精品解析：浙江省浙派联盟2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题

2024年浙江省初中浙派联盟（九年级）评估测试卷 数学试题卷 考生须知： 1．全卷分试题卷Ⅰ、试题卷Ⅱ和答题卷．试题卷共4页，有三个大题，24个小题．满分为120分，考试时长为120分钟． 2．请将学校、班级、姓名和准考证号分别填写在答题卷的规定位置上． 3．答题时，把试题卷Ⅰ的答案在答题卷Ⅰ上对应的选项位置用2B铅笔涂黑、涂满．将试题卷Ⅱ的答案用黑色字迹的钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷Ⅱ各题目规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题区域书写的答案无效． 4．不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 卷Ⅰ 一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 近年来浙江全省数字产业保持年均两位数的增长，去年数字经济核心产业增加值达8977亿元，占地区生产总值比重达11.6％，数字经济核心产业营业收入达3.28万亿元，其中8977亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，有个相同的立方体搭成的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 6. 为了建设“书香校园”，某校开展捐书活动．某班40名学生捐书情况统计如下表： 捐书本数 1 2 3 4 5 8 10 捐书人数 5 8 12 8 4 2 1 则该班学生所捐书本的中位数和众数分别是（ ） A. 3，3 B. 4，12 C. 3.5，3 D. 4，12 7. 如图，已知是的弦，C为上的一点，且于点D，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶各几何？意思是：今有好田亩价值钱，坏田亩价值钱．今用钱购入好、坏田共顷（顷亩）．问好田、坏田各有多少亩？如果设好田为亩，坏田为亩，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 已知抛物线和直线交于，两点，其中，且满足，则直线一定经过（ ） A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第三、四象限 D. 第一、四象限 10. 如图，矩形矩形，连接、、，要求出的面积，只需要知道下面哪个图形的面积（ ） A. 矩形的面积 B. 四边形的面积 C. 的面积 D. 的面积 卷Ⅱ 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 分解因式： _______． 12. 某校计划组织研学活动，现有三个地点可供选择：博物馆、影视城、动物园．若从中随机选择一个地点，则选择动物园的概率为______· 13. 要使分式有意义，x的取值应满足_________． 14. 我国木雕艺术历史悠久．如图1为一木雕的实物图，如图2此木雕可以近似的看作扇环，其中长为米，长为米，为，则木雕的面积（镂空部分忽略不计）为______平方米．（结果保留） 15. 如图，已知平行于y轴的直线与双曲线，双曲线分别相交于点A、B，平行x轴交双曲线于点C，平行x轴交y轴于点D，连接，且满足，平分，则的值为______． 16. 如图，正方形的边长为，以边上的动点为圆心，为半径作圆，将沿翻折至，若过一边上的中点，则的半径为 ____________________． 三、解答题（本大题有8小题，共66分） 17. 计算： （1） （2） 18. 如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，请用无刻度的直尺分别按要求画出下列图形． （1）将图1中的绕点A逆时针旋转，画出旋转后的； （2）如图2，在上找一点D，使的面积与的面积之比为． 19. 出行是人们日常生活必不可少的组成部分，某市多部门联合深化城市交通治理，塑造生态友好、文明友善的城市绿色出行体系，使城市交通向更低碳、更绿色、更高质量发展．为了了解本市市民出行情况，某数学兴趣小组对本市市民的出行方式进行了随机抽样调查．根据调查结果统计的数据，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图． 由图中给出的信息解答下列问题： （1）求此次调查的市民总人数，并补全条形统计图． （2）若本市某天的出行人次约为300万，则乘坐地铁或公交车这两种公共交通出行的人次约为多少万？ （3）根据调查结果对市民的绿色出行提一条合理化的建议． 20. 