精品解析：山东省临清市新华中学2023-2024学年下学期九年级开学考试数学试题

九年级数学开学测试 一、选择题（本题满分24分，共有8进小题，每小题3分） 1. 方程的根是（　　） A. B. C. ， D. ， 2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值是( ) A. B. 3 C. D. 2 3. 下列各组图形中，一定相似的是（　　） A. 任意两个正五边形 B. 任意两个平行四边形 C. 任意两个菱形 D. 任意两个矩形 4. 班级元旦晚会上，主持人给大家带来了一个有奖竞猜题，他在一个不透明的袋子中放了若干个形状大小完全相同的白球，想请大家想办法估计出袋中白球的个数，数学课代表小明是这样来估计的：他先往袋中放入10个形状大小与白球相同的红球，混匀后再从袋子中随机摸出20个球，发现其中有4个红球．如果设袋中有白球x个，根据小明的方法用来估计袋中白球个数的方程是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 关于一元二次方程，根的情况是（ ） A. 有两个实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 7. 如图，函数y＝kx+b（k≠0）与y（m≠0）图象交于点A（2，3），B（﹣6，﹣1），则不等式kx+b的解集为（　　） A. x＜﹣6或0＜x＜2 B. ﹣6＜x＜0或x＞2 C x＞3或﹣1＜x＜0 D. x＞2 8. 在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2﹣bx与y＝bx＋a的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 9. 计算sin245°+cos30°•tan60°＝___． 10. 我国疫情防控工作进入了一个新的阶段——“常态化”，戴口罩仍然是切断病毒传播的主要措施．某药店八月份销售口罩包，八至十月份共销售口罩包．设该店九、十月份销售口罩的月平均增长率为，则可列方程为_______． 11. 如图，已知第一象限内的点在反比例函数上，第二象限的点在反比例函数上，且，，则的值为_______． 12. 已知二次函数（）图象上部分点的坐标对应值列表如下： … 0 10 30 … … 2 2 … 则关于的方程的解是_______． 13. 如图，在正方形中，，点是边的中点，连接，与交于点，点为的中点，点为上的动点．当时，则_________． 14. 一圆锥的母线长为5，底面半径为3，则该圆锥的侧面积为________． 三、作图题（本题满分6分） 15. 如图，图中小方格都是边长为1的正方形，与是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形顶点上． （1）画出位似中心点O； （2）与的位似比为______； （3）以点O为位似中心，再画一个使它与的位似比等于． 四、解答题（本大题共6小题，满分52分） 16. 计算： （1）解方程：4x2﹣6x﹣3＝0． （2）已知二次函数yx，用配方法求出该抛物线的顶点坐标． 17. 周末，甲乙两人相约去附近的山顶C处写生．甲从小山的正东方向A处出发，乙从小山正西方向的B处出发．已知A处的海拔高度为18米，B处的海拔高度比A处高30米，且A、B两地的水平距离为1048米．山坡AC的坡角为32°，山坡BC的坡度i．问： （1）小山的海拔高度CE是多少米？ （2）甲乙两人到达山顶所走的路程相差多少米？（参考数据：sin32°，cos32°，tan32°） 18. 为了支持精准扶贫项目，“蜜甜农场”网店专卖备受消费者青睐的“响水”大米．大米进价为每袋40元，当售价为每袋80元时，每月可销售100袋．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调在反映，销售单价每降1元，则每月可多销售5袋．该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．设每袋大米的售价为x元，每月的销售量为y袋． （1）求出y与x的函数关系式． （2）设该网店捐款后每月利润为w元，若要求进货总成本不超过5000元，当销售单价为多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？ （3）为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，那么每袋大米的最合理的销售单价是多少？ 19. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数第一象限内的图象相交于点，与轴相交于点． （1）求和的值； （2）如图，以边作菱形，使点在轴正半轴上，点在第一象限，求． 20. 如图，已知是的直径，是的切线，切点为，，交于点，连接，，的平分线交于点，交于点． （1）求证：点是的中点； （2）求． 21. 