专题01 集合、集合间的关系、集合的运算（六大重难点题型）-【课后优辅导】2024年秋季高一数学上学期精品讲义（人教A版2019）

专题1 集合、集合间的关系、集合的运算 考点1.集合的概念及其表示 ⑴.集合中元素的三个特征： ①．确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了． ②．互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的. ③．无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。 ⑵.元素与集合的关系有且只有两种：属于（用符号“”表示）和不属于（用符号“”表示）． ⑶.集合常用的表示方法有三种：列举法、Venn图、描述法． (4).常见的数集及其表示符号 名称 自然数集 (非负整数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 表示符号 N 或 Z Q R 考点2.集合间的基本关系 关系 自然语言 符号语言 Venn图 子集 集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B) A⊆B (或B⊇A) 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 AB (或BA) 集合相等 集合A，B中元素完全相同或集合A，B互为子集 A＝B 【名师提醒】 子集与真子集的区别与联系：一个集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集. 考点3.集合之间的基本运算 如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为 全集 ，全集通常用字母 U 表示； 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形 符号 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 【名师提醒】 1．若有限集A中有n个元素,则集合A的子集个数为2n,真子集的个数为2n－1，非空真子集个. 2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B .[来源:学。科。网] 3．奇数集：. 4. 德▪摩根定律： ①并集的补集等于补集的交集，即； ②交集的补集等于补集的并集，即． 【名师点睛】 1.判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性. 2. 集合中的元素具有三个特性，求解与集合有关的字母参数值(范围)时，需借助集合中元素的互异性来检验所求参数是否符合要求． 3．解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识． 4.利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题． 5.求集合并集的两种基本方法： （1）定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解； （2）数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴求解. 6.求集合交集的方法为： （1）定义法， （2）数形结合法． （3）若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示． 重难点题型一 集合的概念及其表示 归纳总结：与集合中的元素有关问题的求解策略 (1)确定集合的元素是什么，即集合是（数轴）数集、（平面直角坐标系）点集还是其他类型的集合． (2)看这些元素满足什么限制条件． (3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性． 例1.（24-25高一上·上海·随堂练习）下列命题中正确的有（    ）． ①很小的实数可以构成集合； ②R表示一切实数组成的集合； ③给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是有限集； ④2023年联合国所有常任理事国组成一个集合． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 例2.（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列集合是有限集的是（    ） A．不超过π的正整数构成的集合 B．平方后等于自身的数构成的集合 C．高一（2）班中体重在55kg以上的同学构成的集合 D．所有小于2的整数构成的集合 1．（2022高一上·全国·专题练习）下列命题中正确的（    ） ①与表示同一个集合； ②由组成的集合可表示为或； ③方程的所有解的集合可表示为； ④集合可以用列举法表示． A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．以上语句都不对 2．（23-24高一上·陕西汉中·期中）（多选题）下列说法中不正确的是（ ） A．0与表示同一个集合； B．集合与是两个相同的集合； C．方程的所有解组成的集合可表示为； D．集合可以用列举法表示． 重难点题型2 元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A. (2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A. (3)常见的数集及表示符号 数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 归纳总结： (1)判断集合间的关系，要注意先对集合进行化简，再进行判断，并且在描述关系时，要尽量精确． (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系(要注意区间端点的取舍)，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题． 例3.（24-25高一上·全国·单元测试）已知集合，且，则实数的值为（    ） A．2 B．3 C．0 D． 例4.（23-24高一上·重庆璧山·阶段练习）（多选题）已知集合，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 例5.（2024·上海宝山·二模）已知集合，且，则实数的值为 . 1.（24-25高一上·全国·课后作业）（多选题）集合A中含有三个元素2，4，6，若，且，那么为（    ） A．2 B．－2 C．4 D．0 2.（2022高一上·全国·专题练习）下列关系中，正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A．