第01章 全等三角形 章节整合练习（6个知识点+40题练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第01章 全等三角形 章节整合练习（6个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．全等图形 （1）全等形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形． （2）全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． （3）三角形全等的符号 “全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上． （4）对应顶点、对应边、对应角 把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角． 知识点2．全等三角形的性质 （1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等 说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等 ②全等三角形的周长相等，面积相等 ③平移、翻折、旋转前后的图形全等 （2）关于全等三角形的性质应注意 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 知识点3．全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 知识点4．直角三角形全等的判定 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 知识点5．全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 知识点6．全等三角形的应用 （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． （3）全等三角形在实际问题中的应用 一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 章节题型整合练习 一．全等图形 1．（2022秋•鼓楼区期中）关于全等图形的描述，下列说法正确的是　　 A．形状相同的图形 B．面积相等的图形 C．能够完全重合的图形 D．周长相等的图形 2．（2022秋•扬州期中）如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，　　度． 3．（铜山区校级月考）如图为人民公园中的荷花池，现在测量荷花池两旁、两棵大树间的距离（不得直接量得）．请你根据图形全等的知识，用一根足够长的绳子及标杆为工具，设计两种不同的测量方案． 要求： （1）画出设计的测量示意图； （2）写出测量方案及理由． 4．（2023秋•常州期中）如图，在由4个相同的小正方形拼成的网格中，　　 A． B． C． D． 5．（2021秋•阜宁县校级月考）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则　　 A． B． C． D． 6．（2023秋•新沂市校级月考）如图所示的正方形的方格中，　　度． 7．（2021秋•盐都区校级月考）在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于 　　． 二．全等三角形的性质 8．（2023秋•东海县校级月考）已知图中的两个三角形全等，则的度数是　　 A． B． C． D． 9．（2023•清江浦区校级开学）【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： 【直接应用】（1）若，，求的值； 【类比应用】（2）填空：①若，则　　； ②若，则　　； 【知识迁移】（3）两块全等的特制直角三角板如图2所示放置，其中，，在一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积． 10．（2023秋•锡山区期中）如图，，，若，，，则等于　　 A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 11．（2023秋•灌云县期中）如图，，，，则的度数为 　　． 12．（2022秋•句容市期末）如图，已知，点在上，与相交于点． （1）若，，求线段的长； （2）已知，，求的度数． 13．（2023秋•丹阳市期中）如图所示，两个三角形全等，则等于　　 A． B． C． D． 14．（2023秋•射阳县期末）如图，若，，，则　 　． 三．全等三角形的判定 15．（2022秋•淮安区期中）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是　　 A． B． C． D． 16．（2023秋•新吴区期中）如图，已知，下列条件中，添加后仍不能判定的是　　 A． B． C． D． 17．（2022秋•宿城区期末）如图，点是线段的中点，，．求证：． 18．（2022秋•启东市期末）如图，已知线段，于点，，射线于，点从点向运动，每秒走，点从点向运动，每秒走，，同时从出发，则出发 　　秒后，在线段上有一点，使与全等． 19．（2023秋•徐州期末）已知：如图，在中，，，于点，，求证：． 20．（2023秋•泉山区校级期中）数学社团活动课上，甲乙两位同学玩数学游戏．游戏规则是：两人轮流对及△的对应边或对应角添加一组等量条件（点，，分别是点，，的对应点），某轮添加条件后，若能判定与△全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜． 轮次 行动者 添加条件 1 甲 2 乙 3 甲 表格记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是 　　．（填写所有正确结论的序号） ①若第3轮甲添加，则甲获胜； ②若第3轮甲添加，则甲必胜； ③若第2轮乙添加条件修改为，则乙必胜； ④若第2轮乙添加条件修改为，则此游戏最多4轮必分胜负． 21．（2023秋•常州期末）如图，已知，，，求证：． 四．直角三角形全等的判定 22．（2022秋•启东市校级月考）不能判定两个直角三角形全等的条件是　　 A．