如图，抛物线与轴交于A（），B（4，0），过点A的直线与该抛物线交于点C，点P是该抛物线上不与A，B重合的动点，过点P作PD⊥轴于点D，交直线AC于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P在直线AC下方，且时，求点P的坐标； （3）当直线PD为时，在直线PD上是否存在点Q，使△ECQ与△EDA相似？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明你的理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学开学测试 一、选择题（本题满分24分，共有8进小题，每小题3分） 1. 方程根是（　　） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】移项，利用因式分解法解方程即可. 【详解】解：移项，得， 则， 解得， 故选：C. 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的各种解法及灵活选用是解答的关键. 2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值是( ) A. B. 3 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先求出AC，再根据正切的定义求解即可． 【详解】设BC=x，则AB=3x， 由勾股定理得，AC=， tanB===， 故选：D． 3. 下列各组图形中，一定相似的是（　　） A. 任意两个正五边形 B. 任意两个平行四边形 C. 任意两个菱形 D. 任意两个矩形 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似多边形的概念进行判断即可． 【详解】解：A、任意两个正五边形对应角相等，对应边的比也相等，故一定相似，符合题意； B、任意两个平行四边形对应角不一定相等，对应边的比也不一定相等，故不一定相似，不符合题意， C、任意两个菱形对应角不一定相等，故不一定相似； D、任意两个矩形对应边的比不一定相等，故不一定相似； 故选：A 【点睛】本题考查的是相似多边形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是解题的关键． 4. 班级元旦晚会上，主持人给大家带来了一个有奖竞猜题，他在一个不透明的袋子中放了若干个形状大小完全相同的白球，想请大家想办法估计出袋中白球的个数，数学课代表小明是这样来估计的：他先往袋中放入10个形状大小与白球相同的红球，混匀后再从袋子中随机摸出20个球，发现其中有4个红球．如果设袋中有白球x个，根据小明的方法用来估计袋中白球个数的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用样本数据估计总体数据，每一个小球被摸中的可能性都是相同的,因此可用摸中红球的频率代表袋子中红球占总球数的占比，由此列出等式即可.列出等量关系是解题关键． 【详解】解：∵每一个小球被摸中可能性都是相同的， ∴由题可知， 摸中红球的频率， 袋子中红球占总球数的， 即，即可求出袋中白球的个数， 故选：D． 5. 如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据位似中心的定义，连接位似图形的对应点，交点即为位似中心． 【详解】解：连接C1C，B1B，A1A并延长，交点P即为所求，由图可知：位似中心的坐标是：(0,−1)， 故选：C． 【点睛】此题考查的是位似图形及位似中心的定义，掌握位似中心的确定方法：位似图形的各个对应点连线的交点即为位似中心是解决此题的关键． 6. 关于的一元二次方程，根的情况是（ ） A. 有两个实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据判别式来判断即可，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根． 【详解】解：∵， ∴关于的一元二次方程有两个实数根， 故选：A． 7. 如图，函数y＝kx+b（k≠0）与y（m≠0）的图象交于点A（2，3），B（﹣6，﹣1），则不等式kx+b的解集为（　　） A. x＜﹣6或0＜x＜2 B. ﹣6＜x＜0或x＞2 C. x＞3或﹣1＜x＜0 D. x＞2 【答案】B 【解析】 【分析】找出一次函数的图象在反比例函数图象的上方时的自变量的取值范围即可． 【详解】解：函数y＝kx+b（k≠0）与y（m≠0）的图象交于点A（2，3），B（﹣6，﹣1）， ∴不等式kx+b的解集为﹣6＜x＜0或x＞2 故选：B 【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是注意掌握数形结合思想的应用． 8. 在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2﹣bx与y＝bx＋a的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据图形中给出的一次函数图象确定a、b的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论解析，即可解决问题． 