第二章 函数与基本初等函数测试（A卷 基础巩固）-备战2025年高考数学一轮复习题型精讲与精练（新高考通用）

第二章 函数与基本初等函数（B卷 能力提升） 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（22-23高三上·福建·阶段练习）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·河北·阶段练习）设，，，则（    ） A． B． C． D． 小时欣赏欣赏先试试11 3．（23-24高三上·重庆·期中）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·上海嘉定·期中）已知函数为偶函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·四川南充·模拟预测）定义在R上的奇函数满足是偶函数，当时，，则（    ） A． B． C．0 D．2 6．（2023·贵州遵义·模拟预测）若函数在区间上单调递增，则的可能取值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（23-24高三上·江苏苏州·期中）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为（单位：），则S占地球表面积的百分比约为（    ）． A．18％ B．34％ C．42％ D．50％ 8．（23-24高三上·江苏苏州·期中）设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 二、多选题：本大题共3小题，每个小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的. 9．（23-24高三上·江苏南京·期中）已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则（    ） A．为奇函数 B． C． D． 10．（21-22高一上·福建厦门·期末）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数．（    ） A．若，则函数为奇函数 B．若，则 C．函数的图象必有对称中心 D．， 11．（23-24高三上·江苏苏州·期中）已知函数，的定义域均为R，它们的导函数分别为，，且，，若是偶函数，则下列正确的是（    ）． A． B．的最小正周期为4 C．是奇函数 D．，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12．（21-22高一上·上海浦东新·期中）当时，求的值 ． 13．（23-24高三上·上海嘉定·期中）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 14．（23-24高三上·重庆渝中·阶段练习）函数为偶函数，则实数的值为 . 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（23-24高三上·山西·阶段练习）已知指数函数在其定义域内单调递增． (1)求函数的解析式； (2)设函数，当时．求函数的值域． 16．（20-21高一上·江苏南通·阶段练习）已知集合，. (1)若求； (2)若设，已知是的充分不必要条件，则实数的取值范围; 17．（2024·广东肇庆·一模）已知函数（其中，为常量，且，，）的图象经过点，． (1)求，的值 (2)若关于的不等式在上有解，求的取值范围． 18．（2024·浙江金华·模拟预测）太阳能板供电是节约能源的体现，其中包含电池板和蓄电池两个重要组件，太阳能板通过电池板将太阳能转换为电能，再将电能储存于蓄电池中．已知在一定条件下，入射光功率密度（E为入射光能量且为入射光入射有效面积），电池板转换效率与入射光功率密度成反比，且比例系数为k． (1)若平方米，求蓄电池电能储存量Q与E的关系式； (2)现有铅酸蓄电池和锂离子蓄电池两种蓄电池可供选择，且铅酸蓄电池的放电量，锂离子蓄电池的放电量．设，给定不同的Q，请分析并讨论为了使得太阳能板供电效果更好，应该选择哪种蓄电池？ 注：①蓄电池电能储存量； ②当S，k，Q一定时，蓄电池的放电量越大，太阳能板供电效果越好． 19．（2021·北京·模拟预测）技术的价值和意义在自动驾驶､物联网等领域得到极大的体现.其数学原理之一是香农公式：，其中：（单位：）是信道容量或者叫信道支持的最大速度，单位；）是信道的带宽，单位：）是平均信号功率，（单位：）是平均噪声功率，叫做信噪比. (1)根据香农公式，如果不改变带宽，那么将信噪比从1023提升到多少时，信道容量能提升 (2)已知信号功率，证明：； (3)现有3个并行的信道，它们的信号功率分别为，这3个信道上已经有一些相同的噪声或者信号功率.根据（2）中结论，如果再有一小份信号功率，把它分配到哪个信道上能获得最大的信道容量？（只需写出结论） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 函数与基本初等函数（B卷 能力提升） 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（22-23高三上·福建·阶段练习）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的性质与不等式，得全集和集合，再根据补集运算即可. 【详解】解：，，则. 故选：C. 2．（23-24高三上·河北·阶段练习）设，，，则（    ） A． B． C． D． 小时欣赏欣赏先试试11 【答案】C 【分析】根据对数函数的单调性比较的大小关系，并判断c的范围，即可得答案. 【详解】由于， 且， 故， 故选：C 3．（23-24高三上·重庆·期中）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数解析式列出其满足的不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知函数要有意义， 需满足，解得， 故的定义域为， 故选：B 4．（23-24高三上·上海嘉定·期中）已知函数为偶函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的定义求出的值，然后解得解集即可. 【详解】因为函数为偶函数， 所以， 所以，解得， 所以， 则由可得，即， 解得，即或， 所以不等式的解集为. 故选：B. 5．（2023·四川南充·模拟预测）定义在R上的奇函数满足是偶函数，当时，，则（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】根据题意，由函数奇偶性的性质分析可得，进而可得，即函数是周期为4的周期函数，从而利用周期性即可求解. 【详解】根据题意，函数是定义在上的奇函数，则，且， 又函数是偶函数，则，变形可得， 则有，进而可得， 所以函数是周期为4的周期函数， 则. 故选：C. 6．（2023·贵州遵义·模拟预测）若函数在区间上单调递增，则的可能取值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】由，结合题意在上恒成立求范围，即可判断所能取的值. 【详解】由题设在区间上单调递增，所以恒成立， 所以上恒成立，即恒成立， 而在上递增，故. 所以A符合要求. 故选：A 7．（23-24高三上·江苏苏州·期中）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为（单位：），则S占地球表面积的百分比约为（    ）． A．18％ B．34％ C．42％ D．50％ 【答案】C 【分析】设表示卫星，过作截面得大圆，线段交圆于，得，求出后即可得解. 【详解】设表示卫星，过的平面截地球得大圆，是切线，线段交圆于，如图， 则，，，， 则，地球表面积为 所以． 故选：C 8．（23-24高三上·江苏苏州·期中）设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出单位圆，，根据三角函数定义证明出，从而得到，求出，再设，，求导得到其单调性，得到，从而比较出大小关系. 【详解】设，作出单位圆，与轴交于点，则， 过点作垂直于轴，交射线于点，连接，过点作⊥轴于点， 由三角函数定义可知，，， 设扇形的面积为，则，即，故， 因为，所以， 又，由得，即， 令，， 则，当时，， 故在上单调递减， 所以，所以， 故， 综上，. 故选：D 【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小. 二、多选题：本大题共3小题，每个小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的. 9．（23-24高三上·江苏南京·期中）已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则（    ） A．为奇函数 B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据已知等式关系结合函数的奇偶性与对称性即可求得函数均是周期为4的周期函数，利用周期性与对称性计算，逐项判断即可得答案. 【详解】因为，所以，又，则有； 因为是奇函数，所以， 可得，即有， 所以， 所以是周期为4的周期函数， 故也是周期为4的周期函数， 对于选项A，因为，所以，则， 所以为偶函数，故A错误； 对于选项B，因为是奇函数，将代入得：， 且，将代入得，所以B选项正确； 对于选项C，由，且， 将代入得：， 所以， 由于，即， 得， 因为是周期为4的周期函数， 所以，所以C选项正确； 对于选项D，因为， ， 所以， 因为是周期为4的周期函数， 所以，所以D选项不正确． 故选：BC． 【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论： （1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立； （2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为. 10．（21-22高一上·福建厦门·期末）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数．（    ） A．若，则函数为奇函数 B．若，则 C．函数的图象必有对称中心 D．， 【答案】ACD 【分析】中心对称函数的性质，利用函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．对于AB选项，利用表达式可以直接进行判断.选项C，直接利用定义判断,求出对称中心点.选项D，不等式恒成立问题，根据的函数性质证明即可. 【详解】对于选项A，记． 因为，所以为奇函数，故选项A正确； 对于选项B，由选项A可知，从而， 所以，故选项B错误； 对于选项C，记．若为奇函数，则， ，即， 所以，即． 上式化简得，． 则必有，解得， 因此当时，的图象必关于点对称，故选项C正确； 对于选项D，由选项C可知，． 当时，是减函数，，所以 ， 故选项D正确． 故选：ACD． 11．（23-24高三上·江苏苏州·期中）已知函数，的定义域均为R，它们的导函数分别为，，且，，若是偶函数，则下列正确的是（    ）． A． B．的最小正周期为4 C．是奇函数 D．，则 【答案】ABD 【分析】A选项，两边求导得到，赋值得到；B选项，由题意条件推出，得到函数的最小正周期；C选项，假设为奇函数，推出矛盾；D选项，利用题目条件得到，结合函数的最小正周期得到答案. 【详解】A选项，为偶函数，故， 两边求导得，， 令得，解得，A正确； B选项，因为，， 所以①， 因为，所以②， 则①②相减得，③， 又④， 则③④相减得，即， 又，故的最小正周期为4，B正确； C选项，假如为奇函数，则， 当时，可得， 但，当可得， 显然不满足要求，故不是奇函数，C错误； D选项，因为，所以， 又，故， 由B选项得，故，解得， 且， 由B选项知的一个周期为4，故， 所以， 则，D正确. 故选：ABD 【点睛】设函数，，，． （1）若，则函数的周期为2a； （2）若，则函数的周期为2a； （3）若，则函数的周期为2a； （4）若，则函数的周期为2a； （5）若，则函数的周期为； （6）若函数的图象关于直线与对称，则函数的周期为； （7）若函数的图象既关于点对称，又关于点对称，则函数的周期为； （8）若函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期为； （9）若函数是偶函数，且其图象关于直线对称，则的周期为2a； （10）若函数是奇函数，且其图象关于直线对称，则的周期为4a． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12．（21-22高一上·上海浦东新·期中）当时，求的值 ． 【答案】0 【分析】由直接取绝对值号，进行开方运算即可求得. 【详解】因为， 所以. 故答案为：0 13．（23-24高三上·上海嘉定·期中）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据分式函数中分母不为0得恒成立，分类讨论，时符合题意，时利用判别式法列不等式求解即可. 【详解】函数的定义域为， 得恒成立， 当时，恒成立； 当时，，得， 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 14．（23-24高三上·重庆渝中·阶段练习）函数为偶函数，则实数的值为 . 【答案】/1.5 【分析】利用特殊值先求解值，再根据偶函数的定义进行验证. 【详解】函数为偶函数，则， 即，解得. 当时， ，为偶函数. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（23-24高三上·山西·阶段练习）已知指数函数在其定义域内单调递增． (1)求函数的解析式； (2)设函数，当时．求函数的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数函数定义和单调性可解； （2）令，利用二次函数的单调性求解可得. 【详解】（1）是指数函数， ， 解得或， 又因为在其定义域内单调递增，所以， ； （2） ， ，令， ， ， ， 的值域为． 16．（20-21高一上·江苏南通·阶段练习）已知集合，. (1)若求； (2)若设，已知是的充分不必要条件，则实数的取值范围; 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简集合AB，再利用集合的补集和交集运算求解； （2）易得，根据且是的充分不必要条件，由，且等号不同时成立求解. 【详解】（1）解：当时，，则或， 又， 所以； （2）当时，， 设，且是的充分不必要条件， 所以，且等号不同时成立， 解得， 所以实数的取值范围是. 17．（2024·广东肇庆·一模）已知函数（其中，为常量，且，，）的图象经过点，． (1)求，的值 (2)若关于的不等式在上有解，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）把两点坐标代入函数解析式，求，的值； （2）证明函数在上单调递增，有，可求的取值范围． 【详解】（1）函数的图象经过点，， 得，解得； （2）由（1）得，， 因为函数在上单调递增，函数在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以在上的最大值为， 因为关于的不等式在上有解， 所以，解得， 即的取值范围为 18．（2024·浙江金华·模拟预测）太阳能板供电是节约能源的体现，其中包含电池板和蓄电池两个重要组件，太阳能板通过电池板将太阳能转换为电能，再将电能储存于蓄电池中．已知在一定条件下，入射光功率密度（E为入射光能量且为入射光入射有效面积），电池板转换效率与入射光功率密度成反比，且比例系数为k． (1)若平方米，求蓄电池电能储存量Q与E的关系式； (2)现有铅酸蓄电池和锂离子蓄电池两种蓄电池可供选择，且铅酸蓄电池的放电量，锂离子蓄电池的放电量．设，给定不同的Q，请分析并讨论为了使得太阳能板供电效果更好，应该选择哪种蓄电池？ 注：①蓄电池电能储存量； ②当S，k，Q一定时，蓄电池的放电量越大，太阳能板供电效果越好． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用题目所给公式及数据计算即可得； （2）用S，k，Q表示出两种蓄电池的放电量后作差比大小即可得. 【详解】（1）， 若平方米，则； （2）由，即， 铅酸蓄电池的放电量为：， 锂离子蓄电池的放电量为：， 则 ， 令，可得， 即时，，此时应选择铅酸蓄电池， 当时，，此时应选择锂离子蓄电池， 当时，，两种电池都可以. 19．（2021·北京·模拟预测）技术的价值和意义在自动驾驶､物联网等领域得到极大的体现.其数学原理之一是香农公式：，其中：（单位：）是信道容量或者叫信道支持的最大速度，单位；）是信道的带宽，单位：）是平均信号功率，（单位：）是平均噪声功率，叫做信噪比. (1)根据香农公式，如果不改变带宽，那么将信噪比从1023提升到多少时，信道容量能提升 (2)已知信号功率，证明：； (3)现有3个并行的信道，它们的信号功率分别为，这3个信道上已经有一些相同的噪声或者信号功率.根据（2）中结论，如果再有一小份信号功率，把它分配到哪个信道上能获得最大的信道容量？（只需写出结论） 【答案】(1)2047 (2)证明见解析 (3)把那一小份分配到信道上能获得最大的信道容量 【分析】（1）先把时，算出来，再令，解得； （2）利用对数运算化简即可证明； （3）由（2）可知当时，，随着的增大也会增大，可是增加的速度会越来越慢，即得． 【详解】（1）当时，， 令， 得， 解得：， 所以若不改变带宽，将信噪比从1023提升到2047时，信道容量能提升. （2）证明： 右边 =左边， 所以，原式成立； （3）分配到信道上能获得最大的信道容量. 理由：由（2）可知当时，， 随着的增大也会增大，但增加的速度会越来越慢， 所以把那一小份分配到信道上能获得最大的信道容量. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$