专题02 充分条件与必要条件、全称量词与存在量词（六大重难点题型）-【课后优辅导】2024年秋季高一数学上学期精品讲义（人教A版2019）

专题2 充分条件与必要条件、全称量词与存在量词 考点一　充分条件与必要条件 (1)一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)几点说明 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p 考点二　充要条件 (1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． (2)如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 考点三 全称量词和存在量词 (1)全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示． (2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：∀x∈M，p(x)． (3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)． 考点四 含有一个量词的命题的否定 (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∃x∈M，﹁p(x)； (2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∀x∈M，﹁p(x)． 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题． 命题 命题的否定 ∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，p(x0) 重难点题型1 充分必要条件的判断 例1、（2024·江苏南京·二模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 例2、（21-22高二上·江西宜春·期末）已知，且是的充分条件，则实数可以是（    ） A．3 B．1 C． D． 1、（23-24高一下·浙江·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2、（23-24高二下·广东·期末）（多选题）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（    ） A．3 B． C． D． 重难点题型2 充分必要条件的应用（求参数的取值范围） 例3、（23-24高二下·重庆·阶段练习）若不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围为 ． 例4、（23-24高一上·北京·阶段练习）设，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1、（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 2、（23-24高二下·重庆九龙坡·阶段练习）（多选题）已知：函数的定义域为，则的必要条件可以是（    ） A．或 B． C． D． 例5、（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知集合，，全集. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 1．（24-25高一上·全国·单元测试）已知非空集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围． 重难点题型3 全称命题与存在命题真假的判断 例6、（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）（多选题）下列选项错误的是（    ） A．命题“任何一个平行四边形的对边都平行”的否定为“存在一个平行四边形，其对边都不平行” B．不存在整数，使得是的倍数 C．，使得 D．， 例7、（22-23高一上·广东广州·阶段练习）下列命题中真命题的个数是（    ） ①； ②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数； ③x是无理数}，是无理数． A．0 B．1 C．2 D．3 1、（19-20高二上·安徽合肥·期末）下列结论中错误的是（    ） A．命题“若，则且”的否命题是“若，则或” B．命题，使得的否定为 C．命题“若，则方程有实根”的逆否命题是真命题 D．若，则使的解是或 2、（20-21高一上·湖南长沙·阶段练习）下列命题的否定是真命题的是（    ） A．，一元二次方程有实根 B．每个正方形都是平行四边形 C． D．存在一个四边形，其内角和不等于360° 重难点题型4 全称命题与存在命题的否定 例8、（23-24高一上·云南红河·阶段练习）命题“，使”的否定是（    ） A．，使 B．不存在，使 C．，使 D．，使 例9．（22-23高二下·陕西西安·期末）若命题，则表述准确的是（    ） A． B． C．或 D．或 1、（22-23高一上·天津和平·期末）命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 2、（22-23高一上·吉林长春·期中）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 重难点题型5 全称命题与存在命题的应用（求参数的取值范围） 例10、（19-20高一上·北京·单元测试）若命题“,使”为真命题，实数的取值范围为 例11、（2024·湖北武汉·模拟预测）若命题“,”是假命题，则不能等于（    ） A． B． C． D． 1、（22-23高一下·山西大同·阶段练习）已知命题：，使得成立为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2、（19-20高一上·山东德州·阶段练习）已知命题，，若命题为真命题，则实数的取值范围是 ． 例12、（22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）（1）已知，，求的取值范围； （2）已知命题，，如果是假命题，求实数的取值范围. 1．（19-20高二上·安徽淮北·期末）已知，命题，命题，． （1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围； （2）若命题q为真命题，求实数a的取值范围． 重难点题型6 综合应用 例13、（2017·浙江温州·一模）已知命题：方程有两个不等的负实根；命题：方程无实根. (1)若命题为真，求实数的取值范围； (2)若命题，中有且仅有一个为真一个为假，求实数的取值范围. 例14、（23-24高一上·安徽六安·期中）设集合，，. (1)，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 1、（22-23高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知集合，． (1)若命题，是真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题，是真命题，求实数m的取值范围． 2、（2023高一·上海·专题练习）已知集合． (1)由于，所以8属于集合，判断9，10是否属于集合； (2)已知集合，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件； (3)写出所有满足集合的偶数． 1．（23-24高一上·江苏·阶段练习）设p：，q：，若q是p的必要条件，则a的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 2．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）对于，用表示不大于的最大整数，例如：，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（22-23高一上·浙江宁波·期末）“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2023·江西萍乡·二模）集合，若的充分条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知不等式成立的充分不必要条件是，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2023·云南昆明·模拟预测）已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的所有可能取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知命题p为“，”．若p为假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）命题“，”，为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）（多选题）下列命题中为真命题的是（ ） A． B． C．“”是“”的必要不充分条件 D．集合与集合是相同的集合. 10．（22-23高一上·河南郑州·阶段练习）（多选题）下列说法正确的是（    ） A．不论a取何实数，命题p：“，”为真命题 B．不论b取何实数，命题q：“二次函数的图像关于y轴对称”为真命题 C．不论k取何实数，命题s：“方程必有两个负实根”为真命题 D．不论m取何实数，命题t：“，使不等式成立”为真命题 11．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知，若是的一个必要不充分条件，则实数的取值范围为 . 12．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的所有可能取值构成的集合为 ． 13．（19-20高一·全国·课后作业）设证明:的充要条件是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2 充分条件与必要条件、全称量词与存在量词 考点一　充分条件与必要条件 (1)一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)几点说明 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p 考点二　充要条件 (1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． (2)如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 考点三 全称量词和存在量词 (1)全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示． (2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：∀x∈M，p(x)． (3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)． 考点四 含有一个量词的命题的否定 (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∃x∈M，﹁p(x)； (2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∀x∈M，﹁p(x)． 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题． 命题 命题的否定 ∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，p(x0) 重难点题型1 充分必要条件的判断 例1、（2024·江苏南京·二模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分不必要条件定义判断即可. 【详解】由题意，但不能得出, 是的充分不必要条件. 故选：A. 例2、（21-22高二上·江西宜春·期末）已知，且是的充分条件，则实数可以是（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】由题意先求出的充要条件，然后结合是的充分条件可得实数的范围，从而对比选项即可得解. 【详解】由题意， 若是的充分条件，则当且仅当， 对比选项可知实数可以是3. 故选：A. 1、（23-24高一下·浙江·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分必要条件的定义，分别证明充分性，必要性，从而得出答案． 【详解】充分性，因为可得到或， 若或时，可得，所以是的充分条件； 必要性，若，当时，满足，但， 故不是的必要条件， 故选：A 2、（23-24高二下·广东·期末）（多选题）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】令或，，依题意可得真包含于，即可求出参数的取值范围. 【详解】令或，， 因为“或”是“”的必要不充分条件， 所以真包含于，所以或， 解得或，结合选项可知符合题意的有B、C、D. 故选：BCD 重难点题型2 充分必要条件的应用（求参数的取值范围） 例3、（23-24高二下·重庆·阶段练习）若不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据绝对值不等式的解法，结合充分不必要条件的性质进行求解即可. 【详解】由， 因为不等式成立的一个充分不必要条件是， 所以有，等号不同时成立，， 当时，是不等式成立的充要条件，不符合题意， 所以，实数的取值范围为. 故答案为：. 例4、（23-24高一上·北京·阶段练习）设，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据充分条件和必要条件的定义转化为对应关系即可求解. 【详解】因为，，又是的必要不充分条件， 所以，解得，经检验满足题意. 故选：D. 1、（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】由题意可得对应的集合是对应的集合的真子集，进而可得出答案. 【详解】由，得， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以集合是集合的真子集， 所以（不同时取等号），解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 2、（23-24高二下·重庆九龙坡·阶段练习）（多选题）已知：函数的定义域为，则的必要条件可以是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】AB 【分析】的定义域为，因此恒成立，求出的取值范围.本题判断哪个选项是的必要条件，所以能推出选项，对应的取值范围是选项范围的子集. 【详解】由题，恒成立，易知时不满足， 时，有. 故选：AB 例5、（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知集合，，全集. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得集合A，进而根据集合的补集和交集运算求解； （2）分析可知，根据包含关系分析求解. 【详解】（1）当时，集合，则或， 所以. （2）若“”是“”的必要条件，则， 因为，则，可知， 可得，解得， 所以实数的取值范围. 1．（24-25高一上·全国·单元测试）已知非空集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入集合求解，利用集合间的关系可求； （2）利用充分不必要条件的定义，分类讨论集合可求实数的取值范围． 【详解】（1）已知集合，． 当时，，或 又， ； （2）因为“”是“”充分不必要条件，所以是的真子集， 又，， 所以， 所以； 当时，是的真子集； 当时，也满足是的真子集， 综上所述：． 重难点题型3 全称命题与存在命题真假的判断 例6、（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）（多选题）下列选项错误的是（    ） A．命题“任何一个平行四边形的对边都平行”的否定为“存在一个平行四边形，其对边都不平行” B．不存在整数，使得是的倍数 C．，使得 D．， 【答案】AC 【分析】根据题意，依次判断选项是否正确. 【详解】对于A，命题“任何一个平行四边形的对边都平行”的否定为“存在一个平行四边形，其对边不都平行”，故A错误； 对于B，当时，不是4的倍数； 当时，不是4的倍数， 所以不存在整数，使得是的倍数，故B正确； 对于C，因为，则为偶数，所以为偶数， 所以不存在，使得，故C错误. 对于D，当时，，故D正确. 故选：AC. 例7、（22-23高一上·广东广州·阶段练习）下列命题中真命题的个数是（    ） ①； ②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数； ③x是无理数}，是无理数． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】由题意，根据平方运算，合数与素数的定义，以及反证法，可得答案. 【详解】对于①，当时，，故①正确； 对于②，由是整数，且它既不是合数，也不是素数，故②正确； 对于③，假设x是无理数}，是有理数，则可设，则，， 故为有理数，而与题设矛盾，故③正确， 故选：D. 1、（19-20高二上·安徽合肥·期末）下列结论中错误的是（    ） A．命题“若，则且”的否命题是“若，则或” B．命题，使得的否定为 C．命题“若，则方程有实根”的逆否命题是真命题 D．若，则使的解是或 【答案】B 【解析】利用四种命题的否命题判断A的正误；命题的否定判断B的正误；四种命题的逆否关系判断C正误，利用二次不等式解集判断D正误 【详解】“若m2+n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”，满足命题的否命题的形式，A正确； 命题，使得的正确否定, B正确； 命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m＝0,△＝1+4m>0，故原命题是真命题，则逆否命题是真命题，故C准确 利用二次不等式解法若，则使的解是或，D准确 故选：B 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，以及四种命题的真假关系的判断，比较基础． 2、（20-21高一上·湖南长沙·阶段练习）下列命题的否定是真命题的是（    ） A．，一元二次方程有实根 B．每个正方形都是平行四边形 C． D．存在一个四边形，其内角和不等于360° 【答案】D 【解析】对A，全称命题的否定为特称命题，再由判别式的符号即可判断真假；对B，全称命题的否定为特称命题，再由正方形与平行四边形的关系即可判断真假；对C，特称命题的否定为全称命题，由，计算即可判断真假；对D，特称命题的否定为全称命题，由四边形的内角和计算即可判断真假． 【详解】解：对A，，一元二次方程有实根， 其否定为：，一元二次方程无实根， 由△，可得原命题为真命题，命题的否定为假命题； 对B，每个正方形都是平行四边形，其否定为：存在一个正方形不是平行四边形， 原命题为真命题，其否定为假命题； 对C，，，其否定为：，， 由时，，则原命题为真命题，其否定为假命题； 对D，存在一个四边形，其内角和不等于，其否定为任意四边形，其内角和等于，连接四边形的一条对角线，可得两个三角形，则其四边形的内角和为， 可得原命题为假命题，其否定为真命题． 故选：D. 【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是命题的否定，考查转化思想和判断能力、推理能力，属于基础题． 重难点题型4 全称命题与存在命题的否定 例8、（23-24高一上·云南红河·阶段练习）命题“，使”的否定是（    ） A．，使 B．不存在，使 C．，使 D．，使 【答案】D 【分析】由存在命题的否定是全称命题即可得出答案. 【详解】命题“，使”的否定是，使. 故选：D. 例9．（22-23高二下·陕西西安·期末）若命题，则表述准确的是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】全称命题的否定是特称命题，否定结论的时候，注意不等式的解集是否互为补集关系. 【详解】全称命题的否定为特称命题，排除BD选项， 其中可解得，的否定应是， A选项中，可解得，故A选项错误，C选项正确. 故选：C 1、（22-23高一上·天津和平·期末）命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】将存在量词改为全程量词，结论中范围改为补集即可得解. 【详解】“，”的否定为“，”， 故选：C. 2、（22-23高一上·吉林长春·期中）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全称命题的否定的定义，即可判断选项. 【详解】命题“”的否定是，B正确. 故选：B 重难点题型5 全称命题与存在命题的应用（求参数的取值范围） 例10、（19-20高一上·北京·单元测试）若命题“,使”为真命题，实数的取值范围为 【答案】 【分析】将关于x的函数转化成关于a的一次函数，用恒成立问题去进行求解即可 【详解】令,是关于a的一次函数, 由题意得: 且.即且. 解得 【点睛】不等式的转化一定要注意等价性，题中参数也可转化成未知数，用函数的观点来进行求解 例11、（2024·湖北武汉·模拟预测）若命题“,”是假命题，则不能等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】转化为命题的否定“,”为真命题.用关于的一次函数来考虑，即可解. 【详解】根据题意，知原命题的否定“,”为真命题. 令,,解得. 故选:C. 1、（22-23高一下·山西大同·阶段练习）已知命题：，使得成立为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一次函数和二次函数的图象和性质，知当时，命题为真命题，当时，需，最后综合讨论结果，可得答案． 【详解】命题为真命题等价于不等式有解． 当时，不等式变形为，则，符合题意； 当时，，解得； 当时，总存在，使得； 综上可得实数的取值范围为． 故选：B 2、（19-20高一上·山东德州·阶段练习）已知命题，，若命题为真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】或． 【分析】对分成三种情况进行分类讨论，有命题为真命题列不等式，由此求得实数的取值范围. 【详解】当时，恒不成立，不符合题意. 当时，对应一元二次函数开口向下，必存在使成立. 当时，对应一元二次函数开口向上，要使，成立，则，解得. 综上所述，的取值范围是或. 故填：或. 【点睛】本小题主要考查根据命题的真假性求参数的取值范围，考查一元二次函数和一元二次不等式，属于基础题. 例12、（22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）（1）已知，，求的取值范围； （2）已知命题，，如果是假命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）分别分析的范围即可得的取值范围； （2）由是假命题可得是真命题，再分类讨论，结合二次函数恒成立问题求解即可. 【详解】（1）因为，故，又，故，即的取值范围是； （2）由是假命题可得是真命题，即，. 当时，恒成立； 当时，，解得； 综上有 1．（19-20高二上·安徽淮北·期末）已知，命题，命题，． （1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围； （2）若命题q为真命题，求实数a的取值范围． 【答案】（1）（2） 【解析】（1）由题意解可得； （2）问题转化为在的值域,由“对勾函数”的单调性可得 【详解】解：（1）命题,为真命题, ,解得, 实数的取值范围为 （2）命题,为真命题, 在上有解, 由对勾函数可知,在单调递增,在单调递减, 当时,取最大值； 当时,；当时,,所以的最小值为, 实数的取值范围为: 【点睛】本题考查已知命题的真假求参数问题,考查全称命题和存在性命题 重难点题型6 综合应用 例13、（2017·浙江温州·一模）已知命题：方程有两个不等的负实根；命题：方程无实根. (1)若命题为真，求实数的取值范围； (2)若命题，中有且仅有一个为真一个为假，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由二次函数的性质得出命题为真时，实数的取值范围，进而由命题为真求解； （2）由判别式得出为真时，实数的取值范围，再讨论真假或假真，得出实数的取值范围. 【详解】（1）若方程有两个不等的负根，则，解得； 因为命题为真，所以实数的取值范围为. （2）若方程无实根，则，解得. 若真假时，，解得； 若假真时，，解得. 综上，得. 例14、（23-24高一上·安徽六安·期中）设集合，，. (1)，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合的并集运算求解即可. （2）根据命题间的充分不必要关系转化为集合间的包含关系，进而求出参数取值范围. 【详解】（1）当时，， 因为， 所以 （2）由题意“”是“”的充分不必要条件 得 ①若，则，解得； ②若，则，解得； ，或， 综合①②得：的取值范围是. 1、（22-23高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知集合，． (1)若命题，是真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题，是真命题，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将题给条件转化为，分类讨论并列不等式组即可求得实数m的取值范围；（2）将题给条件转化为，列不等式组即可求得实数m的取值范围 【详解】（1）因为命题，是真命题，所以． 当时，满足，此时，解得； 当时，由，可得，解得． 综上，实数m的取值范围为． （2）因为，是真命题，所以， 所以，则即，所以， 要使，仍需满足，即． 综上，实数m的取值范围为． 2、（2023高一·上海·专题练习）已知集合． (1)由于，所以8属于集合，判断9，10是否属于集合； (2)已知集合，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件； (3)写出所有满足集合的偶数． 【答案】(1)，； (2)证明见解析 (3)． 【分析】（1）根据集合元素的特征一一判断即可； （2）由，即可得到充分性成立，再利用特殊值判断必要性不成立； （3）讨论和同为奇数和偶数及和一奇一偶时，满足集合的偶数即可得出答案. 【详解】（1）由于，所以， 假设，，，则， 且，∵或， ∴或，显然不满足整数解条件，∴. （2）集合，则恒有， ∴，即一切奇数都属于， 又，而， ∴“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件. （3）集合，成立， ①当和同为奇数和偶数时，，均为偶数，所以为4的倍数， ②当和一奇一偶时，和均为奇数， 所以为奇数， 综上所述：所有满足集合的偶数为． 1．（23-24高一上·江苏·阶段练习）设p：，q：，若q是p的必要条件，则a的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用必要条件的定义求解即得. 【详解】由q是p的必要条件，得， 所以. 故选：A 2．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）对于，用表示不大于的最大整数，例如：，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据取整函数的定义，对两个条件进行正反推理，即可求解. 【详解】当时，如，，不能得到， 由，则，又，所以一定能得到， 所以“”是“”成立的充分不必要条件. 故选：. 3．（22-23高一上·浙江宁波·期末）“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先计算函数对称轴，结合函数开口方向分析可得该函数的递增区间，根据充分必要性辨析可得答案. 【详解】对称为轴， 若，又开口向上，在上单调递增， 又，故在上单调递增成立； 若函数在上单调递增， 单调递减，不成立， 则得， 不能推出， 故“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件. 故选：A. 4．（2023·江西萍乡·二模）集合，若的充分条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意是的子集，从而求解. 【详解】， 因为的充分条件是，所以， 则， 故选：B. 5．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知不等式成立的充分不必要条件是，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出不等式的解集，再由集合间的包含关系即可求出m的取值范围. 【详解】解不等式可得， 又不等式成立的充分不必要条件是，所以可得； 即，解得； 经检验不等式两边不会同时取到等号， 所以m的取值范围是. 故选：D 6．（2023·云南昆明·模拟预测）已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的所有可能取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，对集合分等于空集和不等于空集两种情况讨论，分别求出符合题意的的值即可． 【详解】由题，，， 当时，有，符合题意； 当时，有，此时，所以或，所以. 综上，实数的所有可能的取值组成的集合为. 故选：A. 7．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知命题p为“，”．若p为假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为命题“，”为真命题，令，利用二次函数的性质求解. 【详解】解：因为命题p“，”为假命题， 所以命题“，”为真命题， 令，其对称轴为， 当，即时，，解得，此时； 当，即时，，解得，此时无解； 当，即时，，即，此时， 综上：实数a的取值范围是， 故选：B 8．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）命题“，”，为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据命题“，”为假命题，得到“，”为真命题，从而得到，再根据集合间的包含关系判断即可. 【详解】若命题“，”为假命题，则“，”为真命题，所以，，设集合，选项中a的范围构成集合，则，所以选D. 故选：D. 9．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）（多选题）下列命题中为真命题的是（ ） A． B． C．“”是“”的必要不充分条件 D．集合与集合是相同的集合. 【答案】AC 【分析】选项A和B，取特殊值判断即可；根据有理数集和整数集的范围大小判断C；根据集合中表示元素的特点判断D. 【详解】对于A：取，此时，故为真命题； 对于B：取，此时，故为假命题； 对于C：因为，所以“”不能推出“”， “”能推出“”， 所以“”是“”的必要不充分条件，故为真命题； 对于D：因为，，所以，故为假命题； 故选：AC. 10．（22-23高一上·河南郑州·阶段练习）（多选题）下列说法正确的是（    ） A．不论a取何实数，命题p：“，”为真命题 B．不论b取何实数，命题q：“二次函数的图像关于y轴对称”为真命题 C．不论k取何实数，命题s：“方程必有两个负实根”为真命题 D．不论m取何实数，命题t：“，使不等式成立”为真命题 【答案】AB 【分析】对于任意实数a，分析不等式有正数解判断A；由二次函数对称轴判断B；由根与系数的关系判断C；举例说明判断D作答. 【详解】对于A，，方程中，，即一元二次方程 有不等实根，显然，即，因此不等式的解集为， 当时，，A正确； 对于B，，二次函数的图像对称轴为y轴，因此二次函数的图像关于y轴对称，B正确； 对于C，，方程两根之积均为负数，有异号两根，命题“方程必有两个负实根”不正确，C错误； 对于D，因当时，不等式的解集为，即不存在使不等式成立，D错误. 故选：AB 11．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知，若是的一个必要不充分条件，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】化简条件，再结合必要不充分条件列出不等式即可求解. 【详解】由，得， 因为是的一个必要不充分条件，则不能推出，但能推出， 则，即. 故答案为： 12．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的所有可能取值构成的集合为 ． 【答案】 【分析】先求得，然后根据必要不充分条件的知识求得集合. 【详解】依题意，， 若，则，满足是的必要不充分条件. 当时，， 由于是的必要不充分条件，所以或， 解得或， 综上所述，的所有可能取值构成的集合为. 故答案为： 13．（19-20高一·全国·课后作业）设证明:的充要条件是. 【答案】见解析 【解析】分别证明充分性与必要性即可. 【详解】证明:(1)充分性:如果, 那么, . (2)必要性:如果, 那么, ,. 由(1)(2)知,的充要条件是. 【点睛】本题主要考查了充分必要条件的证明,需要分别证明充分性与必要性,属于中等题型. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$