图1是我国古代提水的器具桔槔(jié gāo)，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿的中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图是桔槔的示意图，大竹竿米，为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． （1）如图，求支点到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； （2）如图，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求水桶在竖直方向上升的距离（结果精确到0.1米）．(参考数据：，，) 21. 如图，已知矩形，E为边上的一点，将沿翻折至，延长交于点G，连接．若，． （1）求的长； （2）当时，求证：G是的中点． 22. 手机已经成为现代人生活的重要组成部分，小明想重新选择一个合适的话费套餐． 素材1：小明通过收集并整理自己近六个月的话费账单得到如下数据： 月份 1 2 3 4 5 6 通话时长（分钟） 123 150 130 155 120 160 流量 15 14 17 20 18 16 素材2：小明通过咨询话费套餐得到如下数据： 套餐名称 套餐内容 超出套餐资费 月租费 免费通话时间 免费上网流量 套餐外通话 套餐外流量 58元 200分钟 0.1元分钟 3元 88元 300分钟 套餐说明：①月手机资费月租费套餐外通话费套餐外流量费； ②套餐外通话不足1分钟时按1分钟算；套餐外流量不足时按算． 请根据以上信息，解决下列问题： （1）小明每月的通话时长与月手机资费有关系吗？为什么？ （2）小明分析账单发现自己每月上网流量波动较大，设每月上网流量为 ，为整数），每月手机资费为元，分别写出套餐、套餐中与之间的关系式； （3）从节省费用的角度考虑，小明应选择哪个套餐？ 23. 在二次函数中， （1）当时， ①求该二次函数图象的顶点坐标； ②当时，求的取值范围； （2）若，两点都在这个二次函数的图象上，且，求的取值范围． 24. 如果过三角形一个顶点的线段将三角形分成两个三角形，其中的一个三角形与原三角形相似，且该三角形与原三角形的相似比为，则原三角形叫和谐三角形． （1）如图1，已知是中边上的中线，，，求证：是和谐三角形； （2）如图2，在5×5的方格纸中，A、B在格点上，请画出一个符合条件的和谐； （3）如图3，在（1）的条件下，作的外接圆，E是上一点，且满足，连接DE， ①设，，求y关于x的函数表达式； ②当时，求的半径． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年浙江省初中浙派联盟（九年级）评估测试卷 数学试题卷 考生须知： 1．全卷分试题卷Ⅰ、试题卷Ⅱ和答题卷．试题卷共4页，有三个大题，24个小题．满分为120分，考试时长为120分钟． 2．请将学校、班级、姓名和准考证号分别填写在答题卷的规定位置上． 3．答题时，把试题卷Ⅰ的答案在答题卷Ⅰ上对应的选项位置用2B铅笔涂黑、涂满．将试题卷Ⅱ的答案用黑色字迹的钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷Ⅱ各题目规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题区域书写的答案无效． 4．不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 卷Ⅰ 一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据有理数大小比较方法，即可求解． 【详解】解： ∴最小的数是 故选：D． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，同底数幂的乘法，除法，幂的乘方，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，选项计算错误； B、，选项计算错误； C、，选项计算正确； D、，选项计算错误； 故选C． 3. 近年来浙江全省数字产业保持年均两位数的增长，去年数字经济核心产业增加值达8977亿元，占地区生产总值比重达11.6％，数字经济核心产业营业收入达3.28万亿元，其中8977亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．据此解答即可． 【详解】解：亿， 故选：A 4. 如图，有个相同的立方体搭成的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查几何体的左视图． 根据左视图是从几何体左面看到的图形即可解答． 【详解】解：从左面看，该几何体为两列，从左到右分别为个正方形，个正方形． 故选B． 5. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解得：， 在数轴上表示不等式组的解集为：， 故选：A． 6. 为了建设“书香校园”，某校开展捐书活动．某班40名学生捐书情况统计如下表： 捐书本数 1 2 3 4 5 8 10 捐书人数 5 8 12 8 4 2 1 则该班学生所捐书本的中位数和众数分别是（ ） A. 3，3 B. 4，12 C. 3.5，3 D. 4，12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求中位数和众数；中位数，是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）．