第16章 二次根式 章节整合练习（11个知识点+40题练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第16章 二次根式 章节整合练习（11个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．二次根式的定义 二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． ①“”称为二次根号 ②a（a≥0）是一个非负数； 学习要求： 理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围． 知识点2．二次根式有意义的条件 判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式． （2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． （3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数． 学习要求： 能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题． 【规律方法】二次根式有无意义的条件 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 知识点3．二次根式的性质与化简 （1）二次根式的基本性质： ①≥0； a≥0（双重非负性）． ②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． ③＝|a|＝（算术平方根的意义） （2）二次根式的化简： ①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0） （3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法 1．常见题型：与分式的化简求值相结合． 2．解题方法： （1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简． （2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果． （3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式． 知识点4．最简二次根式 最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等； 含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等． 知识点5．二次根式的乘除法 （1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0） （2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0） （3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0） （4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0） 规律方法总结： 在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此． 知识点6．分母有理化 （1）分母有理化是指把分母中的根号化去． 分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 例如：①＝＝；②＝＝． （2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式． 一个二次根式的有理化因式不止一个． 例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数． 知识点7．同类二次根式 同类二次根式的定义： 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 合并同类二次根式的方法： 只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 【知识拓展】同类二次根式 把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． （1）同类二次根式类似于整式中的同类项． （2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同． （3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 知识点8．二次根式的加减法 （1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． （2）步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． （3）合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 知识点9．二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． （2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式． （3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 知识点10．二次根式的化简求值 二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 知识点11．二次根式的应用 把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力． 二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 章节题型整合练习 一．二次根式的定义 1．（浦东新区期末）在下列代数式中，不是二次根式的是　　 A． B． C． D． 2．（浦东新区校级期中）如果式子是二次根式，那么实数的取值范围是　　． 3．（2022秋•嘉定区期中）已知是整数，则满足条件的最小正整数为　　． 二．二次根式有意义的条件 4．（2022秋•静安区校级期中）下列二次根式一定成立的是　　 A． B． C． D． 5．（2022秋•宝山区期末）要使式子有意义，的取值范围是 　　． 6．（2023秋•浦东新区期中）式子有意义，则的取值范围是 　　． 7．（浦东新区校级月考）已知实数满足，求的值． 三．二次根式的性质与化简 8．（2021秋•浦东新区校级月考）若，化简　　． 9．（2024春•上海期末）化简：　　． 10．（2021秋•普陀区校级月考）． 四．最简二次根式 11．（2024春•沙依巴克区期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 12．（2020秋•浦东新区校级月考）在二次根式中，最简二次根式是 　　． 13．（2022秋•闵行区校级期中）二次根式、、、中，最简二次根式有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 五．二次根式的乘除法 14．（2022秋•静安区校级期中）下列运算正确的是　　 （1） （2） （3） （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．（2023秋•杨浦区期中）计算：． 16．（2020秋•静安区校级期中）　　． 17．（2022秋•浦东新区期中）等式成立的条件是　　 A． B． C． D． 六．分母有理化 18．（2022秋•徐汇区校级期末）计算：　　． 19．（2023秋•长宁区校级期中）已知，求的值． 20．（2023秋•浦东新区校级期末）的一个有理化因式是　　 A． B． C． D． 21．（2023秋•徐汇区月考）分母有理化：　　． 七．同类二次根式 22．（2023秋•徐汇区月考）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么　　． 23．（2022秋•闵行区期中）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是　　 A．与 B．与 C．与 D．与 24．（2022秋•虹口区校级月考）在二次根式①；②；③；④；⑤中，与是同类二次根式的有 　　．（填写编号） 八．二次根式的加减法 25．（2023秋•崇明区期中）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 26．（2023秋•金山区校级月考）计算：． 27．（2023秋•普陀区期中）计算：　　． 28．（2022秋•虹口区校级期中）化简：　　． 九．二次根式的混合运算 29．（2023秋•徐汇区月考）下列计算不正确的是　　 A． B． C． D． 30．（2022秋•嘉定区校级月考）计算：　　． 31．（2023秋•闵行区期末）计算：． 32．（2023秋•金山区期末）（1）计算：； （2）计算：． 一十．二次根式的化简求值 33．（2023秋•徐汇区月考）已知，下列各式为负值的是　　 A． B． C． D． 34．（2023秋•普陀区校级期中）已知，求的值． 35．（2022秋•浦东新区校级月考）已知，那么的值为 　　． 36．（2023秋•金山区校级月考）先化简再求值：当时，求的值． 一十一．二次根式的应用 37．（2023秋•杨浦区期中）解不等式：的解集是 　　． 38．（2023秋•静安区校级期末）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为、、，记，则其面积这个公式也被称为海伦一秦九韶公式．若，，则此三角形面积的值可以是　　 A． B．6 C． D．5 39．（2024春•青浦区校级期末）解不等式：． 40．（2021秋•宝山区校级月考）三角形的周长为，面积为，已知两边的长分别为和，求：（1）第三边的长； （2）第三边上的高． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16章 二次根式 章节整合练习（11个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．二次根式的定义 二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． ①“”称为二次根号 ②a（a≥0）是一个非负数； 学习要求： 理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围． 知识点2．二次根式有意义的条件 判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式． （2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． （3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数． 学习要求： 能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题． 【规律方法】二次根式有无意义的条件 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 知识点3．二次根式的性质与化简 （1）二次根式的基本性质： ①≥0； a≥0（双重非负性）． ②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． ③＝|a|＝（算术平方根的意义） （2）二次根式的化简： ①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0） （3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法 1．常见题型：与分式的化简求值相结合． 2．解题方法： （1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简． （2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果． （3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式． 知识点4．最简二次根式 最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等； 含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等． 知识点5．二次根式的乘除法 （1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0） （2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0） （3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0） （4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0） 规律方法总结： 在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此． 知识点6．分母有理化 （1）分母有理化是指把分母中的根号化去． 分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 例如：①＝＝；②＝＝． （2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式． 一个二次根式的有理化因式不止一个． 例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数． 知识点7．同类二次根式 同类二次根式的定义： 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 合并同类二次根式的方法： 只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 【知识拓展】同类二次根式 把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． （1）同类二次根式类似于整式中的同类项． （2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同． （3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 知识点8．二次根式的加减法 （1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． （2）步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． （3）合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 知识点9．二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． （2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式． （3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 知识点10．二次根式的化简求值 二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 知识点11．二次根式的应用 把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力． 二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 章节题型整合练习 一．二次根式的定义 1．（浦东新区期末）在下列代数式中，不是二次根式的是　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案． 【解答】解：、，是二次根式，故此选项不合题意； 、，是二次根式，故此选项不合题意； 、，是二次根式，故此选项不合题意； 、，不是二次根式，故此选项符合题意； 故选：． 