精品解析：安徽省六安第一中学2023-2024学年高二下学期期末数学试题

六安一中2024年春学期高二年级期末考试 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排1人，问天实验舱与梦天实验舱各安排2人，且甲、乙两人被安排在同一个舱内，则共有（ ）种方案． A. 3 B. 6 C. 30 D. 60 6. 古语云：“朝霞不出门，晚霞行千里”，其意是如果早晨起来看到天边有朝霞的话，今天的天气可能不佳，会下雨，要引起重视，若是傍晚看到天边的晚霞，第二天很有可能有一个好天气，天气晴朗．某学习小组针对“朝霞不出门”这一句的可信度进行了观测统计，得到如下列联表． 有朝霞 无朝霞 合计 当天有雨 8 8 16 当天无雨 2 12 14 合计 10 20 30 参考公式：． 临界值参照表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 则下列说法正确的是（ ） A. 如果有朝霞，当天下雨概率超过 B. 能在犯错概率不超过的前提下，认为有朝霞与当天下雨有关 C. 能在犯错概率不超过的前提下，认为有朝霞与当天下雨有关 D. 连续三天中必有一天出现朝霞 7. 已知函数的定义域为，且，，，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 8. 已知函数，，若成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知实数，，，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值是 B. 的最小值是4 C. 的最小值是 D. 的最大值是， 10. 已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且对任意的，，都有，则（ ） A. 是奇函数 B. C. 的图象关于对称 D. 11. 在信道内传输信号，信号的传输相互独立，发送某一信号时，收到的信号字母不变的概率为，收到其他两个信号的概率均为．若输入四个相同的信号的概率分别为，且．记事件分别表示“输入”“输入”“输入”，事件表示“依次输出”，则（ ） A. 若输入信号，则输出的信号只有两个的概率为 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量满足，若，则__________． 13. 已知，，，则的最大值是______． 14. 知识卡片：一般地，如果是区间上的连续函数，并且，那么.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式.当，时，有如下表达式：，两边同时积分得：，从而得到如下等式：请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，由二项式定理计算：_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知函数在点处的切线平行于轴． （1）求实数； （2）求的单调区间和极值． 17. 已知函数． （1）若存在，对任意的都成立；求m的取值范围； （2）设，若不等式在上有解，求实数k的取值范围． 18. 区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后的下一代颠覆性的核心技术．区块链作为“信任的机器”，将可能彻底改变整个人类社会价值传递的方式．2018年至2022年五年期间，中国的区块链企业数量逐年增长，居世界前列．现收集我国近5年区块链企业总数量相关数据，如表： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 编号 1 2 3 4 5 企业总数量（单位：千个） 2.156 3.727 8.305 24279 36.224 （1）根据表中数据判断，与（其中为自然对数的底数），哪一个回归方程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量？（给出结果即可，不必说明理由） （2）根据（1）的结果，求关于的回归方程．（结果精确到小数点后第三位） （3）为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛，比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司就获得此次信息化比赛的“优胜公司”．已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，请通过计算说明，哪两个公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最大？ 附：线性回归方程中，． 参考数据： 19 记，． （1）若，求和； （2）已知定义在上函数是偶函数，求证：对于任意正实数，均有． （3）若，求证：对于任意，都有，且存在，使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 六安一中2024年春学期高二年级期末考试 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】验证集合中的元素，是否是集合中元素，即可求. 【详解】因为，所以，，所以，，所以， 所以. 故选：C 2. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数的定义域为，可得，再求解的解集，即可得函数的定义域. 【详解】由题意可知，函数的定义域为，则函数的定义域满足，则，所以函数的定义域为. 故选：C. 3. 已知函数，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件的定义判断充分条件，举反例说明不必要性即可. 【详解】若，则, 则“”是“”的充分条件; 若则, 则“”是“”的不必要条件; 故选:A. 4. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由对数函数单调性可得，再结合分段函数判断计算得解. 【详解】由，得，函数， 所以 故选：D 5. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排1人，问天实验舱与梦天实验舱各安排2人，且甲、乙两人被安排在同一个舱内，则共有（ ）种方案． A. 3 B. 6 C. 30 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】先考虑天和核心舱，然后再考虑剩下的两个舱即可. 