众数是一组数据中出现次数最多的数值．据此即可求解． 【详解】解：由表格数据可知：中位数为：，众数为 故选：A． 7. 如图，已知是的弦，C为上的一点，且于点D，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理、垂径定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．由题意易得，，则有． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴和的度数都是， ∴ ∵ 故选：C． 8. 我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶各几何？意思是：今有好田亩价值钱，坏田亩价值钱．今用钱购入好、坏田共顷（顷亩）．问好田、坏田各有多少亩？如果设好田为亩，坏田为亩，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意，找到等量关系，列出二元一次方程组即可求解，根据题意，找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设好田为亩，坏田为亩， 由题意可得，， 故选：． 9. 已知抛物线和直线交于，两点，其中，且满足，则直线一定经过（ ） A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第三、四象限 D. 第一、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一次函数的交点问题、一次函数的性质，根据题意得到，，即，分；两种情况，分别利用不等式的性质和一次函数的性质进行求解． 【详解】解：∵抛物线和直线交于，两点， ∴，即， ∴，， ∵，且满足， ∴，， ∴， 当时，，即， ∴直线经过第一、二、三象限； 当时，，即， ∴直线经过第二、三、四象限， 综上，直线一定经过第二、三象限， 故选：B． 10. 如图，矩形矩形，连接、、，要求出的面积，只需要知道下面哪个图形的面积（ ） A. 矩形的面积 B. 四边形的面积 C. 的面积 D. 的面积 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似图形的性质，熟练掌握相似图形对应边成比例是解题关键．根据矩形相似，得出，再结合三角形面积公式，即可得到答案． 【详解】解：矩形矩形， ， ， ， 知道的面积，即可求出的面积， 故选：D． 卷Ⅱ 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 分解因式： _______． 【答案】 【解析】 【分析】根据提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查提公因式进行因式分解，找出多项式中各项的公因式是解题的关键． 12. 某校计划组织研学活动，现有三个地点可供选择：博物馆、影视城、动物园．若从中随机选择一个地点，则选择动物园的概率为______· 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式，随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．从中随机选择一个地点共有3种等可能结果，选择动物园的只有1种结果，根据概率公式求解即可． 【详解】解：从中随机选择一个地点共有3种等可能结果，选择动物园的只有1种结果， 所以选择动物园的概率为， 故答案为：． 13. 要使分式有意义，x的取值应满足_________． 【答案】x≠2 【解析】 【详解】解：根据分式有意义的条件，分母不为0，可知x-2≠0， 解得x≠2. 故答案为x≠2. 14. 我国木雕艺术历史悠久．如图1为一木雕的实物图，如图2此木雕可以近似的看作扇环，其中长为米，长为米，为，则木雕的面积（镂空部分忽略不计）为______平方米．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积，熟记公式是解题关键． 【详解】解：木雕的面积 故答案为：． 15. 如图，已知平行于y轴的直线与双曲线，双曲线分别相交于点A、B，平行x轴交双曲线于点C，平行x轴交y轴于点D，连接，且满足，平分，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的综合应用，延长交轴于点，易得四边形为矩形，设，则：，，，根据，得到，根据平行结合角平分线得到，根据两点间的距离公式得到，联立两个式子进行求解即可． 【详解】解：延长交轴于点， ∵平行x轴，平行x轴， ∴，轴， ∵轴， ∴四边形为矩形， 设，则：，，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将代入上式，得：， 整理，得：， ∴； 故答案为：． 16. 如图，正方形的边长为，以边上的动点为圆心，为半径作圆，将沿翻折至，若过一边上的中点，则的半径为 ____________________． 