专题03 基本不等式（七大重难点题型）-【课后优辅导】2024年秋季高一数学上学期精品讲义（人教A版2019）

专题3 基本不等式 【基本不等式(或)均值不等式】 知识点一：基本不等式 1.对公式及的理解. （1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”. 知识点二：基本不等式的证明 方法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形. 方法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，. 所以，（当且仅当时取等号“=”）. 知识点三：基本不等式的几何意义 如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、. 易证，那么，即. 这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立. 知识点诠释： 在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 知识点四：用基本不等式求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等. ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. 【基本不等式的变形与拓展】 1．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）． 2．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）； (3)若,则（当且仅当时取“=”）． 3．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）． 4．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）． 5．一个重要的不等式链：． 6．函数图象及性质 (1)函数图象如右图所示： (2)函数性质： ①值域：； ②单调递增区间：；单调递减区间：． 7.(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”； (2)求最值的条件“一正,二定,三相等”； (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 【解题方法总结】 1、几个重要的不等式 （1） （2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）． 特例：（同号）． （3）其他变形： ①（沟通两和与两平方和的不等关系式） ②（沟通两积与两平方和的不等关系式） ③（沟通两积与两和的不等关系式） ④重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 2、均值定理 已知． （1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”． （2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”． 3、常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号成立． 重难点题型1 基本不等式的简单应用 例1.（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）已知，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 例2．（2010·湖北·一模）当时，的最小值为 ． 1.（23-24高二上·云南昭通·阶段练习）已知，则的最小值为 ． 2.（23-24高二下·云南玉溪·期末）若，使取得最小值时的值为 . 重难点题型2 利用基本不等式求最小值 例3.（2024高三·全国·专题练习）当时，的最小值为10，则 . 例4.（25-26高一上·全国·课后作业）若，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．无最小值 例5.（2024年典韦杯暑期联考高三7月数学试题）若正实数满足，则的最小值为（    ） A．9 B．6 C．3 D．2 1.（23-24高一下·广西柳州·期中）已知，，，则的最小值为（    ）． A．4 B． C．6 D． 2.（24-25高一上·全国·课后作业）若正实数满足，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 3.（23-24高二下·广西北海·期末）若正数x，y满足 则的最小值是（    ） A． B． C．4 D．6 重难点题型3 利用基本不等式求最大值 例6．（23-24高一下·湖南邵阳·期末）函数的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 例7．（23-24高三上·河南·阶段练习）若，且，则的最大值为 . 例8．（23-24高一上·江西南昌·期中）正数满足，则的最大值为（    ） A．8 B．3 C． D．4 1.（22-23高一上·海南·期中）已知，代数式的最大值为（     ） A． B． C．2 D． 2.（2024·上海奉贤·三模）若，则有最大值为 ． 3.（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，则的最大值为 ． 重难点题型4 与、平方和、有关问题的最值 例9．（23-24高一上·甘肃庆阳·期中）（多选题）已知a，b为正实数，且，，，则（    ） A．的最大值为4 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为2 例10．（23-24高二下·云南曲靖·阶段练习）（多选题）已知正实数满足，下列说法正确的是（   ） A．的最小值为25 B．的最大值为20 C．的最小值为11 D．的最小值为1 1.（2024高三·全国·专题练习）（多选题）若正实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值2 D．有最小值 2.（23-24高一上·安徽合肥·阶段练习）（多选题）已知，且，则（   ） A．的最大值为 B．的最大值是 C．的最小值是8 D．的最小值是 重难点题型5 不等式变形技巧：“1”的代换 例11．（23-24高一下·贵州六盘水·期中）已知，，且，则的最小值为 . 例12．（23-24高二下·浙江绍兴·期中）已知，，且，则的最小值为 . 例13．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 例14．（2024·河南南阳·一模）已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 11．（23-24高一上·广东河源·阶段练习）若正数，满足，则的最小值为 ． 12.（23-24高一下·云南曲靖·阶段练习）已知，且，则的最小值为 ． 13.（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）设，且，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 14.（23-24高二下·辽宁·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【解题方法总结】 1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形． 1、根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法． 2、注意验证取得条件． 重难点题型6 不等式的证明技巧 例15．（24-25高一上·上海·期中）已知a、b、c、，证明下列不等式，并指出等号成立的条件： (1)； (2)． 例16．（24-25高一上·上海·课后作业）（1）已知、都是正数，求证：； （2）已知，，，求证：． 1.（22-23高一上·江西南昌·阶段练习）已知正实数a，b，c满足. (1)求的最小值； (2)证明：， 2.（23-24高三下·全国·阶段练习）已知. (1)若，求的最小值； (2)若，证明：. 【解题方法总结】 类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得证明． 重难点题型7 均值不等式在实际问题中的应用 例17．（23-24高一上·湖北·期末）两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降（假设第一次价格为，第二次价格为）可以用两种不同的策略，第一种是每次购买这种物品数量一定;第二种是每次购买这种物品所花的钱数一定，哪种购物方式比较经济（    ） A．第一种 B．第二种 C．都一样 D．不确定 例18．（22-23高一上·江苏常州·期末）某工厂利用不超过64000元的预算资金拟建一长方体状的仓库，为节省成本，仓库依墙角而建（即仓库有两个相邻的侧面为墙面，无需材料），由于要求该仓库高度恒定，不靠墙的两个侧面按照其底边的长度来计算造价，造价为每米1600元，仓库顶部按面积计算造价，造价为每平方米600元．在预算允许的范围内，仓库占地面积最大为（    ）． A．36平方米 B．48平方米 C．64平方米 D．72平方米 例19．（23-24高一上·重庆·阶段练习）为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张面积为的矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形），为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，设． (1)将四个宣传栏的总面积y表示为x的表达式，并写出x的范围； (2)为充分利用海报纸空间，应如何选择海报纸的尺寸（和分别为多少时），可使用宣传栏总面积最大？并求出此时宣传栏的最大面积． 1.（23-24高一上·北京·期中）如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为(图中阴影部分)，上下空白各宽2dm，左右空白各宽1dm，则四周空白部分面积的最小值是（    ）.    A．48 B．56 C．65 D．88 2.（24-25高一上·全国·课后作业）如图所示，将一矩形花坛扩建为一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知，当 时，矩形花坛的面积最小． 3.（23-24高一上·江苏徐州·期中）如图所示，为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为 (1)求关于的函数表达式 (2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少? 【解题方法总结】 1、理解题意，设出变量，建立函数模型，把实际问题抽象为函数的最值问题． 2、注意定义域，验证取得条件． 3、注意实际问题隐藏的条件，比如整数，单位换算等． 1．（24-25高一上·全国·课后作业）设且，则的最大值是（    ） A．400 B．100 C．40 D．20 2．（22-23高一上·山东青岛·期中）已知，，且；则下列结论正确的是（    ） A．xy的最小值是1 B．的最小值是2 C．的最小值是8 D．的最大值是 3．（22-23高三上·福建莆田·期中）已知，则以下不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C．3 D． 5．（23-24高三上·陕西榆林·阶段练习）已知，，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 6．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，且，则的最小值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 7．（2024高二下·湖南·学业考试）已知，，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 8．（2024·山西·三模）已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·广东茂名·期末）（多选题）下列说法正确的是（ ） A．若，，则的最大值为4 B．，，则的最小值是4 C．当时，有最大值 D．的最小值为 10．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则的最大值为 ，此时 ． 11．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知实数，且，则的最小值是 ． 12．（23-24高一上·安徽宿州·期中）最早发现勾股定理的人是我国西周时期的数学家商高.《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话.商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，径隅五.”意为：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为5.以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”，后来人们还把它推广到一般情况，即直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，这就是著名的勾股定理.据此，如果想用一段钢管加工一个面积为2平方米的直角三角形的框架，则这段钢管长度的最小值是 米. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3 基本不等式 【基本不等式(或)均值不等式】 知识点一：基本不等式 1.对公式及的理解. （1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”. 知识点二：基本不等式的证明 方法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形. 方法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，. 所以，（当且仅当时取等号“=”）. 知识点三：基本不等式的几何意义 如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、. 易证，那么，即. 这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立. 知识点诠释： 在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 知识点四：用基本不等式求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等. ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. 【基本不等式的变形与拓展】 1．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）． 2．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）； (3)若,则（当且仅当时取“=”）． 3．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）． 4．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）． 5．一个重要的不等式链：． 6．函数图象及性质 (1)函数图象如右图所示： (2)函数性质： ①值域：； ②单调递增区间：；单调递减区间：． 7.(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”； (2)求最值的条件“一正,二定,三相等”； (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 【解题方法总结】 1、几个重要的不等式 （1） （2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）． 特例：（同号）． （3）其他变形： ①（沟通两和与两平方和的不等关系式） ②（沟通两积与两平方和的不等关系式） ③（沟通两积与两和的不等关系式） ④重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 2、均值定理 已知． （1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”． （2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”． 3、常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号成立． 重难点题型1 基本不等式的简单应用 例1.（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）已知，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用基本不等式计算可得. 【详解】因为，所以（当且仅当，即时取等号）. 所以的最小值为. 故选：C 例2．（2010·湖北·一模）当时，的最小值为 ． 【答案】5 【分析】构造乘积为定值，应用基本不等式求出最小值即可. 【详解】因为, 则 ， 当时，的最小值为5. 故答案为：5. 1.（23-24高二上·云南昭通·阶段练习）已知，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】将表达式化简并利用基本不等式即可求得其最小值. 【详解】由易知， 当且仅当时，即时，等号成立； 即可得的最小值为. 故答案为： 2.（23-24高二下·云南玉溪·期末）若，使取得最小值时的值为 . 【答案】 【分析】利用基本不等式求出最小值及取最小值时的值. 【详解】因为， 所以， 当且仅当时取等号，即. 故答案为： 重难点题型2 利用基本不等式求最小值 例3.（2024高三·全国·专题练习）当时，的最小值为10，则 . 【答案】1 【分析】化为积为定值的形式后，利用基本不等式可求得结果. 【详解】当时，， 当时 “等号”成立，即，可得. 故答案为：1 例4.（25-26高一上·全国·课后作业）若，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．无最小值 【答案】C 【分析】将式子配凑成，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】若，则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为8． 故选：C． 例5.（2024年典韦杯暑期联考高三7月数学试题）若正实数满足，则的最小值为（    ） A．9 B．6 C．3 D．2 【答案】C 【分析】通过配凑，直接利用基本不等式即可求解. 【详解】由为正实数，且 则利用基本不等式可得： ， 当且仅当，即时等号成立. 因此的最小值为3. 故选：C. 1.（23-24高一下·广西柳州·期中）已知，，，则的最小值为（    ）． A．4 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】由于，，所以，当且仅当时取等号，故的最小值为. 故选：B 2.（24-25高一上·全国·课后作业）若正实数满足，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】利用消元法，消去，再利用基本不等式进行求解即可. 【详解】由为正实数，且，得， 则， 当且仅当，即时，取最小值9. 故选：C. 3.（23-24高二下·广西北海·期末）若正数x，y满足 则的最小值是（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据已知条件及基本不等式即可求解. 【详解】由题设及，可得 . 所以， 当且仅当，即时，等号成立，此时符合题意. 所以的最小值为4. 故选：C. 重难点题型3 利用基本不等式求最大值 例6．（23-24高一下·湖南邵阳·期末）函数的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】，，， 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最大值为， 故选：B. 