第21章 二次函数与反比例函数 章节整合练习（21个知识点+40题练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第21章 二次函数与反比例函数 章节整合练习（21个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．反比例函数的定义 （1）反比例函数的概念 形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数． （2）反比例函数的判断 判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）． 知识点2．反比例函数的图象 用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线． （1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值． （2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确． （3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线． （4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴． 知识点3．反比例函数图象的对称性 反比例函数图象的对称性： 反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y＝﹣X；②一、三象限的角平分线Y＝X；对称中心是：坐标原点． 知识点4．反比例函数的性质 反比例函数的性质 （1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线； （2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小； （3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点． 知识点5．反比例函数系数k的几何意义 比例系数k的几何意义 在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． 知识点6．反比例函数图象上点的坐标特征 反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线， ①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k； ②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称； ③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 知识点7．待定系数法求反比例函数解析式 用待定系数法求反比例函数的解析式要注意： （1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程； （3）解方程，求出待定系数； （4）写出解析式． 知识点8．反比例函数与一次函数的交点问题 反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： ①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点； ②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点． 知识点9．根据实际问题列反比例函数关系式 根据实际问题列反比例函数关系式，注意分析问题中变量之间的联系，建立反比例函数的数学模型，在实际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析．首先弄清题意，找出等量关系，再进行等式变形即可得到反比例函数关系式． 根据图象去求反比例函数的解析式或是知道一组自变量与函数值去求解析式，都是利用待定系数法去完成的． 注意：要根据实际意义确定自变量的取值范围． 知识点10．反比例函数的应用 （1）利用反比例函数解决实际问题 ①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． （2）跨学科的反比例函数应用题 要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想． （3）反比例函数中的图表信息题 正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想． 知识点11．反比例函数综合题 （1）应用类综合题 能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识． （2）数形结合类综合题 利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法． 知识点12．二次函数的定义 （1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． （2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 知识点13．二次函数的图象 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 知识点14．二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 知识点15．待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 知识点16．抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 知识点17．图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 知识点18．二次函数与不等式（组） 二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系 ①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围． ②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 知识点19．根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 知识点20．二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 知识点21．二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 章节题型整合练习 一．反比例函数的定义 1．（2022秋•安徽期中）下列函数关系式中，是的反比例函数的是　　 A． B． C． D． 2．（2020秋•太和县期末）如果函数为反比例函数，则的值是 　　． 二．反比例函数的图象 3．（2022秋•萧县校级月考）函数与函数在同一坐标系中的图象可能是　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•庐阳区校级期中）函数揭示了两个变量之间的关系，它的表示方法有三种：列表法、图象法、解析式法．请你根据学习函数的经验，完成对函数的探究．下表是函数与自变量的几组对应值： 0 2 3 4 5 7 4 3 2.5 （1）函数自变量的取值范围为 　　． （2）根据表格中的数据，求出，的值，并在如图所示的平面直角坐标系中，画出该函数的图象． （3）请根据画出的函数图象，直接写出该函数的一条性质：　　． 三．反比例函数图象的对称性 5．（合肥月考）若直线与双曲线的交点为，、，，则的值为　　． 四．反比例函数的性质 6．（2024•望江县三模）在一次函数为常数且中，随的增大而增大，那么反比例函数的图象在　　 A．第二、四象限 B．第一、二象限 C．第三、四象限 D．第一、三象限 7．（亳州期末）如图，曲线是函数在第一象限内的图象，抛物线是函数的图象，点，，2，在曲线上，且，都是整数． （1）求出所有的点； （2）求抛物线的顶点坐标和对称轴； （3）在中任取两点作为点和点点的横坐标小于点的横坐标），作直线，请直接写出能使直线与抛物线有交点的，的坐标，并求出直线的解析式． 五．反比例函数系数k的几何意义 8．如图，过反比例函数的图象上任意两点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，连接、，设和的面积分别是、，比较它们的大小，可得　　 A． B． C． D．大小关系不能确定 9．（2023秋•贵池区月考）如图，两个反比例函数和在第二象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，若四边形的面积为4.5，则　　． 六．反比例函数图象上点的坐标特征 10．（2022秋•贵池区期末）如图，反比例函数的图象经过，则以下说法错误的是　　 A． B．，随的增大而减小 C．图象也经过点 D．当时， 11．（2023秋•庐阳区校级月考）如图，反比例函数的图象的一支在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）求的取值范围； （2）若此反比例函数的图象经过点，求的值． 七．待定系数法求反比例函数解析式 12．（2020•瑶海区校级模拟）已知关于的方程有唯一实数解，且反比例函数的图象，在每个象限内随的增大而增大，那么反比例函数的关系式为　　 A． B． C． D． 13．（2023秋•怀宁县期中）如图，已知矩形的两个顶点，都在反比例函数的图象上，经过原点，对角线垂直于轴．垂足为，已知点的坐标为． （1）求反比例函数的解析式； （2）求矩形的面积． 八．反比例函数与一次函数的交点问题 14．（2024•固镇县三模）如图：直线与轴交于点，与双曲线交于点，过点作轴于点，且，则的值为　　 A．2 B． C．4 D． 15．（2023秋•六安期末）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式． （2）根据图象，直接写出满足的的取值范围． 九．根据实际问题列反比例函数关系式 16．近视眼镜的度数（度与镜片焦距成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为，则与的函数关系式为　　 A． B． C． D． 一十．反比例函数的应用 17．（2024•宣城模拟）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．下列说法正确的是　　 A．当液体密度时，浸在液体中的高度 B．当液体密度时，浸在液体中的高度 C．当浸在液体中的高度时，该液体的密度 D．当液体的密度时，浸在液体中的高度 18．（2023秋•宿松县期末）学校下午放学时校门口的“堵塞”情况已成为社会热点问题，某校对本校下午放学校门口“堵塞”情况做了一个调查发现：每天放学时间2分钟后校门外学生流量变化大致可以用“拥挤指数” 与放学后时间（分钟）的函数关系描述．如图，分钟呈二次函数状态，且在第12分钟达到该函数最大值100，此后变化大致为反比例函数的图象趋势．若“拥挤指数” ，校门外呈现“拥挤状态”，需要护学岗执勤人员维护秩序、疏导交通． （1）求该二次函数的解析式和的值； （2）“拥挤状态”持续的时间是否超过15分钟？请说明理由． 一十一．反比例函数综合题 19．（合肥二模）如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点，分别与、相交于点、．，则下列结论正确的是 　　（将正确的结论填在横线上）． ①，②，③连接，，④连接，则． 20．（2021秋•包河区校级期末）如图，直线与双曲线在第一象限内交于，两点，已知，． （1）求的值及直线的解析式． （2）根据函数图象，直接写出不等式的解集． （3）设点是线段上的一个动点，过点作轴于点，是轴上一点，当的面积为时，请直接写出此时点的坐标． 一十二．二次函数的定义 21．（2023秋•宣州区校级月考）下列各式中，是的二次函数的是　　 A． B． C． D． 22．（2023秋•全椒县期中）若是关于的二次函数，则一次函数的图象不经过第 　　象限． 一十三．二次函数的图象 23．（2024•谯城区二模）一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是　　 A． B． C． D． 24．（2023秋•大观区校级月考）如图，①，②，③，④，比较，，，的大小，　　用“”连接． 一十四．二次函数的性质 25．（2024•潜山市校级一模）定义：，．若函数，，则该函数的最大值为 　　． 26．（2023秋•金安区校级月考）已知二次函数． （1）求证：无论为何值时，该二次函数的图象与轴都有两个交点； （2）若该二次函数图象的对称轴为轴，求它与轴的交点坐标． 一十五．待定系数法求二次函数解析式 27．（2023秋•霍邱县期中）已知某抛物线与二次函数的图象的开口大小相同，开口方向相反，且顶点坐标为，则该抛物线对应的函数表达式为　　 A． B． C． D． 28．（2022秋•蜀山区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与二次函数 为常数）的图象相交于，两点，点坐标为． （1）求的值以及二次函数的表达式； （2）若点为抛物线的顶点，连结，，求的面积． 一十六．抛物线与x轴的交点 29．（2023秋•瑶海区校级月考）已知二次函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是　　 A． B． C．且 D．且 30．（2023秋•田家庵区校级月考）如图，抛物线的对称轴为直线，与轴交于和，与轴交于点，将沿直线作对称，得到抛物线． （1）　　，　　，　　； （2）求抛物线的解析式（写出自变量的取值范围）； （3）直线与的另一个交点，，分别为线段，上任意一点（不与，，重合），作轴，轴，分别交，于点，，设的最大值为，的最大值为，求的值． 一十七．图象法求一元二次方程的近似根 31．（2021秋•合肥月考）如图，点，，在二次函数的图象上，则方程的一个近似值可能是　　 A．2.18 B．2.68 C． D．2.45 32．（2023秋•霍邱县期末）下表是一组二次函数的自变量与函数值的对应值： 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.04 0.59 1.16 那么方程的一个近似根是 　　； 一十八．二次函数与不等式（组） 33．（2022秋•合肥月考）如图所示的是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是　　 A． B． C．且 D．或 34．（2023秋•亳州月考）如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于、两点，则关于的不等式的解集是 　　． 一十九．根据实际问题列二次函数关系式 35．（2024•界首市校级一模）一副眼镜的两个镜片下半部分轮廓分别对应两条抛物线的一部分，且在平面直角坐标系中关于轴对称，如图所示对应一个单位长度），轴，，最低点在轴上，且，．则轮廓线所在抛物线对应的函数表达式为　　 A． B． C． D． 36．（2022秋•琅琊区校级月考）个球队参加篮球比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数与球队数之间的函数关系是 　　． 二十．二次函数的应用 37．（2023秋•黄山期末）小宇同学周末与爸爸去钓鱼．爸爸钓到一条大鱼，鱼竿被拉弯近似可看成以为顶点的抛物线一部分，鱼线长米，鱼隐约在水面上，估计鱼离鱼竿支点有米，此时鱼竿鱼线呈一个平面，且与水平面夹角恰好为，以鱼竿支点为原点，则鱼竿所在抛物线的解析式为 　　． 38．（2023•庐阳区校级二模）某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图1所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米． （1）以点为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为米，水流喷出的高度为米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为米，求的取值范围； （3）为了美观，在离花形柱子4米处的地面、处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离． 二十一．二次函数综合题 39．（2021秋•金寨县期末）如图（1）所示，为矩形的边上一点，动点、同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是秒．设、同时出发秒时，的面积为．已知与的函数关系图象如图（2）（曲线为抛物线的一部分）．则下列结论错误的是　　 A． B． C．当时， D．当秒时， 40．（2024•青阳县三模）如图1，抛物线，是常数，且与轴交于点和点，与轴交于点，已知． （1）求，的值； （2）若点是第一象限抛物线上一点． （Ⅰ）如图2，连接，，，若的面积为3，求点的坐标； （Ⅱ）如图3，是抛物线的对称轴，点是顶点，点是对称轴与轴的交点，直线与直线交于点，的面积为，的面积为，判断是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第21章 二次函数与反比例函数 章节整合练习（21个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．反比例函数的定义 （1）反比例函数的概念 形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数． （2）反比例函数的判断 判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）． 知识点2．反比例函数的图象 用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线． （1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值． （2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确． （3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线． （4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴． 知识点3．反比例函数图象的对称性 反比例函数图象的对称性： 反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y＝﹣X；②一、三象限的角平分线Y＝X；对称中心是：坐标原点． 知识点4．反比例函数的性质 反比例函数的性质 （1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线； （2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小； （3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点． 知识点5．反比例函数系数k的几何意义 比例系数k的几何意义 在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． 知识点6．反比例函数图象上点的坐标特征 反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线， ①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k； ②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称； ③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 知识点7．待定系数法求反比例函数解析式 用待定系数法求反比例函数的解析式要注意： （1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程； （3）解方程，求出待定系数； （4）写出解析式． 知识点8．反比例函数与一次函数的交点问题 反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： ①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点； ②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点． 知识点9．根据实际问题列反比例函数关系式 根据实际问题列反比例函数关系式，注意分析问题中变量之间的联系，建立反比例函数的数学模型，在实际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析．首先弄清题意，找出等量关系，再进行等式变形即可得到反比例函数关系式． 根据图象去求反比例函数的解析式或是知道一组自变量与函数值去求解析式，都是利用待定系数法去完成的． 注意：要根据实际意义确定自变量的取值范围． 知识点10．反比例函数的应用 （1）利用反比例函数解决实际问题 ①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． （2）跨学科的反比例函数应用题 要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想． （3）反比例函数中的图表信息题 正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想． 知识点11．反比例函数综合题 （1）应用类综合题 能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识． （2）数形结合类综合题 利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法． 知识点12．二次函数的定义 （1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． （2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 知识点13．二次函数的图象 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 知识点14．二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 知识点15．待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 知识点16．抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 知识点17．图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 知识点18．二次函数与不等式（组） 二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系 ①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围． ②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 知识点19．根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 知识点20．二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 知识点21．二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 章节题型整合练习 一．反比例函数的定义 1．（2022秋•安徽期中）下列函数关系式中，是的反比例函数的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据反比例函数的定义解答即可． 【解答】解：、是一次函数，故此选项不符合题意； 、是正比例函数，故此选项不符合题意； 、不是反比例函数，故此选项不符合题意； 、是反比例函数，故此选项符合题意； 故选：． 【点评】此题主要考查了反比例函数的定义，正确掌握相关函数的定义是解题的关键． 2．（2020秋•太和县期末）如果函数为反比例函数，则的值是 　0　． 【分析】根据反比例函数的定义．即，只需令即可． 【解答】解：是反比例函数， ， 解之得：． 故答案为0． 【点评】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式转化为的形式． 二．反比例函数的图象 3．（2022秋•萧县校级月考）函数与函数在同一坐标系中的图象可能是　　 A． B． C． D． 【分析】分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可． 【解答】解：、由反比例函数的图象在一、三象限可知，， ， 一次函数的图象经过一、三、四象限，故本选项符合题意； 、由反比例函数的图象在二、四象限可知，， ， 一次函数的图象经过一、二、四象限，故本选项不符合题意； 、由反比例函数的图象在二、四象限可知，， ， 一次函数的图象经过一、二、四象限，故本选项不符合题意； 、由反比例函数的图象在一、三象限可知，， ， 一次函数的图象经过一、三、四象限，故本选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解答此题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出的符号，再根据一次函数的性质进行解答． 4．（2023秋•庐阳区校级期中）函数揭示了两个变量之间的关系，它的表示方法有三种：列表法、图象法、解析式法．请你根据学习函数的经验，完成对函数的探究．下表是函数与自变量的几组对应值： 0 2 3 4 5 7 4 3 2.5 （1）函数自变量的取值范围为 　　． （2）根据表格中的数据，求出，的值，并在如图所示的平面直角坐标系中，画出该函数的图象． （3）请根据画出的函数图象，直接写出该函数的一条性质：　　． 【分析】（1）依据函数表达式中分母不等于0，即可得到自变量的取值范围； （2）把，代入函数解析式即可得到和的值，依据点的坐标描点连线即可得到函数图象； （3）依据函数的图象可得函数的增减性． 【解答】解：（1）， ， 故答案为：； （2）把，代入函数得： ， 解得，； 画出该函数图象如图所示： （3）由图象可知，当时，随的增大而减小（答案不唯一）， 故答案为：当时，随的增大而减小（答案不唯一）． 【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，用描点法画反比例函数的图象， 三．反比例函数图象的对称性 5．（合肥月考）若直线与双曲线的交点为，、，，则的值为　6　． 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点解答． 【解答】解：由题意知，直线过原点和一、三象限，且与双曲线交于两点，则这两点关于原点对称， ，， 又点点在双曲线上， ，， 原式． 故答案为：6． 【点评】本题考查了反比例函数图象的对称性，重点是两点关于原点成中心对称． 四．反比例函数的性质 6．（2024•望江县三模）在一次函数为常数且中，随的增大而增大，那么反比例函数的图象在　　 A．第二、四象限 B．第一、二象限 C．第三、四象限 D．第一、三象限 【分析】根据题意易得，然后根据反比例函数的性质可进行求解． 【解答】解：在一次函数为常数且中，随的增大而增大， ， 反比例函数的图象在第一、三象限， 故选：． 【点评】本题主要考查反比例函数与一次函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解题的关键． 7．（亳州期末）如图，曲线是函数在第一象限内的图象，抛物线是函数的图象，点，，2，在曲线上，且，都是整数． （1）求出所有的点； （2）求抛物线的顶点坐标和对称轴； （3）在中任取两点作为点和点点的横坐标小于点的横坐标），作直线，请直接写出能使直线与抛物线有交点的，的坐标，并求出直线的解析式． 【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征求出各点坐标再求解． （2）将已知抛物线解析式转化为顶点式方程，可以直接得到答案； （3）利用待定系数法求直线方程． 【解答】解：（1），且，都是整数， 或或或 点坐标为，，，； （2） 抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线； （3）点、的坐标为，或，． 设直线的解析式为，则有或 解得或． 直线的解析式为或． 【点评】考查了待定系数法求函数解析式，函数图象的性质．注意：求正比例函数，只要一对，的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数，则需要两组，的值． 五．反比例函数系数k的几何意义 8．如图，过反比例函数的图象上任意两点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，连接、，设和的面积分别是、，比较它们的大小，可得　　 A． B． C． D．大小关系不能确定 【分析】根据反比例函数的几何意义，直接求出、的值即可进行比较． 【解答】解：由于、均在反比例函数的图象上， 且轴，轴， 则； ． 故． 故选：． 【点评】此题考查了反比例函数的几何意义，找到相关三角形，求出的一半即为三角形的面积． 9．（2023秋•贵池区月考）如图，两个反比例函数和在第二象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，若四边形的面积为4.5，则　4.5　． 【分析】根据反比例函数系数的几何意义得到，然后利用四边形的面积为进行计算． 【解答】解：轴，轴， ， 四边形的面积为． ，即． 故答案为：4.5． 【点评】主要考查了反比例函数中的几何意义，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 六．反比例函数图象上点的坐标特征 10．（2022秋•贵池区期末）如图，反比例函数的图象经过，则以下说法错误的是　　 A． B．，随的增大而减小 C．图象也经过点 D．当时， 【分析】把代入反比例函数的解析式能求出，把的坐标代入一次函数的解析式得出关于的方程，求出方程的解即可． 【解答】解：把代入反比例函数的解析式得：，故正确； ， 随的增大而减小， ，随的增大而减小，故正确； 反比例函数的解析式为， 把代入求得， 图象也经过点，故正确； 由图象可知时，则，故错误； 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，主要考查反比例函数的性质，题目较好，难度适中． 11．（2023秋•庐阳区校级月考）如图，反比例函数的图象的一支在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）求的取值范围； （2）若此反比例函数的图象经过点，求的值． 【分析】（1）根据反比例函数的图象和性质，可以得出答案； （2）把点代入函数关系式，求出的值即可． 【解答】解：（1）由题意得，，即； （2）把代入， 得到：， 解得， 答：的值为． 【点评】本题考查了反比例函数的性质、图象，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点．反比例函数点的坐标适合解析式是解题的关键． 七．待定系数法求反比例函数解析式 12．（2020•瑶海区校级模拟）已知关于的方程有唯一实数解，且反比例函数的图象，在每个象限内随的增大而增大，那么反比例函数的关系式为　　 A． B． C． D． 【分析】关于的方程有唯一的实数解，则判别式等于0，据此即可求得的值，然后根据反比例函数的图象，在每个象限内随的增大而增大，则比例系数，则的值可以确定，从而确定函数的解析式． 【解答】解：关于的方程化成一般形式是：， △， 解得：或1． 反比例函数的图象，在每个象限内随的增大而增大， ， ． 则反比例函数的解析式是：． 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，以及一元二次方程的根的判别式，正确利用判别式求得的值是关键． 13．（2023秋•怀宁县期中）如图，已知矩形的两个顶点，都在反比例函数的图象上，经过原点，对角线垂直于轴．垂足为，已知点的坐标为． （1）求反比例函数的解析式； （2）求矩形的面积． 【分析】（1）把代入，即可求解； （2）根据中心对称的性质得，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质和矩形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：（1）把代入得， ， 反比例函数的解析式为； （2）点的坐标为， 根据中心对称可得， ， 对角线垂直于轴， ， ， ， ， ， ， 矩形的面积为． 【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，矩形的面积的计算，中心对称图形的性质，相似三角形的判定与性质，正确地求出函数的解析式是解题的关键． 八．反比例函数与一次函数的交点问题 14．（2024•固镇县三模）如图：直线与轴交于点，与双曲线交于点，过点作轴于点，且，则的值为　　 A．2 B． C．4 D． 【分析】先把点的纵坐标代入一次函数中可确定点坐标，然后把点坐标代入双曲线中可计算出的值． 【解答】解：， 点的纵坐标为2， 把代入得， 所以点坐标为， 把代入得， 解得． 故的值为． 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式． 15．（2023秋•六安期末）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式． （2）根据图象，直接写出满足的的取值范围． 【分析】（1）求出点的坐标，再用待定系数法求解析式即可； （2）根据两函数图象的上下位置关系结合交点横坐标，即可得出一次函数小于反比例函数的值的的取值范围． 【解答】解：（1）把代入得， ， 把代入得：， 把，代入得： ， 解得， ； （2）由图可知：或． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式，以及利用图象求不等式的解集，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 九．根据实际问题列反比例函数关系式 16．近视眼镜的度数（度与镜片焦距成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为，则与的函数关系式为　　 A． B． C． D． 【分析】设出反比例函数解析式，把代入即可求解． 【解答】解：设， 400度近视眼镜镜片的焦距为， ， ． 故选：． 【点评】反比例函数的一般形式为是常数，且，常用待定系数法求解函数解析式． 一十．反比例函数的应用 17．（2024•宣城模拟）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．下列说法正确的是　　 A．当液体密度时，浸在液体中的高度 B．当液体密度时，浸在液体中的高度 C．当浸在液体中的高度时，该液体的密度 D．当液体的密度时，浸在液体中的高度 【分析】根据图象和反比例函数性质逐项分析判断即可． 【解答】解：根据题意得，反比例函数解析式为：， 、当液体密度时，浸在液体中的高度，故原说法错误，不符合题意； 、当液体密度时，浸在液体中的高度，故原说法错误，不符合题意；， 、当浸在液体中的高度时，该液体的密度，正确，符合题意； 、当液体的密度时，浸在液体中的高度，故原说法错误，不符合题意；， 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数性质是关键． 18．（2023秋•宿松县期末）学校下午放学时校门口的“堵塞”情况已成为社会热点问题，某校对本校下午放学校门口“堵塞”情况做了一个调查发现：每天放学时间2分钟后校门外学生流量变化大致可以用“拥挤指数” 与放学后时间（分钟）的函数关系描述．如图，分钟呈二次函数状态，且在第12分钟达到该函数最大值100，此后变化大致为反比例函数的图象趋势．若“拥挤指数” ，校门外呈现“拥挤状态”，需要护学岗执勤人员维护秩序、疏导交通． （1）求该二次函数的解析式和的值； （2）“拥挤状态”持续的时间是否超过15分钟？请说明理由． 【分析】（1）设该二次函数的解析式为，把点代入，即可求得二次函数的解析式；把点代入，即可求得的值； （2）由可得，解得：，进而即可判定． 【解答】解：（1）设该二次函数的解析式为， 把点代入，得， 解得：， 所求二次函数的解析式为， 把点代入得：； （2）没有超过15分钟，理由如下： 由解得：，（不合题意，舍去）， 由解得：， ， “拥挤状态”持续的时间没有超过15分钟． 【点评】本题考查了函数图象，待定系数法求二次函数与反比例函数的解析式，图象的平移，求出函数解析式是解答本题的关键． 一十一．反比例函数综合题 19．（合肥二模）如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点，分别与、相交于点、．，则下列结论正确的是 　①④　（将正确的结论填在横线上）． ①，②，③连接，，④连接，则． 【分析】①正确．由四边形是矩形，推出，由点、点在反比例函数的图象上，推出，即可推出． ②错误．设点，则，，，由点，点在反比例函数的图象上，可得，推出，推出，推出，故②错误． ③错误．因为，，所以，故③错误． ④正确．由，推出，推出． 【解答】解：四边形是矩形， ， 点、点在反比例函数的图象上， ， ，故①正确， 设点，则，，， 点，点在反比例函数的图象上， ， ， ， ，故②错误， 连接，设矩形的长为，宽为．， ， ，故③错误， 连接，同法可证， ， ， ， ，故④正确． ②③解法二：如图，过点作于，于． 由题意，四边形的面积为，则矩形的面积为， 的面积为，的面积为， ， ，故②错误， 由②可知，的面积为， ， 的面积为， 的面积为， ，故③错误． 故答案为①④ 【点评】本题考查反比例函数综合题、矩形的性质、三角形的面积、中点坐标公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，学会用分割法求三角形面积，属于中考压轴题． 20．（2021秋•包河区校级期末）如图，直线与双曲线在第一象限内交于，两点，已知，． （1）求的值及直线的解析式． （2）根据函数图象，直接写出不等式的解集． （3）设点是线段上的一个动点，过点作轴于点，是轴上一点，当的面积为时，请直接写出此时点的坐标． 【分析】（1）依据反比例函数图象上点的坐标特征，即可得到和的值，再根据待定系数法即可得出直线的解析式； （2）依据直线与双曲线的上下位置关系，即可得到不等式的解集． （3）设点，用含的代数式表示出的面积，再根据二次函数的最值即可得到点的坐标． 【解答】解：（1）点在双曲线上， ， 双曲线的解析式为． 在双曲线， ， ． 直线过、两点， ，解得 直线的解析式为 （2）根据函数图象得不等式的解集为或． （3）点的坐标为． 提示：设点，且， 则． 当时， 解得， 此时点的坐标为． 【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，二次函数的最值以及三角形的面积公式，求出直线的解析式是解本题的关键． 一十二．二次函数的定义 21．（2023秋•宣州区校级月考）下列各式中，是的二次函数的是　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用二次函数的定义分析得出答案． 【解答】解：、分母中含字母，不是二次函数，故此选项不符合题意； 、当时，不是的二次函数，故本选项不符合题意； 、是二次函数，故此选项符合题意； 、不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，注意：形如、、为常数，的函数，叫二次函数． 22．（2023秋•全椒县期中）若是关于的二次函数，则一次函数的图象不经过第 　四　象限． 【分析】由二次函数的定义得出即可得到答案． 【解答】解：由于是关于的二次函数， 且， ， 故一次函数的解析式为， 故一次函数过一、二、三象限， 故答案为：四． 【点评】本题考查了二次函数的定义，一次函数的性质，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 一十三．二次函数的图象 23．（2024•谯城区二模）一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是　　 A． B． C． D． 【分析】可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致． 【解答】解：、由抛物线可知，又，所以对称轴应该在轴右侧，故本选项不符合题意； 、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项符合题意； 、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意； 、由抛物线可知，又，所以对称轴应该在轴右侧，故本选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 24．（2023秋•大观区校级月考）如图，①，②，③，④，比较，，，的大小，　　用“”连接． 【分析】设，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小． 【解答】解：因为直线与四条抛物线的交点从上到下依次为，，，， 所以，． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数的图象，采用了取特殊点的方法，比较字母系数的大小． 一十四．二次函数的性质 25．（2024•潜山市校级一模）定义：，．若函数，，则该函数的最大值为 　3　． 【分析】设直线，抛物线，联立直线与抛物线方程得抛物线与直线交点坐标，结合图象求解． 【解答】解：设直线，抛物线， 联立直线与抛物线方程得， 解得或， 直线与抛物线交点坐标为，， 如图， 时，，函数最大值为， 时，，函数最大值为， 当时，，， 时，函数取最大值为3， 故答案为：3． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握函数与方程及不等式的关系．通过数形结合求解． 26．（2023秋•金安区校级月考）已知二次函数． （1）求证：无论为何值时，该二次函数的图象与轴都有两个交点； （2）若该二次函数图象的对称轴为轴，求它与轴的交点坐标． 【分析】（1）根据根的判别式求出即可； （2）根据对称轴得出方程，求出即可，再令，进而可以得解． 【解答】（1）证明：， △， 无论取何实数，此二次函数的图象与轴都有两个交点； （2）解：此二次函数图象的对称轴为轴，， ． 解得：， 二次函数的解析式是． 令， ． ． 与轴的交点为，． 【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质和抛物线与轴的交点问题，能熟记二次函数的性质是解此题的关键． 一十五．待定系数法求二次函数解析式 27．（2023秋•霍邱县期中）已知某抛物线与二次函数的图象的开口大小相同，开口方向相反，且顶点坐标为，则该抛物线对应的函数表达式为　　 A． B． C． D． 【分析】先设顶点式，然后根据二次函数的性质确定的值． 【解答】解：抛物线的顶点坐标为， 抛物线的解析式为， 抛物线与二次函数的图象的开口大小相同，开口方向相反， ， 抛物线的解析式为． 故选：． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． 28．（2022秋•蜀山区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与二次函数 为常数）的图象相交于，两点，点坐标为． （1）求的值以及二次函数的表达式； （2）若点为抛物线的顶点，连结，，求的面积． 【分析】（1）把点的坐标为代入可求出的值，然后再把点坐标代入二次函数表达式即可解答； （2）过点作轴，垂足为，交于点，然后把的面积与的面积相加即可． 【解答】解：（1）把点坐标为代入一次函数中可得： ， ， 把点坐标为代入二次函数中可得： ， 解得：， ， 答：的值为3，二次函数的表达式为：； （2）过点作轴，垂足为，交于点，过点作，垂足为， ， 顶点， 把代入中得： ， ， ， 的面积的面积的面积， 的面积 ， 答：的面积为3． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，正比例函数的图象，把的面积分成的面积与的面积之和是解题的关键． 一十六．抛物线与x轴的交点 29．（2023秋•瑶海区校级月考）已知二次函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是　　 A． B． C．且 D．且 【分析】根据二次函数的图象与轴有两个交点，可得△且． 【解答】解：原函数是二次函数， ． 二次函数的图象与轴有两个交点，则 △， △， ． 综上所述，的取值范围是：且， 故选：． 【点评】本题考查了抛物线与轴的交点，关键是熟记当△时图象与轴有两个交点；当△时图象与轴有一个交点；当△时图象与轴没有交点． 30．（2023秋•田家庵区校级月考）如图，抛物线的对称轴为直线，与轴交于和，与轴交于点，将沿直线作对称，得到抛物线． （1）　1　，　　，　　； （2）求抛物线的解析式（写出自变量的取值范围）； （3）直线与的另一个交点，，分别为线段，上任意一点（不与，，重合），作轴，轴，分别交，于点，，设的最大值为，的最大值为，求的值． 【分析】（1）利用待定系数法求出，值，可得抛物线的解析式，进而求得的值； （2）根据抛物线与抛物线的开口大小相同，开口方向相同，抛物线与轴的另一个交点为即可得解； （3）分别求出，的值，即可求解． 【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线，与轴交于， ， 解得：， 抛物线， 令，则， 解得：或， ， 故答案为：1，，3； （2）， 点， 将沿直线作对称，得到抛物线． 抛物线与抛物线的开口大小相同，开口方向相同，抛物线与轴的另一个交点为， 抛物线的解析式为； （3）如图， 设点，则点， ， 的最大值为， 设点，则点， ， 的最大值为， ． 【点评】本题考查了抛物线与轴的交点，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 一十七．图象法求一元二次方程的近似根 31．（2021秋•合肥月考）如图，点，，在二次函数的图象上，则方程的一个近似值可能是　　 A．2.18 B．2.68 C． D．2.45 【分析】根据自变量两个取值所对应的函数值是和0.54，可得当函数值为0时，的取值应在所给的自变量两个值之间． 【解答】解：图象上有两点分别为、， 当时，；时，， 当时，， 只有选项符合， 故选：． 【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，用到的知识点为：点在函数解析式上，点的横纵坐标适合这个函数解析式；二次函数值为0，就是函数图象与轴的交点，跟所给的接近的函数值对应的自变量相关． 32．（2023秋•霍邱县期末）下表是一组二次函数的自变量与函数值的对应值： 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.04 0.59 1.16 那么方程的一个近似根是 　1.2　； 【分析】观察表格可得0.04更接近于0，得到所求方程的近似根即可． 【解答】解：观察表格得：方程的一个近似根为1.2． 故答案为：1.2． 【点评】本题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键． 一十八．二次函数与不等式（组） 33．（2022秋•合肥月考）如图所示的是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是　　 A． B． C．且 D．或 【分析】由抛物线的对称性及抛物线与轴交点可得抛物线与轴的另一交点坐标，进而求解． 【解答】解：抛物线对称轴为直线，且抛物线与轴交于， 抛物线与轴另一交点坐标为， 不等式的解集是或， 故选：． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与不等式的关系． 34．（2023秋•亳州月考）如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于、两点，则关于的不等式的解集是 　　． 【分析】抛物线与直线相交，抛物线在直线下方部分对应的的取值范围即为不等式的解集． 【解答】解：由图可知，当或时，抛物线与直线相交， 当时，抛物线在直线下方， 的解集是． 故答案为：． 【点评】本题考查利用图象法求不等式的解集，解题的关键是掌握二次函数与不等式的关系，熟练运用数形结合思想． 一十九．根据实际问题列二次函数关系式 35．（2024•界首市校级一模）一副眼镜的两个镜片下半部分轮廓分别对应两条抛物线的一部分，且在平面直角坐标系中关于轴对称，如图所示对应一个单位长度），轴，，最低点在轴上，且，．则轮廓线所在抛物线对应的函数表达式为　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意可以求得点、点的坐标，然后根据眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于轴对称，从而可以求得点和点的坐标，然后设出右轮廓线所在抛物线的函数顶点式，从而可以解答本题． 【解答】解：眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于轴对称，轴，，最低点在轴上，高，， 点的坐标为，点， 点，点， 设轮廓线所在抛物线的函数解析式为：， 则， 解得，， 右轮廓线所在抛物线的函数解析式为：， 故选：． 【点评】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，解答此类问题的关键是明确题意，求出抛物线的顶点坐标和经过的点的坐标，利用二次函数的顶点式解答． 36．（2022秋•琅琊区校级月考）个球队参加篮球比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数与球队数之间的函数关系是 　　． 【分析】个球队都要与除自己之外的球队个打一场，因此要打场，然而有重复一半的场次，故比赛场次为，得出关系式． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】考查函数关系式的求法，在具体的情景中，蕴含数量之间的关系，理解和发现数量之间的关系是正确解答的关键． 二十．二次函数的应用 37．（2023秋•黄山期末）小宇同学周末与爸爸去钓鱼．爸爸钓到一条大鱼，鱼竿被拉弯近似可看成以为顶点的抛物线一部分，鱼线长米，鱼隐约在水面上，估计鱼离鱼竿支点有米，此时鱼竿鱼线呈一个平面，且与水平面夹角恰好为，以鱼竿支点为原点，则鱼竿所在抛物线的解析式为 　　． 【分析】根据题意和直角三角形的性质，可以求得和的长，然后即可写出点的坐标，再根据点为抛物线的顶点，该抛物线过点，即可求得该抛物线的解析式． 【解答】解：由题意可得， 米，米，，， ， 米，米， （米， 点的坐标，， 设抛物线的解析式为， 点在该抛物线上， ， 解得， 即该抛物线解析式为， 故答案为：． 【点评】本题考查二次函数的应用、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 38．（2023•庐阳区校级二模）某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图1所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米． （1）以点为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为米，水流喷出的高度为米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为米，求的取值范围； （3）为了美观，在离花形柱子4米处的地面、处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离． 【分析】（1）根据题意得到第一象限内的抛物线的顶点坐标，将抛物线设成顶点式，再将点坐标代入即可求出第一象限内的抛物线解析式； （2）直接令，解方程求出的值，再根据函数的图象和性质，求出时的取值范围即可； （3）先作辅助线，作出直线的平行线，使它与抛物线相切于点，然后设出直线的解析式，联立直线与抛物线解析式，利用相切，方程只有一个解，解出直线的解析式，从而得到直线与轴交点，最后利用锐角三角函数求出直线与直线之间的距离． 【解答】解：（1）根据题意第一象限内的抛物线的顶点坐标为，， 设第一象限内的抛物线解析式为， 将点代入物线解析式， ， 解得， 第一象限内的抛物线解析式为； （2）根据题意，令， 即， 解得，， ，抛物线开口向下， 当时，， 的取值范围为； （3）， 在右侧抛物线上任取一点，过作轴的垂线交于， 则， ， 的最小值为0.5， ， 光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为米． 【点评】本题考查二次函数的应用，直线的平移，直线和抛物线相切等知识，关键是求抛物线解析式． 二十一．二次函数综合题 39．（2021秋•金寨县期末）如图（1）所示，为矩形的边上一点，动点、同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是秒．设、同时出发秒时，的面积为．已知与的函数关系图象如图（2）（曲线为抛物线的一部分）．则下列结论错误的是　　 A． B． C．当时， D．当秒时， 【分析】根据图（2）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点到达点时点到达点，从而得到、的长度，再根据、是从5秒到7秒，可得的长度，然后表示出的长度，根据勾股定理求出的长度，然后针对各小题分析解答即可． 【解答】解：根据图（2）可得，当点到达点时点到达点， 点、的运动的速度都是秒， ， ，故正确； 又从到的变化是2， ， ， 在中，， ，故错误； 如图（1）过点作于点， ， ， ， ， 当时，，故正确； 当秒时，点在上，此时，， ， ，， ， 又， ，故正确． 由于该题选择错误的，故选：． 【点评】本题考查了动点问题的函数图象，根据图（2）判断出点到达点时点到达点是解题的关键，也是本题的突破口． 40．（2024•青阳县三模）如图1，抛物线，是常数，且与轴交于点和点，与轴交于点，已知． （1）求，的值； （2）若点是第一象限抛物线上一点． （Ⅰ）如图2，连接，，，若的面积为3，求点的坐标； （Ⅱ）如图3，是抛物线的对称轴，点是顶点，点是对称轴与轴的交点，直线与直线交于点，的面积为，的面积为，判断是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【分析】（1）根据二次函数解析式可以确定点，根据，确定点，设出二次函数交点式，代入和坐标，即可确定的值，进而得出答案； （2）（ⅰ）过点作轴交于点，设，，从而表示出的长，利用三角形的面积公式得到关于的方程，解答即可； （ⅱ）分别求出直线的解析式和直线的解析式，将分别代入两个一次函数解析式，从而确定和的长，进而把两个三角形面积表示出来，再相加即可． 【解答】解：（1）当时，， ， 点，点， 可设抛物线对应的函数解析式为， 将点代入，得， 解得：， ， ，； （2）设，， （ⅰ）过点作轴交于点， 由点，， 可知：直线的解析式为， 则点， ， ， 整理得：， 解得：，， 当时，； 当时，， 点的坐标为或； （ⅱ）为定值，理由如下： 设直线的解析式为，代入，， 得： 解得： 直线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， 把代入， 得：， 点的坐标为， ， 设直线的解析式为， 代入，， 得： 解得： 直线的解析式为， 把代入， 得：， 点的坐标为， ， ， 即为定值，该定值为8． 【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数的性质，三角形的面积等知识，解题关键是掌握学会用转化思想求三边均不与坐标轴平行的三角形的面积的方法. 学科网（北京）股份有限公司 $$