专题08 函数与方程（九大重难点题型）-【课后优辅导】2024年秋季高一数学上学期精品讲义（人教A版2019）

专题08 函数与方程 考点一、函数的零点 1.对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数解，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标．注意：函数的零点不是一个点，而是f(x)＝0的实数解． 2.方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点． 3.如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的解． 注意：(1)函数y＝f(x)在(a，b)内有零点，f(a)·f(b)＜0不一定成立． 4.若连续不断的曲线y＝f(x)在区间[a，b]上有f(a)·f(b)＜0，y＝f(x)在(a，b)内一定有零点，但不能确定有几个． 考点二、二分法 1.对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 2.二分法求方程近似解的步骤 给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下： (1)、确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)＜0. (2)、求区间(a，b)的中点C． (3)、计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： ①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； ②若f(a)f(c)＜0(此时x0∈ (a，c))，则令b＝c； ③若f(c)f(b)＜0(此时x0∈(c，b))，则令a＝C． (4)、判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)． 考点三、函数模型 1.函数模型应用的两个方面 (1)、利用已知函数模型解决问题． (2)、建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测． 2.用函数模型解决实际问题的步骤 (1)、审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型． (2)、建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型． (3)、求模：求解函数模型，得到数学结论． (4)、还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中． 可将这些步骤用框图表示如下： 3.数据拟合 (1)、定义：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合． (2、数据拟合的步骤 ①以所给数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中绘出各点； ②依据点的整体特征，猜测这些点所满足的函数形式，设其一般形式； ③取特殊数据代入，求出函数的具体解析式； ④做必要的检验 重难点题型突破1 一次函数或二次函数模型 例1.（23-24高一上·湖南邵阳·期末）如图，点P在边长为1的正方形边上运动，M是CD的中点，当点P沿运动时，点P经过的路程x与的面积y的函数的图象的形状大致是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值 【分析】先分点P在AB上时，点P在BC上时，点P在CD上时求得函数，再利用函数的性质来判断． 【详解】点P在AB上时,； 点P在BC上时， ； 点P在CD上时，； 所以 画出分段函数的大致图象，如图所示． 故选：A． 例2.（2022·重庆·模拟预测）我国的酒驾标准是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于，已知一驾驶员某次饮酒后体内每血液中的酒精含量（单位：）与时间（单位：）的关系是：当时，；当时，，那么该驾驶员在饮酒后至少要经过 才可驾车. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】分段函数模型的应用 【分析】根据二次函数的单调性和反比例函数的单调性进行求解即可. 【详解】当时，， 当时，函数有最大值，所以当时，饮酒后体内每血液中的酒精含量小于， 当当时，函数单调递减，令，因此饮酒后小时体内每血液中的酒精含量等于， 故答案为： 【变式训练1】、（22-23高一上·全国·课后作业）一天，小明从家出发匀速步行去学校上学．几分钟后，在家休假的爸爸发现小明忘带数学书，于是爸爸立即匀速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速原路跑回家．小明拿到书后以原速的快步赶往学校，并在从家出发后23分钟到校（小明被爸爸追上时交流时间忽略不计）．两人之间相距的路程y（米）与小明从家出发到学校的步行时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则小明家到学校的路程为 米．    【答案】2080 【难度】0.65 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、建立拟合函数模型解决实际问题 【分析】设小明原速度为x每分钟，则拿到书后的速度为1.25x米/分钟，家校距离为．设爸爸行进速度为y米/分钟，由题意及图形得方程组，求出x、y的值即可解答． 【详解】解：设小明原速度为x（米/分钟），则拿到书后的速度为1.25x（米/分钟），则家校距离为 ， 设爸爸行进速度为y（米/分钟），由题意及图形得：， 解得： ∴小明家到学校的路程为：（米）. 故答案为：2080． 【变式训练2】．（24-25高一上·吉林白城·期中）已知甲地下停车库的收费标准如下：（1）停车不超过1小时免费；（2）超过1小时且不超过3小时，收费5元；（3）超过3小时且不超过6小时，收费10元；（4）超过6小时且不超过9小时，收费15元；（5）超过9小时且不超过12小时，收费18元；（6）超过12小时且不超过24小时，收费24元．小林在2024年10月7日10：22将车停入甲车库，若他在当天18：30将车开出车库，则他需交的停车费为 ．乙地下停车库的收费标准如下：每小时2元，不到1小时按1小时计费．若小林将车停入乙车库（停车时长不超过24小时），要使得车停在乙车库比甲车库更优惠，则小林停车时长的最大值为 ． 【答案】 15 7 【难度】0.94 【知识点】分段函数模型的应用 【分析】根据分段函数的知识解题即可. 【详解】小林在2024年10月7日10：22将车停入甲车库，在当天18：30将车开出车库， 则停车时长为8小时8分钟，满足超过6小时且不超过9小时，所以需交停车费15元； 设小林的停车时长为小时，则在乙车库需交停车费为元， 根据题意知当停车时长超过9小时后，乙车库停车比甲车库停车更贵， 当停车时长超过6小时且不超过9小时，要使得乙车库停车比甲车库停车更优惠， 则，解得， 所以小林的停车时长最大值为7小时. 故答案为：15；7. 重难点题型突破2 指数或幂函数模型 例3．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知某种污染物的浓度C（单位：摩尔/升）与时间t（单位：天）的关系满足指数模型，其中是初始浓度（即时该污染物的浓度），k是常数.第2天（即）测得该污染物的浓度为5摩尔/升，第4天测得该污染物的浓度为15摩尔/升，若第n天测得该污染物的浓度变为，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】对数的运算、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】根据题意，将点代入函数模型，求出的值，从而可求解. 【详解】由题意可得则，解得. 因为，即， 所以，所以，解得. 故答案为：. 例4．（24-25高三上·安徽·阶段练习）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：与时间（单位：h）之间的关系式为，其中为初始污染物含量，均为正的常数，已知过滤前后废气的体积相等，且在前4h过滤掉了的污染物．如果废气中污染物的含量不超过时达到排放标准，那么该工厂产生的废气要达到排放标准，至少需要过滤的时间为（   ） A．4h B．6h C．8h D．12h 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】对数的运算、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】根据给定条件求出值，再由废气中的污染物含量不超过的列出不等式求解即得. 【详解】依题意得，当时，， 当时，，则， 可得，即，所以， 当时，解得， 故至少需要过滤8h才能达到排放标准． 故选：C. 【变式训练3】．（24-25高三上·北京丰台·期中）霉菌有着很强的繁殖能力，主要依靠孢子进行繁殖.已知某种霉菌的数量与其繁殖时间（天）满足关系式：.若繁殖5天后，这种霉菌的数量为20，10天后数量为40，则要使数量达到200大约需要（ ）（，结果四舍五入取整） A．20天 B．21天 C．22天 D．23天 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、指数式与对数式的互化、运用换底公式化简计算 【分析】利用待定系数求出参数，再求解自变量t的值，利用对数运算即可求得结果. 【详解】由题可得：，两式相除可得，即， 设繁殖天后数量达到200， 则，又，则， ∴，则，即， ∴， ∴， 则要使数量达到200大约需要22天. 故选：C. 【变式训练4】．（21-22高一上·浙江·阶段练习）如图，在中，于D，，矩形的顶点E与A点重合，，将矩形沿AB平移，当点E与点B重合时，停止平移，设点E平移的距离为x，矩形与重合部分的面积为y，则y关于x 的函数图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【难度】0.65 【知识点】分段函数模型的应用 【分析】分类讨论重合部分的形状，然后利用面积公式将y关于x 的函数表示出来即可. 【详解】于D，， ,, 且 故当时，重合部分为三角形， 三角形的高， 面积，函数图像为开口向上的二次函数，故排除A选项； 当时，重合部分为直角梯形， 上底长为， 下底长为，高为4， 故， 函数图像为一条直线，故排除D选项； 当时，重合部分可以看作两个直角梯形， 左边直角梯形的上底长为， 高为 两个梯形下底长均为， 右边直角梯形上底长为， 高为， 故， 图像为开口下的二次函数，且对称轴为，故排除B选项； 故选：C 重难点题型突破3 对数函数模型 例5．（24-25高三上·北京顺义·阶段练习）把液体A放在冷空气中冷却，如果液体A原来的温度是℃，空气的温度是℃，则tmin后液体A的温度℃可由公式求得.现把温度是60℃的液体A放在13℃的空气中冷却，液体A的温度冷却到37℃和25℃所用的时间分别为min，min，则的值约为（   ）（参考数据：，） A．2.3 B．2.7 C．3.7 D．4.7 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】指数函数模型的应用（2）、对数的运算性质的应用、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】根据题目给的温度公式，代入计算即可. 【详解】由已知，， 所以，， 所以. 故选：A 例6．（22-23高一上·江苏扬州·阶段练习）恩格尔系数，国际上常用恩格尔系数来衡量一个地区家庭的富裕程度，恩格尔系数越低，人民生活越富裕. 某地区家庭2021年底恩格尔系数为50%，刚达到小康，预计从2022年起该地区家庭每年消费支出总额增加30%，食品消费支出总额增加20%，依据以上数据，预计该地区家庭恩格尔系数η满足达到富裕水平，至少经过（   ）年（参考数据：) A．3年 B．4年 C．5年 D．6年 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】对数的运算性质的应用、指数函数模型的应用（2）、指数式与对数式的互化 【分析】设经过年达到富裕水平，有，结合指对数互化及对数运算性质求结果. 【详解】设经过年达到富裕水平，则有， 两边取对数，得年， 所以，至少要经过4年，该地区家庭恩格尔系数满足达到富裕水平. 故选：B 【变式训练5】（23-24高一上·河北唐山·期中）牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间分钟后的温度满足，称为半衰期，其中是环境温度．若℃，现有一杯℃的热水降至℃大约用时1分钟，那么水温从℃降至45℃，大约还需要（   ）（参考数据：） A．11分钟 B．10分钟 C．9分钟 D．8分钟 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】指数函数模型的应用（2）、指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】根据已知条件可得，再设水温从℃降至45℃，需要的时间为分钟，可得关于的方程，利用对数的运算性质及换底公式，即可求解. 【详解】有题意知℃，因为一杯℃的热水降至℃大约用时1分钟， 所以，即； 设水温从℃降至45℃，需要的时间为分钟， 所以，即， 所以， 所以， 所以水温从℃降至45℃，大约还需要10分钟. 故选：B. 【变式训练6】．（2022高二下·浙江宁波·学业考试）某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元．根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用N（单位：万元）与隔热层的厚度h（单位：厘米）满足关系：．经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元．设为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，那么使达到最小值的隔热层的厚度h＝ 厘米． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】根据题意可得函数，利用基本不等式求解. 【详解】由题意及，可得，即， ∴． 隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和（万元）， 当且仅当，即（厘米）时达到最小值． 