两个锐角对应相等 B．两条直角边对应相等 C．斜边和一锐角对应相等 D．斜边和一条直角边对应相等 23．（2022秋•启东市校级月考）如图，在和中，，，若要用“斜边直角边．．”直接证明，则还需补充条件：　　． 24．（2023秋•宿城区校级期中）已知：如图，点、在线段上，，，，，求证：． 25．（2022秋•建邺区校级期中）下列说法：①斜边和斜边上的高线分别相等的两个直角三角形全等；②两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；③斜边和一锐角分别相等的两个直角三角形全等；④斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等． 其中所有正确结论的序号是　　 A．①② B．①④ C．③④ D．①③④ 26．（2023秋•丰县期中）如图，，添加一个条件，可使用“”判定．添加的条件是：　　．（写一个即可） 27．（2022秋•大丰区校级月考）如图，在中，平分，，，垂足分别为、，且．试说明． 28．（2021秋•江都区月考）如图，已知在中，，，分别过、向过的直线作垂线，垂足分别为、． （1）如图①过的直线与斜边不相交时，求证：； （2）如图②过的直线与斜边相交时，其他条件不变，若，，求：长． 五．全等三角形的判定与性质 29．（2023秋•锡山区校级月考）如图，在中，为中线，过点作于点，过点作于点．在延长线上取一点，连接，使．下列结论中正确的个数为　　 ①； ②； ③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 30．（2024春•工业园区校级期末）如图，在和中，，，，过作，垂足为，交的延长线于点，连接．四边形的面积为12，，则的长是 　　． 31．（2023秋•溧阳市期中）如图，四边形中，，，，则与的数量关系是 　　． 32．（2024春•崇川区校级期末）如图，在中，，，，是的中点，直线经过点，，，垂足分别为，，则的最大值为　　 A． B． C． D． 33．（2023秋•东台市期末）如图所示，已知和，，，，与交于点，点在上． （1）求证：； （2）若，．求的度数． 34．（2023秋•射阳县期末）如图所示，，，，，，求的度数． 六．全等三角形的应用 35．（2023秋•宜兴市月考）如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带　　去． A．① B．② C．③ D．①和② 36．（2023秋•宿迁月考）如图，小虎用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长度为　　 A． B． C． D． 37．（2021秋•沛县期末）如图，小明用“”型转动钳测量圆柱形小口容器壁的厚度．已知，，，，则该容器壁的厚度为 　　． 38．（2023秋•滨海县期中）如图，要测量小河两岸相对的、两点之间的距离，可以在与垂直的河岸上取、两点，且使．从点出发沿与河岸垂直的方向移动到点，使点、、在一条直线上．若测量的长为25米，则、两点之间的距离为 　　米． 39．（2022秋•邗江区校级月考）如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，两个滑梯的倾斜角和的度数和为 　　，并证明你的结论． 40．（2023秋•沭阳县月考）如图，小刚站在河边的点处，在河对面（小刚的正北方向）的点处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了30步到达一棵树处，接着再向前走了30步到达处，然后他左转直行，从点处开始计步，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置在一条直线时，他恰好走了80步，并且小刚一步大约0.5米．由此小刚估计出了在点处时他与电线塔的距离，请问他的做法是否合理？若合理，请求出在点处时他与电线塔的距离；若不合理，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01章 全等三角形 章节整合练习（6个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．全等图形 （1）全等形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形． （2）全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． （3）三角形全等的符号 “全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上． （4）对应顶点、对应边、对应角 把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角． 知识点2．全等三角形的性质 （1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等 说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等 ②全等三角形的周长相等，面积相等 ③平移、翻折、旋转前后的图形全等 （2）关于全等三角形的性质应注意 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 知识点3．全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 知识点4．直角三角形全等的判定 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 知识点5．全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 知识点6．全等三角形的应用 （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． （3）全等三角形在实际问题中的应用 一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 章节题型整合练习 一．全等图形 1．（2022秋•鼓楼区期中）关于全等图形的描述，下列说法正确的是　　 A．形状相同的图形 B．面积相等的图形 C．能够完全重合的图形 D．