6 B．5 C．4 D．3 3．（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）若集合，且，则 ． 例6.（22-23高三上·山东潍坊·期末）已知集合． (1)若集合A是空集，求a的取值范围； (2)若集合A中只有一个元素，求a的取值范围； (3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围． 1.（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知集合中的元素全为实数，且满足：若，则． (1)若，求出中其他所有元素． (2)0是不是集合中的元素？请你取一个实数，再求出中的元素． 重难点题型3 集合与集合之间的关系：子集与真子集 例7、（2024·陕西铜川·三模）已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例8、（23-24高二下·宁夏银川·阶段练习）设集合，若，则（    ） A．2 B． C．1 D．0 例9、（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知集合，．若，则实数的取值集合为 ． 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知非空集合，集合，，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D．无解 2．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知集合，，（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·河南郑州·期中）（多选题）已知集合，，若，则实数m可以是（    ） A． B．1 C． D．0 例10．（22-23高一上·江苏盐城·阶段练习）已知集合，， (1)若集合，求实数的值； (2)若集合，求实数的取值范围. 1．（20-21高一·全国·课后作业）设集合，． (1)当时，求A的非空真子集个数； (2)当时，求m的取值范围． 考点4 集合间的基本关系：子集与真子集的个数 1.集合A中含有n个元素，则有 (1)A的子集的个数有2n个．(2)A的非空子集的个数有2n－1个． (3)A的真子集的个数有2n－1个．(4)A的非空真子集的个数有2n－2个． 2.空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． 例11．（2024高三下·全国·专题练习）集合的真子集的个数是 . 例12．（23-24高一下·全国·课堂例题）写出满足的集合M： ． 例13．（2024·湖北·模拟预测）已知集合，则下列表述正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知集合．若，则实数 ． 2．（2024高三·全国·专题练习）满足的集合的个数是 ． 3．（2012高一·全国·竞赛）非空集合，满足条件：若，则．这样的M有（    ）． A．13个 B．14个 C．15个 D．16个 考点5 集合的基本运算：交、并、补 1.由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫A与B的并集，记作A∪B；符号表示为A∪B＝{x|x∈A或x∈B} 2．并集的性质 A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝A，A⊆A∪B. 3.对于两个给定的集合A、B，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫A与B的交集，记作A∩B。符号为A∩B＝{x|x∈A且x∈B}。 4. 交集的性质 A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B⊆A. 5、对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA。符号语言：∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}。 归纳总结： 集合基本运算的求解规律 (1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借用Venn图求解． (2)集合中的元素若是连续的实数，常借助数轴求解，但是要注意端点值能否取到的情况． (3)根据集合运算求参数，先把符号语言译成文字语言，然后灵活应用数形结合求解． 例14．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，则 例15．（23-24高二下·辽宁大连·阶段练习）若集合，，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 例16．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，则     （    ） A． B． C． D． 例17．（23-24高一上·甘肃武威·阶段练习）已知全集U，集合A，B如图所示，则图中的阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 1．（23-24高一下·云南曲靖·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖北·模拟预测）已知全集是实数集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D．或 3．（23-24高一上·贵州黔西·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一上·四川攀枝花·阶段练习）（多选题）如图中阴影部分所表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 例18．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合或，． (1)求，； (2)若集合是集合的真子集，求实数的取值范围． 例19．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合. (1)求； (2)若，求的取值范围. 1．（22-23高一上·江西南昌·阶段练习）已知集合，． (1)当时，求； (2)若且，求实数m的值． 2．（23-24高一上·天津·期末）已知全集，集合，. (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围. 考点6 集合的创新定义 例20．（13-14高一上·内蒙古包头·期中）集合，，，且，，则（　　） A． B． C． D．不属于，，中的任意一个 例21．（23-24高一上·上海·期末）已知A、B为非空数集，为平面上的一些点构成的集合，集合，集合，给定下列四个命题，其中真命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 例22．（23-24高一上·上海·期中）设集合为实数集的非空子集，若对任意，，都有，，，则称集合S为“完美集合”，给出下列命题： ①若为“完美集合”，则一定有； ②“完美集合”一定是无限集； ③集合为“完美集合”； ④ 若为“完美集合”，则满足的任意集合也是“完美集合”. 其中真命题是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 例23．（2024·河北石家庄·三模）（多选题）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人 1．（2024·浙江杭州·三模）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2022高三·全国·专题练习）当一个非空数集满足“如果，则，且时，”时，我们称就是一个数域，以下四个关于数域的命题：①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域，其中真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（22-23高一上·上海浦东新·开学考试）定义集合运算且称为集合A与集合B的差集；定义集合运算称为集合A与集合B的对称差，有以下4个等式：①；②；③；④，则4个等式中恒成立的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 4．（24-25高一上·上海·单元测试）设全集，用U的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如{1，3}表示的是从左往右第1个字符为1，第3个字符为1，其余均为0的6位字符串101000，并规定空集表示的字符串为000000． （1）若，则表示的6位字符串为 ． （2）若，集合表示的字符串为011011，则满足条件的集合A的个数为 个． 【解题方法总结】 1、集合的创新定义题核心在于读懂题意。读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到的知识和方法并不难，难在转化. 2、集合的创新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则，新的定理”，要根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法进行理解。 1．（22-23高三上·湖南株洲·阶段练习）已知，若且，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·贵州贵阳·模拟预测）若集合，其中且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·山西晋中·期末）已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·北京·阶段练习）设非空数集同时满足条件：①中不含元素；②若，则.则下列结论正确的是（    ） A．集合中至多有2个元素 B．集合中至多有3个元素 C．集合中有且仅有4个元素 D．集合中至少有5个元素 5．（2024·全国·模拟预测）（多选题）非空集合A具有如下性质：①若，则；②若，则下列判断中，正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 6．（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）（多选题）已知集合，，则a的值为（   ）. A． B． C．1 D． 7．（23-24高一上·陕西西安·开学考试）（多选题）已知集合，若，则实数a的值可以是（    ）． A． B． C．0 D． 8．（23-24高一上·福建三明·期中）（多选题）设，若，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．0 9．（2017高一·全国·竞赛）已知集合，，则 ． 10．（23-24高一上·上海杨浦·期中）若集合的两个非空子集A，B满足，则称为集合U的一组“互斥子集”，与视为同一组互斥子集，则U共有互斥子集 组． 11．（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）某校高一年级组织趣味运动会，其中“毛毛虫”和“两人三足”两个比赛项目深受学生喜爱，报名踊跃.已知某班学生参加“毛毛虫”的人数是该班全体人数的四分之一；参加“两人三足”的人数比参加“毛毛虫”的人数多2人；两个项目都参加的人数比两个项目都不参加的学生人数少26人；则该班参加“两人三足”比赛的人数是 . 12．（23-24高一上·陕西·阶段练习）某社区老年大学秋季班开课，开设课程有舞蹈，太极、声乐.已知秋季班课程共有90人报名，其中有45人报名舞蹈，有26人报名太极，有33人报名声乐，同时报名舞蹈和报名声乐的有8人，同时报名声乐和报名太极的有5人，没有人同时报名三门课程，现有下列四个结论： ①同时报名舞蹈和报名太极的有3人； ②只报名舞蹈的有36人； ③只报名声乐的有20人； ④报名两门课程的有14人. 其中，所有正确结论的序号是 . 13．（23-24高一上·上海·期末）已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 14．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知集合 (1)若求实数的取值范围. (2)是否存在实数，使得?若存在求出的值；若不存在，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1 集合、集合间的关系、集合的运算 考点1.集合的概念及其表示 ⑴.集合中元素的三个特征： ①．确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了． ②．互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的. ③．无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。 ⑵.元素与集合的关系有且只有两种：属于（用符号“”表示）和不属于（用符号“”表示）． ⑶.集合常用的表示方法有三种：列举法、Venn图、描述法． (4).常见的数集及其表示符号 名称 自然数集 (非负整数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 表示符号 N 或 Z Q R 考点2.集合间的基本关系 关系 自然语言 符号语言 Venn图 子集 集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B) A⊆B (或B⊇A) 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 AB (或BA) 集合相等 集合A，B中元素完全相同或集合A，B互为子集 A＝B 【名师提醒】 子集与真子集的区别与联系：一个集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集. 考点3.集合之间的基本运算 如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为 全集 ，全集通常用字母 U 表示； 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形 符号 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 【名师提醒】 1．若有限集A中有n个元素,则集合A的子集个数为2n,真子集的个数为2n－1，非空真子集个. 2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B .[来源:学。科。网] 3．奇数集：. 4. 德▪摩根定律： ①并集的补集等于补集的交集，即； ②交集的补集等于补集的并集，即． 【名师点睛】 1.判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性. 2. 集合中的元素具有三个特性，求解与集合有关的字母参数值(范围)时，需借助集合中元素的互异性来检验所求参数是否符合要求． 3．解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识． 4.利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题． 5.求集合并集的两种基本方法： （1）定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解； （2）数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴求解. 6.求集合交集的方法为： （1）定义法， （2）数形结合法． （3）若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示． 重难点题型1 集合的概念及其表示 归纳总结：与集合中的元素有关问题的求解策略 (1)确定集合的元素是什么，即集合是（数轴）数集、（平面直角坐标系）点集还是其他类型的集合． (2)看这些元素满足什么限制条件． (3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性． 例1.（24-25高一上·上海·随堂练习）下列命题中正确的有（    ）． ①很小的实数可以构成集合； ②R表示一切实数组成的集合； ③给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是有限集； ④2023年联合国所有常任理事国组成一个集合． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据集合的定义和性质判断可得答案． 【详解】对于①，很小的实数是个不确定的概念，不可以构成集合，故错误； 对于②，R表示一切实数组成的集合，故正确； 对于③，给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是无限集，故错误； 对于④，2023年联合国常任理事国有中国、俄罗斯、英国、法国、美国，能组成一个集合，故正确． 故选：C． 例2.（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列集合是有限集的是（    ） A．不超过π的正整数构成的集合 B．平方后等于自身的数构成的集合 C．高一（2）班中体重在55kg以上的同学构成的集合 D．所有小于2的整数构成的集合 【答案】ABC 【分析】不超过的正整数有1，2，3，据此可以判断A；平方后等于自身的数有0和1，据此可以判断B；高一（2）班体重在55以上的同学个数一定，据此可以判断C；所有小于2的整数有无数个，据此可以判断D. 【详解】对于A，不超过的正整数有1，2，3，构成的集合是有限集，A对； 对于B，平方后等于自身的数有0和1，构成的集集合是有限集，B对； 对于C，高一（2）班中体重在以上的同学人数一定，构成的集合是有限集，C对； 对于D，所有小于2的整数有无数个，因此构成的集合属于无限集. 故选：ABC. 1．（2022高一上·全国·专题练习）下列命题中正确的（    ） ①与表示同一个集合； ②由组成的集合可表示为或； ③方程的所有解的集合可表示为； ④集合可以用列举法表示． A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．以上语句都不对 【答案】C 【分析】根据集合的定义和表示方法分别进行判断． 【详解】①{0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故①错误； ②符合集合中元素的无序性，正确； ③不符合集合中元素的互异性，错误； ④中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示，错． 故选：C 2．（23-24高一上·陕西汉中·期中）（多选题）下列说法中不正确的是（ ） A．0与表示同一个集合； B．集合与是两个相同的集合； C．方程的所有解组成的集合可表示为； D．集合可以用列举法表示． 【答案】ACD 【分析】根据集合与元素的关系及集合的表示一一判断即可得结论. 【详解】0是元素不是集合，表示以0为元素的一个集合，故A错误； 集合与的构成元素完全相同，所以是两个相同的集合，故B正确； 方程的所有解组成的集合可表示为，集合中的元素是不同的，故C错误； 集合表示大于小于的全体实数，有无数个且无法一一列举出来，故不可以用列举法表示，故D错误． 故选：ACD. 重难点题型2 元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A. (2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A. (3)常见的数集及表示符号 数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 归纳总结： (1)判断集合间的关系，要注意先对集合进行化简，再进行判断，并且在描述关系时，要尽量精确． (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系(要注意区间端点的取舍)，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题． 例3.（24-25高一上·全国·单元测试）已知集合，且，则实数的值为（    ） A．2 B．3 C．0 D． 【答案】B 【分析】分别令，，解出的值，并根据集合中元素的互异性排除不合题意的值. 【详解】若，则，则根据集合中元素的互异性知不符合题意，舍去； 若，解得或， 若，则根据集合中元素的互异性知不符合题意，舍去； 若，则，符合题意. 故选：B. 例4.（23-24高一上·重庆璧山·阶段练习）（多选题）已知集合，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用元素与集合的关系以及元素特性即可判断. 【详解】由题知，或或， 即或或. 当时，（舍）； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意. 故选：BD 例5.（2024·上海宝山·二模）已知集合，且，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系，结合集合元素的性质求解即得. 【详解】由集合，且，得或，解得或， 当时，，符合题意， 当时，且，与集合元素的互异性矛盾， 所以实数的值为0. 故答案为： 1.（24-25高一上·全国·课后作业）（多选题）集合A中含有三个元素2，4，6，若，且，那么为（    ） A．2 B．－2 C．4 D．0 【答案】AC 【分析】根据，且逐个分析判断即可. 【详解】对于A，当时，，且，所以A正确， 对于B，当时，，所以B错误， 对于C，当时，，且，所以C正确， 对于D，当时，，所以D错误. 故选：AC 2.（2022高一上·全国·专题练习）下列关系中，正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系逐个判断即可. 【详解】由元素与集合的关系，得：在①中，，故①正确； 在②中，，故②正确；在③中，不正确，故③错误；在④中，，故④错误； 在⑤中，，故⑤错误；在⑥中，，故⑥正确.所以正确的个数为3. 故选：D. 3．（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）若集合，且，则 ． 【答案】或 【分析】分和两种情况讨论即可. 【详解】因为，且， 所以或， 当时，，此时，满足题意； 当时，，此时，满足题意， 综上所述，或. 故答案为：或2 例6.（22-23高三上·山东潍坊·期末）已知集合． (1)若集合A是空集，求a的取值范围； (2)若集合A中只有一个元素，求a的取值范围； (3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围． 【答案】(1)． (2)或 (3)或． 【分析】（1）根据空集转化为一元二次方程根的情况求解． （2）根据a分类讨论，从而解决问题． （3）根据至多一个分为一个和没有一个情况即可解决． 【详解】（1）当时，集合， 因为A是空集， 所以且， 所以， 所以a的取值范围是． （2）因为A中只有一个元素， 当时，集合，符合题意， 当时，要使A中只有一个元素， 所以且， 所以， 综上所述，a的取值范围是或 （3）因为A中至多只有一个元素， 所以A为空集或A只有一个元素， 由（1）、（2）可知或， 所以a的取值范围是：或． 1.（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知集合中的元素全为实数，且满足：若，则． (1)若，求出中其他所有元素． (2)0是不是集合中的元素？请你取一个实数，再求出中的元素． 【答案】(1)中其他所有元素为，，2； (2)0不是的元素，当，中的元素是：3，，，． 【分析】（1）根据定义直接计算即可得到中其他所有元素； （2）先假设，依定义判断即可；取，根据定义直接计算即可得到中其他所有元素． 【详解】（1）由题意可知：， 则，，，， 所以中其他所有元素为，，2． （2）假设，则， 而当时，不存在，假设不成立， 所以0不是的元素， 取，则，，，， 所以当，中的元素是：3，，，． 重难点题型3 集合与集合之间的关系：子集与真子集 例7、（2024·陕西铜川·三模）已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，结合图象列不等式即可求解. 【详解】因为， 所以, 所以由数轴得. 即的取值范围为. 故选：D.    例8、（23-24高二下·宁夏银川·阶段练习）设集合，若，则（    ） A．2 B． C．1 D．0 【答案】D 【分析】根据子集的定义，结合集合的互异性进行求解即可. 【详解】因为，所以. 当时，，此时，舍去； 当时，，此时，符合题意. 故选：D 例9、（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知集合，．若，则实数的取值集合为 ． 【答案】 【分析】根据，得到集合的元素都是集合的元素，即可求得的值. 【详解】由题意，所以或，则或， 所以实数的取值集合为. 故答案为：. 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知非空集合，集合，，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D．无解 【答案】A 【分析】由可知是的子集，解不等式可得的取值范围. 【详解】由可知是的子集， 结合数轴可知，， 即， 解得， 故选：A 2．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知集合，，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分析集合M、N，得到，从而得解. 【详解】， ， 因为表示奇数，列举为， 同样表示奇数，所以. 故选：A 3．（23-24高一上·河南郑州·期中）（多选题）已知集合，，若，则实数m可以是（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】ACD 【分析】根据集合包含关系，讨论、求参数值. 【详解】由，当时满足题设， 若， 当，则， 当，则， 显然不可能有且， 综上，或或. 故选：ACD 例10．（22-23高一上·江苏盐城·阶段练习）已知集合，， (1)若集合，求实数的值； (2)若集合，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先化简集合，然后根据条件即可确定实数的值； （2）由条件集合知，集合中至多有2个元素，对集合中的元素个数进行分类讨论即可. 【详解】（1）易知集合，由得： 或，解得：. （2）（1）当时满足； （2）当时 ①当即时，满足，. ②当即时，，不满足. ③当即时，满足，只能， 无解. 综上所述：或. 1．（20-21高一·全国·课后作业）设集合，． (1)当时，求A的非空真子集个数； (2)当时，求m的取值范围． 【答案】(1)62 (2) 【分析】（1）由条件确定集合A中元素，即可求解； （2）由，分类讨论，建立不等式求解即可. 