【答案】或或 【解析】 【分析】分三种情况讨论，设的半径为，分别根据勾股定理，即可求解． 【详解】设的半径为，当经过的中点，即经过的中点， ∴， 当经过的中点，则， ∴，， 在中， ∴ 解得：（负值舍去） 当经过的中点，即经过的中点，设的中点为， ∴ ∴ 解得： 综上所述，半径为、、 故答案为：或或． 【点睛】本题考查翻折的性质，勾股定理，正方形的性质，掌握翻折的性质，勾股定理，正方形的性质以及分类讨论是正确解答的关键． 三、解答题（本大题有8小题，共66分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】此题考查了整式的混合运算、实数的混合运算. （1）利用完全平方公式和平方差公式展开合并同类项即可； （2）利用算术平方根、绝对值、零指数幂、立方根进行计算即可. 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. 如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，请用无刻度的直尺分别按要求画出下列图形． （1）将图1中的绕点A逆时针旋转，画出旋转后的； （2）如图2，在上找一点D，使的面积与的面积之比为． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2） 点D即为所求的点． 【解析】 【分析】此题考查了图形的旋转作图、等高三角形的面积关系，熟练掌握图形的旋转作图是解题的关键． （1）分别作出点B和点C绕点A逆时针旋转得到对应点和，顺次连接A、、即可得到旋转后的； （2）在上找到靠近点C的三等分点，连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在上找到靠近点C的三等分点，连接，如图所示： 和是等高不等底的两个三角形，且， 的面积与的面积之比为． 19. 出行是人们日常生活必不可少的组成部分，某市多部门联合深化城市交通治理，塑造生态友好、文明友善的城市绿色出行体系，使城市交通向更低碳、更绿色、更高质量发展．为了了解本市市民出行情况，某数学兴趣小组对本市市民的出行方式进行了随机抽样调查．根据调查结果统计的数据，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图． 由图中给出的信息解答下列问题： （1）求此次调查的市民总人数，并补全条形统计图． （2）若本市某天的出行人次约为300万，则乘坐地铁或公交车这两种公共交通出行的人次约为多少万？ （3）根据调查结果对市民的绿色出行提一条合理化的建议． 【答案】（1）200人， 补全条形统计图如图 （2）乘坐地铁或公交车这两种公共交通出行的人次约为165万人； （3） 尽量少开汽车，多选择地铁、公交车等公共交通工具（言之有理即可）． 【解析】 【分析】此题主要考查了条形统计图、扇形统计图的综合运用． （1）利用“私家车”方式出行的人数以及占比可求得此次调查的市民总人数，再用这个总人数乘“公交车”方式出行的占比，求得乘“公交车”方式出行的人数，即可补全条形统计图； （2）利用样本估计总体的方法计算即可求解； （3）合理即可． 【小问1详解】 解：总人数为（人）， 乘“公交车”方式出行的人数为（人）， 【小问2详解】 解：（万人）， 答：乘坐地铁或公交车这两种公共交通出行的人次约为165万人； 【小问3详解】 略 20. 图1是我国古代提水的器具桔槔(jié gāo)，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿的中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图是桔槔的示意图，大竹竿米，为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． （1）如图，求支点到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； （2）如图，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求水桶在竖直方向上升的距离（结果精确到0.1米）．(参考数据：，，) 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．正确构造直角三角形是解题的关键． （1）作于点，易得的长度和的度数，根据的长度和的余弦值可得的长度； （2）在（1）中求得的长，作于点，可得的长度，则水桶在竖直方向上升的距离为与的差． 【小问1详解】 解：如图，作于点，则， 由题意得：，， ， ， ， ， 米，为的中点， 米， （米； 【小问2详解】 解：在（1）中米， 如图，作于点，则， 同理可得，， ， 水桶在竖直方向上升的距离为米， 故水桶在竖直方向上升的距离约为米． 21. 如图，已知矩形，E为边上的一点，将沿翻折至，延长交于点G，连接．若，． （1）求的长； （2）当时，求证：G是的中点． 【答案】（1）12 （2） 证明：由折叠可知，， ∴， 设，，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得， ∴ ∴， ∴G是的中点． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据三角函数定义得出，求出，最后根据勾股定理求出结果即可； （2）根据已知条件得出，设，，则，证明，得出，求出，得出，即可证明结论． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，三角形相似的判定和性质，解直角三角形的相关计算，勾股定理，平行线的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质． 22. 手机已经成为现代人生活的重要组成部分，小明想重新选择一个合适的话费套餐． 素材1：小明通过收集并整理自己近六个月的话费账单得到如下数据： 月份 1 2 3 4 5 6 通话时长（分钟） 123 150 130 155 120 160 流量 15 14 17 20 18 16 素材2：小明通过咨询话费套餐得到如下数据： 套餐名称 套餐内容 超出套餐资费 月租费 免费通话时间 免费上网流量 套餐外通话 套餐外流量 58元 200分钟 0.1元分钟 3元 88元 300分钟 套餐说明：①月手机资费月租费套餐外通话费套餐外流量费； ②套餐外通话不足1分钟时按1分钟算；套餐外流量不足时按算． 请根据以上信息，解决下列问题： （1）小明每月的通话时长与月手机资费有关系吗？为什么？ （2）小明分析账单发现自己每月上网流量波动较大，设每月上网流量为 ，为整数），每月手机资费为元，分别写出套餐、套餐中与之间的关系式； （3）从节省费用的角度考虑，小明应选择哪个套餐？ 【答案】（1） 没有关系，理由如下： 小明每月的通话时间分钟， 小明每月的通话时间都属于免费通话时间； （2）， （3）套餐 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，能读懂数表弄清数量关系是解题关键． （1）利用表格数据可求解； （2）套餐的费用月租费套餐外流量费，套餐的费用月租费，即可求解； （3）由自变量的范围，可求套餐的费用范围，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 套餐， 套餐； 【小问3详解】 ， ， 所以选择套餐． 23. 在二次函数中， （1）当时， ①求该二次函数图象的顶点坐标； ②当时，求的取值范围； （2）若，两点都在这个二次函数的图象上，且，求的取值范围． 【答案】（1）①；② （2）且 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像的知识点． （1）将代入即可求出顶点，再根据二次函数的特点即可求解； （2）求出二次函数的对称轴，再分情况讨论即可． 【小问1详解】 解：①把代入得， 抛物线的顶点坐标为； ②当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 当时，有最大值， 当时，；当时，， 当时，； 【小问2详解】 抛物线的对称轴为直线， ①当，即时，点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离 ，解得， ， ②当，即时，点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， 成立， ， ③对称轴在点左侧不合题意，舍去 综上所述，且． 24. 如果过三角形一个顶点的线段将三角形分成两个三角形，其中的一个三角形与原三角形相似，且该三角形与原三角形的相似比为，则原三角形叫和谐三角形． （1）如图1，已知是中边上的中线，，，求证：是和谐三角形； （2）如图2，在5×5的方格纸中，A、B在格点上，请画出一个符合条件的和谐； （3）如图3，在（1）的条件下，作的外接圆，E是上一点，且满足，连接DE， ①设，，求y关于x的函数表达式； ②当时，求的半径． 【答案】（1） 证明：∵是边上的中线，， ∴ ∴，， ∴ ∵， ∴ ∴是和谐三角形 （2） 答案如下图（画出一个即可）       （3）①；② 【解析】 【分析】（1）由已知数据证明，由证明，则问题可证； （2）根据和谐三角形和勾股定理在网格图中构造图形即可； （3）①由，得到，，利用圆内接四边形性质推导证明，用x表示则有，解得； ②连接、，证明是等边三角形，则有，所以，解得，，再求出的半径为； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 答案如下图（画出一个即可） 理由：如图画线段， 由勾股定理可知，，，， 故可知，， ∴，故符合题意，同理 如图取点D，连BD，可证明 【小问3详解】 ①∵， ∴ ∴， ∴，即 ∵， ∴ ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ ②连接、、 过O作于点H ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴的半径为 【点睛】本题考查了圆的有关性质和相似三角形的性质和判定，解答时注意根据和谐三角形的定义进行判定． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $