直角三角形等腰直角三角形直角三角形 【分析】根据三角形的特征解答即可． 【解答】解：在点运动过程中，可能成为的特殊三角形依次是直角三角形等边三角形直角三角形等腰直角三角形直角三角形， 故选：． 【点评】本题考查动点问题，掌握三角形的分类是解题的关键． 三．三角形的角平分线、中线和高 4．（2023秋•拱墅区校级月考）如图，在中，，，为中线，则与的周长之差为 　　． 【分析】由三角形中线的定义得到，于是与的周长之差为． 【解答】解：是的中线， ， ，， 的周长的周长． 故答案为：． 【点评】本题考查三角形的角平分线、中线和高，关键是掌握三角形中线的定义． 5．（2022秋•新昌县期中）下列各组图形中，表示是中边的高的图形为　　 A． B． C． D． 【分析】根据高的定义：”过三角形的顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线“解答． 【解答】解：的高是过顶点与垂直的线段，只有选项符合． 故选：． 【点评】本题考查了三角形的高线，属于基础题，熟记概念是解题的关键． 四．三角形的面积 6．（2021秋•义乌市校级月考）如图，已知、分别为的边、的中点，为的中线，连接，若四边形的面积为10，且，则中边上高的长为 　4　． 【分析】连接，设，根据等底同高的三角形的面积相等以及三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：如图，连接， 设， 、分别为的边、的中点，为的中线， ， ， ， ， 四边形的面积， ， ， 中边上高的长为：， 故答案为：4． 【点评】本题考查了三角形的面积，熟练掌握等底同高的三角形的面积相等是解题的关键． 7．（2022秋•桐乡市期中）如图，在中，，，点是上一点，连结．设：，当分别满足下列条件时，求的值． （1）为边上的中线； （2）为的平分线． 【分析】（1）根据三角形面积公式求解即可； （2）根据角平分线性质得到，再根据三角形面积公式求解即可． 【解答】解：（1）为边上的中线， ， ， ， ； （2）如图，过点作于点．于点， 为的平分线， ， 的面积，的面积， ， ，， ， ． 【点评】此题考查了三角形面积，熟练掌握三角形面积公式是解题的关键． 五．三角形的稳定性 8．（2021秋•柯桥区期末）如图，在生活中，我们经常会看见如图所示的情况，在电线杆上拉两条钢筋，来加固电线杆，这是利用了三角形的　　 A．稳定性 B．灵活性 C．对称性 D．全等性 【分析】三角形的特性之一就是具有稳定性． 【解答】解：这是利用了三角形的稳定性．故选． 【点评】主要考查了三角形的性质中的稳定性． 9．（2022秋•瑞安市期中）如图所示的是一款手机支架，能非常方便地支起手机，由图分析这款手机支架的设计原理是三角形的 　稳定性　． 【分析】根据三角形具有稳定性解答即可． 【解答】解：这款手机支架的设计原理是三角形的稳定性， 故答案为：稳定性． 【点评】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键． 六．三角形的重心 10．（温州期末）如图，在中，，，，是的重心，连接，，则的面积为　4　． 【分析】的面积，延长交于点，则是的中点，且，即可求解． 【解答】解：的面积， 延长交于点，则是的中点，且（证明见备注）， 的面积， ， 则的面积的面积， 故答案为4． 备注：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为， 例：已知：，、是，的中点．、交于． 求证： 证明：过作交于． ，， ， 又， ， ， ， ， ． 【点评】此题考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍． 11．（2021春•海淀区期中）如图，在中，，分别是边，上的中线，与相交于点． （1）与的长度有什么关系？并证明你的结论． （2）边上的中线是否一定过点？为什么？ 【分析】（1）连接．根据三角形的中位线定理，得，．根据平行得到三角形相似于三角形，再根据相似三角形的对应边的比相等即可求解． （2）连接，根据三角形的中位线定理，得，，根据平行得到三角形相似于三角形，再根据相似三角形的对应边的比相等即可求解． 【解答】解：（1），理由如下： 连接， 、是边、上的中线， ，． ， ， 即． （2）边上的中线一定过点， 理由是：作边上的中线，交于， 连接， 、是边、上的中线， ，． ， 即， ， 和重合， 即边上的中线一定过点． 【点评】此题考查了三角形的中位线定理以及相似三角形的判定和性质． 七．三角形三边关系 12．（2023秋•江干区校级期末）三角形三边长分别为4，，7，则的取值范围是 　　． 【分析】三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此即可求解． 【解答】解：由三角形三边关系定理得：， ． 故答案为：． 