【详解】（1）（1）∵， ∴， ∴A的非空真子集的个数为． （2）分两种情况讨论：①当时，，则； ②当时，解得． 综上可得，m的取值范围为． 考点4 集合间的基本关系：子集与真子集的个数 1.集合A中含有n个元素，则有 (1)A的子集的个数有2n个．(2)A的非空子集的个数有2n－1个． (3)A的真子集的个数有2n－1个．(4)A的非空真子集的个数有2n－2个． 2.空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． 例11．（2024高三下·全国·专题练习）集合的真子集的个数是 . 【答案】31 【分析】利用列举法解出该集合，结合真子集的定义即可求解. 【详解】共5个元素， 则真子集的个数是. 故答案为：31 例12．（23-24高一下·全国·课堂例题）写出满足的集合M： ． 【答案】 【分析】根据子集的定义，列举所有符合条件的集合即可求解． 【详解】根据，可得可以为． 故答案为： 例13．（2024·湖北·模拟预测）已知集合，则下列表述正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】集合表示正奇数除以4，集合表示整数除以4，据此可以判断两个集合的关系. 【详解】表示是的含义是正奇数除以4， 表示的含义是整数除以4, 所以， 故选：C. 1．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知集合．若，则实数 ． 【答案】 【分析】依据给定的并集结果，分类讨论求解参数即可. 【详解】因为，故4必定在中， 当时，解得或，而此时有或， 解得或，故此时， 当时，解得，此时，不满足，故排除， 综上，即实数的值为. 故答案为： 2．（2024高三·全国·专题练习）满足的集合的个数是 ． 【答案】3 【分析】 借助真子集与集合包含关系的性质计算即可得. 【详解】 由题知，则， 故集合的个数为. 故答案为：. 3．（2012高一·全国·竞赛）非空集合，满足条件：若，则．这样的M有（    ）． A．13个 B．14个 C．15个 D．16个 【答案】C 【分析】由题意可得1和8，2和7，3和6，4和5必定同时出现，列出所有结果即可得答案. 【详解】由题意可得1和8，2和7，3和6，4和5必定同时出现，又M非空， 则可以为：，，，，，，， ，，，，，， ， 所以共有（个）． 故选：C. 考点5 集合的基本运算：交、并、补 1.由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫A与B的并集，记作A∪B；符号表示为A∪B＝{x|x∈A或x∈B} 2．并集的性质 A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝A，A⊆A∪B. 3.对于两个给定的集合A、B，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫A与B的交集，记作A∩B。符号为A∩B＝{x|x∈A且x∈B}。 4. 交集的性质 A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B⊆A. 5、对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA。符号语言：∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}。 归纳总结： 集合基本运算的求解规律 (1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借用Venn图求解． (2)集合中的元素若是连续的实数，常借助数轴求解，但是要注意端点值能否取到的情况． (3)根据集合运算求参数，先把符号语言译成文字语言，然后灵活应用数形结合求解． 例14．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，则 【答案】 【分析】化简集合A，B，根据交集运算求解. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 例15．（23-24高二下·辽宁大连·阶段练习）若集合，，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据题意求集合B，再结合补集和交集运算求解. 【详解】因为集合，， 则或，所以或． 故选：B． 例16．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，则     （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次函数化简集合A，B，根据交集运算即可. 【详解】， ， . 故选：D 例17．（23-24高一上·甘肃武威·阶段练习）已知全集U，集合A，B如图所示，则图中的阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据韦恩图及集合的交并补运算，逐项判断，即可得到本题答案. 【详解】    选项A，，则，故A正确； 选项B，，则，故B错误； 选项C，，则，故C正确； 选项D，，则，故D错误. 故选：AC 1．（23-24高一下·云南曲靖·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解出不等式，求出集合A，B，再根据集合的运算性质即可得出结果. 【详解】因为，， 所以，. 故选：B. 2．（2024·湖北·模拟预测）已知全集是实数集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据题意，求得且，结合，即可求解. 【详解】由不等式，解得或，所以或， 又由，可得且， 又因为. 故选：B. 3．（23-24高一上·贵州黔西·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的并集和交集的运算可得. 【详解】， ， 故选：B 4．（22-23高一上·四川攀枝花·阶段练习）（多选题）如图中阴影部分所表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据Venn图，结合集合运算的概念即可得出答案. 【详解】   A选项：，则，故A正确； B选项：，则，故B错误； C选项：，则，故C错误； D选项：，，故D正确. 故选：AD. 例18．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合或，． (1)求，； (2)若集合是集合的真子集，求实数的取值范围． 【答案】(1)，或 (2)或 【分析】（1）根据集合的运算法则计算即可得； （2）由子集的定义得出不等关系后计算即可得． 【详解】（1）， 则， ，或， ∴或； （2）∵集合是集合的真子集， ∴或，解得或． 例19．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合. (1)求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用集合的并集，补集和交集运算求解； （2）根据求解. 【详解】（1）解：因为， 所以， 由或，则； （2）因为，且， 所以， 所以的取值范围是. 1．（22-23高一上·江西南昌·阶段练习）已知集合，． (1)当时，求； (2)若且，求实数m的值． 【答案】(1) (2)或1 【分析】（1）根据集合的并集定义求解即可； （2）由集合对两端点的距离要求，可分三类情况考虑并验证即得. 【详解】（1）当时，，则； （2）因为，，，且， ①当时，则，解得， 此时，此时，满足题意； ②当时，有，解得， 则，此时，不满足题意，舍去； ③当时，有，解得， 此时，，满足题意． 综上，实数m的值为或1． 2．（23-24高一上·天津·期末）已知全集，集合，. (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）利用集合交集，并集，补集定义计算即可求； （2）由，分和两种情况讨论即可. 【详解】（1）当时，，又因为， 所以，或， 所以. （2）若时，成立，即，解得， 若时，则或，解得或， 综上，或. 考点6 集合的创新定义 例20．（13-14高一上·内蒙古包头·期中）集合，，，且，，则（　　） A． B． C． D．不属于，，中的任意一个 【答案】B 【分析】由已知可得，，可得，可得结论. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以. 故选：B. 例21．（23-24高一上·上海·期末）已知A、B为非空数集，为平面上的一些点构成的集合，集合，集合，给定下列四个命题，其中真命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】运用元素和集合的关系判断即可. 【详解】根据题意，若，则；若，则关系不确定. 故选：B． 例22．（23-24高一上·上海·期中）设集合为实数集的非空子集，若对任意，，都有，，，则称集合S为“完美集合”，给出下列命题： ①若为“完美集合”，则一定有； ②“完美集合”一定是无限集； ③集合为“完美集合”； ④ 若为“完美集合”，则满足的任意集合也是“完美集合”. 其中真命题是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【分析】对于①③，可以利用完美集合的定义分析判断，对于②④可以举反例分析判断. 【详解】对于①，若为“完美集合”，对任意的，，①对； 对于②，完美集合不一定是无限集，例如，②错； 对于③，集合， 在集合中任意取两个元素，，，其中、、、为整数， 则，， ， 集合为“完美集合”，③对； 对于④，，，也满足④，但是集合不是一个完美集合，④错. 故选：A. 例23．（2024·河北石家庄·三模）（多选题）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人 【答案】ABD 【分析】根据总人数和各个项目的人数，可求出三项比赛都参加的人数，从而可判定各选项. 【详解】根据题意，设{是参加100米的同学}， {是参加400米的同学}， {是参加1500米的同学}， 则 且 则， 所以三项比赛都参加的有2人，只参加100米比赛的有3人， 只参加400米比赛的有2人，只参加1500米比赛的有1人. 故选：ABD 1．（2024·浙江杭州·三模）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用最小公倍数排除A，B，利用奇数和偶数排除C，求解即可. 【详解】易知集合，， 则中前面的系数应为的最小公倍数，故排除A，B， 对于C，当时，集合为， 而令，可得不为整数，故不含有7， 可得中不含有7，故C错误， 故选：D 2．（2022高三·全国·专题练习）当一个非空数集满足“如果，则，且时，”时，我们称就是一个数域，以下四个关于数域的命题：①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域，其中真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据任意相同元素之差0，可判断①；根据当时，，利用定义依次推导，可判断②，举反例判断③，根据有理数的运算结果判断④. 【详解】对于①，根据当，则，即，所以0是任何数域的元素，故①正确； 对于②，根据当时，，则，即，进而，，故②正确； 对于③，对，但，不满足题意，所以集合不是一个数域，故③不正确； 对于④，若是有理数，则，都是有理数，故有理数集是一个数域，所以④正确; 所以其中真命题的个数是3个. 故选：C. 3．（22-23高一上·上海浦东新·开学考试）定义集合运算且称为集合A与集合B的差集；定义集合运算称为集合A与集合B的对称差，有以下4个等式：①；②；③；④，则4个等式中恒成立的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】利用题设中的新定义，可判定①正确；利用集合运算的韦恩图法，可判定②正确、④错误；利用题设中的定义与集合的运算方法，可判定③正确. 【详解】对于①中，由，所以①正确； 对于②中，由且， 同理可得：, 则， 所以， 所以表示的集合为图（1）中阴影部分所表示的集合，如图所示， 同理，也表示图（1）中阴影部分所表示的集合， 所以，所以②正确；    对于③中，由，所以③正确； 对于④中，如图（2）所示，可得，所以④错误. 故选：B.    4．（24-25高一上·上海·单元测试）设全集，用U的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如{1，3}表示的是从左往右第1个字符为1，第3个字符为1，其余均为0的6位字符串101000，并规定空集表示的字符串为000000． （1）若，则表示的6位字符串为 ． （2）若，集合表示的字符串为011011，则满足条件的集合A的个数为 个． 【答案】 100110 4 【分析】（1）先求出，再利用集合新定义即可求解；（2）利用集合新定义求出，再利用集合的并集结果求集合即可得解. 【详解】（1）因为，， 所以，所以表示的6位字符串为100110； （2）因为集合表示的字符串为011011， 所以，又， 所以集合A可能为，，，， 即满足条件的集合B的个数为4． 故答案为：（1）100110；（2）4． 【解题方法总结】 1、集合的创新定义题核心在于读懂题意。读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到的知识和方法并不难，难在转化. 2、集合的创新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则，新的定理”，要根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法进行理解。 1．