【详解】A、对于直线y＝bx＋a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2﹣bx来说，对称轴x＝﹣＞0，在y轴的右侧，符合题意，图形正确． B、对于直线y＝bx＋a来说，由图象可以判断，a＜0，b＜0；而对于抛物线y＝ax2﹣bx来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误． C、对于直线y＝bx＋a来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2﹣bx来说，对称轴＝﹣＜0，应位于y轴的左侧，故不合题意，图形错误， D、对于直线y＝bx＋a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2＋bx来说，图象应开口向上，故不合题意，图形错误． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数、二次函数图象的性质及其应用问题；解题的方法是首先根据其中一次函数图象确定a、b的符号，进而判断另一个函数的图象是否符合题意；解题的关键是灵活运用一次函数、二次函数图象的性质来分析、判断、解答． 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 9. 计算sin245°+cos30°•tan60°＝___． 【答案】2 【解析】 【分析】将各特殊角的三角函数值代入即可得出答案． 【详解】解：sin245°+cos30°•tan60° 故答案为：2 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，熟练记忆一些特殊角的三角函数值是关键． 10. 我国疫情防控工作进入了一个新的阶段——“常态化”，戴口罩仍然是切断病毒传播的主要措施．某药店八月份销售口罩包，八至十月份共销售口罩包．设该店九、十月份销售口罩的月平均增长率为，则可列方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设平均每月增长率为，表示出九、十两个月销售量，3个月共销售口罩包，列出方程即可． 【详解】设平均每月增长率为， 则九月的销售量是，十月的销售利润是， 根据题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程． 11. 如图，已知第一象限内点在反比例函数上，第二象限的点在反比例函数上，且，，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D，易证∽，则面积的比等于相似比的平方，然后根据反比例函数中比例系数k的几何意义即可求解． 【详解】解：作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D． 则∠BDO＝∠ACO＝90°， 则∠BOD＋∠OBD＝90°， ∵OA⊥OB， ∴∠BOD＋∠AOC＝90°， ∴∠OBD＝∠AOC， ∴∽， ∴， 又∵S△AOC＝×4＝2， ∴S△OBD＝， ∵第二象限的点在反比例函数上 ∴k＝． 故答案为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，以及反比例函数的比例系数k的几何意义，正确作出辅助线求得两个三角形的面积的比是关键． 12. 已知二次函数（）图象上部分点的坐标对应值列表如下： … 0 10 30 … … 2 2 … 则关于的方程的解是_______． 【答案】， 【解析】 【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系求解，根据列表可求出二次函数的对称轴和c，则，即求当时对应的值，由列表可得，然后根据对称轴求. 【详解】本题考查二次函数图象的性质．当，时，，故二次函数图象的对称轴是直线，且，所以二次函数解析式为，由此可知方程的解即是的解，即是求当时对应的值，由图象知x为10或20，故答案为：，． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质以及二次函数与一元二次方程的关系，从列表中获取信息是解答本题的关键. 13. 如图，在正方形中，，点是边的中点，连接，与交于点，点为的中点，点为上的动点．当时，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理求出，通过证明，得出，再证明从而求出． 【详解】解：∵四边形为正方形，，点是边的中点， ∴，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质、勾股定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形对应边成比例． 14. 一圆锥的母线长为5，底面半径为3，则该圆锥的侧面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形．利用计算即可． 【详解】解：圆锥的侧面积． 故答案是：． 