周长相等的图形 【分析】根据全等图形的定义进行判断即可． 【解答】解：、形状相同的图形相似但不一定全等，故错误，不符合题意； 、面积相等的图形不一定全等，故错误，不符合题意； 、能够完全重合的图形是全等图形，正确，符合题意； 、周长相等的图形不一定是全等图形，故错误，不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了全等图形的定义，了解能够完全重合的图形是全等形是解答本题的关键，难度不大． 2．（2022秋•扬州期中）如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，　135　度． 【分析】首先利用全等三角形的判定和性质得出的值，即可得出答案． 【解答】解：如图所示：， 在和中， ， ， ， ． 故答案为：135． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，得出的值是解题关键． 3．（铜山区校级月考）如图为人民公园中的荷花池，现在测量荷花池两旁、两棵大树间的距离（不得直接量得）．请你根据图形全等的知识，用一根足够长的绳子及标杆为工具，设计两种不同的测量方案． 要求： （1）画出设计的测量示意图； （2）写出测量方案及理由． 【分析】（1）本题属于主观性试题，有多种方案，我们可以构造8字形的全等三角形来测得荷花池的长度（如图）； （2）根据三角形全等的证明得出对应边相等即可得出答案． 【解答】解：（1）①如图所示； 分别以点、点为端点，作、， 使其相交于点， 使得，，连接， 测得即可得出的长度． ②如图， 作，测量出、的长，利用勾股定理求解可得． （2）理由：由上面可知：，， 又， 在与中， ， ， ． 【点评】此题考查了全等三角形的应用与证明；此题带有一定主观性，学生要根据已知知识对新问题进行探索和对基础知识进行巩固，这种做法较常见，要熟练掌握． 4．（2023秋•常州期中）如图，在由4个相同的小正方形拼成的网格中，　　 A． B． C． D． 【分析】利用全等三角形的性质解答即可． 【解答】解：如图所示，连接， 在和中， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了全等图形，主要利用了网格结构以及全等三角形的判定与性质，准确识图并确定出全等三角形是解题的关键． 5．（2021秋•阜宁县校级月考）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则　　 A． B． C． D． 【分析】标注字母，利用“边角边”判断出和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解． 【解答】解：如图，在和中， ， ， ， ， ， 又， ． 故选：． 【点评】本题考查了全等图形，网格结构，准确识图判断出全等的三角形是解题的关键． 6．（2023秋•新沂市校级月考）如图所示的正方形的方格中，　45　度． 【分析】标注字母，然后根据网格结构可得与所在的三角形全等，然后根据全等三角形对应角相等可以推出，再根据所在的三角形是等腰直角三角形可得，然后进行计算即可得解． 【解答】解：如图，根据网格结构可知， 在与中， ， ， ， ， 又，， 是等腰直角三角形， ， ． 故答案为：45． 【点评】本题主要考查了全等图形，根据网格结构的特点找出全等三角形以及等腰直角三角形是解题的关键． 7．（2021秋•盐都区校级月考）在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于 　7　． 【分析】沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．画出所有的分割方案，即可得到最长分割线的长度． 【解答】解：分割方案如图所示： 由图可得，最长分割线的长度等于7． 故答案为：7． 【点评】本题主要考查了全等图形，解决问题的关键是画出所有的分割方案． 二．全等三角形的性质 8．（2023秋•东海县校级月考）已知图中的两个三角形全等，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】根据全等三角形对应角相等可知是、边的夹角，然后写出即可． 【解答】解：第一个三角形中、之间的夹角为， 是、之间的夹角． 两个三角形全等， ． 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形对应角相等，根据对应边的夹角准确确定出对应角是解题的关键． 9．（2023•清江浦区校级开学）【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： 【直接应用】（1）若，，求的值； 【类比应用】（2）填空：①若，则　7　； ②若，则　　； 【知识迁移】（3）两块全等的特制直角三角板如图2所示放置，其中，，在一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积． 【分析】（1）直接由完全平方公式即可得出答案； （2）①先由得，再将代入即可得出答案；②先由得，再将即可得出答案； ③设，，由得，据此可得，然后再由得，由此利用完全平方公式可求出，最后再利用三角形的面积公式可求出一块直角三角板的面积． 【解答】解：（1）， ， ， 即：， 又， ， ； （2）①， ， ， ， ， ； 故答案为：7． ②， ， ， ， 又， ； 故答案为：3． （3）设，， ，，，在一直线上， ，， ， ， ， ， ， ， 即：， ， ， ． 一块直角三角板的面积为30． 【点评】此题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解答此题的关键． 10．（2023秋•锡山区期中）如图，，，若，，，则等于　　 A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【分析】根据全等三角形的性质得到，，结合图形计算即可． 【解答】解：，，， ，， ， 故选：． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 11．（2023秋•灌云县期中）如图，，，，则的度数为 　　． 【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，再由全等三角形的性质即可得出结论． 