例7．（23-24高三上·河南·阶段练习）若，且，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】直接使用基本不等式可得. 【详解】， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为： 例8．（23-24高一上·江西南昌·期中）正数满足，则的最大值为（    ） A．8 B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】将平方，再结合基本不等式的求解即可. 【详解】解：因为 当，即时，等号成立， 又因为， 所以，时，等号成立. 故选：D. 1.（22-23高一上·海南·期中）已知，代数式的最大值为（     ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式求得正确答案. 【详解】由于，所以， 所以， 当且仅当时等号成立. 故选：A 2.（2024·上海奉贤·三模）若，则有最大值为 ． 【答案】/0.25 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】因为，显然当时，取得最大值，所以， 当且仅当时等号成立，所以， 所以有最大值为. 故答案为：. 3.（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】整理，观察和为定值，利用基本不等式直接求解即可． 【详解】， 当且仅当， 即时等号成立， 故答案为：． 重难点题型4 与、平方和、有关问题的最值 例9．（23-24高一上·甘肃庆阳·期中）（多选题）已知a，b为正实数，且，，，则（    ） A．的最大值为4 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为2 【答案】BD 【分析】A.利用基本不等式判断；B.利用基本不等式结合“1”的代换判断；C.利用基本不等式结合“1”的代换判断；D.利用基本不等式判断. 【详解】对于A，因为，则，， 当且仅当时取“＝”，所以ab的最小值为4，A错误； 对于B，由，得，， 当且仅当，时取“＝”，B正确； 对于C，， 当且仅当时，取“＝”，C错误； 对于D，因为，所以， 则，当且仅当时，取“＝”，D正确. 故选：BD. 例10．（23-24高二下·云南曲靖·阶段练习）（多选题）已知正实数满足，下列说法正确的是（   ） A．的最小值为25 B．的最大值为20 C．的最小值为11 D．的最小值为1 【答案】AC 【分析】由基本不等式得，，解不等式判断选项AB；由，代入CD选项结合基本不等式判断. 【详解】正实数满足， 则有，即，解得， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为25，A选项正确； ，即， 解得，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为20，B选项错误； 由，得，为正实数，则， ， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为11，C选项正确； 由，得，， ， 当且仅当，即时等号成立，的最小值为，D选项错误. 故选：AC. 1.（2024高三·全国·专题练习）（多选题）若正实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值2 D．有最小值 【答案】ABD 【分析】由已知结合基本不等式一一判断计算可得． 【详解】正实数，满足，由基本不等式可得， 当且仅当时取等号，所以有最大值，故选项A正确； ， 当且仅当时取等号，所以有最大值，故选项B正确； ，当且仅当时取等号，所以有最小值4，故选项C错误； ， 当且仅当时取等号，所以有最小值，故选项D正确. 故选：ABD. 2.（23-24高一上·安徽合肥·阶段练习）（多选题）已知，且，则（   ） A．的最大值为 B．的最大值是 C．的最小值是8 D．的最小值是 【答案】AC 【分析】利用基本不等式判断AC；利用基本不等式“1”的妙用判断B，利用消元法与基本不等式判断D. 【详解】对于A，，所以，， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，， 当且仅当，即时，等号成立，故B错误； 对于C，，， 当且仅当且，即时，等号成立，故C正确； 对于D，由，得，由，得， ， 当且仅当，即时，等号成立， 此时，矛盾，故等号取不到，故错误， 故选：AC. 【点睛】易错点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 重难点题型5 不等式变形技巧：“1”的代换 例11．（23-24高一下·贵州六盘水·期中）已知，，且，则的最小值为 . 【答案】25 【分析】利用，结合基本不等式求解即可. 【详解】由得： ， 当且仅当时，等号成立. 故答案为：25 例12．（23-24高二下·浙江绍兴·期中）已知，，且，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】先变形：，再根据基本不等式求最值. 【详解】因为， 所以 当且仅当，即取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 例13．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】将变形为，代入，再通过常数代换和基本不等式可得. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为9. 故选：B 例14．（2024·河南南阳·一模）已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】利用条件转化得，将问题式化简结合基本不等式求最值. 【详解】由，且，可得.所以. 又因为， 当且仅当，即时取等号，所以. 故选：B. 11．（23-24高一上·广东河源·阶段练习）若正数，满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题可得，化简利用基本不等式即可得出结论． 【详解】正数，满足， ， 当且仅当即时取等号． 故答案为：． 12.（23-24高一下·云南曲靖·阶段练习）已知，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据分母特点，将化为，将化为.然后用基本不等式即可. 【详解】由于，因此， 则， 当且仅当时取等号． 故答案为：. 13.（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）设，且，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】由基本不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】，等号成立当且仅当， 所以的最小值为4. 