（22-23高三上·湖南株洲·阶段练习）已知，若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合所满足的条件即可直接得出答案。 【详解】因为，且，所以. 故选：C 2．（2024·贵州贵阳·模拟预测）若集合，其中且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助元素与集合的关系计算即可得. 【详解】由题意可得，解得. 故选：A. 3．（23-24高一上·山西晋中·期末）已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，根据定义依次判断即可. 【详解】因为，所以， 对于A选项，因为，故A选项错误； 对于B选项，因为，故B选项错误； 对于C选项，因为，故C选项正确； 对于D选项，，故D选项错误. 故选：C. 4．（23-24高一上·北京·阶段练习）设非空数集同时满足条件：①中不含元素；②若，则.则下列结论正确的是（    ） A．集合中至多有2个元素 B．集合中至多有3个元素 C．集合中有且仅有4个元素 D．集合中至少有5个元素 【答案】C 【分析】由题意可求出都在中，然后计算这些元素是否相等，继而判断的元素个数的特点. 【详解】因为若，则，所以，， 则， 当时，4个元素中，任意两个元素都不相等， 所以集合中有且仅有4个元素， 故选：C 5．（2024·全国·模拟预测）（多选题）非空集合A具有如下性质：①若，则；②若，则下列判断中，正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据元素与集合的关系进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，假设，则令，则， 令，则， 令，不存在，即，矛盾， ∴，故A对； 对于B，由题，，则 ∴，故B对； 对于C，∵，，， ∵故C对； 对于D，∵，，若，则，故D错误． 故选：ABC． 6．（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）（多选题）已知集合，，则a的值为（   ）. A． B． C．1 D． 【答案】BD 【分析】由题意可得或或，求出对应的a值，结合集合的特征依次验证即可. 【详解】，集合， 得或或， 解得或或， 当时，，，不符合集合中元素的互异性，故舍去； 当时，，，，满足题意； 当时，，，，满足题意. 故选：BD. 7．（23-24高一上·陕西西安·开学考试）（多选题）已知集合，若，则实数a的值可以是（    ）． A． B． C．0 D． 【答案】BCD 【分析】根据题意，求得，再分和，求得集合，结合，即可求解. 【详解】由方程，解得或，即， 当时，则方程无实数解，此时，满足，符合题意； 当时，由，可得 此时， 要使得，可得或，解得或. 综上可得，实数的值为或或. 故选：BCD. 8．（23-24高一上·福建三明·期中）（多选题）设，若，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】ABD 【分析】分、两种情况讨论，分别确定集合，即可求出参数的值. 【详解】因为，且， 当时，，符合题意； 当时，，又，所以或，解得或， 综上，或或. 故选：ABD 9．（2017高一·全国·竞赛）已知集合，，则 ． 【答案】 【分析】先化简两个集合，再求这两个集合的交集即可. 【详解】提示：由，则是偶数，故； 再由，则是奇数且不小于，即， 故． 故答案为：. 10．（23-24高一上·上海杨浦·期中）若集合的两个非空子集A，B满足，则称为集合U的一组“互斥子集”，与视为同一组互斥子集，则U共有互斥子集 组． 【答案】90 【分析】由题意，任意一个元素只能在集合之一中，求出这5个元素在集合中的个数，再求出分别为空集的种数，从而即可得解． 【详解】任意一个元素只能在集合之一中， 则这5个元素在集合中，共有种； 其中为空集的种数为，为空集的种数为， ∴均为非空子集的种数为， 又与视为同一组互斥子集， U共有互斥子集种. 故答案为：90． 11．（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）某校高一年级组织趣味运动会，其中“毛毛虫”和“两人三足”两个比赛项目深受学生喜爱，报名踊跃.已知某班学生参加“毛毛虫”的人数是该班全体人数的四分之一；参加“两人三足”的人数比参加“毛毛虫”的人数多2人；两个项目都参加的人数比两个项目都不参加的学生人数少26人；则该班参加“两人三足”比赛的人数是 . 【答案】 【分析】设该班总人数为，两个项目都参加的人数为，根据题设并利用容斥原理列方程求，即可得答案. 【详解】设该班总人数为，则参加“毛毛虫”的人数为，参加“两人三足”的人数为， 若两个项目都参加的人数为，则两个项目都不参加的学生人数为， 所以，故该班参加“两人三足”比赛的人数是. 故答案为： 12．（23-24高一上·陕西·阶段练习）某社区老年大学秋季班开课，开设课程有舞蹈，太极、声乐.已知秋季班课程共有90人报名，其中有45人报名舞蹈，有26人报名太极，有33人报名声乐，同时报名舞蹈和报名声乐的有8人，同时报名声乐和报名太极的有5人，没有人同时报名三门课程，现有下列四个结论： ①同时报名舞蹈和报名太极的有3人； ②只报名舞蹈的有36人； ③只报名声乐的有20人； ④报名两门课程的有14人. 其中，所有正确结论的序号是 . 【答案】②③④ 【分析】画出图，结合图形求出同时报名舞蹈和报名太极的人数，再逐一分析即可得解. 【详解】如图，设同时报名舞蹈和报名太极的有x人， 则，解得， 所以同时报名舞蹈和报名太极的有1人， 只报名舞蹈的有人，只报名声乐的有人， 报名两门课程的有人. 故答案为：②③④.    13．（23-24高一上·上海·期末）已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 【答案】(1)或，或 (2) 【分析】（1）考虑和且两种情况. （2）至少有两个子集，则方程由一个或两个根，考虑第一问的结果和且两种情况. 【详解】（1）时，解得符合题意； 时令解得， 此时， 解得符合题意， 故或，或 （2）若至少有两个子集，则至少有一个元素. 由（1）知或时符合题意. 由题意可知时若也符合题意. 即解得且. 综上. 14．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知集合 (1)若求实数的取值范围. (2)是否存在实数，使得?若存在求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）分，，得到集合A，再利用求解； （2）分，，得到集合A，再利用求解； 【详解】（1）当时，，不成立； 当时，，因为所以，解得； 当时，，因为所以，解得， 综上：实数的取值范围是或； （2）当时，，不成立； 当时，，，不成立； 当时，，因为所以，解得； 综上：实数的值是2； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$