三、作图题（本题满分6分） 15. 如图，图中小方格都是边长为1的正方形，与是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形顶点上． （1）画出位似中心点O； （2）与的位似比为______； （3）以点O为位似中心，再画一个使它与的位似比等于． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图--位似变换，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． （1）连接对应点，交点即为位似中心； （2）求出对应线段长的比即为位似比； （3）对应线段长为作图即可． 【小问1详解】 解：如图，连接，并延长交于点O，点O为所求； 【小问2详解】 解：与的位似比为． 故答案为． 【小问3详解】 解：由题意得：， ， ， 同理，找到， 如图所示：为所求． 四、解答题（本大题共6小题，满分52分） 16. 计算： （1）解方程：4x2﹣6x﹣3＝0． （2）已知二次函数yx，用配方法求出该抛物线的顶点坐标． 【答案】（1），；（2）（1，2） 【解析】 【分析】（1）利用公式法，求出△符号，进而利用求根公式得出即可； （2）配方得出顶点式，即可得出顶点坐标； 【详解】解：（1）4x2﹣6x﹣3＝0 ∵a=4，b=-6，c=-3， Δ=b2-4ac=36+48=84＞0， ∴ ∴， （2）， 即 该抛物线的顶点坐标是：（1，2） 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程以及把二次函数的一般式化成顶点式，熟练掌握运算方法是解题的关键 17. 周末，甲乙两人相约去附近的山顶C处写生．甲从小山的正东方向A处出发，乙从小山正西方向的B处出发．已知A处的海拔高度为18米，B处的海拔高度比A处高30米，且A、B两地的水平距离为1048米．山坡AC的坡角为32°，山坡BC的坡度i．问： （1）小山的海拔高度CE是多少米？ （2）甲乙两人到达山顶所走的路程相差多少米？（参考数据：sin32°，cos32°，tan32°） 【答案】（1）298米；（2）130米 【解析】 【分析】作PC⊥AB于点C，BF⊥CE于点F，解RtACM得出，再根据山坡BC的坡度i得出，列方程得出CF，从而得出小山的海拔高度CE； （2）解直角三角形△BCF和△ACM求得AC和BC的长即可得出答案． 【详解】解：作BG⊥DE于点G，BF⊥CE于点F，则四边形BHMF、HGDA、HGEM、ADEM都为矩形； ∴GH=EM=AD=18米，BH=FM=30米， 根据题意得：AH=1048，∠CAM=32°， 在Rt△ACM中， ∴， ∵山坡BC的坡度i ∴， ∴， ∴ ∴米， ∴米， ∴小山的海拔高度CE是298米 （2）在Rt△BCF中，米，米 ∴BC=650米； 在Rt△ACM中，CM=280米， ， ∴AC=520米， ∴BC-AC=650-520=130米， ∴甲乙两人到达山顶所走的路程相差130米 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解决本题的关键在于准确作出辅助线构造直角三角形，进而利用三角函数定义求解． 18. 为了支持精准扶贫项目，“蜜甜农场”网店专卖备受消费者青睐的“响水”大米．大米进价为每袋40元，当售价为每袋80元时，每月可销售100袋．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调在反映，销售单价每降1元，则每月可多销售5袋．该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．设每袋大米的售价为x元，每月的销售量为y袋． （1）求出y与x的函数关系式． （2）设该网店捐款后每月利润为w元，若要求进货总成本不超过5000元，当销售单价为多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？ （3）为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，那么每袋大米的最合理的销售单价是多少？ 【答案】（1）y=-5x+500；（2）当售价77元时，每月获得利润最大，最大利润为4055元；（3）66元 【解析】 【分析】（1）根据销售单价每降1元，则每月可多销售5袋，写出y与x的函数关系式； （2）该网店每月获得的利润w元等于每件的利润乘以销售量减200，由此列出函数关系式，根据二次函数的性质求解即可； （3）根据总利润等于4220，得出关于x的方程，求得方程的解，根据二次函数的性质及问题的实际意义，可得答案． 【详解】解：（1）由题意可得： y=100+5（80-x） =-5x+500， ∴y与x的函数关系式为y=-5x+500； （2）由题意，得： w=（x-40）（-5x+500）-200 =-5x2+700x-20200 =-5（x-70）2+4300， ∵进货总成本不超过5000元， ∴40y=40（-5x+500）≤5000， ∴x≥77 ∵a=-5＜0，抛物线开口向下，当x＞70时，w随x的增大而减小， ∴当x=77时，w最大值=4055， ∴当售价77元时，每月获得利润最大，最大利润为4055元； （3）由题意得： -5（x-70）2+4300=4220， 解得x1=66，x2=74， ∵抛物线w=-5（x-70）2+4300开口向下，对称轴为直线x=70， ∴当66≤x≤74时，符合该网店要求， ∵要让消费者得到最大的实惠， ∴x=66． ∴当销售单价定为66元时，既符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠． 【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 19. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数第一象限内的图象相交于点，与轴相交于点． （1）求和的值； （2）如图，以为边作菱形，使点在轴正半轴上，点在第一象限，求． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，涉及了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）把点代入反比例函数，得到n的值为3；再把点代入一次函数，得到k的值； （2）根据坐标轴上点的坐标特征可得点B的坐标为，过点A作轴，垂足为G，根据勾股定理得到，再根据菱形的性质可得，即可求解． 【小问1详解】 解：把点代入反比例函数，得： ； ∴点， 把点代入一次函数，得： ，解得：； 【小问2详解】 解：∵一次函数与轴相交于点B， 当时，， 解得， ∴点B的坐标为， 如图，过点A作轴，垂足为G， ∵， ∴， ∴， 在中，． ∵四边形是菱形， ∴， ． 20. 如图，已知是的直径，是的切线，切点为，，交于点，连接，，的平分线交于点，交于点． （1）求证：点是的中点； （2）求． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由切线的性质可得出，结合已知条件可得出，进而得出，根据平行线的性质得到，由等边对等角得出，等量代换可得出，进而得出． （2）根据直径所对的圆周角等于得到，结合已知条件可得出，求得，根据角平分线的定义得到，根据三角形外角的定义以及性质可得出，，进而可求出． 【小问1详解】 解：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ， ∵ ∴ ， ∴， 即点是的中点 【小问2详解】 是直径， ∴， ， ∴， ， ， ， 平分， ， ，， ． 【点睛】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角等于，等弧所对的圆周角相等，平行线的性质，三角形外角的定义以及性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 21. 如图，抛物线与轴交于A（），B（4，0），过点A的直线与该抛物线交于点C，点P是该抛物线上不与A，B重合的动点，过点P作PD⊥轴于点D，交直线AC于点E． （1）求抛物线解析式； （2）当点P在直线AC的下方，且时，求点P的坐标； （3）当直线PD为时，在直线PD上是否存在点Q，使△ECQ与△EDA相似？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明你的理由． 【答案】（1） （2）(1，-6) （3）存在，点Q的坐标为（1，-4）或（1，-6） 【解析】 【分析】（1）将点，代入，求出的值，进而可得抛物线解析式； （2）设，则， ，则，，根据，即，求出满足要求的的值，进而可得点P的坐标； （3）依题意联立方程得，求出满足要求的的值，进而可得点C坐标为（3，-4），由勾股定理求，由题意知，，，,，求出的值，根据，△QCE与△EDA相似，可知分两种情况求解：①当时，△EQC≌△EDA，，求出点Q的坐标；②当时，△ECQ∽△EDA，则，求出的值，进而根据，求出点Q的坐标． 【小问1详解】 解：将点，代入，得， 解得：， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：设，则， ， ∴，， ∵， ∴， 解得，，， 将代入， ∴点P的坐标为． 【小问3详解】 解：存在，理由如下； ∵直线与抛物线交于A、C两点， ∴联立方程得：， 解得， ∴点C坐标为（3，-4）， 由勾股定理得，， 由题意知，，， ∴,， ∴，， ∵，△QCE与△EDA相似，分两种情况求解： ①当时， ∵， ∴△EQC≌△EDA， ∴， ∴点Q的坐标为（1，-4）； ②当时， ∵△ECQ∽△EDA， ∴，即， 解得， ∴， ∴点Q的坐标为（1，-6）； 综上所述，当点Q的坐标为（1，-4）或（1，-6）时，△ECQ与△EDA相似． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数与线段综合，二次函数与相似三角形综合，勾股定理等知识．解题的关键在于对二次函数，相似三角形知识的熟练掌握与灵活运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$