故答案为: . 重难点题型突破4 二分法求函数零点所在区间 例7．（24-25高一上·全国·课前预习）用二分法求函数的一个零点的近似值，其参考数据如下： x 0.0625 0.09375 0.125 0.15625 0.1875 -0.4567 -0.1809 0.0978 0.3797 0.6647 根据上述数据，可得的一个零点近似值（误差不超过0.025）为（    ） A．0.09375 B．0.109375 C．0.125 D．0.078125 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】二分法求函数零点的过程、二分法求方程近似解的过程 【分析】根据二分法的性质即可求解. 【详解】已知，，则函数的零点的初始区间为[0.09375，0.125]， 所以零点在区间[0.09375,0.125]上，， 所以可以作为的一个零点近似值， 故选：B 例8．（22-23高一上·福建泉州·期末）某同学在用二分法研究函数的零点时，．得到如下函数值的参考数据： x 1 1.25 1.375 1.40625 1.4375 1.5 0.0567 0.1460 0.3284 则下列说法正确的是（    ） A．1.25是满足精确度为0.1的近似值 B．1.5是满足精确度为0.1的近似值 C．1.4375是满足精确度为0.05的近似值 D．1.375是满足精确度为0.05的近似值 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】二分法求函数零点的过程 【分析】根据二分法基本原理判断即可. 【详解】因为， 且，故AB错误； 因为，，且，故D正确； 因为，且故C错误； 故选:D 【变式训练7】．（22-23高一下·重庆永川·开学考试）已知函数的部分函数值如下表所示：那么函数的一个零点的近似值（精确度为0.1）为（    ） x 1 0.5 0.75 0.625 0.5625 0.6321 0.2776 0.0897 A．0.55 B．0.57 C．0.65 D．0.7 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】二分法求方程近似解的过程、复合函数的单调性 【分析】根据函数的单调性及表格得，从而可求解. 【详解】易知在上单调递增， 由表格得，且， ∴函数零点在， ∴一个近似值为0.57． 故选:B． 【变式训练8】．（2023·宁夏银川·三模）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】零点存在性定理的应用、根据零点所在的区间求参数范围、解不含参数的一元二次不等式 【分析】由函数的单调性，根据零点存在性定理可得. 【详解】若函数在区间上存在零点， 由函数在的图象连续不断，且为增函数， 则根据零点存在定理可知，只需满足， 即， 解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 重难点题型突破5 求函数零点的个数与方程的解个数 例9．（23-24高三上·河北沧州·期末）直线与曲线的公共点的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】求函数零点或方程根的个数 【分析】将直线与曲线的公共点的个数转化为两个函数图象交点的个数问题，作出图象求解即可. 【详解】直线与曲线的公共点的个数， 转化为函数的零点的个数， 所以转化为函数与图象交点的个数. ，， 所以，使得， 又，所以，使得. 所以在同一平面直角坐标系中作出两函数的图象，如图所示：    由图可知函数与图象有个交点， 故直线与曲线的公共点的个数为. 故选：C. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 例10．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）已知函数，则函数的所有零点构成的集合为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求函数的零点、求函数零点或方程根的个数、分段函数的性质及应用 【分析】根据复合函数与分段函数的性质化简方程，分别解方程即可. 【详解】因为函数 所以等价于或, 求解可得，， 即或或或， 求解可得，， 故答案为：. 【变式训练9】．（2024·北京·模拟预测）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．2 B．0 C．3 D．无穷 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求函数零点或方程根的个数 【分析】根据函数表达式确定函数在（）上是增函数且，零点个数转化为函数与的图象交点个数，作出它们的大致图象后，观察可得交点个数，从而得结论． 【详解】由，得在区间上的函数值都是区间上相应函数值的一半，， 又时，是增函数，即， 所以，因此时，， 令，它在上是减函数，，，， 当时，， 作出和在上图象，如图，由图可知： 在时，的图象与的图象没有交点，所以在上，它们只有两个交点， 所以的零点个数为2. 故选：A． 【变式训练10】．（24-25高三上·甘肃兰州·阶段练习）函数的零点个数为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数、函数与方程的综合应用 【分析】根据函数零点个数与其对应方程的根、函数图象的交点个数之间的关系，结合函数和的图象，利用数形结合的思想即可求解. 【详解】函数的定义域为，由得， 函数的零点即方程的根， 作出函数和的图象，如图， 由图可知在上有个交点，故函数在上有个零点． 故答案为：. 重难点题型突破6 根据零点个数或零点所在区间，求参数的范围 例11．（23-24高一上·安徽亳州·期末）若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据零点所在的区间求参数范围 【分析】判断函数单调性再结合零点存在定理求解. 【详解】因为在上均为增函数， 所以函数在区间上为增函数，且函数图象连续不间断， 故若在区间上存在零点，则 解得． 故常数a的取值范围为． 故答案为： 例12．（22-23高三·全国·对口高考）方程在区间上有解，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据零点所在的区间求参数范围 【分析】根据在区间端点的正负列式求解即可. 【详解】考查，因为，且开口向上， 故在区间上最多有一个零点，结合零点存在性定理可得，若方程在区间上有解， 则，即，解得. 故答案为： 例13．（24-25高一上·辽宁·期中）已知函数至少有一个零点在区间内，求实数m的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据零点所在的区间求参数范围 【分析】根据判别式、零点存在性定理、二次函数的性质等知识确定正确答案. 【详解】对于函数， ， 当，即时，没有零点，不符合题意. 当，即或时， 当时，，零点为， ，符合题意. 当时，，零点为， ，不符合题意. 当，即或时，有两个不相等的零点， 至少有一个零点在区间内， 则需或， 解得，， 另外若， 则，零点为或，不符合题意. 若， 则，零点为或， ，符合题意. 综上所述，的取值范围是：. 