【解答】解：，， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质，熟知全等三角形的对应角相等是解题的关键． 12．（2022秋•句容市期末）如图，已知，点在上，与相交于点． （1）若，，求线段的长； （2）已知，，求的度数． 【分析】（1）由，可得，，从而可得答案； （2）由，，，可得，，利用三角形内角和求出，从而，再利用三角形的外角的性质求解可得答案． 【解答】解：（1），，， ，， ； （2），，， ，，， ， ， ， ． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键． 13．（2023秋•丹阳市期中）如图所示，两个三角形全等，则等于　　 A． B． C． D． 【分析】根据图形得出，，根据全等三角形的性质得出，即可得出选项． 【解答】解： ，， 又和全等， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 14．（2023秋•射阳县期末）如图，若，，，则　60　． 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质解答． 【解答】解：，， ， ， ， 故答案为：60． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 三．全等三角形的判定 15．（2022秋•淮安区期中）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是　　 A． B． C． D． 【分析】根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出即可． 【解答】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形． 故选：． 【点评】本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键． 16．（2023秋•新吴区期中）如图，已知，下列条件中，添加后仍不能判定的是　　 A． B． C． D． 【分析】由，，添加各选项中的条件后，逐一验证和是否全等，取无法证出的选项即可得出结论． 【解答】解：．在和中，，，， 无法证出，选项符合题意； ．在和中， ， ，选项不符合题意； ．在和中， ， ，选项不符合题意； ．在和中， ， ，选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，牢记各全等三角形的判定定理是解题的关键． 17．（2022秋•宿城区期末）如图，点是线段的中点，，．求证：． 【分析】由已知条件得到，，根据三角形全等的判定定理可证得． 【解答】证明：点是的中点， ， ， ， 在和中， ． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、（直角三角形）． 18．（2022秋•启东市期末）如图，已知线段，于点，，射线于，点从点向运动，每秒走，点从点向运动，每秒走，，同时从出发，则出发 　5　秒后，在线段上有一点，使与全等． 【分析】分两种情况考虑：当时与当时，根据全等三角形的性质即可确定出时间． 【解答】解：由题意可知：，，， ①当时， ，即：， 解得：， 此时：，符合题意； ②当时， ，即：， 解得：， 此时， ， 故不符合题意． 故答案为：5． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法以及分类讨论是解本题的关键． 19．（2023秋•徐州期末）已知：如图，在中，，，于点，，求证：． 【分析】由垂直的定义可知，，由平行线的性质可得，，进而由可得结论． 【解答】证明：，， ， ， ， ， 在和中， ， ． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定，垂直的定义和平行线的性质，熟知全等三角形的判定定理是解题基础． 20．（2023秋•泉山区校级期中）数学社团活动课上，甲乙两位同学玩数学游戏．游戏规则是：两人轮流对及△的对应边或对应角添加一组等量条件（点，，分别是点，，的对应点），某轮添加条件后，若能判定与△全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜． 轮次 行动者 添加条件 1 甲 2 乙 3 甲 表格记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是 　②③④　．（填写所有正确结论的序号） ①若第3轮甲添加，则甲获胜； ②若第3轮甲添加，则甲必胜； ③若第2轮乙添加条件修改为，则乙必胜； ④若第2轮乙添加条件修改为，则此游戏最多4轮必分胜负． 【分析】根据全等三角形的判定定理，逐项判断即可求解． 【解答】解：①若第3轮甲添加，可根据角角边判定与△全等，则乙获胜，不符合题意； ②若第3轮甲添加，满足边边角，不能判定与△全等，则甲获胜，正确，符合题意； ③若第2轮乙添加条件修改为， 若第3轮甲添加一边相等，可根据边角边或斜边直角边判定与△全等，则乙获胜， 若第3轮甲添加一角相等，可根据角角边或角边角判定与△全等，则乙获胜， 故乙必胜，故本说法正确，符合题意； ④若第2轮乙添加条件修改为， 第3轮甲只能添加或其中之一，此时已有边边角．无论第4轮乙添加对应边相等还是对应角相等，都会有边边边或角角边或角边角来判定出全等，则乙必输，甲必胜．所以最多4轮必分胜负，本说法正确，符合题意． 故答案为：②③④． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 21．（2023秋•常州期末）如图，已知，，，求证：． 【分析】根据平行线的性质和全等三角形的判定解答即可． 【解答】解：， ， ， 即， 在与中， 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、． 注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 四．直角三角形全等的判定 22．（2022秋•启东市校级月考）不能判定两个直角三角形全等的条件是　　 A．两个锐角对应相等 B．两条直角边对应相等 C．斜边和一锐角对应相等 D．斜边和一条直角边对应相等 【分析】直角三角形全等的判定方法：，，，，，做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证． 【解答】解：、全等三角形的判定必须有边的参与，故本选项错误，符合题意； 、符合判定，故本选项正确，不符合题意； 、符合判定，故本选项正确，不符合题意； 、符合判定，故本选项正确，不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查直角三角形全等的判定方法，判定两个直角三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 23．（2022秋•启东市校级月考）如图，在和中，，，若要用“斜边直角边．．”直接证明，则还需补充条件：　　． 【分析】此题是一道开放型题目，根据直角三角形的全等判定解答即可． 【解答】解：在和中， ， ， 故答案为： 【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，，，题目比较典型，难度适中． 24．（2023秋•宿城区校级期中）已知：如图，点、在线段上，，，，，求证：． 【分析】此题只要先证明即可，做题时要结合已知条件与全等的判定方法进行思考． 【解答】证明：， ； ； 在和中 ， ， ． 【点评】本题考查了直角三角形全等的判定及性质；由通过等量加等量和相等得在三角形全等的证明中经常用到，应注意掌握应用． 25．（2022秋•建邺区校级期中）下列说法：①斜边和斜边上的高线分别相等的两个直角三角形全等；②两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；③斜边和一锐角分别相等的两个直角三角形全等；④斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等． 其中所有正确结论的序号是　　 A．①② B．①④ C．③④ D．①③④ 【分析】根据全等三角形的判定定理进行判断即可． 【解答】解：如图， 已知：和△，，，，，， 求证：△， 证明：设点，分别为，的中点，则， 于，于， ， △， ， ，， ，， ，， ， △，故①正确； 两个锐角分别等的两个直角三角形不一定全等，故②不正确； 斜边和一锐角分别相等的两个直角三角形可利用得出两个直角三角形全等，故③正确； 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形可利用得出两个直角三角形全等，故④正确． 其中所有正确结论的序号是①③④， 故选：． 【点评】本题考查了直角三角形全等的判定定理，熟练掌握直角三角形全等的判定定理是解题的关键． 26．（2023秋•丰县期中）如图，，添加一个条件，可使用“”判定．添加的条件是：　（答案不唯一）　．（写一个即可） 【分析】本题是一道开放型的题目，答案不唯一，只有符合两直角三角形全等的判定定理即可，条件可以是或． 【解答】解：添加的条件是， 理由是：， 在和中 ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等含有． 27．（2022秋•大丰区校级月考）如图，在中，平分，，，垂足分别为、，且．试说明． 【分析】先证明，得出，再证明得出，从而得出． 【解答】证明：平分，，， ，． ， ． ，． ， ． ． 解法二：利用角平分线的性质定理，可以直接证明，不需要全等三角形的性质证明． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．利用全等证明另外的三角形全等是常用方法，注意掌握应用． 28．（2021秋•江都区月考）如图，已知在中，，，分别过、向过的直线作垂线，垂足分别为、． （1）如图①过的直线与斜边不相交时，求证：； （2）如图②过的直线与斜边相交时，其他条件不变，若，，求：长． 【分析】（1）此题根据已知条件容易证明，然后利用对应边相等就可以证明题目的结论； （2）根据（1）知道仍然成立，再根据对应边相等就可以求出了． 【解答】（1）证明：，， ， ，， ， 在和中， ，，， ． ，． ． （2）解：，， ， ，， ， 在和中， ，，， ． ，． ． 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用它们解决问题，经常用全等来证线段和的问题． 五．全等三角形的判定与性质 29．（2023秋•锡山区校级月考）如图，在中，为中线，过点作于点，过点作于点．在延长线上取一点，连接，使．下列结论中正确的个数为　　 ①； ②； ③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】证明，可得，，从而可判断①正确；证明，可证，从而判断②④正确；由，结合以上结论可判断③正确． 【解答】解：为中线， ． ，， ， ， ， ，，故①正确； ， ， ， ， ，故②正确； ， ，故④正确； ， ，故③正确． 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，证明、是解答本题的关键． 30．（2024春•工业园区校级期末）如图，在和中，，，，过作，垂足为，交的延长线于点，连接．四边形的面积为12，，则的长是 　3　． 【分析】过点作于，判定，得出，再判定，判定，得出，再根据，求得的面积，进而得到的长． 【解答】解：过点作于，如图所示： 在与中， ， ， ，， 又， 即， ， 又，， 在和中， ， 同理：， ， ， 的面积， ， ， 解得：； 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，解题时注意：全等三角形的面积相等． 31．（2023秋•溧阳市期中）如图，四边形中，，，，则与的数量关系是 　　． 【分析】作于点，于点，则，由，得，，则，，所以，则，由勾股定理得，则，所以，于是得到问题的答案． 【解答】解：作于点，于点，则， ， ， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】此题重点考查直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、两条平行线之间的距离处处相等、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 32．（2024春•崇川区校级期末）如图，在中，，，，是的中点，直线经过点，，，垂足分别为，，则的最大值为　　 A． B． C． D． 【分析】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可． 【解答】解：如图，过点作于点，过点作于点， 在中， ，， ，， 在中，， ， ， 点为中点， ， 在与中， ， ， ， 延长，过点作于点，得矩形， ， ， 在中，， 当直线时，最大值为， 综上所述，的最大值为． 故选：． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的关键． 33．（2023秋•东台市期末）如图所示，已知和，，，，与交于点，点在上． （1）求证：； （2）若，．求的度数． 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出结论； （2）由三角形外角的性质求出，由全等三角形的性质得出，由等腰三角形的性质可求出答案． 【解答】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ， ； （2）①解：，， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，证明是解题的关键． 34．（2023秋•射阳县期末）如图所示，，，，，，求的度数． 【分析】先由，就可以得出，就可以得出，就可以得出，就可以由三角形的外角与内角的关系求出结论． 【解答】解：， ， ． 在和中， ， ， ． ． ． 答：的度数为． 【点评】本题考查全等三角形的判定及性质的运用，三角形的外角与内角的关系的运用，解答时证明三角形的全等是关键． 六．全等三角形的应用 35．（2023秋•宜兴市月考）如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带　　去． A．① B．② C．③ D．①和② 【分析】此题可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案． 【解答】解：第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法； 第二块，仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行； 第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合判定，所以应该拿这块去． 故选：． 【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握． 36．（2023秋•宿迁月考）如图，小虎用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长度为　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明即可，利用全等三角形的性质进行解答． 【解答】解：由题意得：，，，， ， ，， ， 在和中， ， ； 由题意得：，， ， 答：两堵木墙之间的距离为． 故选：． 【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件． 37．（2021秋•沛县期末）如图，小明用“”型转动钳测量圆柱形小口容器壁的厚度．已知，，，，则该容器壁的厚度为 　1　． 【分析】只要证明，可得，即可解决问题． 【解答】解：在和中， ， ， ， ， 圆柱形容器的壁厚是， 故答案为：1． 【点评】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是利用全等三角形的性质解决实际问题． 38．（2023秋•滨海县期中）如图，要测量小河两岸相对的、两点之间的距离，可以在与垂直的河岸上取、两点，且使．从点出发沿与河岸垂直的方向移动到点，使点、、在一条直线上．若测量的长为25米，则、两点之间的距离为 　25　米． 【分析】通过证明得到，从而得到、两点之间的距离． 【解答】解：，， ， 在和中， ， ， 米， 即、两点之间的距离为25米． 故答案为：25． 【点评】本题考查了全等三角形的应用：一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，然后利用三角形全等的判定与性质计算线段的长． 39．（2022秋•邗江区校级月考）如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，两个滑梯的倾斜角和的度数和为 　　，并证明你的结论． 【分析】由图可得，与均是直角三角形，由已知可根据判定两三角形全等，再根据全等三角形的对应角相等，不难求解． 【解答】解：，理由如下： 由题意可得：与均是直角三角形，且，． 在和中， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】此题考查了全等三角形的应用．做题时要注意找已知条件，根据已知选择方法得出全等三角形是解题关键． 40．（2023秋•沭阳县月考）如图，小刚站在河边的点处，在河对面（小刚的正北方向）的点处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了30步到达一棵树处，接着再向前走了30步到达处，然后他左转直行，从点处开始计步，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置在一条直线时，他恰好走了80步，并且小刚一步大约0.5米．由此小刚估计出了在点处时他与电线塔的距离，请问他的做法是否合理？若合理，请求出在点处时他与电线塔的距离；若不合理，请说明理由． 【分析】合理．理由：通过证得，则其对应边相等．结合速度时间距离求得点处时他与电线塔的距离即可． 【解答】解：合理．理由如下： 根据题意，得． 在和中， ， ． ． 又小刚走完用了80步，一步大约0.5米， （米． 答：小刚在点处时他与电线塔的距离为40米． 【点评】本题考查全等三角形的应用，在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解． 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