专题07 对数与对数函数（七大重难点题型）-【课后优辅导】2024年秋季高一数学上学期精品讲义（人教A版2019）

专题07 对数与对数函数 重难点一 对数的概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 重难点二 对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1). (2)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①、loga(MN)＝logaM＋logaN； ②、loga＝logaM－logaN； ③、logaMn＝nlogaM(n∈R)； ④、logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0). (3)换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1). 重难点三 对数函数及其性质 (1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 【解题方法总结】 1、对数函数常用技巧 在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图) 重难点题型1 对数与对数式的化简求值 【例1】、（24-25高一上·全国·随堂练习）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】对数的运算 【分析】根据对数的运算性质即可求解. 【详解】. 故选：B 【例2】、（24-25高三上·广东梅州·开学考试）化简的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】根据对数的性质及换底公式可求代数式的值. 【详解】原式. 故选：B 【例3】、（24-25高三上·陕西西安·开学考试）（多选题）下列运算结果为1的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】对于AC：根据指数运算分析判断；对于B：根据对数运算分析判断；对于D：利用换底公式分析判断. 【详解】对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：，故D正确； 故选：BCD. 【例4】、（24-25高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习） . 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】直接根据指数、对数的运算性质计算即可． 【详解】． 故答案为：． 【1】、（2025·浙江·模拟预测）（    ） A．0 B．1 C．2024 D．2025 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】指数幂的化简、求值、指数式与对数式的互化 【分析】令，可得，结合指、对数运算求解. 【详解】令，则， 所以. 故选：A. 【2】、（24-25高三上·河北保定·开学考试）若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】对数的运算性质的应用、基本不等式求和的最小值 【分析】首先过呢据条件化简得到，法一，根据基本不等式，即可求解；法二，根据条件等式，变形得，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】， 法一：，当且仅当时，上式等号成立， 又，可得时，的最小值为. 故选：A. 法二：，当且仅当时，上式等号成立， 又，可得时，的最小值为. 故选：A. 【3】、（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）（多选题）已知，则下列等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】根据可推出，依此并结合对数运算，一一判断各选项，即可得答案. 【详解】由，得，且， 即，而此时不总是成立，则C错误； 由于，即，结合以上分析可知A错误； 由于，即为，故B正确； 又，D正确， 故选：BD 【4】、（23-24高三下·北京·开学考试）已知，，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算 【分析】根据指数式和对数式的互化及对数的运算性质计算即可. 【详解】因为, 所以, 所以. 故答案为：2. 重难点题型2 对数函数的图像与性质 【例5】、（24-25高一上·上海·单元测试）对数函数与二次函数在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数图像的识别、二次函数的图象分析与判断、判断对数型函数的图象形状 【分析】结合图象，分别讨论和时，的单调性和的开口方向以及根的位置即可求解. 【详解】选项A、B中，由对数函数图象得，则二次函数中二次项系数，其对应方程的两个根为， 选项A中，由图象得，从而，选项A可能； 选项B中，由图象得，与相矛盾，选项B不可能； 选项D中，由对数函数的图象得，则，二次函数图象开口向下，选项D不可能； 选项C中，由图象与轴的交点的位置得，与相矛盾，选项C不可能. 故选：A. 【例6】、（10-11高二下·内蒙古赤峰·阶段练习）已知，则函数与函数的图象可能是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断指数型函数的图象形状、对数的运算、判断对数型函数的图象形状 【分析】根据条件可得，化简可知两函数底数相同，利用单调性相同求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 故与函数单调性相同， 因为①③④中函数单调性不同，②中函数单调性相同，故①③④错误，②正确. 故选：B 【例7】、（19-20高二下·江苏宿迁·期末）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】函数图像的识别、对数函数图象的应用 【分析】对比选项中的图象，再分别计算和时，的取值情况，即可作出选择． 【详解】当时，，，则，排除选项B和C； 当时，，排除选项A，选项D符合题意. 故选：D 【例8】、（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）如图，矩形的三个顶点、、分别在函数，，的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点的纵坐标为2，则点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】指数幂的运算、判断指数型函数的图象形状、判断对数型函数的图象形状、幂函数图象的判断及应用 【分析】根据指对幂函数的图象及解析式求出点的横坐标、点纵坐标，即可得点的坐标. 