【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题关键． 2．（浦东新区校级期中）如果式子是二次根式，那么实数的取值范围是　　． 【分析】按照二次根式的被开方数为非负数，即可求解． 【解答】解：式子是二次根式 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，明确二次根式的被开方数应为非负数，是解题的关键． 3．（2022秋•嘉定区期中）已知是整数，则满足条件的最小正整数为　5　． 【分析】因为是整数，且，则是完全平方数，满足条件的最小正整数为5． 【解答】解：，且是整数； 是整数，即是完全平方数； 的最小正整数值为5． 故答案为：5． 【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确化简二次根式得出是解题关键． 二．二次根式有意义的条件 4．（2022秋•静安区校级期中）下列二次根式一定成立的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次根式有意义的条件判断即可． 【解答】解：当时，有意义， 故不符合题意； 当时，有意义， 故不符合题意； 为任意实数时，都有意义， 故符合题意； 当时，有意义， 故不符合题意， 故选：． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式是解题的关键． 5．（2022秋•宝山区期末）要使式子有意义，的取值范围是 　　． 【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出，进而得出答案． 【解答】解：要使式子有意义，则， 解得：． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键． 6．（2023秋•浦东新区期中）式子有意义，则的取值范围是 　　． 【分析】根据二次根式的性质：被开方数大于等于0，解答即可． 【解答】解：式子有意义， ， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数是非负数． 7．（浦东新区校级月考）已知实数满足，求的值． 【分析】根据二次根式的性质以及绝对值的性质即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：， ， ， ， ， 【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件以及绝对值的性质，本题属于基础题型． 三．二次根式的性质与化简 8．（2021秋•浦东新区校级月考）若，化简　　． 【分析】由，，又，则有，通过变形化简原式即可得出最终结果． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查的是对完全平方公式的灵活使用和对二次根式的化简应用． 9．（2024春•上海期末）化简：　　． 【分析】先根据二次根式有意义的条件得到，然后根据二次根式的性质化简． 【解答】解：， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：熟练掌握二次根式的性质是解决问题的关键． 10．（2021秋•普陀区校级月考）． 【分析】直接化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案． 【解答】解：原式 ． 【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键． 四．最简二次根式 11．（2024春•沙依巴克区期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【解答】解：、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 、不是二次根式，故本选项不符合题意； 、是最简二次根式，故本选项符合题意； 、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足以下两个条件的二次根式是最简二次根式，①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式． 12．（2020秋•浦东新区校级月考）在二次根式中，最简二次根式是 　　． 【分析】根据最简二次根式的意义逐项进行判断即可． 【解答】解：，因此不是最简二次根式； 由于时，所以是最简二次根式； ，因此不是最简二次根式； ，因此不是最简二次根式， 故答案为：． 【点评】本题考查最简二次根式，理解最简二次根式的意义是正确判断的关键． 13．（2022秋•闵行区校级期中）二次根式、、、中，最简二次根式有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式进行解答． 【解答】解：，不是最简二次根式；、、都是最简二次根式； 综上，最简二次根式的个数是3个， 故选：． 【点评】本题考查了最简二次根式，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 五．二次根式的乘除法 14．（2022秋•静安区校级期中）下列运算正确的是　　 （1） （2） （3） （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】直接利用二次根式的性质化简判断得出答案． 【解答】解：（1），故此选项不合题意； （2），故此选项不合题意； （3），故此选项不合题意； （4），故此选项符合题意； 故选：． 【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键． 15．（2023秋•杨浦区期中）计算：． 【分析】利用二次根式的乘除法则及性质计算即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查二次根式的乘除运算，熟练掌握相关运算法则及性质是解题的关键． 16．（2020秋•静安区校级期中）　　． 【分析】根据和二次根式的性质求出即可． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式的乘法和二次根式的性质，注意：，． 17．（2022秋•浦东新区期中）等式成立的条件是　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件即可求解． 【解答】解：由题意得：， 解得：． 故选：． 【点评】本题考查了分式、二次根式有意义的条件，掌握相关结论是解题关键． 六．分母有理化 18．（2022秋•徐汇区校级期末）计算：　　． 【分析】分子分母同乘以，再化简即可． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】主要考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同． 19．（2023秋•长宁区校级期中）已知，求的值． 【分析】将分母有理化化简后，代入原式计算即可得到结果． 【解答】解：， ， 则原式． 【点评】此题考查了分母有理化，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20．（2023秋•浦东新区校级期末）的一个有理化因式是　　 A． B． C． D． 【分析】有理化因式是指两个含有根式的代数式，当它们相乘时，它们的积不含有根式，这样的两个代数式互称为有理化因式，由此判断即可． 【解答】解： ， 所以的一个有理化因式是， 故选：． 【点评】本题考查了分母有理化，解题的关键是熟记有理化因式的定义． 21．（2023秋•徐汇区月考）分母有理化：　　． 【分析】先把分子利用平方差公式分解因式，然后约分即可． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】本题考查了分母有理化，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键． 七．同类二次根式 22．（2023秋•徐汇区月考）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么　5　． 【分析】根据最简二次根式及同类二次根式的定义列方求解． 【解答】解：最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得， 故答案为：5． 【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式． 23．（2022秋•闵行区期中）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是　　 A．与 B．与 C．与 D．与 【分析】根据二次根式的性质进行化简，根据同类二次根式的概念判断即可． 【解答】解：、与不属于同类二次根式，故本选项不符合题意； 、与属于同类二次根式，故本选项符合题意； 、与不属于同类二次根式，故本选项不符合题意； 、与不属于同类二次根式，故本选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查的是同类二次根式的概念、二次根式的化简，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 24．（2022秋•虹口区校级月考）在二次根式①；②；③；④；⑤中，与是同类二次根式的有 　②⑤　．（填写编号） 【分析】先根据二次根式的性质进行化简，再根据同类二次根式的定义逐个判断即可． 【解答】解：①，②，③，④，⑤， 与是同类二次根式的有②⑤． 故答案为：②⑤． 【点评】本题考查了同类二次根式的定义和二次根式的性质与化简，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键． 八．二次根式的加减法 25．（2023秋•崇明区期中）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的加减法对各选项进行逐一计算即可． 【解答】解：、，正确，符合题意； 、与不是同类二次根式，原计算错误，不符合题意； 、与不是同类二次根式，原计算错误，不符合题意； 、与不是同类二次根式，原计算错误，不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解题的关键． 26．（2023秋•金山区校级月考）计算：． 【分析】先计算开方运算，再去括号，合并即可得到答案． 【解答】解：原式 ． 【点评】此题考查的是二次根式的加减法，掌握其运算法则是解决此题的关键． 27．（2023秋•普陀区期中）计算：　　． 【分析】根据二次根式的减法法则进行计算即可得． 【解答】解：原式 ， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式的减法，解题的关键是掌握二次根式的减法法则． 28．（2022秋•虹口区校级期中）化简：　　． 【分析】根据完全平方公式把原式化为，再根据，得，，进一步可得，，根据二次根式的性质化简即可． 【解答】解：原式 ， ， ，， ，， 原式 ． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式的加减法，完全平方公式，熟练掌握二次根式的性质和完全平方公式是解题的关键． 九．二次根式的混合运算 29．（2023秋•徐汇区月考）下列计算不正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：，故选项正确，不符合题意； ，故选项正确，不符合题意； ，故选项正确，不符合题意； 无法计算，故选项不正确， 故选：． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 30．（2022秋•嘉定区校级月考）计算：　　． 【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则对式子进行整理，再进行二次根式的运算即可． 【解答】解： ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 31．（2023秋•闵行区期末）计算：． 【分析】先根据完全平方公式、零指数幂的意义计算，再分母有理化，然后化简二次根式后合并即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则和零指数幂是解决问题的关键． 32．（2023秋•金山区期末）（1）计算：； （2）计算：． 【分析】（1）先根据二次根式的乘法，二次根式的性质和分母有理化进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可； （2）先根据二次根式的乘法和除法法则进行计算，再根据二次根式的性质进行计算即可． 【解答】解：（1） ； （2） ． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序． 一十．二次根式的化简求值 33．（2023秋•徐汇区月考）已知，下列各式为负值的是　　 A． B． C． D． 【分析】先对分母有理化，然后再分别代入各选项计算判断即可． 【解答】解：． 、，不符合题意； 、，不符合题意； 、，符合题意； 、，不符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查了分母有理化、二次根式的混合运算，掌握分母有理化的方法成为解题关键． 34．（2023秋•普陀区校级期中）已知，求的值． 【分析】根据分式的加法法则把原式化简，根据分母有理化把化简，代入计算即可． 【解答】解：原式 ， ， ， 则原式． 【点评】本题考查的是二次根式的化简、分式的化简求值，掌握分式的加法法则是解题的关键． 35．（2022秋•浦东新区校级月考）已知，那么的值为 　3　． 【分析】把所求的式子转为条件的形式，再进行求解即可． 【解答】解：， ． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 36．（2023秋•金山区校级月考）先化简再求值：当时，求的值． 【分析】先根据二次根式的性质化简原式，再将分母有理化，代入计算即可． 【解答】解：， ， 原式 ． 【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的性质及其混合运算顺序和运算法则、完全平方公式． 一十一．二次根式的应用 37．（2023秋•杨浦区期中）解不等式：的解集是 　　． 【分析】由可得，求解即可． 【解答】解：由， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查解不等式以及分母有理化，属于基础题，掌握不等式的基本性质． 38．（2023秋•静安区校级期末）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为、、，记，则其面积这个公式也被称为海伦一秦九韶公式．若，，则此三角形面积的值可以是　　 A． B．6 C． D．5 【分析】由题可知，，把，代入的表达式中，再利用三角形三边关系确定的取值范围，则可以确定的取值范围，从选项中选出符合条件的答案即可． 【解答】解：，，， ， ， ， 又三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， ， ， 当时，为最大值，， ， 题目中符合的取值范围的值只有， 故选：． 【点评】解题的关键是用仅有未知数的方程式表达，再结合二次根式的性质和三角形三边关系进行分析，即可得出的最大值和最小值． 39．（2024春•青浦区校级期末）解不等式：． 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得． 【解答】解：不等式， 移项得：， 合并得：， 解得：． 【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 40．（2021秋•宝山区校级月考）三角形的周长为，面积为，已知两边的长分别为和，求：（1）第三边的长； （2）第三边上的高． 【分析】（1）根据第三边等于周长减去另两边之和，即可求出第三边的长； （2）根据三角形的高等于三角形的面积的2倍除以底边即可求出第三边上的高． 【解答】解：（1）三角形周长为，两边长分别为 和， 第三边的长是：； （2）面积为， 第三边上的高为． 【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$