重庆市育才中学校2023-2024学年高二下学期期中数学试题

重庆市育才中学校高2025届高二下半期考试 数学试题 2024.4 （满分150分，考试时间120分钟） 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 注意事项： 1．答卷前，请考生先在答题卡上准确工整地填写本人姓名、准考证号； 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5mm黑色签字笔答题； 3．请在答题卡中题号对应的区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效； 4．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、损毁；考试结束后，将答题卡交回. 第I卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数在处的切线方程为，则（ ） A. 0 B. C. D. 2. 已知函数的导函数的大致图象如图所示，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在的展开式中，含有项的系数为（ ） A. B. 0 C. 5 D. 10 4. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记“两次的点数均为偶数”，“两次的点数之和为6”，则（ ） A. B. C. D. 5. 在某次流感疫情爆发期间，A，B，C三个地区均爆发了流感，经调查统计A，B，C地区分别有的人患过流感，且A，B，C三个地区的人数的比为．现从这三个地区中随机选取一人，则此人患过流感的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在处有极大值，则（ ） A. 1或3 B. 3 C. 1 D. 7. 如果函数的导数，可记为．若，则表示函数的图象与直线以及轴围成的封闭图形的面积，可称之为在区间上的“围面积”．则函数在区间上的“围面积”是（ ） A. B. C. D. 8. 已知正数满足（e为自然对数的底数），则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对按比例得分，有选错的得0分 9. 某产品的加工过程有甲、乙、丙、丁、戊5道不同的工序，现将5道工序按不同的顺序安排流程，则下列说法正确的是（ ） A. 如果甲工序不能放在第一，共有96种加工顺序 B. 如果甲、乙两道工序必须相邻，共有12种加工顺序 C. 如果甲、丙两道工序必须不相邻，共有72种加工顺序 D. 如果乙、丙两道工序必须乙在前，丙在后，共有40种加工顺序 10. 若，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 含项的系数是112 11. 已知函数，则（ ） A. 若正数为函数的从小到大的第个极值点，则为等差数列 B. 若正数为函数的从小到大的第个极值点，则为等比数列 C. ，函数在上没有零点 D. ，函数在上有且仅有一个零点 第II卷 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知离散型随机变量的分布列如下，则_______． 2 3 6 13. 在的展开式中，若第7项与第8项的二项式系数之比为，则________． 14. 若是函数的两个极值点，则的取值范围为________；若，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和． 16. 已知函数． （1）若，求在上的最值； （2）讨论函数的单调性． 17. 近期重庆市育才中学校举行了“探‘乐’计划”校园歌手大赛和“想玩就‘趣’FUN肆到底”育才达人甲、乙、丙三人均依次参加两个比赛，三人进入校园歌手大赛决赛的概率均是，进入达人秀决赛的概率均是，且每个人是否进入歌手大赛决赛和达人秀决赛互不影响． （1）求甲两个比赛都进入决赛的概率； （2）记三人中两个比赛均进入决赛的人数为．求随机变量的概率分布和数学期望 18. 已知双曲线和椭圆有公共焦点，且离心率． （1）求双曲线的方程； （2）过点作两条相互垂直的直线分别交双曲线于不同于点的两点，求点到直线距离的最大值． 19. 意大利画家达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链下垂部分所形成的曲线是悬链线，通过建立适当坐标系，悬链线可为函数的图象，我们称这个函数为“双曲余弦函数”，记为，把称为“双曲正弦函数”，记，易知． （1）证明：（i）当时，； （ii）当时，； （2）证明：． 重庆市育才中学校高2025届高二下半期考试 数学试题 2024.4 （满分150分，考试时间120分钟） 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 注意事项： 1．答卷前，请考生先在答题卡上准确工整地填写本人姓名、准考证号； 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5mm黑色签字笔答题； 3．请在答题卡中题号对应的区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效； 4．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、损毁；考试结束后，将答题卡交回. 第I卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对按比例得分，有选错的得0分 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ABD 第II卷 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】2 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 四、解答题：本题共5题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）最大值为，最小值为. （2）见解析 【17题答案】 【答案】（1） （2）分布列见解析，. 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1） （i）由， 令， 则， 所以在上单调递增， 所以， 所以当时，成立； （ii）令， 则， 令， 则， 因此在上单调递增； 所以， 故， 即， 所以在上单调递增， 即， 所以当时，成立； （2） 由时，成立， 令，且， 则， 即 ， 由题意， 令且，可得， 因为， 所以， 由①当时，， 所以令且，可得， 所以， 由前面解答过程得，对任意成立， 令且， 可得 ， 所以， 又且，所以， 所以 所以可得 ， 即可得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $