第05讲 相似三角形的性质（3个知识点+3种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第05讲 相似三角形的性质（3个知识点+3种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．相似三角形的性质 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似． （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． 知识点2．相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 知识点3．相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 题型强化 题型一．相似三角形的性质 1．（2023秋•浦东新区期末）如果两个相似三角形的周长比为，那么它们的对应角平分线的比为　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•普陀区期末）如图，在中，，是边上的高，如果，，那么与的相似比　　． 3．（南汇区期中）如图，在平行四边形中，，，；点是射线上的一个动点（与点不重合），与相交于点，设． （1）求的长； （2）如果和相似，请求出的值； （3）当是等腰三角形时，求的值． 题型二．相似三角形的判定与性质 4．（2024春•沙依巴克区期末）如图，中，已知，是的中点，则　　． 5．（2024•青浦区三模）如图，在正方形中，点在边上，点在边上，，交于点，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④当是的中点时，；⑤当时，．其中正确结论的序号是　　 A．①②③④ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．②④⑤ 6．（2024•上海）如图所示，在矩形中，为边上一点，且． （1）求证：； （2）为线段延长线上一点，且满足，求证：． 题型三．相似三角形的应用 7．（金山区期末）一个三角形框架模型的三边长分别为20厘米、30厘米、40厘米，木工要以一根长为60厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是　　 A．30厘米、45厘米 B．40厘米、80厘米 C．80厘米、120厘米 D．90厘米、120厘米 8．（2024•静安区校级模拟）如图，用一个卡钳测量某个零件的内孔直径，量得长度为，则等于 　　． 9．（2022秋•浦东新区校级期中）一块三角形余料，它的边长厘米，高厘米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，则加工成的零件边长为多少厘米？ 分层练习 一、单选题 1．（19-20九年级上·上海长宁·期中）若,顶点A、B、C分别与D、E、F对应，且，则这两个三角形的对应中线之比为（     ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（    ） A．有且仅有1个 B．有且仅有2个 C．有3个及以上但个数有限 D．有无数个 3．（22-23九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，光线从点处射出射向轴上的点P，经轴镜面反射后，光线经过点，则的长度是(    )      A． B．1 C． D． 4．（2023·上海虹口·一模）如图，点G是的重心，交BC于点E．如果，那么的长为（    ） A． B．4 C．6 D．8 5．（22-23九年级上·上海·开学考试）如图，点D、E、F分别在的边上，且，下列四个选项中，不成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·上海普陀·期中）如图，是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），点都是格点，下列三角形中与相似的是（    ）    A．以点为顶点的三角形 B．以点为顶点的三角形 C．以点为顶点的三角形 D．以点为顶点的三角形 二、填空题 7．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知相似三角形的相似比是 ，那么这两个三角形的周长比是 ． 8．（22-23九年级上·上海·开学考试）一个三角形框架模型的边长分别为，木工要以一根长的木条为一边，做一个与该模型相似的三角形，那么其它两边的长可以是 （写出一种情况即可）． 9．（22-23九年级上·上海·开学考试）P是一边上的一点（P不与A、B、C重合），过点P的一条直线截，如果截得的三角形与相似，我们称这条直线为过点P的的“相似线”．中，， 当点P为的中点时，过点P的的“相似线”最多几条？ ． 10．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，则 ． 11．（21-22九年级上·上海虹口·期末）在网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形称为“格点三角形”．如图，在的网格中，是一个格点三角形，如果也是该网格中的一个格点三角形，它与相似且面积最大，那么与相似比的值是 ． 12．（22-23九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，在5×5的正方形网格中，点A、B、C、E、F都在小正方形的顶点上，试在该网格中找点D，联结DE、DF，使得△DEF与△ACB相似（在图中画出符合题意的点D） 13．（23-24九年级上·上海·阶段练习）在直角坐标系中，已知、、，过C点作直线交x轴于D，使得以点D、C、O为顶点的三角形与相似，这样的直线有 条． 14．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，点G是的重心，如果，，那么 ．    15．（22-23九年级上·上海·开学考试）如图，点F是的重心，连接并延长交于点E，过点E作交于D．那么的值为 ． 16．（23-24九年级上·上海黄浦·期中）如图，小红晚上由路灯下的处走到处时，测得影子的长为1米，继续往走2.5米到达处时，测得影子的长为2米，已知小明的身高是1.5米，那么路灯离地面的高度的长为 米．    17．（19-20九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，点D、E分别在的边AB、AC上，且，若DE=3，BC=6，AC=8，则 ． 18．（20-21·上海静安·期末）如图，在四边形中，，，且，，点P在边上，点B关于直线的对称点为Q，的延长线交边于点R，如果，那么线段的长为 ． 三、解答题 19．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，小明晚上由路灯A下的点B处走到点C处时，测得自身影子的长为1米，他继续往前走3米到达点E处（即米），测得自己影子的长为2米．已知路灯A的高度为7.2米，求小明的身高． 20．（19-20九年级上·上海·阶段练习）如图，点是的重心，过点作，分别交于点，且，求的长． 21．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知． (1)如图，点 为边 上任意一点，点 在边上，且 与 相似．请在图中画出所有符合题意的 （不必尺规作图）；若 ，试用 的代数式表示 的长； (2)点 分别在边、上，且 与 相似，若 ，试求当符合题意的 唯一时，的取值范围是__________． 22．（23-24九年级上·上海宝山·期末）综合实践活动中，某小组利用木板和铅锤自制了一个简易测高仪测量塔高，测高仪为矩形，，顶点D处挂了一个铅锤H，图是测量塔高的示意图，测高仪上的点与塔顶G在一条直线上，铅垂线交于点M，经测量，点D距地面，到塔的距离，，求塔的高度（结果精确到）． 23．（22-23九年级上·上海宝山·期中）学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米．    (1)小丽先调整自己的位置至点P，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为A、B、C（如图①），斜边平行于地面（点M、P、E、N在一直线上），且点D在边（较长直角边）的延长线上，此时测得边距离地面的高度为1.5米，小丽与古树的距离为16米，求古树的高度； (2)为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点Q，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为（如图②），使直角边（较短直角边）平行于地面（点M、Q、E、N在一直线上），点D在斜边的延长线上，且测得此时边距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？ 24．（22-23九年级上·上海·开学考试）如图1，在中，，是的中线．点E在线段的延长线上，连接交于点F． (1)当，时，求的值； (2)如图2，当，时，求的值； (3)如图3，G是边上一点，，当时，求的值（用含的代数式表示）． 25．（22-23九年级上·上海·开学考试）学完三角形的一边的平行线之后，某数学课外活动小组发现了三角形的内角平分线的一个结论：如图1，如果是的内角平分线，那么． (1)试写出这个研究结论的证明过程； (2)如图2，在中， ，D是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点C 恰好落在边上的E点处．如果，，求的长； (3)如图3，如果是的外角平分线，那么是否依然成立？说明理由． 26．（22-23九年级上·上海·期中）如图，已知中，，，，把线段沿射线方向平移至，直线与直线交于点，又连接与直线交于点D． (1)若，求的长； (2)设，，试求y关于x的函数解析式； (3)当为多少时，以Q、D、E为顶点的三角形与相似． 27．（20-21九年级上·上海杨浦·阶段练习）如图1，在中，，，垂足为点．过点作射线，点是边上任意一点，连接并延长与射线相交于点，设、两点间的距离为．    (1)如图2，如果四边形是平行四边形，求的值． (2)过点作直线的垂线，垂足为，当为何值时，与相似？ (3)设的面积为，求关于的函数关系式，并写出它的定义域． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 相似三角形的性质（3个知识点+3种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．相似三角形的性质 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似． （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． 知识点2．相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 知识点3．相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 题型强化 题型一．相似三角形的性质 1．（2023秋•浦东新区期末）如果两个相似三角形的周长比为，那么它们的对应角平分线的比为　　 A． B． C． D． 【分析】利用相似三角形的性质：相似三角形的对应周长的比等于相似比，对应角平分线的比等于相似比，据此作答即可． 【解答】解：两个相似三角形的周长比为， 两个相似三角形的相似比为， 它们的对应角平分线的比为． 故选：． 【点评】本题主要考查相似三角形的性质，解答的关键是熟记相似三角形的性质并灵活运用． 2．（2023秋•普陀区期末）如图，在中，，是边上的高，如果，，那么与的相似比　　． 【分析】相似三角形对应边的比叫相似比，由此即即可求解． 【解答】解：是边上的高， ， ，， ， ，是边上的高， ， ， ， ， 与的相似比． 故答案为：． 【点评】本题考查相似三角形的性质，关键是掌握相似三角形相似比的定义． 3．（南汇区期中）如图，在平行四边形中，，，；点是射线上的一个动点（与点不重合），与相交于点，设． （1）求的长； （2）如果和相似，请求出的值； （3）当是等腰三角形时，求的值． 【分析】（1）过点作于，在直角中运用三角函数即可求得的长，再在直角中，根据勾股定理即可求解； （2）过点作于，在直角中，根据勾股定理即可求得：．根据相似三角形对应边的比相等即可求得的值； （3）当是等腰三角形时，应分为，，，（根据是直角，可得这种情况不可能）几种情况讨论． 【解答】解：（1）过点作于． 在中，， ， ， 在中，， ． （2）过点作于，在中，， ． 如果和相似， ， 又， ， 即， 解得（不合题意，舍去）， （1分） （3）①当时， ， ， 即， 解得， ②当时， ， ， 即， 解得（不合题意，舍去）， ③在中，， ， 在线段上截取， ， ， ． 综上所述，当是等腰三角形时，或． 【点评】此题是一个综合性很强的题目，主要考查等腰三角形的性质、三角形相似、解直角三角形、方程等知识．难度较大，有利于培养同学们钻研和探索的问题的精神 题型二．相似三角形的判定与性质 4．（2024春•沙依巴克区期末）如图，中，已知，是的中点，则　　． 【分析】过点作，交于点，交于点，可得，根据中点性质，进而可得与的比值． 【解答】解：如图：过点作，交于点，交于点， 四边形是平行四边形，， ， 设， ， ， ， ，是的中点， 是的中位线， ，， ， ， ， ， 设，， ，， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形性质的应用，合理画辅助线构造相似三角形是解本题的关键，综合性较强，难度较大． 5．（2024•青浦区三模）如图，在正方形中，点在边上，点在边上，，交于点，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④当是的中点时，；⑤当时，．其中正确结论的序号是　　 A．①②③④ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．②④⑤ 【分析】根据正方形的性质证明，可以判断①；然后证明，可以判断②；由，，根据正方形对角线上的点到，边上的距离相等，即可判定③；设正方形的边长为，当是的中点时，，根据相似三角形的判定与性质和勾股定理分别表示出，，进而可以判断④；设，则，，得，所以，当时，，证得，进而可以判断⑤． 【解答】解：在正方形中，，， ， ， ，，故①正确； ， ， ， ，故②正确； 在正方形对角线上， 到，的距离相等， ， ， ，故③正确； 设正方形的边长为， ， 当是的中点时，． 由勾股定理得： ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当是的中点时，，故④正确， 当时，， ，， ， ， ， 中边上的高与中边上的高相等，， ， 设，则，， ， ， 当时，， ， ， ， ，故⑤不正确， 综上所述：正确结论的序号是①②③④， 故选：． 【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到． 6．（2024•上海）如图所示，在矩形中，为边上一点，且． （1）求证：； （2）为线段延长线上一点，且满足，求证：． 【分析】（1）由矩形性质得到，，，由角的互余得到，从而确定，利用相似三角形性质得到； （2）由矩形性质，结合题中条件，利用等腰三角形的判定与性质得到，，，进而由三角形全等的判定与性质即可得到． 【解答】证明：（1）矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）连接，交于点， 矩形， ， ， ， ， ， ， ， 矩形， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ． 【点评】本题考查了矩形综合，涉及矩形性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题的关键． 题型三．相似三角形的应用 7．（金山区期末）一个三角形框架模型的三边长分别为20厘米、30厘米、40厘米，木工要以一根长为60厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是　　 A．30厘米、45厘米 B．40厘米、80厘米 C．80厘米、120厘米 D．90厘米、120厘米 【分析】讨论：若20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为60厘米、厘米、厘米，根据相似的性质； 若20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为厘米、60厘米、厘米，根据相似的性质得； 若20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为厘米、厘米、60厘米，根据相似的性质得，然后利用比例的性质分别计算出各组对应值即可． 【解答】解：①设20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为60厘米、厘米、厘米， 根据题意得： 解得，； ②设20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为厘米、60厘米、厘米， 根据题意得：， 解得， 设20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为厘米、厘米、60厘米， 根据题意得：， 解得，． 故选：． 【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．利用分类讨论的思想解决此题． 8．（2024•静安区校级模拟）如图，用一个卡钳测量某个零件的内孔直径，量得长度为，则等于 　18　． 【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得的长． 【解答】解：，， ， ， ， ， 故答案为：18． 【点评】本题考查相似三角形的应用，求出的值是解答本题的关键． 9．（2022秋•浦东新区校级期中）一块三角形余料，它的边长厘米，高厘米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，则加工成的零件边长为多少厘米？ 【分析】根据矩形的对边平行得到，利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边或其他两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”判定即可． 【解答】解：四边形是正方形， ， ， ， 又， ， 设正方形边长为，则， ， 解得：， 答：这个正方形零件的边长为． 【点评】本题考查了正方形以及相似三角形的应用，注意数形结合的运用是解题关键． 分层练习 一、单选题 1．（19-20九年级上·上海长宁·期中）若,顶点A、B、C分别与D、E、F对应，且，则这两个三角形的对应中线之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的性质，对应中线之比等于相似比得到结果. 【详解】,、、分别与、、对应，且 ∴对应中线之比=. 故选B. 【点睛】本题考查相似三角形的性质，对应线段之比都等于相似比. 2．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（    ） A．有且仅有1个 B．有且仅有2个 C．有3个及以上但个数有限 D．有无数个 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，两条边长分别是6和8的直角三角形有两种可能，即已知边均为直角边或者8为斜边，运用勾股定理分别求出第三边后，和另外三角形构成相似三角形，利用对应边成比例即可解答． 【详解】解：根据题意，两条边长分别是6和8的直角三角形有两种可能， 一种是6和8为直角边，则斜边为； 另一种可能是6是直角边，而8是斜边，则另一条直角边为； 另一个与它相似的直角三角形也有两种可能， 第一种是，解得； 第二种是，解得； 可以有2个． 故选：B． 3．（22-23九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，光线从点处射出射向轴上的点P，经轴镜面反射后，光线经过点，则的长度是(    )      A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据反射角等于入射角推得其余角也相等，从而可证，再推得对应线段成比例，可求得的长度． 【详解】根据物理学光的反射定律：光在发生反射时，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角． 如图，为法线，则入射角等于反射角，即，过B作x轴的垂线，垂足为点C．      又∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵，设， ∴， ∴ 解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是找到判定两三角形相似对应的角相等． 4．（2023·上海虹口·一模）如图，点G是的重心，交BC于点E．如果，那么的长为（    ） A． B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查的是重心的概念和性质、相似三角形的判定和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．连接并延长交于D，根据点G是的重心，得到，，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】解：连接并延长交于D， ∵点G是的重心， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5．（22-23九年级上·上海·开学考试）如图，点D、E、F分别在的边上，且，下列四个选项中，不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握定理和相似的判定和性质是解题的关键．利用平行线分线段成比例定理计算判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故A正确； ∵， ∴， 故B正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 故C正确； ∵， ∴， ∴， 故D错误； 故选D． 6．（23-24九年级上·上海普陀·期中）如图，是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），点都是格点，下列三角形中与相似的是（    ）    A．以点为顶点的三角形 B．以点为顶点的三角形 C．以点为顶点的三角形 D．以点为顶点的三角形 【答案】B 【分析】先计算出每条边的长度，再进行比较即可，选出适合的选项． 【详解】解：设每个正方格边长为1， 则， ， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键． 二、填空题 7．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知相似三角形的相似比是 ，那么这两个三角形的周长比是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比成为解题的关键． 根据相似三角形的周长比等于相似比即可解答． 【详解】解：根据相似三角形的周长比等于相似比可得：已知相似三角形的相似比是 ，那么这两个三角形的周长比是． 故答案为：． 8．（22-23九年级上·上海·开学考试）一个三角形框架模型的边长分别为，木工要以一根长的木条为一边，做一个与该模型相似的三角形，那么其它两边的长可以是 （写出一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例． 根据相似三角形的对应边成比例的性质进行解答即可． 【详解】解：设其他两边长为， ①当对应边为时， ， 解得：， ∴另外两边长为； ②当对应边为时， ， 解得：， ∴另外两边长为； ③当对应边为时， ， 解得：， ∴另外两边长为； 故答案为：（答案不唯一，或或）． 9．（22-23九年级上·上海·开学考试）P是一边上的一点（P不与A、B、C重合），过点P的一条直线截，如果截得的三角形与相似，我们称这条直线为过点P的的“相似线”．中，， 当点P为的中点时，过点P的的“相似线”最多几条？ ． 【答案】3条 【分析】根据三角形相似的判定，结合定义解答即可． 本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：过点P作交于点E，则，符合题意； 过点P作交于点F，则，符合题意； 过点P作于点G，，，则，符合题意； 共有3条， 故答案为：3条． ． 10．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形相似的判定与性质，设，则，根据，证明，，得到，，推出，从而得到，即可求解． 【详解】解：， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 11．（21-22九年级上·上海虹口·期末）在网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形称为“格点三角形”．如图，在的网格中，是一个格点三角形，如果也是该网格中的一个格点三角形，它与相似且面积最大，那么与相似比的值是 ． 【答案】 【分析】根据表格求出的三边长，作出，求出的 三边长，然后对应的边作比可得比值相等，两个三角形相似，相似比即为对应边的比，此时面积是最大的． 【详解】解：由表格可得： ，，， 如图所示：作， ，， ∵， ∴与的相似比为，由于表格的限制，可得且此时面积最大， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，理解题意，在表格中作出相似三角形是解题关键． 12．（22-23九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，在5×5的正方形网格中，点A、B、C、E、F都在小正方形的顶点上，试在该网格中找点D，联结DE、DF，使得△DEF与△ACB相似（在图中画出符合题意的点D） 【答案】见解析 【分析】利用相似三角形的判定方法——“两组对边成比例且夹角相等”作图即可． 【详解】解：设小正方形的边长为1， 则，，， 利用格点作， 若△DEF与△ACB相似，则， 即， 解得， 因此在DF上取点D使得即可． 如图所示，△DEF与△ACB相似． 【点睛】本题主要考查画相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 13．（23-24九年级上·上海·阶段练习）在直角坐标系中，已知、、，过C点作直线交x轴于D，使得以点D、C、O为顶点的三角形与相似，这样的直线有 条． 【答案】4 【分析】本题主要考查了坐标与图形及三角形的相似，分与为对应边和与为对应边，两种情况进行讨论是解决本题的关键． 【详解】解：是直角三角形， 以点D，C，O为顶点的三角形也是直角三角形， 点D在x轴上， ， 、、， ， 如图，当与为对应边，    则， ，即或； 如图，当与为对应边，    则， ，即或； 综上，这样的直线有4条， 故答案为：4． 14．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，点G是的重心，如果，，那么 ．    【答案】 【分析】本题考查了重心的定义与性质，结合勾股定理，关键是掌握重心性质并运用勾股定理列式求解是解题关键．本题先利用重心求出，再利用勾股定理列式整体法求出，进而得到，最后利用勾股定理即可求出． 【详解】解：点G是的重心，， ，点D为的中点， ，， ， ， ， 故答案为：． 15．（22-23九年级上·上海·开学考试）如图，点F是的重心，连接并延长交于点E，过点E作交于D．那么的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了三角形的重心．熟练掌握三角形的重心是三角形三边中线的交点，相似三角形的判断和性质，是解决问题的关键． 根据三角形重心的性质得到，根据平行线性质得到，根据相似三角形性质得到． 【详解】解：∵点F是的重心， ∴点E为的中点， ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 16．（23-24九年级上·上海黄浦·期中）如图，小红晚上由路灯下的处走到处时，测得影子的长为1米，继续往走2.5米到达处时，测得影子的长为2米，已知小明的身高是1.5米，那么路灯离地面的高度的长为 米．    【答案】 【分析】由，可得，，解得，，，则，由，代入可求． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用．解题的关键在于熟练掌握：． 17．（19-20九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，点D、E分别在的边AB、AC上，且，若DE=3，BC=6，AC=8，则 ． 【答案】4 【分析】根据∠ADE=∠C及∠A为公共角可得△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质可得，进而求出AD的值即可. 【详解】∵∠ADE=∠C，∠A为公共角， ∴△ADE∽△ACB， ∴， ∵DE=3，BC=6，AC=8， ∴， 解得：AD=4， 故答案为：4 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键. 18．（20-21·上海静安·期末）如图，在四边形中，，，且，，点P在边上，点B关于直线的对称点为Q，的延长线交边于点R，如果，那么线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查直角平行四边形的判定和性质，平行线等分线段定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质与判定． 连接交于O，证明四边形是平行四边形，再根据得出，利用勾股定理即可求解. 【详解】解：如图，连接交于O． ，， 四边形是平行四边形， ， B，Q关于对称， ， ， 在中，，，， ． 故答案为：． 三、解答题 19．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，小明晚上由路灯A下的点B处走到点C处时，测得自身影子的长为1米，他继续往前走3米到达点E处（即米），测得自己影子的长为2米．已知路灯A的高度为7.2米，求小明的身高． 【答案】小明的身高是米 【分析】本题考查了相似三角形的应用举例，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．过点C作交于点M，过点E作交于点N，设小明的身高为米，米，根据题意可得出，，再根据相似三角形的判定与性质即可得． 【详解】解：过点C作交于点M，过点E作交于点N， 设小明的身高为米，米，则米，米， 由题意得：，，米， ，， ，， 即， ， 解得， 则，解得： 经检验，是所列分式方程组的解， 答：小明的身高是米． 20．（19-20九年级上·上海·阶段练习）如图，点是的重心，过点作，分别交于点，且，求的长． 【答案】4.32cm 【分析】如图连接AG并延长，交BC于点P，由三角形的重心的性质可知AG＝2GP，则AG：AP＝2：3．又EF∥BC，根据相似三角形的判定可知△AGF∽△APC，得出AF：AC＝2：3，最后由EF∥BC，得出△AEF∽△ABC，从而求出EF：BC＝AF：AC＝2：3，结合EF+BC＝7.2cm来求BC的长度． 【详解】解：如图，连接AG并延长，交BC于点P． ∵G为△ABC的重心， ∴AG＝2GP， ∴AG：AP＝2：3， ∵EF过点G且EF∥BC， ∴△AGF∽△APC， ∴AF：AC＝AG：AP＝2：3． 又∵EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴． ∴EF=BC 又∵EF+BC＝7.2cm， ∴BC＝4.32cm． 【点睛】本题主要考查了三角形的重心的性质，相似三角形的判定及性质．三角形三边的中线相交于一点，这点叫做三角形的重心．重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍．平行于三角形一边的直线截其它两边，所得三角形与原三角形相似．相似三角形的三边对应成比例． 21．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知． (1)如图，点 为边 上任意一点，点 在边上，且 与 相似．请在图中画出所有符合题意的 （不必尺规作图）；若 ，试用 的代数式表示 的长； (2)点 分别在边、上，且 与 相似，若 ，试求当符合题意的 唯一时，的取值范围是__________． 【答案】(1)作图见解析，或． (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的定义、相似三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的性质成为解题的关键． （1）过点D做的平行线，，再结合公共角，即可作出；同理作出做也可作出；再利用相似三角形对应边成比例，将代入计算即可； (2)当时， 与相似总是存立，只要求出点N与点C重合，且时的长即可，当 (N与C重合)时，有，当符合题意的唯一时，然后求得x的取值范围即可． 【详解】（1）解：如图：过点D作的平行线， ∴， 由公共角， 则； ∴， ∴，解得：； 如图：先作出， 由公共角， 则， ∴，即， 解得：． 综上，的长为或． （2）解：当时，与相似总是存立， ∴只要求出点N与点C重合，且时的长即可， 当 (N与C重合)时，有， ∴，即： ， 解得． ∴当符合题意的唯一时， x的取值范围是． 故答案为：． 22．（23-24九年级上·上海宝山·期末）综合实践活动中，某小组利用木板和铅锤自制了一个简易测高仪测量塔高，测高仪为矩形，，顶点D处挂了一个铅锤H，图是测量塔高的示意图，测高仪上的点与塔顶G在一条直线上，铅垂线交于点M，经测量，点D距地面，到塔的距离，，求塔的高度（结果精确到）． 【答案】塔的高度约为21m． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是证明三角形相似． 证明，然后根据相似三角形的性质列出比例式解答即可． 【详解】解：∵， ∵四边形是矩形， 解得， 答：塔的高度约为21米． 23．（22-23九年级上·上海宝山·期中）学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米．    (1)小丽先调整自己的位置至点P，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为A、B、C（如图①），斜边平行于地面（点M、P、E、N在一直线上），且点D在边（较长直角边）的延长线上，此时测得边距离地面的高度为1.5米，小丽与古树的距离为16米，求古树的高度； (2)为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点Q，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为（如图②），使直角边（较短直角边）平行于地面（点M、Q、E、N在一直线上），点D在斜边的延长线上，且测得此时边距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？ 【答案】(1)古树的高度为13.5米 (2)小丽向前移动了7米 【分析】本题考查了相似三角形的应用和勾股定理的应用： （1）先在中，由勾股定理求得，再利用和相似求得的长，加上，即可求得树高； （2）利用和相似求得的长，即可求得小丽向前移动了多少米． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 在中， ∵， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：古树的高度DE为13.5米； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：小丽向前移动了7米． 24．（22-23九年级上·上海·开学考试）如图1，在中，，是的中线．点E在线段的延长线上，连接交于点F． (1)当，时，求的值； (2)如图2，当，时，求的值； (3)如图3，G是边上一点，，当时，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意得是等边三角形，则，．由中线求得．进一步得到，且．设，则即可； （2）过点D作，交于H，则．由中线得到，可证明，则．有．根据平行线的性质得和，俩式相除即可； （3）解：过点D作，交于H，设，则，，．进一步得．同（2）可证，，有，．根据平行线的性质得∴，结合即可求得答案． 【详解】（1）解：在中，，， ∴是等边三角形． ∴，． 又∵是的中线， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵ ∴，则， ∴． 设，则． ∴． ∴； （2）解：过点D作，交于H，如图， 则． 又∵是的中线， ∴， ∴． ∴． ∴． 则． ∵， ∴， 在与中， ∵，， ∴， ∴． 又， ∴． 又∵， ∴，， ∴， 即； （3）解：过点D作，交于H，如图， 设， ∵ ∴， ∴，． 则． 同（2）可证，， ∴，． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形中线性质、平行线的性质以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉等腰三角形的性质和平行线的性质，结合常见得求比例方式． 25．（22-23九年级上·上海·开学考试）学完三角形的一边的平行线之后，某数学课外活动小组发现了三角形的内角平分线的一个结论：如图1，如果是的内角平分线，那么． (1)试写出这个研究结论的证明过程； (2)如图2，在中， ，D是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点C 恰好落在边上的E点处．如果，，求的长； (3)如图3，如果是的外角平分线，那么是否依然成立？说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)结论依然成立，见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，勾股定理等； （1）过点C作，交的延长线于点E，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，即可求证； （2）由勾股定理得，由（1）同理可证，可得，即可求解； （3）过点D作，交延长线于E， 同理可证，由相似三角形的性质得，即可得证； 掌握相似三角形的判定及性质，构建相似三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过点C作，交的延长线于点E， ， 平分， ， ， ∴， ， ， ， ； （2）解：由折叠得： ， ， ． 在中， ， 由（1）同理可证：， ， 即， ， 解得：， ； （3）解：结论依然成立．； 理由如下： 如图，过点D作，交延长线于E， ， ， 由（1）同理可证， ， ． 26．（22-23九年级上·上海·期中）如图，已知中，，，，把线段沿射线方向平移至，直线与直线交于点，又连接与直线交于点D． (1)若，求的长； (2)设，，试求y关于x的函数解析式； (3)当为多少时，以Q、D、E为顶点的三角形与相似． 【答案】(1) (2) (3)当为4时，以、、为顶点的三角形与相似 【分析】（1）连接，由平行四边形的判定定理可得出四边形是平行四边形，进而可得出，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论； （2）由平行线分线段成比例定理可知，，再根据点在边上或点在边的延长线上两种情况讨论即可； （3）先由相似三角形的判定定理得出，，由相似三角形的对应边成比例即可求出的长． 【详解】（1）连接 ， 四边形是平行四边形，    ， ， ， ； （2），， ， ，，，，， 当点在边上时， ，解得 ，解得 当点在边的延长线上时， ，解得 ，解得 综上所述， （3） 又以、、为顶点的三角形与相似， 与相似 公共，又 即 由（2）知， 得 综上所述，当为4时，以、、为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定定理及平行线分线段成比例定理，在解（2）时要注意分类讨论，不要漏解． 27．（20-21九年级上·上海杨浦·阶段练习）如图1，在中，，，垂足为点．过点作射线，点是边上任意一点，连接并延长与射线相交于点，设、两点间的距离为．    (1)如图2，如果四边形是平行四边形，求的值． (2)过点作直线的垂线，垂足为，当为何值时，与相似？ (3)设的面积为，求关于的函数关系式，并写出它的定义域． 【答案】(1) (2)当，或时，与相似 (3) 【分析】（1）首先根据等腰三角形的三线合一定理，得到再由相似三角形的判定，得到比例线段，问题即可得解； （2）分情况当或5时易证及，当时，根据相似的性质然后可求得的长； （3）首先证明，再根据，得到，根据勾股定理求出的长，即可得到的面积，因为，所以，根据即可求出最后结果． 【详解】（1）解：，，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ； （2）如图，当时，即与重合时，，    此时，， ； 如图，当时，即与重合时，，    ，， ； 如图，当时， ，且， 相似只有一种，即， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 即， 当，或时，与相似； （3）如图，， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ， ， ， 即． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，一次函数的几何应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质，结合几何图形分情况讨论是解答本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$