【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 13．（2021秋•上城区校级期中）已知，，是的三边长，若，，且的周长不超过，求的范围． 【分析】根据三边关系及三角形的周长可列不等式组，解不等式组即可求解的取值范围． 【解答】解：由题意得：， 解得． 的取值范围为． 【点评】此题考查三角形的三边关系，利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，建立不等式解决问题． 八．三角形内角和定理 14．（2021秋•瑞安市校级期中）在中，，则的形状是　　 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【分析】设，则，，再根据三角形内角和定理求出的值，进而可得出结论． 【解答】解：在中，， 设，则，． ，即，解得， ， 是直角三角形． 故选：． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解答此题的关键． 15．（2022春•云梦县期末）如图，在中，，将沿着直线折叠，使点落在点的位置，则的度数是 　80　． 【分析】由折叠的性质得到，再利用外角性质即可求出所求角的度数． 【解答】解：如图，设与交于点， 由折叠的性质得：， 根据外角性质得：，， ，即． 故答案为：80． 【点评】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理求解角的度数是解决问题的关键． 九．三角形的外角性质 16．（2023秋•上城区期末）将一副三角板按照如图方式摆放，点、、共线，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】由，，结合，可求出的度数，由是的外角，再利用三角形的外角性质，即可求出的度数． 【解答】解：，， ． 又是的外角， ． 故选：． 【点评】本题考查了三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键． 17．（2022秋•义乌市校级月考）【概念认识】如图①所示，在中，若，则，叫做的“三分线”，其中，是“邻三分线“，是“邻三分线”． 【问题解决】（1）如图②所示．在中．，．若的三分线交于点．求的度数． （2）如图③所示，在中．，分别是的邻三分线和的邻三分线，且．求的度数． 【延伸推广】（3）在中，是的外角，的三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点，若，．求出的度数．（用含的式子表示） 【分析】（1）分是邻的三分线和是邻的三分线两种情况解答即可； （2）由，得，故，可得，从而； （3）分四种情况分别解答即可． 【解答】解：（1）当是“邻三分线”时，， 则， 当是“邻三分线”时，， 则， 综上所述，的度数为或； （2）， ， ，分别是的邻三分线和的邻三分线， ，， ， ， ； （3）如图： ，， ， ①当是邻的三等分线，是邻的三等分线时， ，， ； ②当是邻的三等分线，是邻的三等分线时， ，， ； ③当是邻的三等分线，是邻的三等分线时， ，， ； ④当是邻的三等分线，是邻的三等分线时， ，， ； 综上所述，度数为或或或． 【点评】本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理，正确理解“邻三分线”、“邻三分线”的定义是解题的关键． 一十．全等图形 18．（2023秋•诸暨市月考）在下列各组图形中，是全等的图形是　　 A． B． C． D． 【分析】根据全等图形的定义一一判断即可． 【解答】解：由全等形的概念可以判断：中图形完全相同，符合全等形的要求，而、、中图形大小不相等，形状相同． 故选：． 【点评】本题考查了全等图形的定义等知识，解题的关键是理解全等图形的定义，属于中考常考题型． 19．（越城区期末）下列图形中全等图形是 　⑤和⑦　（填标号）． 【分析】要认真观察图形，从①开始找寻，看后面的谁与之全等，然后是②，看后面的哪一个与它全等，如此找寻，可得答案． 【解答】解：由全等形的概念可知：共有1对图形全等，即⑤和⑦能够重合． 故答案为：⑤和⑦． 【点评】本题考查的是全等形的识别，做题时一定要看是否重合，属于较容易的基础题． 一十一．全等三角形的性质 20．（2021秋•仙桃校级月考）如图，，，，则对于结论①，②，③，④，其中正确结论的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等结合图象解答即可． 【解答】解：， ，故①正确； ， ，故②错误； ，故③正确； ，故④正确； 综上所述，结论正确的是①③④共3个． 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图，准确确定出对应边和对应角是解题的关键． 21．（2021秋•义乌市月考）如图，已知． （1）若，，求的度数； （2）求证：． 【分析】（1）根据全等三角形的对应角相等得到，根据三角形的外角性质计算，得到答案； （2）根据全等三角形的性质得到，，证明，根据全等三角形的性质证明结论． 【解答】（1）解：， ， ； （2）证明：， ，， 在和中， ， ， ． 【点评】本题考查的是三角形全等的判定和性质，掌握全等三角形的对应角相等、对应边相等是解题的关键． 一十二．全等三角形的判定 22．（2023秋•上虞区期末）如图，已知点，在上，，，添加一个条件，使．你所添加的条件是 　（答案不唯一）　．（只需写一个即可） 【分析】根据得，由，得，因此，只要再添加一组对应角相等即可． 【解答】解：， ， 即， ， ， 因此，只要再添加一组对应角相等即即可， 证明如下： 在和中， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 23．（2023秋•义乌市月考）如图①，在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． （1）如图①，当的面积等于面积的一半时，求的值； （2）如图②，点在边上，点在边上，，，，在的边上，若另外有一个动点与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，以，，为顶点的三角形恰好与全等，求点的运动速度． 【分析】（1）根据三角形中线平分三角形面积可知，当点为的中点时和点为中点时，的面积等于面积的一半，据此根据时间路程速度进行求解即可； （2）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点、所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度路程时间求解即可． 【解答】解：（1）当点在上时，由三角形中线平分三角形面积可知，当点为的中点时，的面积等于面积的一半， 此时， 同理当点为中点时，的面积等于面积的一半， 此时； 综上所述，的值为10或19； （2）设点的运动速度为 ， 由题意得，，， ①当点在上，点在上，时， ，， ， 解得； ②当点在上，点在上，时， ，， ， 解得； ③当点在上，点在上，时， ，， 点的路程为，点的路程为 ， 解得：； ④当点在上，点在上，时， ，， 点的路程为，点的路程为 ， 解得：； 综上所述，点的运动速度为或或或． 【点评】本题主要考查了三角形中线的性质，全等三角形的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 一十三．全等三角形的判定与性质 24．（2022秋•鄞州区期中）如图，为的外角平分线上一点并且满足，过作于，交的延长线于，则下列结论： ①；②；③；④．其中正确的结论有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后求出；根据全等三角形对应角相等可得，然后求出、、、四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等可得；，再根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，进而得出，不能得出． 【解答】解：平分，，， ， 在和中， ， ，故①正确； ， 在和中， ， ， ， ，故②正确； ， ， 、、、四点共圆， ，故③正确； ， ， ， ， ， ， ， ， ，故④错误； 故选：． 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图判断出全等的三角形是解题的关键，难点在于需要二次证明三角形全等． 25．（2023秋•磐石市期末）如图：在四边形中，，，于，若四边形的面积为16，则的长为　4　． 【分析】可过点作，得出，得出线段之间的关系，进而将四边形的面积转化为矩形的面积与2个的面积，通过线段之间的转化，即可得出结论． 【解答】解：过点作交于， ，，， ， ， 又四边形的面积为16，即， 即， ，解得． 故此题答案为4． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形、矩形面积的计算，能够熟练掌握． 一十四．全等三角形的应用 26．（2023秋•东阳市期末）如图是某纸伞截面示意图，伞柄平分两条伞骨所成的角，．若支杆需要更换，则所换长度应与哪一段长度相等　　 A． B． C． D． 【分析】根据平分线的定义和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：平分． ， 在与中， ， ， ， 即所换长度应与的长度相等， 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的应用，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 27．（2023秋•竹溪县期末）杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由步行到达处的过程中，通过隔离带的空隙，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语．其具体信息汇集如下，如图，，相邻两平行线间的距离相等．，相交于，垂足为．已知米．根据上述信息，标语的长度为　20　． 【分析】根据两平行线间的距离相等得到，再由一对直角相等，一对内错角相等，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边相等即可求出的长． 【解答】解：，相邻两平行线间的距离相等， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：20 【点评】此题考查了全等三角形的应用，垂直定义，以及平行线间的距离，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 一十五．角平分线的性质 28．（2023秋•西湖区校级月考）如图，射线是的平分线，是射线上一点，于点．若是射线上一点，且，则的面积是 　8　． 【分析】过点作于点，根据角平分线的性质定理，即可求解． 【解答】解：如图，过点作于点， 射线是的平分线，，， ， 的面积是． 故答案为：8． 【点评】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 29．（2022秋•慈溪市期中）如图，在中，，，是的角平分线． （1）求的度数； （2）若于点，，求的长． 【分析】（1）根据三角形的内角和定理得到，根据角平分线的定义即可得到结论； （2）根据等腰三角形的判定定理得到，求得，于是得到结论． 【解答】解：（1），， ， 是的平分线， ； （2）， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 一十六．线段垂直平分线的性质 30．（2023秋•拱墅区校级期中）如图，在中，是的垂直平分线，，，，则的周长为 　12　． 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可． 【解答】解：是的垂直平分线， ， 的周长， ，， 的周长， 故答案为：12． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 31．（2022秋•金东区期末）如图，在中，，垂足为，，延长至，使得，连接． （1）求证：． （2）若，， ①求的面积． ②求的周长． 【分析】（1）通过证明，即可求证； （2）①通过勾股定理求得的长度，再求得的长度，即可求解；②根据勾股定理求得的长度，即可求解． 【解答】（1）证明：在中，， ， 又，， ， ； （2）解：①在中，， ， ， ； ②在中，，， 由勾股定理可得，， 则的周长为． 【点评】此题考查的是线段垂直平分线的性质，涉及到全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． 一十七．作图—基本作图 32．（2023秋•北仑区期末）已知下列尺规作图：①作一条线段的垂直平分线；②作一个角的平分线；③作一个角等于已知角．其中作法正确的是　　 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【分析】根据作一个角的平分线，作一个角等于已知角，作线段的垂直平分线的方法一一判断即可． 【解答】解：由作图可知，作图正确的有②③， 故选：． 【点评】本题考查作图复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． 33．（2023秋•义乌市校级月考）如图，中，，，，，利用尺规在，上分别截取，．使，分别以，为圆心，以大于为长的半径作弧，两弧在内交于点，作射线交边于点，点为边上的一动点，则的最小值为 　3.75　． 【分析】根据基本作图得到平分，过点作于，如图，则根据角平分线的性质得到，利用勾股定理计算出，再利用面积法求出，然后根据垂线段最短解决问题． 【解答】解：由作法得平分， 过点作于，如图， ，即， ， ， ，，，， ， ， ， ， ， 点为边上的一动点， 当时，点到的距离最短，即最小，即为， 的最小值为3.75． 故答案为：3.75． 【点评】本题考查了作图—角平分线，角平分线的性质，勾股定理，垂线段最短等等，解题的关键在于能够根据题意得到平分． 一十八．作图—复杂作图 34．（2022秋•义乌市校级月考）数学课上，老师出示如下题目：“已知：．求作：．”如图是小宇用直尺和圆规的作法，其中的道理是作出△，根据全等三角形的性质，得到．△的依据是 　　． 【分析】根据证明三角形全等即可解决问题． 【解答】解：在和△中， ， △， 故答案为：． 【点评】本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 35．（2023秋•鄞州区校级期末）作图题（不写作图步骤，保留作图痕迹）． 已知：如图，求作点，使点到、两点的距离相等，且到两边的距离也相等． 【分析】作角平分线和线段的垂直平分线，交点即是所求． 【解答】解：如图，每画对一个得（2分）． 【点评】此题主要考查角平分线和线段的垂直平分线的作法；注意角平分线到角两边的距离相等；线段垂直平分线上到线段两个端点的距离相等． 一十九．作图—应用与设计作图 36．（2022秋•台州期末）蜜桔丰收，桔农小王家有两片果园，，为方便统一运输，小王计划在公路上建一个蜜桔装卸站，并在果园和装卸站之间铺设机械轨道，果园和公路位置如图所示． （1）为使铺设轨道长度最短，请你为小王设计运输轨道铺设路线，并标出桔子装卸站位置．（不写作法，保留作图痕迹） （2）测量得轨道最短路线全长720米，为赶在桔子采摘前完工，实际施工时每天铺设轨道的长度是原计划的1.2倍，结果比原计划提前2天完成任务，求原计划每天铺设轨道的长度． 【分析】（1）作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接、即可； （2）设原计划每天铺设轨道米，根据原计划的天数实际天数列方程解答即可． 【解答】解：（1）如图，线段、为运输轨道铺设路线，点为桔子装卸站； （2）设原计划每天铺设轨道米， 根据题意得：， 解得：， 经检验是原分式方程的解， 答：原计划每天铺设轨道60米． 【点评】本题考查了利用轴对称作图以及分式方程的应用，熟练掌握轴对称的性质以及找出等量关系列分式方程是解题的关键． 二十．作图—代数计算作图 37．（2022秋•鄞州区期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在所给网格中解答下面问题． （1）图中线段的两端点都落在格点（即小正方形的顶点）上，求出的长度； （2）再以为一边画一个等腰三角形，使点在格点上，且另两边的长都是无理数； （3）请直接写出符合（2）中条件的等腰三角形的顶点的个数． 【分析】（1）由题意，为直角三角形的斜边，故． （2）此类题要求学生对问题分情况讨论，为腰，边为底两种情况． （3）边为腰，在左边有可以找出两点，右边也有4个．共6个． 【解答】解：（1）由勾股定理，易知； （2）要使为等腰三角形，且另两边长度均为无理数， ①若为底边，则顶点在线段的中垂线上，易知这种情况不成立． 故边应为腰． ②若为腰，经观察可知有点满足条件，此时，的长度也为无理数，如图所示： （3）6． 【点评】要求学生对三角形的深刻认识，本题要求学生具有一定的发散性思维． 二十一．命题与定理 38．（2023秋•吴兴区期末）对于命题“若，则”能说明它属于假命题的反例是　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】反例就是符合已知条件但不满足结论的例子，可据此判断出正确的选项． 【解答】解：对于命题“若，则”，能说明它属于假命题的反例是，，，但， 故选：． 【点评】此题主要考查了命题与定定理，掌握假命题的概念是解题关键． 39．（2022秋•拱墅区校级期中）在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的和两个三角形，并写出四个条件：①；②；③；④．请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明． 题设：　①②③　； 结论：　　．（均填写序号） 证明： 　　． 【分析】根据三角形全等的判定方法进行组合、证明，答案不唯一． 【解答】解：答案不唯一．如： 已知：在和中，，，． 求证：． 证明：， ． 在和中，， ．， （全等三角形对应边相等）； 故答案为：①②③；④． ， ． 在和中，， ．， （全等三角形对应边相等）． 【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握判定方法是关键． 二十二．推理与论证 40．（2023•慈溪市校级开学）甲、乙、丙三个学生分别在、、三所大学学习数学、物理、化学中的一个专业，若已知：①甲不在校学习；②乙不在校学习；③在校学习的学数学；④在校学习的不学化学；⑤乙不学物理，则　　 A．甲在校学习，丙在校学习 B．甲在校学习，丙在校学习 C．甲在校学习，丙在校学习 D．甲在校学习，丙在校学习 【分析】先判断哪个学校学什么，在校学习的学数学，在校学习的不学化学，那么看判断学校学习的是物理，学校学习的是化学，因为乙不在校学习，乙不学物理，那么乙在学校学习，因为甲不在校学习，甲就在学校学习，丙就在学校学习． 【解答】解：因为在校学习的学数学，在校学习的不学化学，那么看判断学校学习的是物理，学校学习的是化学， 因为乙不在校学习，乙不学物理，那么乙在学校学习， 因为甲不在校学习，甲就在学校学习，丙就在学校学习． 故选：． 【点评】本题考查推断能力，根据肯定的条件和否定的条件可推出结论． 学科网（北京）股份有限公司 $$