【详解】先除甲、乙外的3名航天员中挑1人到天和核心舱有种情况， 然后剩下的2名航天员一组，甲乙一组分配到剩下的两个舱有种情况， 所以共有. 故选：B. 6. 古语云：“朝霞不出门，晚霞行千里”，其意是如果早晨起来看到天边有朝霞的话，今天的天气可能不佳，会下雨，要引起重视，若是傍晚看到天边的晚霞，第二天很有可能有一个好天气，天气晴朗．某学习小组针对“朝霞不出门”这一句的可信度进行了观测统计，得到如下列联表． 有朝霞 无朝霞 合计 当天有雨 8 8 16 当天无雨 2 12 14 合计 10 20 30 参考公式：． 临界值参照表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 则下列说法正确的是（ ） A. 如果有朝霞，当天下雨的概率超过 B. 能在犯错概率不超过的前提下，认为有朝霞与当天下雨有关 C. 能在犯错概率不超过的前提下，认为有朝霞与当天下雨有关 D. 连续三天中必有一天出现朝霞 【答案】B 【解析】 【分析】对A，由题中列联表判断即可；对BC，计算卡方判断即可；对D，根据概率的性质判断即可. 【详解】对A，由题中列联表知，如果有朝霞，则当天下雨的概率约为，故A选项错误； 对BC，由题得，但小于7.879，故B选项正确，C选项错误； 对D，有朝霞的天数占总天数的，但并不意味着连续三天中必有一天出现朝霞，故D选项错误. 故选：B． 7. 已知函数的定义域为，且，，，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】由已知结合赋值法推出函数为偶函数，进而采用变量代换方法，推出函数的对称中心，进而推出其周期，再结合赋值法求得，结合函数的周期性，即可求得答案. 【详解】由题意知函数的定义域为，且，， 令，则，即，故为偶函数； 又，令，则， 又由，得， 即的图象关于点成中心对称，则； ，即，又结合为偶函数， 则，故，即4为的周期， 故， 故 ， 故选：D 【点睛】方法点睛：（1）涉及到抽象函数的求值问题，一般利用赋值法，即令x取特殊值，求得函数值；（2）涉及抽象函数的奇偶性、单调性、对称性以及周期性问题，往往利用变量代换结合相关定义进行推导. 8. 已知函数，，若成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，得到关于t的函数式，进而可得关于t的函数式，构造函数利用导数研究单调性并确定最值，即可求的最小值. 【详解】令，则，， ∴，，即， 若，则， ∴，有， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； ∴，即的最小值为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：令确定关于t的函数式，构造函数并利用导数求函数的最小值. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知实数，，，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值是 B. 的最小值是4 C. 最小值是 D. 的最大值是， 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式和平方关系即可判断选项AC，根据可利用基本不等式中“1”的妙用即可判断B，将平方可求得其取值范围，即可判断D. 【详解】对于A，利用基本不等式可得，当且仅当时等号成立，所以的最大值是，故A错误； 对于B，，当且仅当时等号成立，即B正确； 对于C，，当且仅当时等号成立，所以C正确； 对于D，由可得， 当且仅当时等号成立，即的最大值是，故D正确. 故应选：BCD. 10. 已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且对任意的，，都有，则（ ） A. 是奇函数 B. C. 的图象关于对称 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和题设条件，推得是周期为4的周期函数，结合周期函数的性质求值，利用单调性比较大小，逐项判定即可求解. 【详解】因为为奇函数，所以 ,即函数关于对称，C正确; 由函数关于对称可知, 又因为为偶函数，所以 ，即函数关于对称， 则, 所以,即, 所以,所以是周期为4的周期函数， 所以,又, 所以,所以,所以,B正确; 是偶函数，A错误; 对任意的,且,都有,不妨设, 则,由单调性的定义可得函数在上单调递增， 又由函数关于对称，所以在上单调递增 又,, 所以,得，D错误. 故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数，解题关键是合理利用抽象函数的单调性，奇偶性周期性分析题意，然后逐个选项分析即可． 11. 在信道内传输信号，信号的传输相互独立，发送某一信号时，收到的信号字母不变的概率为，收到其他两个信号的概率均为．若输入四个相同的信号的概率分别为，且．记事件分别表示“输入”“输入”“输入”，事件表示“依次输出”，则（ ） A. 若输入信号，则输出的信号只有两个的概率为 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由独立事件的乘法公式可得A错误；由条件概率公式可得BC正确；全概率的应用，先求出，再根据和化简得到D正确. 【详解】A：因为发送某一信号时，收到的信号字母不变的概率为，收到其他两个信号的概率均为，即收到的信号字母变的概率为，且信号的传输相互独立， 所以输入信号，则输出的信号只有两个的概率为，故A错误； B：因为，故B正确； C：，故C正确； D：因为， 而 ， 所以 ， 故D正确； 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用独立事件的条件概率公式和全概率公式. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量满足，若，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据，利用二项分布的概率公式列方程计算即可. 【详解】由已知得， 解得 故答案为：. 13. 已知，，，则最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知的等式得出代入等式中，运用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为，所以，代入中，得， 由（当且仅当时取等号）， 于是有（当且仅当时取等号）， 因为，，所以， 因此有（当且仅当时取等号）， ，（当时取等号，即时，取等号）， 所以有（当且仅当时取等号）， 即（当且仅当时取等号），因此有（当且仅当时取等号），所以的最大值是. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的关键一是通过已知等式对代数式进行消元变形；二是通过重要不等式，得到，进而应用基本不等式进行解题. 14. 知识卡片：一般地，如果是区间上的连续函数，并且，那么.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式.当，时，有如下表达式：，两边同时积分得：，从而得到如下等式：请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，由二项式定理计算：_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据微积分基本定理得到，再结合二项式定理及微积分基本定理计算可得. 【详解】因为， 且， 所以 ； ， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是对题干所给微积分基本定理的理解及应用，对于新定义型问题，理解定义是关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出，根据题意列出不等式组，求解即可； （2）由得，分，两种情况讨论可求得的取值范围． 【小问1详解】 由集合，所以， 又，， 所以，解得； 所以实数的取值范围是． 【小问2详解】 若，则， 当时，，解得； 当时，有，要使，则，解得， 综上，实数的取值范围是． 16. 已知函数在点处的切线平行于轴． （1）求实数； （2）求的单调区间和极值． 【答案】（1）1 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）对函数求导，依题意只需使即可求得实数； （2）利用（1）写出函数解析式，求导并分解因式，在定义域内分类讨论导函数的符号，即得单调区间和函数的极值. 【小问1详解】 由可得：， 由题意，，解得； 【小问2详解】 由（1）得，，则， 当时，，则在上是减函数； 当时，，在上是增函数. 故时，函数有极小值为，无极大值. 故函数的单调递增区间为，递减区间为，函数有极小值为，无极大值. 17. 已知函数． （1）若存在，对任意的都成立；求m的取值范围； （2）设，若不等式在上有解，求实数k的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）题目可转化为 ：对任意的都成立，再利用变换主元的方法，把看作自变量，看作参数，即可求解； （2）由函数解析式, 令，再分离参数k，即可求解. 【小问1详解】 ，当时， 又∵存在，对任意的都成立， ∴对任意的都成立 即对任意的都成立，其中看作自变量，看作参数， 即，解得： 【小问2详解】 令则 ,因为不等式在区间上有解 ，又   而 ,即实数的取值范围是 18. 区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后的下一代颠覆性的核心技术．区块链作为“信任的机器”，将可能彻底改变整个人类社会价值传递的方式．2018年至2022年五年期间，中国的区块链企业数量逐年增长，居世界前列．现收集我国近5年区块链企业总数量相关数据，如表： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 编号 1 2 3 4 5 企业总数量（单位：千个） 2.156 3.727 8.305 24.279 36.224 （1）根据表中数据判断，与（其中为自然对数的底数），哪一个回归方程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量？（给出结果即可，不必说明理由） （2）根据（1）的结果，求关于的回归方程．（结果精确到小数点后第三位） （3）为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛，比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司就获得此次信息化比赛的“优胜公司”．已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，请通过计算说明，哪两个公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最大？ 附：线性回归方程中，． 参考数据： 【答案】（1）回归方程适宜预测未来几年我国区块链企业总数量 （2） （3）甲公司获得“优胜公司”概率最大． 【解析】 【分析】（1）根据数据的增长速度逐渐加快得到答案. （2）变换得到，得到，根据公式计算得到答案. （3）考虑：甲与乙；：甲与丙；：丙与乙三种比赛情况，分别计算概率，再比较大小得到答案. 【小问1详解】 根据题表中数据可知区块链企业数量增加的速度逐渐变快， 所以回归方程适宜预测未来几年我国区块链企业总数量． 【小问2详解】 对两边取自然对数，得，令，得， ， 所以， ， 所以关于的回归直线方程为， 则关于的回归方程为． 【小问3详解】 对于首场比赛的选择有以下三种情况：：甲与乙；：甲与丙；：丙与乙． 由于在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为， 则甲公司获胜的概率分别是： ， ， ． 因为， 所以甲与丙两公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最大． 19. 记，． （1）若，求和； （2）已知定义在上的函数是偶函数，求证：对于任意正实数，均有． （3）若，求证：对于任意，都有，且存在，使得． 【答案】（1）；； （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）直接代入求解即可； （2）根据新定义的含义，结合奇偶函数的定义、最值的定义证明即可； （3）由题意知，，记，判断的单调性，求出极值，再对分类讨论，进一步证明结论成立即可. 【小问1详解】 由题意得：； ； 【小问2详解】 对于任意正实数，任取， 则存在实数满足使得， 因为是偶函数，所以，而， 由此可得，于是有， 同理，所以． 【小问3详解】 证明：由题意知， 记，有或2 0 2 正 0 负 0 正 极大值 极小值 现对分类讨论： ①当，有，为严格增函数， 因为，所以此时符合条件； ②当时，，先减后增， 因为（取等号）， 所以， 则此时也符合条件； ③当时，，，在严格单调递增， 在严格单调递减，在严格单调递增， ， 因为，当时，， 则，则此时成立； 综上可知，对于任意，都有， 且存在，使得． 【点睛】关键点睛：本题的关键点在于把握新定义的含义，结合奇偶函数的定义、最值的定义证明即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$