【详解】由图可知，点在函数的图象上，所以， 即，故， 则点在函数的图象上，所以，即，故， 则点在函数的图象上，所以，故， 又，，故点的坐标为， 故选：A 【5】、（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知，函数与函数的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【难度】0.85 【知识点】函数图像的识别、判断指数型函数的图象形状、对数的运算、判断对数型函数的图象形状 【分析】根据题意结合指数函数和对数函数的单调性判断. 【详解】则，从而， 当时，函数与函数在定义域内都是单调递增； 当时，函数与函数在定义域内都是单调递减； 函数与函数在定义域内单调性相同. 故选：C. 【6】、（10-11高一·山东济南·开学考试）当a>1时，在同一直角坐标系中，函数与的图像是（    ） A．B．  C．   D．   【答案】A 【难度】0.85 【知识点】函数图像的识别、判断指数型函数的图象形状、判断对数型函数的图象形状 【分析】由可知，根据指数函数和对数函数图象的单调性即可判断得出结果. 【详解】依题意可将指数函数化为，由可知； 由指数函数图象性质可得为单调递减，且过定点，即可排除BD， 由对数函数图象性质可得为单调递增，且过定点，排除C， 故选：A. 【7】、（22-23高一上·陕西西安·期末）在同一平面直角坐标系中，函数，且的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断对数型函数的图象形状、判断指数型函数的图象形状 【分析】假设指数函数图象正确，结合对数函数单调性和处函数值的正负可得到正确图象. 【详解】对于AB，若图象正确，则，单调递减， 又时，，A正确，B错误； 对于CD，若图象正确，则，单调递增，CD错误. 故选：A. 【8】、（2019·新疆乌鲁木齐·三模）当时，在同一坐标系中，函数与的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】判断对数型函数的图象形状、判断指数型函数的图象形状 【分析】通过底数范围判断指对函数是增函数还是减函数，即可判断图像，得出答案. 【详解】当时，，函数为底数大于1的指数函数，是增函数，函数为底数大于0、小于1的对数函数，是减函数， 故选：C. 重难点题型3 对数函数的性质（单调性、最值（值域）） 【例9】、（22-23高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】对数型复合函数的单调性、求对数型复合函数的定义域 【分析】求出函数的定义域，根据二次函数以及对数函数的单调性求出复合函数的递增区间即可. 【详解】由，解得：，故函数的定义域是， 函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在定义域内是单调递减函数， 根据复合函数单调性之间的关系可知，函数的单调递增区间是. 故选：D 【例10】、（21-22高一·全国·课后作业）函数的单调递增区间是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求对数型复合函数的定义域、对数型复合函数的单调性 【分析】先求出函数定义域，再结合二次函数和对数函数的单调性即可求解. 【详解】由，解得，所以函数的定义域为，令， 则函数在上单调递增，在上单调递减，又函数在其定义域上单调递增， 所以函数的单调递增区间是． 故答案为：. 【例11】、（21-22高二下·山西运城·期末）已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求对数型复合函数的值域 【分析】首先求出的范围，然后可得答案. 【详解】因为，所以，所以， 故选：D 【例12】、（24-25高三上·江苏盐城·开学考试）（多选题）已知函数，则以下说法正确的是（    ） A．，使得为偶函数 B．若的定义域为，则 C．若在区间上单调递增，则的取值取值范围是 D．若的值域是，则 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据函数的最值求参数、对数型复合函数的单调性、由奇偶性求参数 【分析】利用特殊值代入判断A即得；由函数定义域为等价转化为对数真数恒大于零，即对应的一元二次不等式的判别式恒小于0判断B；令，则依题需使在上递减且恒大于0，求出的范围即可判断C；由求出的值,即可判断D. 【详解】对于A，在中，取，则， 此时函数的定义域为，且，即为偶函数，故A正确； 对于B，因的定义域为，则恒成立， 即，解得，故B正确； 对于C，令，因在定义域上单调递减， 故要使函数在区间上单调递增，则需使在上单调递减且恒大于0， 故有解得，故C错误； 对于D，因的值域是，即， 由复合函数的单调性可知，此时， 由知， 解得，即故D正确. 故选：ABD. 【9】、（10-11高二下·黑龙江鹤岗·期末）函数的单调递增区间是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】与二次函数相关的复合函数问题、对数型复合函数的单调性 【分析】根据二次函数、对数函数性质求定义域并研究单调性，结合复合函数单调性确定单调区间. 【详解】令且，即，则或， 所以定义域为， 由开口向上，对称轴为，则在上递减，在上递增， 而在定义域上递减，故的增区间为，减区间为. 故答案为： 【10】、（23-24高一上·山西长治·期末）已知函数的最大值为2，则 ． 【答案】6 【难度】0.85 【知识点】根据对数函数的最值求参数或范围 【分析】根据二次函数与对数函数的性质计算可得. 【详解】因为函数由与复合而成， 而在定义域上单调递增，所以当取最大值时，函数取得最大值， 由二次函数的性质易知当时，，此时，所以，解得． 故答案为： 【11】、（19-20高一上·山西·期末）函数的值域为 A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求对数型复合函数的值域 【解析】先由二次函数的性质，求出内函数的值域，再由对数函数的性质，即可求出结果. 【详解】令，， 因为是开口向上，对称轴为的二次函数， 所以在上单调递减，在上单调递增； 因此，，即； 又函数单调递增， 所以时，. 故选：A. 【点睛】本题主要考查求对数型复合函数的值域，熟记对数函数的性质，以及二次函数的性质即可，属于常考题型. 【12】、（21-22高一·全国·单元测试）（多选题）设函数，则下列命题中正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数是增函数 C．函数的值域为 D．函数的图像关于直线对称 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】求对数型复合函数的定义域、求对数型复合函数的值域、对数型复合函数的单调性 【分析】根据对数型复合函数的性质对选项逐一判断即可. 【详解】A正确，∵恒成立，∴函数的定义域为； B错误，函数在上是增函数，在上是减函数； C错误，由可得， ∴函数的值域为； D正确，函数的图像关于直线对称．故选:AD． 重难点题型4 对数函数中的恒成立问题 【例13】、（22-23高一上·辽宁本溪·期末）若不等式（，且）在内恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数不等式恒成立问题、对数函数最值与不等式的综合问题、对数函数图象的应用 【分析】分析出时，不成立，当时，画出，的图象，数形结合得到实数a的取值范围. 【详解】若，此时，，而，故无解； 若，此时，，而， 令，， 画出两函数图象，如下： 故要想在内恒成立， 则要，解得：. 故选：B. 【例14】、（19-20高一上·山西晋中·期末）若不等式对任意的x∈（-∞，0]恒成立，则a的取值范围是（    ） A．（-∞，2] B．（-∞，1] C．[1，＋∞） D．[2，＋∞） 【答案】A 【难度】0.65 【详解】不等式， 即, 所以， 整理可得对任意的x∈（-∞，0]恒成立， 令， 则在上有最小值2， 所以， 故选：A 【点睛】本题考查不等式恒成立问题、函数单调性，考查转为思想，考查学生灵活运用知识解决问题的能力. 【13】、（21-22高二下·河南商丘·期末）若对任意的实数，不等（）恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】函数不等式恒成立问题、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、对数函数最值与不等式的综合问题、求对数函数的定义域 【分析】根据对数函数的单调性得到，参变分离后换元，得到，利用在上的单调性求出最大值，从而得到实数m的取值范围. 【详解】当时，要使得不等式有意义， 需要在恒成立，可得， 此时不等式恒成立等价于恒成立， 即.令，则，且， 所以. 因为在上单调递减， 所以，当时，取得最大值为1， 所以实数m的取值范围是. 故选：C. 【14】、（20-21高一上·四川成都·期末）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】对数函数最值与不等式的综合问题 【分析】由指数函数的单调性，可判断，再由对数函数的单调性，求得的单调性和最大值，解不等式可得所求范围． 【详解】解：由于，，可得，， 当时，则，在不恒成立； 故， 由在单调递增， 在单调递减， 可得在单调递增， 则的最大值为， 由题意可得， 即有， 解得， 故选：． 【点睛】本题考查函数恒成立问题解法，注意运用函数的单调性，考查分类讨论思想和运算能力、推理能力． 重难点题型5 指对幂比较大小 【例15】、（21-22高三下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】比较对数式的大小、对数函数最值与不等式的综合问题、比较指数幂的大小 【分析】根据指数函数与对数函数的性质，得到且，令，设，结合函数的单调性与最值，得出，即可求解. 【详解】根据指数函数与对数函数的性质，可得，即， ，，所以且 令，因为，所以， 设，则函数在上为单调递增函数， 所以， 因为且，所以， 所以，所以， 所以. 故选：D. 【例16】、（24-25高三上·云南·阶段练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】由题意可得，再由对数函数性质和根式与指数式的互化分别得出和即可得解. 【详解】由题， 又由是增函数可知，， ∴， 故选：B. 【例17】、（2021·全国·模拟预测）已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、对数函数单调性的应用、比较对数式的大小 【分析】根据对数函数单调性得到，再利用换底公式和作差法得到，比较出大小关系. 【详解】， 其中，，所以， 故，所以. 故选：A. 【例18】、（2025·江苏南通·一模）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】利用中间值法，再结合指数函数和对数函数的单调性即可比较大小. 【详解】由，，，知，， 又，所以，故， 又，故，所以， 因此可得. 故选：C. 【15】、（24-25高三上·山西朔州·阶段练习）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、对数的运算性质的应用、比较对数式的大小 【分析】根据对数函数单调性，结合对数运算性质以及指数函数单调性即可比较出大小关系. 【详解】因为，所以.故选C. 【16】、（24-25高一上·湖南邵阳·开学考试）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】比较对数式的大小、比较指数幂的大小 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性确定范围即可比较大小. 【详解】依题意， ， ， 所以. 故选：A 【17】、（2025·安徽·一模）若，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】比较对数式的大小、基本（均值）不等式的应用、对数的运算 【分析】结合对数运算性质及对数函数的单调性比较的大小，结合基本不等式及对数函数单调性比较的大小，可得结论. 【详解】， 而，且． 所以，故． 故选：D. 【18】、（24-25高三上·北京·开学考试）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】借助指数函数与对数函数的单调性可得、、范围，即可得解. 【详解】由，，即， ，故. 故选：C. 重难点题型6 对数函数的实际应用 【例19】、（23-24高二下·浙江绍兴·阶段练习）现测得某放射性元素的半衰期为1500年（每经过1500年，该元素的存品为原来的一半），某生物标本中该放射性元素面初始存量为m，经检测现在的存量，据此推测该生物距今约为（    ）（参考数据：) A．2700年 B．3100年 C．3500年 D．3900年 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】利用对数函数的性质综合解题 【分析】根据对数的运算性质即可求解. 【详解】由题意得， 两边取对数得. 故选：C 【例20】、（24-25高一上·全国·课后作业）“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉．声音越大，涌起的泉水越高．已知听到的声强与标准声强（约为，单位：）之比的常用对数称作声强的声强级，记作（贝尔），即，取贝尔的十倍作为响度的常用单位，简称为分贝．已知某处“喊泉”的声音响度（分贝）与喷出的泉水高度（米）满足关系式，现知同学大喝一声激起的涌泉最高高度为米，若同学大喝一声的声强大约相当于个同学同时大喝一声的声强，则同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为（    ）    A．5米 B．10米 C．45米 D．50米 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】对数的运算、对数函数模型的应用（2） 【分析】设同学的声强为，喷出泉水高度为，可得，，两式相减即可求出的值. 【详解】设同学的声强为，喷出泉水高度为， 则同学的声强为，喷出泉水高度为， 由题意知，， 即①， 又， 即②， 得， 解得. 故选：C. 【例21】、（24-25高一上·上海·单元测试）里氏震级是由来自美国加州理工学院的地震学家里克特（C．F.Richter）和古登堡（B．Gutenberg）于1935年提出的．里氏震级M的计算公式是，其中A是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅．2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0地震并引发海啸，造成重大人员伤亡和财产损失．一般里氏6.0级地震给人的震撼已十分强烈．按照里氏震级M的计算公式，此次日本东北部大地震的最大振幅是里氏6.0级地震最大振幅的 倍． 【答案】1000 【难度】0.85 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算、对数函数模型的应用（2） 【分析】结合已知条件，利用对数运算以及指数和对数的互化即可求解. 【详解】， ，所以， 所以． 故答案为：1000. 【19】、（23-24高三上·四川内江·阶段练习）某同学根据著名数学家牛顿的物体冷却模型推导出函数关系为，k为正的常数，其中物体原来的温度和环境温度为、（，单位℃），物体的温度冷却到（，单位：℃）需用时t（单位：分钟）.现有一壶开水（100℃）放在室温为20℃的房间里，当时，则这壶开水冷却到40℃大约需要 分钟（参考数据：） 【答案】28 【难度】0.85 【知识点】对数函数模型的应用（2） 【分析】根据冷却模型公式可以将数据代入直接就算即可. 【详解】由题意可知. 故答案为：28. 【20】、（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）中国的5G技术领先世界，5G技术中的数学原理之一是香农公式：，它表示在被高斯白噪音干扰的信道中，最大信息传送速率C取决于信道带宽W、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪音功率N的大小，其中叫做信噪比．己知当x比较大时，，按照香农公式，由于技术提升，宽带W在原来的基础上增加20%，信噪比从1000提升至8000，则C大约增加了 （附：） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】对数的运算性质的应用、对数函数模型的应用（2） 【分析】利用对数运算性质，由香农公式分别计算信噪比为1000和8000时C的比值即可求得结果. 【详解】根据题意可设技术提升前最大信息传送速率，信道带宽，信噪比； 提升后分别为，信道带宽，信噪比； 且满足，； 易知， 所以； 所以可得C大约增加了. 故答案为： 【21】、（24-25高一上·上海·随堂练习）2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆．嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似（如图所示）．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于，则至少需要“打水漂”的次数为 ．（参考数据：，） 【答案】6 【难度】0.65 【知识点】指数函数模型的应用（2）、对数的运算性质的应用、对数的运算、指数式与对数式的互化 【分析】设第n次“打水漂”时的速率为，则，则可建立不等式求解. 【详解】设石片第n次“打水漂”时的速率为，则． 由，得，则， 即，则，故至少需要“打水漂”的次数为6． 故答案为：6. 重难点题型7 对数型复合函数的综合应用 【例22】、（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）函数是奇函数且在上单调递增，则k的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用、对数型复合函数的单调性、由奇偶性求参数 【分析】根据奇函数的定义得得，即可验证单调性求解. 【详解】是奇函数，故， 则，，解得， 当时，，由于在为单调递增函数，故在单调递减，不符合题意， 当时，，由于在为单调递增函数且，故为单调递增，根据奇函数的性质可得在上单调递增，符合题意， 故， 故选：C 【例23】、（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由对数（型）的单调性求参数 【分析】将问题转化为函数在上是增函数，且在上恒成立，再根据对称轴与区间的关系，可得答案. 【详解】因为函数在上是减函数， 设， 因为为减函数， 所以在上是增函数， 因为，其图象的对称轴为直线， 所以，且在上恒成立， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 【22】、（23-24高一下·浙江·期中）已知函数为偶函数，对任意的，满足，记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、比较指数幂的大小、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系 【分析】根据题意判断的单调性，根据函数单调性确定函数值大小. 【详解】因为对任意的，满足， 所以在是增函数， 函数为偶函数，所以， 又，所以， 所以 ， 所以. 故选：B 【23】、（24-25高三上·四川德阳·开学考试）已知，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】对数型复合函数的单调性、由函数在区间上的单调性求参数、由对数（型）的单调性求参数 【分析】由题意结合函数是定义在上的增函数得在上单调递增且在上恒成立，从而根据一元二次函数性质即可求解. 【详解】因为在上单调递增， 而函数是定义在上的增函数， 所以在上单调递增，且在上恒成立， 所以，所以a的取值范围是. 故答案为：. 【例24】、（24-25高三上·重庆·开学考试）已知函数满足． (1)若函数的定义域为，求a，b的值； (2)若，且函数在上单调递增，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】求对数函数的定义域、由一元二次不等式的解确定参数、由对数（型）的单调性求参数 【分析】（1）利用韦达定理求解即可； （2）根据复合函数单调性和真数大于0不等式组求解可得. 【详解】（1）由题知，的解集为， 所以和是方程的两根， 由韦达定理得. （2）因为为增函数，且函数在上单调递增， 所以函数在单调递增，且恒成立， 所以，解得， 即的取值范围为. 【例25】、（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数． (1)当时，求的单调区间： (2)若的值域为，求实数a的取值范围． 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为. (2). 【难度】0.65 【知识点】根据对数函数的值域求参数值或范围、对数型复合函数的单调性 【分析】（1）先求出对数型函数的定义域，然后由复合函数的单调性原理求解即可； （2）对进行分类讨论，结合一元二次函数的开口方向与判别式求解的取值范围即可. 【详解】（1）当时，， 由，由于，所以， 所以的定义域为：， 的对称轴为：， 所以在上单调递减，在上单调递增； 在整个定义域上单调递减， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）若的值域为，则对能取到全部正实数， ①当时，即， 若，不符合题意； 若，，符合题意； ②当时，由题意得：， 解得， 综上： 【例26】、（23-24高一下·广东江门·期中）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断并证明函数的奇偶性； (3)求不等式的解集. 【答案】(1) (2)奇函数，证明见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求对数型复合函数的定义域、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）由题意得，从而可求出函数的定义域； （2）利用函数奇偶性的定义分析判断； （3）由，得，然后利用对数函数的单调性求解即可. 【详解】（1）由，得， 所以函数的定义域为， （2）函数为奇函数，证明如下： 因为函数的定义域为，所以定义域关于原点对称， 因为， 所以为奇函数. （3）由，得， 所以， 因为在定义域内为减函数，所以，解得， 所以不等式的解集为. 【24】、（24-25高三上·重庆·开学考试）已知函数（且）. (1)若对于任意的，都有，求实数的取值范围； (2)在（1）的条件下，是否存在，使在区间上的值域是？若存在，求实数的取值范围：若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】对数的运算、根据对数函数的值域求参数值或范围、由对数函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）根据对数函数性质求得在上的最大值，由计算即可得； （2）由对数函数单调性问题转化为一元二次方程在上有两个不等实根，由一元二次方程根的分布知识求解即可得． 【详解】（1）对于任意的，都有，等价于， ∵， 设， 则t在上是增函数，下面按照的单调性分类讨论： 当时，在上递减，则，解得， 当时，在上递增，则，解得与矛盾，故舍去； 综上，. （2）∵，∴在上递减， ∴，即， 即关于x方程在上有两个不等的实根， 设， 则，即． 综上，不存在这样的，满足条件. 【25】、（23-24高一上·天津·期末）已知函数，函数． (1)求不等式的解集； (2)求函数的值域； (3)若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】求对数函数在区间上的值域、由指数函数的单调性解不等式、由对数函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）解指数不等式，得到解集； （2）变形得到，结合，求出的值域； （3）转化为，求出，故，得到答案. 【详解】（1）由，得 整理得 解得， 的解集为 （2）， ， ， 即的值域为． （3）不等式对任意实数恒成立 ． ， 令，，， 设，， 当时，取得最小值，即， ，即， ，即，解得， 实数的取值范围为． 【26】、（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知函数. (1)求函数的定义域和的值域. (2)证明：为偶函数并判断的单调性和奇偶性. (3)求关于的不等式的解集. 【答案】(1)定义域为，值域为； (2)证明见解析，的递减区间是，非奇非偶函数； (3)答案见解析. 【难度】0.65 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、由对数函数的单调性解不等式、求对数型复合函数的定义域、函数奇偶性的定义与判断 【分析】（1）利用对数函数定义列出不等式组求出的定义域；利用参变分离法求出的值域. （2）利用定义证明为偶函数；借助反比例函数求出的单调区间，利用定义判断奇偶性. （3）分类讨论解对数不等式. 【详解】（1）在函数中，，解得， 所以函数的定义域为； 函数，而，，因此， 所以函数的值域为. （2）由（1）知，函数的定义域为，， 所以函数是偶函数； 函数的定义域为，函数在上单调递减， 所以函数的单调递减区间是， 由于在函数的定义域内，而2不在函数的定义域内，即定义域关于0不对称， 所以函数是非奇非偶函数. （3）当时，， 不等式， 当时，，即，而，解得， 当时，，而，解得， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 1．（21-22高一上·全国·课后作业）已知函数在上单调递减，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】对数型复合函数的单调性、已知二次函数单调区间求参数值或范围、由对数（型）的单调性求参数 【分析】根据复合函数单调性同增异减，可得在区间上单调递增，由对数函数的性质，真数恒大于0，可得，再利用二次函数的单调性和值域求解即可. 【详解】解析：令． 因为在上单调递减， 所以函数在区间上单调递增，且恒大于0， 所以对称轴且，所以且， 解得，即a的取值范围为， 故选：D． 2．（20-21高一上·安徽安庆·期末）已知函数在区间上有最小值，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据对数函数的最值求参数或范围 【分析】令，根据对数函数的性质可得，从而得解. 【详解】令，为开口向上的抛物线，对称轴为 函数在区间上有最小值， 则在上先减后增， 所以， 解得. 故选：A. 3．（24-25高三上·江苏常州·开学考试）已知函数，若对于任意实数k，总存在实数，使得成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据对数函数的值域求参数值或范围 【分析】将恒成立结合有解问题转化为函数的值域问题即可. 【详解】对于任意实数k，总存在实数，使得成立， 即值域为，因此要求取遍一切正数， 时，符合题意． 时，需，即． 综上，实数a的取值范围． 故选：D 4．（24-25高三上·甘肃兰州·开学考试）（多选题）已知函数，若当的定义域为时实数的取值范围为集合A，当的值域为时实数的取值范围为集合，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、求对数型复合函数的定义域、根据对数函数的值域求参数值或范围 【分析】由对数型复合函数的定义域和值域为求出，，得到A正确，B错误，再由集合的交与并判断CD. 【详解】A选项，当时，，解得，故定义域不是， 当时，由得， 故要想的定义域为，实数的取值范围为， 故，A正确； B选项，当时，能取到所有正数，满足要求， 当时，要想能取到所有正数， 需且，解得， 综上，，故，B错误； CD选项，所以，，C错误，D正确. 故选：AD． 5．（23-24高三上·天津·阶段练习）已知，且，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】由对数的定义求出，，代入，利用对数的运算即可求解. 【详解】由，则，， 则， 因此可得， 故答案为：. 6．（23-24高一上·安徽·期末）已知实数m，n满足，则 . 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】根据已知条件，推得，，再结合对数的运算法则，即可求解． 【详解】解：， 所以，， 所以． 故答案为：1． 7．（18-19高二下·陕西宝鸡·期末）若函数无最值，则的取值范围是 . 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】与二次函数相关的复合函数问题、根据对数函数的最值求参数或范围、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】设，可得其图像为开口向上的抛物线，由题意可得，可求出的取值范围. 【详解】解：由，设，可得其图像为开口向上的抛物线，由函数无最值，只需，， 可得：，解得：或， 故答案为：或. 【点睛】本题主要考查对数函数与二次函数的性质，属于基础题型，设，得出是解题的关键. 8．（15-16高一上·广西桂林·期中）若不等式对恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】对数函数图象的应用、对数函数最值与不等式的综合问题 【分析】不等式对恒成立，等价于当时，函数的图像在函数的图像的上方，从而画出函数及的图像，利用图像求解 【详解】结合函数及在上的图像易知， 只需满足条件：，且即可， 从而得到. 故答案为： 【点睛】此题考查不等式恒成立问题，考查二次函数和对数函数的性质，考查数形结合的思想，属于中档题 9．（18-19高一下·广西南宁·期末）已知函数，，若对任意的时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】对数函数最值与不等式的综合问题 【分析】先由题意求出的最大值，将不等式恒成立，化为对任意的恒成立，即可得出结果. 【详解】因为，所以； 因此不等式可化为不等式，即； 因为对任意的时，不等式恒成立， 所以有：对任意的时，不等式恒成立， 所以. 故答案为 【点睛】本题主要考查由不等式恒成立求参数的问题，熟记对数函数的性质，以及分离参数法求解即可，属于常考题型. 10．（2019高三·全国·专题练习）已知函数 (a>0，且a≠1)，若在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】对数函数最值与不等式的综合问题 【分析】当a＞1时，f（x）＞1等价于8﹣ax＞a在[1，2]上恒成立，即a＜（）min=；当0＜a＜1时，f（x）＞1等价于8﹣ax＜a在[1，2]上恒成立，即a＞（）max=4．由此能求出实数a的取值范围． 【详解】当a＞1时，f（x）＞1等价于8﹣ax＞a在[1，2]上恒成立， 即a＜（）min=， ∴1＜a＜； 当0＜a＜1时，f（x）＞1等价于8﹣ax＜a在[1，2]上恒成立， 即a＞（）max=4（舍去）， 综上，a的取值范围是（1，）． 故答案为（1，）． 【点睛】不等式恒成立问题往往通过“参变分离”转化为函数的最值问题，属于中档题. 11．（23-24高一下·河南·期末）已知函数． (1)若为偶函数，求的值； (2)若的值域为，求的取值范围； (3)当时，求的单调递减区间． 【答案】(1)2； (2)； (3). 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求参数、对数型复合函数的单调性、求二次函数的值域或最值 【分析】（1）根据偶函数的性质，可得恒成立，从而可建立等式关系，进而求出的值，可求； （2）因为的值域为，所以可以取遍所有正数，据此计算可求的取值范围； （3）当时，，利用复合函数的单调性可得结论. 【详解】（1）因为为偶函数，所以， 所以，则恒成立，所以， 所以，则． （2）因为的值域为，所以可以取遍所有正数， 所以， 解得． （3）当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 由，得， 在上单调递增， 根据复合函数的单调性可知的单调递减区间为． 12．（23-24高一上·广东湛江·期末）已知函数． (1)若的定义域为，求的取值范围； (2)若的值域为，求的取值范围； (3)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】由对数（型）的单调性求参数、根据对数函数的最值求参数或范围、根据对数函数的值域求参数值或范围、求对数型复合函数的定义域 【分析】（1）根据题意，转化为在上恒成立，结合，即可求解； （2）根据题意，结合的值域为，得到，即可求解； （3）根据题意，求得和，转化为恒成立，令，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解.， 【详解】（1）解：函数的定义域为， 即在上恒成立，则满足，解得， 所以实数的取值范围是； （2）解：函数的值域为， 则满足，解得或，即实数的取值范围； （3）解：因为且，可得在上单调递增， 所以，， 所以对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 即对任意恒成立， 令，所以， 当，即时，，解得，所以无解； 当，即时，解得，所以， 综上，实数的取值范围是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 对数与对数函数 重难点一 对数的概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 重难点二 对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1). (2)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①、loga(MN)＝logaM＋logaN； ②、loga＝logaM－logaN； ③、logaMn＝nlogaM(n∈R)； ④、logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0). (3)换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1). 