故选：B. 14.（23-24高二下·辽宁·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】结合基本不等式，用“1的代换”即可求解. 【详解】，， 又， ， 当且仅当即，时等号成立. 故选：B． 【解题方法总结】 1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形． 1、根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法． 2、注意验证取得条件． 重难点题型6 不等式的证明技巧 例15．（24-25高一上·上海·期中）已知a、b、c、，证明下列不等式，并指出等号成立的条件： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析，当且仅当 (2)证明见解析，当且仅当 【分析】（1）利用作差法证明； （2）利用基本不等式证明； 【详解】（1）因为， ， ， 所以成立； 当且仅当时，等号成立； （2）， ． 所以． 当且仅当时，等号成立． 例16．（24-25高一上·上海·课后作业）（1）已知、都是正数，求证：； （2）已知，，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）对，，分别利用基本不等式，然后将得到的式子相乘可得结论； （2）对，，分别利用基本不等式，然后将得到的式子相加化简可得结论. 【详解】证明：（1）∵、都是正数， ∴，，， ∴， 当且仅当时，等号成立． （2）∵，，， ∴，，， ∴， 故，当且仅当， 即时等号成立． 1.（22-23高一上·江西南昌·阶段练习）已知正实数a，b，c满足. (1)求的最小值； (2)证明：， 【答案】(1)9 (2)证明见解析 【分析】（1）将等式等价变形，利用常值代换法构造基本不等式即可求其最小值，检验等号成立条件是否满足； （2）将左式利用条件凑项再重组，由基本不等式求其最小值即得. 【详解】（1）因为，所以， 由 ， 当且仅当时取等号， 即的最小值是9； （2）由 ， 当且仅当时取等号，故. 2.（23-24高三下·全国·阶段练习）已知. (1)若，求的最小值； (2)若，证明：. 【答案】(1)2 (2)证明见解析 【分析】 （1）变形得到，故，利用基本不等式求出最值； （2）变形后只需证，利用基本不等式“1”的妙用证明出结论. 【详解】（1）因为， 所以， 当时等号成立， 所以的最小值为2. （2）因为且， 要证， 即证， 即证， 整理得， 所以即证， 而 ，等号在时成立， 所以成立. 【解题方法总结】 类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得证明． 重难点题型7 均值不等式在实际问题中的应用 例17．（23-24高一上·湖北·期末）两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降（假设第一次价格为，第二次价格为）可以用两种不同的策略，第一种是每次购买这种物品数量一定;第二种是每次购买这种物品所花的钱数一定，哪种购物方式比较经济（    ） A．第一种 B．第二种 C．都一样 D．不确定 【答案】B 【分析】根据基本不等式求得正确答案. 【详解】依题意，为正数，且， 第一种方式购买的平均价格为， 第二种方式，设每次购买的花费为， 则购买的平均价格为， 由基本不等式得， 所以选第二种方式比较经济. 故选：B 例18．（22-23高一上·江苏常州·期末）某工厂利用不超过64000元的预算资金拟建一长方体状的仓库，为节省成本，仓库依墙角而建（即仓库有两个相邻的侧面为墙面，无需材料），由于要求该仓库高度恒定，不靠墙的两个侧面按照其底边的长度来计算造价，造价为每米1600元，仓库顶部按面积计算造价，造价为每平方米600元．在预算允许的范围内，仓库占地面积最大为（    ）． A．36平方米 B．48平方米 C．64平方米 D．72平方米 【答案】C 【分析】设不靠墙的两个侧面的长度分别为，由题有，利用基本不等式可得答案. 【详解】设不靠墙的两个侧面的长度分别为，由题有 . 令，则 ，即，当且仅当时取等号. 故选：C 例19．（23-24高一上·重庆·阶段练习）为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张面积为的矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形），为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，设． (1)将四个宣传栏的总面积y表示为x的表达式，并写出x的范围； (2)为充分利用海报纸空间，应如何选择海报纸的尺寸（和分别为多少时），可使用宣传栏总面积最大？并求出此时宣传栏的最大面积． 【答案】(1) (2)AD=120cm，， 【分析】（1）根据题意列出总面积y表示为x的表达式即可. （2）根据（1）利用基本不等式求可使用宣传栏总面积最大时和的值. 【详解】（1）根据题意，矩形海报纸面积为， 所以， 又因为海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为， 所以四个宣传栏的总面积， 其中所以. 即. （2）由（1）知， 则 ，当且仅当时取等号， 则，当且仅当时取等号， 即,时， 可使用宣传栏总面积最大为. 1.（23-24高一上·北京·期中）如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为(图中阴影部分)，上下空白各宽2dm，左右空白各宽1dm，则四周空白部分面积的最小值是（    ）.    A．48 B．56 C．65 D．88 【答案】B 【分析】先求得空白部分面积的表达式，然后利用基本不等式求得正确答案. 【详解】设阴影部分的长为，宽为，为正实数，且， 则空白部分的面积为 ， 当且仅当时等号成立. 故选：B 2.（24-25高一上·全国·课后作业）如图所示，将一矩形花坛扩建为一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知，当 时，矩形花坛的面积最小． 【答案】4 【分析】设，由∥，列比例式可求得，从而可表示出的面积，化简后利用基本不等式可求得其最小值，从而可求得答案. 【详解】设，因为∥， 所以，所以，解得, 所以矩形的面积为 ， 当且仅当，即时等号成立． 故当时，矩形花坛的面积最小． 故答案为：4 3.（23-24高一上·江苏徐州·期中）如图所示，为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为 (1)求关于的函数表达式 (2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少? 【答案】(1) (2)海报长，宽时，用纸量最少. 【分析】（1）表示出矩形宣传栏的长和宽，然后根据面积公式可得； （2）由（1）可得，然后利用基本不等式将（1）中等式转化为关于的一元二次不等式即可求解. 【详解】（1）由题知，两个矩形宣传栏的长为，宽为， 所以有， 整理得. （2）由（1）知，即， 因为，所以由基本不等式可得， 令，则，解得（舍去）或. 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以海报长，宽时，用纸量最少，最少用纸量为. 【解题方法总结】 1、理解题意，设出变量，建立函数模型，把实际问题抽象为函数的最值问题． 2、注意定义域，验证取得条件． 3、注意实际问题隐藏的条件，比如整数，单位换算等． 1．（24-25高一上·全国·课后作业）设且，则的最大值是（    ） A．400 B．100 C．40 D．20 【答案】A 【分析】直接用基本不等式求解即可. 【详解】因为 所以 即 所以 当且仅当且，即时等号成立. 故选：A 2．（22-23高一上·山东青岛·期中）已知，，且；则下列结论正确的是（    ） A．xy的最小值是1 B．的最小值是2 C．的最小值是8 D．的最大值是 【答案】B 【分析】利用基本不等式得、分别求、的最值，注意取等条件；由题设有且代入、，结合基本不等式求最值，注意取等条件. 【详解】由，当且仅当时等号成立， 即，又，，故，仅当时等号成立， 所以，故xy的最大值是1，A错误； 由，当且仅当时等号成立， 所以，即，又，， 则，仅当时等号成立，故的最小值是2，B正确； 由，，，可得，且， 所以， 当且仅当，即、时等号成立，故，C错误； 同上，， 当且仅当，即、时等号成立，故，D错误； 故选：B 3．（22-23高三上·福建莆田·期中）已知，则以下不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】A选项，由求出； B选项，对因式分解，结合基本不等式进行求解，得到； C选项，由基本不等式“1”的妙用求解得到， D选项，变形使用基本不等式进行求解. 【详解】因为，所以， 故，当且仅当时，等号成立，A错误； ，因为， 由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立， 故，B错误； 因为， 所以， 当且仅当时，等号成立， 故，C错误； 因为， 所以 因为，所以，故， 所以，当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：D 4．（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C．3 D． 【答案】C 【分析】利用“”的代换，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】， 当且仅当时取等号． 故选:C． 5．（23-24高三上·陕西榆林·阶段练习）已知，，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】先得出，再利用基本不等式求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以，所以， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：C. 6．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，且，则的最小值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【分析】应用常值代换结合基本不等式求出最小值即可. 【详解】因为,且, 所以, 当且仅当,即时取等号，因此的最小值为6． 故选：B. 7．（2024高二下·湖南·学业考试）已知，，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据“1”的变形技巧，利用均值不等式求最值即可得解. 【详解】因为，， 所以，即， 所以 ，当且仅当，即时等号成立， 故. 故选：C 8．（2024·山西·三模）已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分析可知，利用基本不等式运算求解. 【详解】因为正实数x，y满足，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 9．（23-24高二上·广东茂名·期末）（多选题）下列说法正确的是（ ） A．若，，则的最大值为4 B．，，则的最小值是4 C．当时，有最大值 D．的最小值为 【答案】BD 【分析】根据基本不等式及对勾函数的性质计算一一判定选项即可. 【详解】对于A，由题意及基本不等式可知：， 当且仅当时取得等号，故A错误； 对于B，由题意及基本不等式可知：， 当且仅当时取得等号，故B正确； 对于C，由题意及基本不等式可知：， 当且仅当，即时取得等号，故C错误； 对于D，易知，令， 则，根据对勾函数的单调性知时函数单调递增， 所以，当即时取得等号，故D正确. 故选：BD 10．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则的最大值为 ，此时 ． 【答案】 /0.25 /0.5 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】， ， ， 当且仅当，即时取等号. 即当时取得最大值为. 故答案为：；. 11．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知实数，且，则的最小值是 ． 【答案】24 【分析】变形后，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值 【详解】因为，且， 所以， 所以 ， 当且仅当，即，时等号成立， 故答案为： 12．（23-24高一上·安徽宿州·期中）最早发现勾股定理的人是我国西周时期的数学家商高.《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话.商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，径隅五.”意为：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为5.以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”，后来人们还把它推广到一般情况，即直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，这就是著名的勾股定理.据此，如果想用一段钢管加工一个面积为2平方米的直角三角形的框架，则这段钢管长度的最小值是 米. 【答案】 【分析】利用基本不等式、勾股定理求得正确答案. 【详解】设直角三角形框架的直角边为，为正实数， 则， 所以， 当且仅当时等号成立. 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$