故选：C 【变式训练11】．（2023高三·全国·专题练习）函数在区间内有零点，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据零点所在的区间求参数范围、利用函数单调性求最值或值域、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据题意将问题转化为与，的图象有交点，再由在上递增，可求得结果. 【详解】令，则，即， 即与，的图象有交点， 因为和在上递增，所以在上递增， 所以，即， 所以， 即实数k的取值范围是， 故答案为： 【变式训练12】．（21-22高一上·全国·课后作业）若函数的零点在区间(1,+∞)上，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】根据零点所在的区间求参数范围、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据函数的单调性结合条件即得. 【详解】由题可知函数在定义域上单调递增， 又函数的零点在区间(1,+∞)上， ∴，即. 故答案为：. 【变式训练13】．（2024·四川巴中·一模）若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值集合为（    ） A． B．或. C． D．或. 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据零点所在的区间求参数范围、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】根据题意，分和，结合二次函数的性质，以及零点存在性定理，列出不等式，即可求解. 由函数， 【详解】由函数， 若，可得，令，即，解得，符合题意； 若，令，即，可得， 当时，即，解得，此时，解得，符合题意； 当时，即且，则满足， 解得且， 若，可得，令，即， 解得或，其中，符合题意； 若，可得，令，即， 解得或，其中，符合题意； 综上可得，实数的取值范围为或. 故选：D. 重难点题型突破7 “自我嵌套”函数的零点问题 例14．（22-23高三上·河南安阳·阶段练习）已知函数，若函数有5个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】对值进行讨论，可得到只有有五个根，再根据最小值大于取值可求得. 【详解】①当时，， 若有或， 有或，得或或1； 只有三个根，所以不符合. ②当时，若，有， 若函数有三个零点必有或， 有或，得或或1； 只有三个根，也不符合. ③当时，若必有或或 可得或或， 函数有三个零点，分别为或或， 至少一根， 至少一个根，又因有五个根 所以有一个根，有一个根， 又因， 令 由函数的草图有，解得． 综上知实数的取值范围为． 故选：C 【点睛】 例15．（23-24高一上·湖南永州·期末）已知函数，若方程有5个不同的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、分段函数的性质及应用、对数函数图象的应用、指数函数图像应用 【分析】根据分段函数解析式，结合指对数函数性质画出函数大致图象，令并讨论判断对应方程根的个数，再由有5个不同的实数解，讨论范围，结合对应的分布确定根的个数，即可得范围. 【详解】由解析式得函数大致图象如下，由，令，可得或， 令，当或时有1个解；当或时有2个解； 当时有3个解；当时无解； 要使有5个不同的实数解， 若，则，此时方程有1解； 若，则有2个解，有1解，此时方程共有3个解； 若，则有1个解，有3解，有1解， 此时方程共有5个解； 若，则有1个解，有3解，有2解， 此时方程共有6个解； 若，则有1个解，有3解，有3解， 此时方程共有7个解； 若，则有3个解，有3个解，此时方程共有6个解； 若，则有3个解，此时方程共有3个解； 若，没有对应，此时方程无解； 综上，. 故选：B 【点睛】关键点点睛：根据函数图象研究对应根的个数，再数形结合讨论范围研究根的个数. 【变式训练14】．（23-24高二下·云南·阶段练习）设，函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】指数函数图像应用、根据函数零点的个数求参数范围、画出具体函数图象 【分析】令，先考虑时，函数在上有2个零点，再考虑，分与两种情况，结合函数图象，得到不等式，求出答案. 【详解】设，当时，，此时， 由得，即，解得或， 所以在上有2个零点， 时，若，对称轴为， 函数的大致图象如下： 此时，即，则， 所以无解，则无零点，无零点， 综上，此时只有两个零点，不符合题意， 若，此时的大致图象如下： 令，解得， 显然令在上存在唯一负解， 要使恰有3个零点， 只需在上除或外不能再有其他解， 即不能再有除或外的其他解， 故，即，解得， 所以. 故选：D 【点睛】思路点睛：复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数. 【变式训练15】．（24-25高二上·湖南邵阳·开学考试）已知函数，若函数，当恰有3个零点时，求的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】作出函数的图象，由题意，由图得或，即或，从而转化为与及的交点个数问题，从而依次讨论即可求解. 【详解】如图，作出函数的图象， 令，即， 由图可知，或， 则或， 当，函数无解； 当或，函数只有一个解； 当或，函数有两个解； 当，函数有三个解； 当恰有3个零点时， 或或 或或或 或或或或， 解得. 故答案为：. 重难点题型突破8 与其它函数“嵌套”函数的零点问题 例16．（23-24高三下·陕西西安·期中）对任意的实数x，记函数（表示m，n中的较小者）．若方程恰有5个不同的实根，则实数t的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围、画出具体函数图象、函数新定义 【分析】依题意，设，即或恰有5个不同的实根，画出的图像，由图像可得结果. 【详解】因为，所以或恰有5个不同的实根． 设，即或恰有5个不同的实根． 设，，，的大致图象如图： 所以的图像如下图：可知有3个不同的零点， 所以方程需有2个不同的实根，所以或，所以或． 故答案为：. 【点睛】方法点睛：涉及给定函数零点（或方程根）个数求参数范围问题，可以通过分离参数，等价转化为直线与函数图象交点个数，通过数形结合解答. 例17．（24-25高一上·湖南邵阳·开学考试）已知函数，若关于的方程有8个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、分段函数的性质及应用、函数奇偶性的应用 【分析】首先判断为偶函数，可得，令，则可作出的图象，结合图象以及方程有8个不同的实数根的条件可求答案. 【详解】因为函数的定义域为， ， 所以为偶函数，当时， 令，则可作出的图象： 关于的方程有8个不同的实数根， 方程在区间内有两个不相等的实数根. 令，则. ， 故选：A. 【变式训练17】．（23-24高二下·山西吕梁·期末）已知函数若关于的方程有个不等的实根，且，则下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，的取值范围为 C．当时， D．当时，的取值范围为 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用、分段函数的性质及应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】令，求出方程的两根，数形结合可判断A选项；根据零点个数得出关于的不等式组，求出的范围，可判断BD选项；利用二次函数的对称性与对数运算可判断C选项. 【详解】令，则，， A.当时，，，由有解，有4解，故，A错； B.当时，则方程、各有一解， 当时，，当且仅当时，等号成立， 由图可得，解得，B错； C.当时，如下图所示： 由图象可知，点、关于直线对称，则， 由图可知，，，由可得，所以，， 则，因此，，C对； D.当时，有两种情况：或， 从而可得的范围为，D错. 故选：C. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 【变式训练18】．（22-23高一上·天津·期末）已知函数，若函数有9个不同的零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】令，则或，先作出函数的图象，即可得出方程和方程实根的个数，进而可得出方程实根的个数，再结合函数的图象即可得解. 【详解】因为函数有9个不同的零点， 所以方程有9个不同的实根， ， 令，则或， ， 如图，作出函数的图象，    由图可知，方程有个不同的实根， 方程有个不同的实根， 因为所以方程有个不同的实根， 如图，作出函数的图象，    由图可知. 故选：B. 【点睛】方法点睛：已知函数零点（方程的根）的个数求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 重难点题型突破9 “等高线”问题 例19．（23-24高一上·辽宁·期末）已知函数.若方程有三个不等的实数解且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】根据零点求函数解析式中的参数、基本不等式求积的最大值 【分析】画出的大致图象，根据图象对选项进行分析，结合基本不等式求得正确答案. 【详解】画出的大致图象如图所示. 若方程有三个不等的实数解，根据图象可得，且. 令，得；令，得， 则，， ， 当且仅当时，等号成立，因为，所以. 所以BCD选项正确，A选项错误. 故选：BCD 【点睛】求解函数的零点、方程的根等问题，可以考虑利用图象法来进行求解.分段函数的性质的研究，可以通过函数的图象来进行.画出函数的图象后，可以结合函数的对称性、基本不等式等知识来对问题进行求解. 例20．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数，是函数的4个零点，且，给出以下结论：①m的取值范围是；②；③的最小值是4；④的最大值是.其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、基本不等式求和的最小值、对数的运算性质的应用 【分析】作出的图象，结合图象判断①；对方程化简计算判断②；由对数的运算性质得出，利用基本不等式判断③④. 【详解】作出函数的图象如下图所示： 因为是函数的4个零点， 所以直线与函数的图象有四个交点，且， 结合图象可知：，故①错误； 对于②，由图可知，，则，所以， ，则，所以， 所以，所以，故②错误； 对于③，当时，或， 结合图象可知，，由得， 即，所以，所以， 当且仅当，即时，等号成立，显然不满足， 所以，故③错误； 对于④，因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即的最大值是，故④正确. 综上，正确结论为④，共1个. 故选：A. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 例21．（23-24高一上·山东滨州·期末）已知函数若存在实数，使得方程有4个不同的实数根，且.则的取值范围为 ，的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用 【分析】结合函数图像，即可求出的取值范围；利用，将表示成关于的表达式，借助，利用单调性即可解决. 【详解】画出函数的图象如图所示： 要使得方程有4个不同的实数根， 只需有4个不同的实数根，即的图象有四个交点， 结合图象可知：. 因为，所以， 所以， 即， 所以，即， 而是的两根，即， 因为，满足所以， ， 令，因为，则在单调递增， 所以，故. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 【变式训练19】．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知函数，若函数有四个不同的零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】对数函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围、利用函数单调性求最值或值域 【分析】将的零点转化为和的交点，画出图象，根据对称性以及对数函数的知识求得、，再利用换元法，结合函数的单调性求得正确答案. 【详解】有四个不同的零点， 即和有四个交点，它们的横坐标分别为， 画出函数和的图象， 根据图象可知和是和的交点横坐标， 即方程的两根， 所以是和的交点横坐标， 是和的交点横坐标，故有，得到， 由，可得，令， 令，则在上单调递减，所以， 故，即所求式子的取值范围是. 故选：D    【点睛】方法点睛：本题考查了两个函数的图象与性质，第一个函数是二次函数，图象具有对称性；第二个函数是含有绝对值的对数函数.熟练掌握这两类函数的图象与性质是解题的关键.函数零点的问题，可以转化为两个函数交点问题来进行研究. 【变式训练20】．（24-25高二上·云南大理·阶段练习）已知函数，方程 有四个不同根、、、，且满足，则的取值范围是 ，的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、根据指对幂函数零点的分布求参数范围 【分析】做出函数大致图象，数形结合可得出实数的取值范围，由对称性得、关系，对数函数的性质的、的关系， 从而化简代数式，由双勾函数的定义域得出取值范围. 【详解】作出函数与的图象如下图所示， 由题意可知，直线与函数的图象有个交点， 由图可知，， 因为二次函数的对称轴方程为， 由图象可得，则， 由及图象可得， 由于，则，则，所以，， 从而得，且，从而得， 所以，， 令，因为，则， 令，则，， 则在单调递增，则， 故的取值范围是. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 【变式训练21】．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知，若方程有四个根，且，则的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围、根据指对幂函数零点的分布求参数范围 【分析】作出函数和函数的图象，将方程根的问题，转化为图象交点问题，进而得出与，与的关系，从而得出结果. 【详解】因为方程有四个根， 故函数的图象与函数的图象有四个交点， 它们的横坐标分别为，如图所示， 当时，，且，故， 当时，，且，所以，解得， 因为函数的图象与函数的图象有四个交点， 由图可得，，故， 所以， 令，，在单调递增， 所以，， 故 的取值范围是. 故答案为：. 1．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知的零点在区间，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】根据零点所在的区间求参数范围 【分析】利用零点存在性定理判断即可. 【详解】由题意可知，在上单调递增， 因为，， 则零点在区间上，可得. 故选：C. 26．（23-24高一上·福建三明·阶段练习）已知函数若关于的方程恰有个不同的实数根,则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】函数与方程的综合应用 【分析】根据分段函数的解析式,作出函数图像,令结合图像可得当取不同值时方程的个数,结合二次函数零点的分布求解. 【详解】根据作出的大致图像,如下图所示.    令,由图知当时,方程有两个根,分别为； 当时,方程有个根； 当时,方程有个根； 当时,方程有个根. 要使得方程恰有个不同的实数根,则有个不同的实数根,显然,不满足方程,舍去； 设的两个根分别为且 故当时满足题意,则得 当时满足题意,则得 综上所述,实数的取值范围是. 故选：. 【点睛】本题考查函数的零点与方程的关系,转化,数形结合的思想方法,属中档题. 3．（23-24高一上·山西晋中·期末）已知函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】零点存在性定理的应用、根据零点所在的区间求参数范围、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】分类讨论和两种情况，再利用判别式和零点存在性定理列不等式求解即可. 【详解】当时，，令得，符合题意； 当时，是二次函数，对于方程， 只需，即，解得，且， 当时，，此时，得或，符合题意， 当时，，此时，得或，符合题意， 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题考查函数零点分布. 讨论和两种情况，当时，可判断判别式大于零，结合零点存在性定理运算求解. 4．（22-23高一下·湖南·阶段练习）已知函数的零点为，且，则 . 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】根据零点所在的区间求参数范围、判断零点所在的区间 【分析】由函数的解析式判断函数单调性，求出的值，可得，再利用函数的零点的判定定理可得函数的零点所在的区间，即可得解. 【详解】易知函数在上单调递增， 因为，， 所以， 根据函数的零点的判定定理可得： 函数的零点所在的区间是， 所以． 故答案为：2 5．（24-25高一上·吉林长春·期中）设函数，若关于的方程恰有三个不相等的实根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】函数图象的应用、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】先画出函数的图象，再结合题意，令，可得关于的方程有两个不相等的实数根，一个根在上，一个根为0或一个根在上，一个根为1或一个根在上，一个根在上，分类求解即可. 【详解】如图，画出函数的图象：    关于的方程恰有三个不相等的实根， 令，则关于的方程有两个不相等的实数根， 一个根在上，一个根为0或一个根在上，一个根为1或一个根在上，一个根在上. 当一个根在上，一个根为0时， 则，即，此时方程为，解得或，符合题意； 当一个根在上，一个根为1时， 则，即，此时方程为，解得，不符合题意； 当一个根在上，一个根在上时， 设， 则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于画出函数的图象，令，转化问题为关于的方程有两个不相等的实数根，进而分类求解即可. 6．（2023·天津河北·一模）函数，若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为 . 【答案】或 【难度】0.4 【知识点】分段函数的性质及应用、函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】画出，的图象，数形结合后可求参数的取值范围． 【详解】因为， 所以， 则函数恰有2个零点等价于有两个不同的解， 故，的图象有两个不同的交点， 设， 又，的图象如图所示， 由图象可得两个函数的图象均过原点， 当时， 考虑直线与的图象相切， 则由可得，即， 考虑直线与的图象相切， 由可得，则，即． 考虑直线与的图象相切， 由可得，则，即， 结合图象可得当或时，两个函数的图象有两个不同的交点， 综上，或． 故答案为：或． 【点睛】方法点睛：数形结合思想，分类讨论思想与转化思想的应用.解决本问题的方法是把方程根的问题转化为函数与直线交点个数问题，作出图形，结合图形求解，并注意临界值的取舍问题. 7．（23-24高一上·广东茂名·阶段练习）已知，方程有四个不同的根，，，，且满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用函数单调性求最值或值域、函数图象的应用 【分析】根据绝对值的性质、对数函数的单调性化简函数的解析式，并画出函数的图象，利用数形结合思想、函数的对称性、对勾函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为，所以， 画出函数图象如下图所示： 若方程有四个不同的根，则， 此时有，且， 所以， 则有 ， 即，所以， 令， 对勾函数在上单调递减， 所以，即， 则，所以． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 函数与方程 考点一、函数的零点 1.对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数解，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标．注意：函数的零点不是一个点，而是f(x)＝0的实数解． 2.方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点． 3.如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的解． 注意：(1)函数y＝f(x)在(a，b)内有零点，f(a)·f(b)＜0不一定成立． 4.若连续不断的曲线y＝f(x)在区间[a，b]上有f(a)·f(b)＜0，y＝f(x)在(a，b)内一定有零点，但不能确定有几个． 考点二、二分法 1.对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 2.二分法求方程近似解的步骤 给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下： (1)、确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)＜0. (2)、求区间(a，b)的中点C． (3)、计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： ①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； ②若f(a)f(c)＜0(此时x0∈ (a，c))，则令b＝c； ③若f(c)f(b)＜0(此时x0∈(c，b))，则令a＝C． (4)、判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)． 考点三、函数模型 1.函数模型应用的两个方面 (1)、利用已知函数模型解决问题． (2)、建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测． 2.用函数模型解决实际问题的步骤 (1)、审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型． (2)、建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型． (3)、求模：求解函数模型，得到数学结论． (4)、还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中． 可将这些步骤用框图表示如下： 3.数据拟合 (1)、定义：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合． (2、数据拟合的步骤 ①以所给数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中绘出各点； ②依据点的整体特征，猜测这些点所满足的函数形式，设其一般形式； ③取特殊数据代入，求出函数的具体解析式； ④做必要的检验 重难点题型突破1 一次函数或二次函数模型 例1.（23-24高一上·湖南邵阳·期末）如图，点P在边长为1的正方形边上运动，M是CD的中点，当点P沿运动时，点P经过的路程x与的面积y的函数的图象的形状大致是（　　）    A．   B．   C．   D．   例2.（2022·重庆·模拟预测）我国的酒驾标准是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于，已知一驾驶员某次饮酒后体内每血液中的酒精含量（单位：）与时间（单位：）的关系是：当时，；当时，，那么该驾驶员在饮酒后至少要经过 才可驾车. 【变式训练1】、（22-23高一上·全国·课后作业）一天，小明从家出发匀速步行去学校上学．几分钟后，在家休假的爸爸发现小明忘带数学书，于是爸爸立即匀速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速原路跑回家．小明拿到书后以原速的快步赶往学校，并在从家出发后23分钟到校（小明被爸爸追上时交流时间忽略不计）．两人之间相距的路程y（米）与小明从家出发到学校的步行时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则小明家到学校的路程为 米．    【变式训练2】．（24-25高一上·吉林白城·期中）已知甲地下停车库的收费标准如下：（1）停车不超过1小时免费；（2）超过1小时且不超过3小时，收费5元；（3）超过3小时且不超过6小时，收费10元；（4）超过6小时且不超过9小时，收费15元；（5）超过9小时且不超过12小时，收费18元；（6）超过12小时且不超过24小时，收费24元．小林在2024年10月7日10：22将车停入甲车库，若他在当天18：30将车开出车库，则他需交的停车费为 ．乙地下停车库的收费标准如下：每小时2元，不到1小时按1小时计费．若小林将车停入乙车库（停车时长不超过24小时），要使得车停在乙车库比甲车库更优惠，则小林停车时长的最大值为 ． 重难点题型突破2 指数或幂函数模型 例3．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知某种污染物的浓度C（单位：摩尔/升）与时间t（单位：天）的关系满足指数模型，其中是初始浓度（即时该污染物的浓度），k是常数.第2天（即）测得该污染物的浓度为5摩尔/升，第4天测得该污染物的浓度为15摩尔/升，若第n天测得该污染物的浓度变为，则 . 例4．（24-25高三上·安徽·阶段练习）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：与时间（单位：h）之间的关系式为，其中为初始污染物含量，均为正的常数，已知过滤前后废气的体积相等，且在前4h过滤掉了的污染物．如果废气中污染物的含量不超过时达到排放标准，那么该工厂产生的废气要达到排放标准，至少需要过滤的时间为（   ） A．4h B．6h C．8h D．12h 【变式训练3】．（24-25高三上·北京丰台·期中）霉菌有着很强的繁殖能力，主要依靠孢子进行繁殖.已知某种霉菌的数量与其繁殖时间（天）满足关系式：.若繁殖5天后，这种霉菌的数量为20，10天后数量为40，则要使数量达到200大约需要（ ）（，结果四舍五入取整） A．20天 B．21天 C．22天 D．23天 【变式训练4】．（21-22高一上·浙江·阶段练习）如图，在中，于D，，矩形的顶点E与A点重合，，将矩形沿AB平移，当点E与点B重合时，停止平移，设点E平移的距离为x，矩形与重合部分的面积为y，则y关于x 的函数图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   重难点题型突破3 对数函数模型 例5．（24-25高三上·北京顺义·阶段练习）把液体A放在冷空气中冷却，如果液体A原来的温度是℃，空气的温度是℃，则tmin后液体A的温度℃可由公式求得.现把温度是60℃的液体A放在13℃的空气中冷却，液体A的温度冷却到37℃和25℃所用的时间分别为min，min，则的值约为（   ）（参考数据：，） A．2.3 B．2.7 C．3.7 D．4.7 、 例6．（22-23高一上·江苏扬州·阶段练习）恩格尔系数，国际上常用恩格尔系数来衡量一个地区家庭的富裕程度，恩格尔系数越低，人民生活越富裕. 某地区家庭2021年底恩格尔系数为50%，刚达到小康，预计从2022年起该地区家庭每年消费支出总额增加30%，食品消费支出总额增加20%，依据以上数据，预计该地区家庭恩格尔系数η满足达到富裕水平，至少经过（   ）年（参考数据：) A．3年 B．4年 C．5年 D．6年 【变式训练5】（23-24高一上·河北唐山·期中）牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间分钟后的温度满足，称为半衰期，其中是环境温度．若℃，现有一杯℃的热水降至℃大约用时1分钟，那么水温从℃降至45℃，大约还需要（   ）（参考数据：） A．11分钟 B．10分钟 C．9分钟 D．8分钟 【变式训练6】．（2022高二下·浙江宁波·学业考试）某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元．根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用N（单位：万元）与隔热层的厚度h（单位：厘米）满足关系：．经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元．设为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，那么使达到最小值的隔热层的厚度h＝ 厘米． 重难点题型突破4 二分法求函数零点所在区间 例7．（24-25高一上·全国·课前预习）用二分法求函数的一个零点的近似值，其参考数据如下： x 0.0625 0.09375 0.125 0.15625 0.1875 -0.4567 -0.1809 0.0978 0.3797 0.6647 根据上述数据，可得的一个零点近似值（误差不超过0.025）为（    ） A．0.09375 B．0.109375 C．0.125 D．0.078125 例8．（22-23高一上·福建泉州·期末）某同学在用二分法研究函数的零点时，．得到如下函数值的参考数据： x 1 1.25 1.375 1.40625 1.4375 1.5 0.0567 0.1460 0.3284 则下列说法正确的是（    ） A．1.25是满足精确度为0.1的近似值 B．1.5是满足精确度为0.1的近似值 C．1.4375是满足精确度为0.05的近似值 D．1.375是满足精确度为0.05的近似值 【变式训练7】．（22-23高一下·重庆永川·开学考试）已知函数的部分函数值如下表所示：那么函数的一个零点的近似值（精确度为0.1）为（    ） x 1 0.5 0.75 0.625 0.5625 0.6321 0.2776 0.0897 A．0.55 B．0.57 C．0.65 D．0.7 【变式训练8】．（2023·宁夏银川·三模）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 重难点题型突破5 求函数零点的个数与方程的解个数 例9．（23-24高三上·河北沧州·期末）直线与曲线的公共点的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 例10．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）已知函数，则函数的所有零点构成的集合为 . 【变式训练9】．（2024·北京·模拟预测）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．2 B．0 C．3 D．无穷 【变式训练10】．（24-25高三上·甘肃兰州·阶段练习）函数的零点个数为 . 重难点题型突破6 根据零点个数或零点所在区间，求参数的范围 例11．（23-24高一上·安徽亳州·期末）若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为 ． 例12．（22-23高三·全国·对口高考）方程在区间上有解，则实数a的取值范围为 ． 例13．（24-25高一上·辽宁·期中）已知函数至少有一个零点在区间内，求实数m的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【变式训练11】．（2023高三·全国·专题练习）函数在区间内有零点，则实数k的取值范围是 . 【变式训练12】．（21-22高一上·全国·课后作业）若函数的零点在区间(1,+∞)上，则实数a的取值范围是 . 【变式训练13】．（2024·四川巴中·一模）若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值集合为（    ） A． B．或. C． D．或. 重难点题型突破7 “自我嵌套”函数的零点问题 例14．（22-23高三上·河南安阳·阶段练习）已知函数，若函数有5个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例15．（23-24高一上·湖南永州·期末）已知函数，若方程有5个不同的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练14】．（23-24高二下·云南·阶段练习）设，函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练15】．（24-25高二上·湖南邵阳·开学考试）已知函数，若函数，当恰有3个零点时，求的取值范围为 . 重难点题型突破8 与其它函数“嵌套”函数的零点问题 例16．（23-24高三下·陕西西安·期中）对任意的实数x，记函数（表示m，n中的较小者）．若方程恰有5个不同的实根，则实数t的取值范围为 ． 例17．（24-25高一上·湖南邵阳·开学考试）已知函数，若关于的方程有8个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练17】．（23-24高二下·山西吕梁·期末）已知函数若关于的方程有个不等的实根，且，则下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，的取值范围为 C．当时， D．当时，的取值范围为 【变式训练18】．（22-23高一上·天津·期末）已知函数，若函数有9个不同的零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 重难点题型突破9 “等高线”问题 例19．（23-24高一上·辽宁·期末）已知函数.若方程有三个不等的实数解且，则（    ） A． B． C． D． 例20．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数，是函数的4个零点，且，给出以下结论：①m的取值范围是；②；③的最小值是4；④的最大值是.其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例21．（23-24高一上·山东滨州·期末）已知函数若存在实数，使得方程有4个不同的实数根，且.则的取值范围为 ，的取值范围为 . 【变式训练19】．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知函数，若函数有四个不同的零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练20】．（24-25高二上·云南大理·阶段练习）已知函数，方程 有四个不同根、、、，且满足，则的取值范围是 ，的取值范围是 ． 【变式训练21】．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知，若方程有四个根，且，则的取值范围为 ． 1．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知的零点在区间，则（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·福建三明·阶段练习）已知函数若关于的方程恰有个不同的实数根,则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·山西晋中·期末）已知函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围是 . 4．（22-23高一下·湖南·阶段练习）已知函数的零点为，且，则 . 5．（24-25高一上·吉林长春·期中）设函数，若关于的方程恰有三个不相等的实根，则实数的取值范围是 ． 6．（2023·天津河北·一模）函数，若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为 . 7．（23-24高一上·广东茂名·阶段练习）已知，方程有四个不同的根，，，，且满足，则的取值范围为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$