重难点三 对数函数及其性质 (1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 【解题方法总结】 1、对数函数常用技巧 在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图) 重难点题型1 对数与对数式的化简求值 【例1】、（24-25高一上·全国·随堂练习）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例2】、（24-25高三上·广东梅州·开学考试）化简的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【例3】、（24-25高三上·陕西西安·开学考试）（多选题）下列运算结果为1的有（    ） A． B． C． D． 【例4】、（24-25高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习） . 【1】、（2025·浙江·模拟预测）（    ） A．0 B．1 C．2024 D．2025 【2】、（24-25高三上·河北保定·开学考试）若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【3】、（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）（多选题）已知，则下列等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【4】、（23-24高三下·北京·开学考试）已知，，则的值为 ． 重难点题型2 对数函数的图像与性质 【例5】、（24-25高一上·上海·单元测试）对数函数与二次函数在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【例6】、（10-11高二下·内蒙古赤峰·阶段练习）已知，则函数与函数的图象可能是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【例7】、（19-20高二下·江苏宿迁·期末）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【例8】、（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）如图，矩形的三个顶点、、分别在函数，，的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点的纵坐标为2，则点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【5】、（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知，函数与函数的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【6】、（10-11高一·山东济南·开学考试）当a>1时，在同一直角坐标系中，函数与的图像是（    ） A．B．  C．   D．   【7】、（22-23高一上·陕西西安·期末）在同一平面直角坐标系中，函数，且的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【8】、（2019·新疆乌鲁木齐·三模）当时，在同一坐标系中，函数与的图象是（    ） A． B． C． D． 重难点题型3 对数函数的性质（单调性、最值（值域）） 【例9】、（22-23高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【例10】、（21-22高一·全国·课后作业）函数的单调递增区间是 ． 【例11】、（21-22高二下·山西运城·期末）已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【例12】、（24-25高三上·江苏盐城·开学考试）（多选题）已知函数，则以下说法正确的是（    ） A．，使得为偶函数 B．若的定义域为，则 C．若在区间上单调递增，则的取值取值范围是 D．若的值域是，则 【9】、（10-11高二下·黑龙江鹤岗·期末）函数的单调递增区间是 ． 【10】、（23-24高一上·山西长治·期末）已知函数的最大值为2，则 ． 【11】、（19-20高一上·山西·期末）函数的值域为 A． B． C． D． 【12】、（21-22高一·全国·单元测试）（多选题）设函数，则下列命题中正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数是增函数 C．函数的值域为 D．函数的图像关于直线对称 重难点题型4 对数函数中的恒成立问题 【例13】、（22-23高一上·辽宁本溪·期末）若不等式（，且）在内恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例14】、（19-20高一上·山西晋中·期末）若不等式对任意的x∈（-∞，0]恒成立，则a的取值范围是（    ） A．（-∞，2] B．（-∞，1] C．[1，＋∞） D．[2，＋∞） 【13】、（21-22高二下·河南商丘·期末）若对任意的实数，不等（）恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【14】、（20-21高一上·四川成都·期末）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 重难点题型5 指对幂比较大小 【例15】、（21-22高三下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【例16】、（24-25高三上·云南·阶段练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【例17】、（2021·全国·模拟预测）已知，则（　　） A． B． C． D． 【例18】、（2025·江苏南通·一模）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【15】、（24-25高三上·山西朔州·阶段练习）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【16】、（24-25高一上·湖南邵阳·开学考试）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【17】、（2025·安徽·一模）若，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【18】、（24-25高三上·北京·开学考试）设，则（    ） A． B． C． D． 重难点题型6 对数函数的实际应用 【例19】、（23-24高二下·浙江绍兴·阶段练习）现测得某放射性元素的半衰期为1500年（每经过1500年，该元素的存品为原来的一半），某生物标本中该放射性元素面初始存量为m，经检测现在的存量，据此推测该生物距今约为（    ）（参考数据：) A．2700年 B．3100年 C．3500年 D．3900年 【例20】、（24-25高一上·全国·课后作业）“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉．声音越大，涌起的泉水越高．已知听到的声强与标准声强（约为，单位：）之比的常用对数称作声强的声强级，记作（贝尔），即，取贝尔的十倍作为响度的常用单位，简称为分贝．已知某处“喊泉”的声音响度（分贝）与喷出的泉水高度（米）满足关系式，现知同学大喝一声激起的涌泉最高高度为米，若同学大喝一声的声强大约相当于个同学同时大喝一声的声强，则同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为（    ）    A．5米 B．10米 C．45米 D．50米 【例21】、（24-25高一上·上海·单元测试）里氏震级是由来自美国加州理工学院的地震学家里克特（C．F.Richter）和古登堡（B．Gutenberg）于1935年提出的．里氏震级M的计算公式是，其中A是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅．2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0地震并引发海啸，造成重大人员伤亡和财产损失．一般里氏6.0级地震给人的震撼已十分强烈．按照里氏震级M的计算公式，此次日本东北部大地震的最大振幅是里氏6.0级地震最大振幅的 倍． 【19】、（23-24高三上·四川内江·阶段练习）某同学根据著名数学家牛顿的物体冷却模型推导出函数关系为，k为正的常数，其中物体原来的温度和环境温度为、（，单位℃），物体的温度冷却到（，单位：℃）需用时t（单位：分钟）.现有一壶开水（100℃）放在室温为20℃的房间里，当时，则这壶开水冷却到40℃大约需要 分钟（参考数据：） 【20】、（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）中国的5G技术领先世界，5G技术中的数学原理之一是香农公式：，它表示在被高斯白噪音干扰的信道中，最大信息传送速率C取决于信道带宽W、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪音功率N的大小，其中叫做信噪比．己知当x比较大时，，按照香农公式，由于技术提升，宽带W在原来的基础上增加20%，信噪比从1000提升至8000，则C大约增加了 （附：） 【21】、（24-25高一上·上海·随堂练习）2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆．嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似（如图所示）．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于，则至少需要“打水漂”的次数为 ．（参考数据：，） 重难点题型7 对数型复合函数的综合应用 【例22】、（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）函数是奇函数且在上单调递增，则k的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【例23】、（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是 . 【22】、（23-24高一下·浙江·期中）已知函数为偶函数，对任意的，满足，记，，则（    ） A． B． C． D． 【23】、（24-25高三上·四川德阳·开学考试）已知，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 【例24】、（24-25高三上·重庆·开学考试）已知函数满足． (1)若函数的定义域为，求a，b的值； (2)若，且函数在上单调递增，求a的取值范围． 【例25】、（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数． (1)当时，求的单调区间： (2)若的值域为，求实数a的取值范围． 【例26】、（23-24高一下·广东江门·期中）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断并证明函数的奇偶性； (3)求不等式的解集. 【24】、（24-25高三上·重庆·开学考试）已知函数（且）. (1)若对于任意的，都有，求实数的取值范围； (2)在（1）的条件下，是否存在，使在区间上的值域是？若存在，求实数的取值范围：若不存在，说明理由. 【25】、（23-24高一上·天津·期末）已知函数，函数． (1)求不等式的解集； (2)求函数的值域； (3)若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围． 【26】、（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知函数. (1)求函数的定义域和的值域. (2)证明：为偶函数并判断的单调性和奇偶性. (3)求关于的不等式的解集. 1．（21-22高一上·全国·课后作业）已知函数在上单调递减，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（20-21高一上·安徽安庆·期末）已知函数在区间上有最小值，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·江苏常州·开学考试）已知函数，若对于任意实数k，总存在实数，使得成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·甘肃兰州·开学考试）（多选题）已知函数，若当的定义域为时实数的取值范围为集合A，当的值域为时实数的取值范围为集合，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·天津·阶段练习）已知，且，则的值为 ． 6．（23-24高一上·安徽·期末）已知实数m，n满足，则 . 7．（18-19高二下·陕西宝鸡·期末）若函数无最值，则的取值范围是 . 8．（15-16高一上·广西桂林·期中）若不等式对恒成立，则实数的取值范围为 . 9．（18-19高一下·广西南宁·期末）已知函数，，若对任意的时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 10．（2019高三·全国·专题练习）已知函数 (a>0，且a≠1)，若在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是 ． 11．（23-24高一下·河南·期末）已知函数． (1)若为偶函数，求的值； (2)若的值域为，求的取值范围； (3)当时，求的单调递减区间． 12．（23-24高一上·广东湛江·期末）已知函数． (1)若的定义域为，求的取值范围； (2)若的值域为，求的取值范围； (3)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$